專題21.2一元二次方程的解法(舉一反三講義)

【人教版】

題型歸納

【題型1直接開平方法解一元二次方程】..........................................................1

【題型2配方法解一元二次方程】...............................................................4

【題型3根的判別式】..........................................................................5

【題型4公式法解一元二次方程】...............................................................5

【題型5因式分解法解一元二次方程】...........................................................6

【題型6換元法解一元二次方程】...............................................................7

【題型7含絕對值的一元二次方程的解法】........................................................8

【題型8配方法】..............................................................................8

舉一反三

知識點1直接開平方法解一元二次方程

1.非負數(shù)a的算術(shù)平方根為歷，平方根為士仿.

例如：144的算術(shù)平方根為，承=12,平方根為±71國=±12.

2.根據(jù)平方根的意義直接開平方來解一元二次方程的方法,叫做直接開平方法.

例如/=25,解得x=±5.

一般地，對于方程/-p.

p>0方程有兩個不等的實數(shù)根%1=，萬,%2=

p=0方程有兩個相等的實數(shù)根=%2=0

p<0方程無實數(shù)根

3.直接降次解一元二次方程的步驟

(1)將方程化為/=「或(小刀+冗)2=pQ>豐0)的形式；

(2)直接開平方化為兩個一元一次方程；

(3)解兩個一元一次方程得到原方程的解.

知識點2配方法解一元二次方程

1,解一元二次方程時，先把常數(shù)項移到右邊,再把它的左邊配成含有未知數(shù)的完全平方式,即將方程化為

(x+a)2=b的形式，如果右邊是一個非負數(shù)，那么就可以利用直接開平方的方法求解.這種通過配成完全

平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法.

2.配方法解一元二次方程的一般步驟(示例)

一般步驟方法實例(9p—18y—4=0)

將常數(shù)項移到方程的右邊，含

一移移項9y2—18y=4

未知數(shù)的項移到方程的左邊

方程左、右兩邊同時除以二次4

二化二次項系數(shù)化為1y7-2y=-

項系數(shù)

4

y27-2y+l=-+l

方程左、右兩邊同時加上一次

三配配方

項系數(shù)一半的平方

即(yT)2若

利用平方根的意義直接開平V13

四開開平方

方(y-1)=±

1V13V13

五解得出兩個根移項，合并同類項Y1=14+亍，丫2=41—

歸納：當方程一邊配成了關(guān)于未知數(shù)的完全平方式后,如果另一邊是正數(shù),那么這個方程就有兩個不相等

的實數(shù)根；如果另一邊是雯，那么這個方程就有兩個相等的實數(shù)根；如果另一邊是負數(shù),那么這個方程就

沒有實數(shù)根.

3.解題依據(jù)：(a±b)2=a2±2ab+抉，把公式中的a看作未知數(shù)支,并用久代替，則(%±Z?)2=x2±2bx+b2.

知識點3一元二次方程根的判別式

1.對于一元二次方程a/+b%+c=0("0),通過配方可得(尤+梟2=噤￡,則方程根的情況由爐一

4ac的符號決定.

一般地，式子房-4ac叫做一元二次方程a/+法+。=0根的判別式，通常用希臘字母“△”表示它，即2\=

b2-4ac.

2.根的判別式△的符號與一元二次方程根的情況

(1)△>0Q一元二次方程有兩個丕相篁的實數(shù)根；

(2)A=0=一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；

(3)A<0=一元二次方程無實數(shù)根.

3.應用

(1)不解方程判斷一元二次方程根的情況；

(2)根據(jù)方程根的情況求字母系數(shù)的取值范圍.

知識點4公式法解一元二次方程

1.當ANO時，方程。久2+版+。=0(61K0)通過配方，其實數(shù)根可寫為％=也萼叁的形式，這個式子叫

做一元二次方程a/+bx+c=0的求根公式.將各系數(shù)直接代入求根公式，這種解一元二次方程的方法叫

做公式法.

△>0方程有兩個不相等的實數(shù)根X=W土

2a

△二0方程有兩個相等的實數(shù)根/=犯=-/

△<0方程無實數(shù)根

2.利用公式法解一元二次方程的一般步驟

(1)把方程化為一般形式，確定a,b,c的值;

(2)求出△=爐—4ac的值；

(3)若ANO,則將a,6,c的值代人求根公式x=士"亞求出方程的根，若△<0,則方程無實數(shù)根.

知識點5因式分解法解一元二次方程

1.先因式分解，使一元二次方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式,再使這兩個一次式分別等于0,從

而實現(xiàn)降次,這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

2.適合用因式分解法求解的一元二次方程的形式

3.利用因式分解法解一元二次方程的一般步驟

一移使方程的右邊為0

二分將方程的左邊因式分解

三化將方程化為兩個一元一次方程

四解寫出方程的兩個解

【題型1直接開平方法解一元二次方程】

【例1】若方程（X-4）2=a有實數(shù)解，則a的取值范圍是（）

A.a<0B.a>0C.a>0D.a<0

【變式1-1］（24-25八年級下?安徽六安?階段練習）解方程：（3x—l）2=（x—1尸.

【變式1-2］形如（久+6）2=20）的方程，它的根是（）

A.x=+4nB.x=±m(xù)+y/nC.x=+yJn—mD.x——m±Vn

【變式1-3］（2025?廣東佛山?二模）新定義：a（g）6=a2—6.若（x—1）03=1,貝卜的值為.

【題型2配方法解一元二次方程】

【例2】（2025?湖南岳陽?一模）某數(shù)學興趣小組的四人以接龍的方式用配方法解一元二次方程，每人負責完

成一個步驟（如圖），老師看后，發(fā)現(xiàn)最后結(jié)果是錯誤的，并說：“錯誤是從某位同學負責的步驟開始出現(xiàn)

的.”則這位同學是（）

丁

Xj—/^2—1

x片-fJ^T

A.甲B.乙C.丙D.丁

【變式2-1］（24-25八年級下?安徽阜陽?期中）用配方法解方程/+8%+3=0時，若將方程變形為（尤+p/=q,

則q-p=（）

A.9B.17C.13D.5

【變式2-2］（24-25八年級下?安徽淮北?階段練習）用配方法解方程：

（l）x2-8久+12=0.

（2）4久2-7久+2=0；

【變式2-3］（24-25九年級上?河南南陽?期末）下面是小明解一元二次方程的過程，請認真閱讀并完成相應的

任務.

解:3/+12%-6=0

二次項系數(shù)化為1,得/+4X—2=0................第一步

移項，得/+4久=2....................................第二步

配方，得久2+4久+4=2+4,即（％+2）2=6....................................第三步

由此，可得久+2=&....................................第四步

所以，x=-2+V6................................第五步

任務一、填空：

①“第二步’,變形的數(shù)學依據(jù)是二（用文字語言填空）

②小明同學這種解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方時用到的數(shù)學公式是二（用數(shù)學符號

語言填空）

③小明同學的解題過程中，從第一步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是

任務二、請你也運用配方法解一元二次方程：4x2-12x-2=0.

【題型3根的判別式】

【例3】（2025?河北邯鄲?模擬預測）已知關(guān)于x的一元二次方程--（6+n）久+Trot=0,其中在數(shù)軸上

的對應點如圖所示，則這個方程的根的情況是（）

-----1---------------1----------1------>

m0n

A.有兩個相等的實數(shù)根B.沒有實數(shù)根

C.兩根之和小于0D.兩根之積大于0

【變式3-1]若關(guān)于x的方程3/—5x+a=0沒有實數(shù)根，則a的取值范圍是（）

.、25八-25-—25n、25

A.a>—B.a<—C.a4—D.aN—

12121212

【變式3-2]（24-25八年級下?浙江?階段練習）已知關(guān)于x的一元二次方程/+（2m+l）x+m=0.

（1）求證：無論小取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

（2）當方程的一個根是1時，求小的值.

【變式3-3]（2025?河南焦作?二模）定義運算：a回b=a2+ab-2b2,例如4團3=42+4X3-2X32,則不

解方程，判斷方程（x+1）02=0的根的情況是.

【題型4公式法解一元二次方程】

【例4】（24-25八年級下?安徽淮北?階段練習）在用求根公式求某一元二次方程的根時，得到久=

5士〃T）：;2X（T）,則該一元二次方程可能為（）

A.2%2+5%—1=0B.2x2—5%—1=0

C.-2%2—5%+1=0D.5/—2%—1=0

【變式4-1](23-24九年級上.全國.課后作業(yè))用公式法解一元二次方程：(%-2)(3x-5)=0.

一元二次方程

化成衣2+取+°=0的形式

I

。=？b=?c=?

I

求/二〃一4〃。

I

心0?

是/'否

代入求根公式求解無實數(shù)根

解：方程化為3/-11%+10=0.

ci—3,Z7—,c—10.

△=爐-4ac=-4X3X10=1>0.

方程實數(shù)根.

艮|3汽1=,%2=[?

【變式4-21(23-24九年級上?全國?課后作業(yè))已知x=士等逅⑵-4c>0),則式子產(chǎn)+bx+c的值是—.

【變式4-3】用公式法解方程：

(1)—3%=1—%2；

(2)2/-4%-3=0.

【題型5因式分解法解一元二次方程】

[例5](24-25八年級下?黑龍江哈爾濱?期中)若方程/一8x+12=0的兩個根恰好是等腰△ABC的兩條邊

長，則△ABC的周長為().

A.10B.14C.10或14D.8或10

【變式5-1](24-25八年級下?浙江金華?期中)解方程

(l)x2-4x—5=0

(2)(x-4)2=10(%-4)

【變式5-2](2025?廣東廣州?一模)根據(jù)如圖所示的程序計算函數(shù)y的值.若輸入％的值為4,則輸出y的值為

7.若輸出的y值為13,則輸入的x值為.

【變式5-3］（2025?江蘇常州?一模）若a?-。2=20,ab=24,則2a—b的值是（）

A.±8B.±12C.±14D.±16

【題型6換元法解一元二次方程】

【例6】（24-25八年級下?山東威海?期中）已知實數(shù)x滿足方程+久）（1一支2一切+6=0,則/+久的值

是.

【變式6-1］（24-25九年級上?安徽阜陽?階段練習）已知實數(shù)x滿足52+羊）2-452+62）-12=0,則代

數(shù)式a2+b2+i的值是（）

A.7B.-1C.7或一1D.-5或3

【變式6-2］（24-25八年級下?安徽安慶?階段練習）關(guān)于x的方程以久+fc）2+2025=0的解是勺=-3,久2=2

（a、k、6均為常數(shù)，aKO）.

問題：

（1）關(guān)于x的方程aQc+1+fc）2+2025=0的根是；

（2）關(guān)于x的方程a（x-k+4）2+2025=0的根為.

【變式6-3］（24-25八年級下?安徽合肥?階段練習）閱讀與思考：

下面是八（1）班學習小組研究性學習報告的部分內(nèi)容，請認真閱讀并完成相應任務.研究一元二次方程的

新解法討論一種關(guān)于一元二次方程的新解法一一消去未知數(shù)的一次項，將原方程轉(zhuǎn)化為可以開平方的形式,

將其開平方，從而進一步求得方程的解.

【例如】解一元二次方程/一4%-6=0,

設％=;/+6G”為常數(shù)），

將原方程化為（y+m）2-4（y+m）-6=0,①

方程①整理，得必+（2m—4）y+nt?一4m-6=。，②

令2m-4=0,解得m=2.

當m=2時，m2—4m—6=22—4x2—6=-10,

二方程②化為f—10=0,解得yi=V10,y2=—410,

X［=%+m,x2—y2+m.

任務：

（1）直接寫出材料中“部分方程的解Xi=，x2=.

（2）按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程3/+I2x+1=0.

【題型7含絕對值的一元二次方程的解法】

【例7】（24-25九年級上?河南安陽?期中）有人說“數(shù)學是思維的體操”，運用和掌握必要的“數(shù)學思想”和“數(shù)

學方法，，是學好數(shù)學的重要法寶.閱讀下列例題及其解答過程：

例：解方程/一2|x|—3=0.

解:①當xN0時，原方程為一一2x-3=0,

解得乂1=一1（與x20矛盾，舍去），X2=3.

②當％<0時，原方程為尤2+2%-3=0,

解得的=1（與x<0矛盾，舍去），x2--3.

=

所以原方程的根是巧=3,%2—3.

在上面的解答過程中，我們對尤進行討論，從而化簡絕對值.這是解決數(shù)學問題的一種重要思想——分類討

論.

任務：請參照上述方法解方程：%2-|%|-2=0.

【變式7-1］（22-23九年級上.陜西榆林.階段練習）解方程/-氏+1卜1=0.

【變式7-2］解方程/-2|2x+3|+9=0.

【變式7-3］（22-23九年級上?山西太原?階段練習）解方程/-上5卜2=0

【題型8配方法】

【例8】（2025?安徽六安?一模）已知x,y,z為實數(shù)，且y+z=5-4x+3/,z-y=1-2%+產(chǎn)，則刀，y,z

之間的大小關(guān)系是（）

A.x<y<zB.y<x<zC.y<z<xD.z<x<y

【變式8-1］（24-25九年級上?河南周口?期中）若代數(shù)式％2一以+?？苫癁椋ǎ?b）2-1,則a+b的值是（）

A.2B.1C.-2D.-1

【變式8-2］（2025?安徽池州?模擬預測）已知實數(shù)4人滿足a+2b=4,a>0,則下列判斷正確的是（）

A.a+b>2,/+5。+2b<4B.a+b<2,a2+5a+2b<4

C.a+b>2,a2+5。+2力〉4D.a+h<2,a2+5a+2b>4

【變式8-3］（2025?山東淄博?一模）已知％為實數(shù)，設d=V%2+6%+25-V%2-2%+5,則d的最大值是（）

A.2V2B.2V5C.5D.6

專題21.2一元二次方程的解法(舉一反三講義)

【人教版】

題型歸納

【題型1直接開平方法解一元二次方程】..........................................................1

【題型2配方法解一元二次方程】...............................................................4

【題型3根的判別式】..........................................................................5

【題型4公式法解一元二次方程1...............................................................................................................................5

【題型5因式分解法解一元二次方程】...........................................................6

【題型6換元法解一元二次方程】...............................................................7

【題型7含絕對值的一元二次方程的解法】........................................................8

【題型8配方法】..............................................................................8

舉一反三

知識點1直接開平方法解一元二次方程

1.非負數(shù)a的算術(shù)平方根為平方根為

例如：144的算術(shù)平方根為71^=12,平方根為±71國=±12.

2.根據(jù)平方根的意義直接開平方來解一元二次方程的方法,叫做直接開平方法.

例如/=25,解得x=±5.

一般地，對于方程

p>0方程有兩個不等的實數(shù)根%1=J5,%2=

p=0方程有兩個相等的實數(shù)根久1=尢2=0

p<0方程無實數(shù)根

3.直接降次解一元二次方程的步驟

(1)將方程化為/=p或(mx+冗)2=p(p>Q)m豐0)的形式；

(2)直接開平方化為兩個一元一次方程；

(3)解兩個一元一次方程得到原方程的解.

知識點2配方法解一元二次方程

1.解一元二次方程時，先把常數(shù)項移到右邊,再把它的左邊配成含有未知數(shù)的完全平方式,即將方程化為

(x+a)2=b的形式，如果右邊是一個非負數(shù)，那么就可以利用直接開平方的方法求解.這種通過配成完全

平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法.

2.配方法解一元二次方程的一般步驟(示例)

一般步驟方法實例(9p—18y—4=0)

將常數(shù)項移到方程的右邊，含

一移移項9y2—18y=4

未知數(shù)的項移到方程的左邊

方程左、右兩邊同時除以二次4

二化二次項系數(shù)化為1y7-2y=-

項系數(shù)

4

y27-2y+l=-+l

方程左、右兩邊同時加上一次

三配配方

項系數(shù)一半的平方

即(yT)2若

利用平方根的意義直接開平V13

四開開平方

方(y-1)=±

1V13V13

五解得出兩個根移項，合并同類項Y1=14+亍，丫2=41—

歸納：當方程一邊配成了關(guān)于未知數(shù)的完全平方式后,如果另一邊是正數(shù),那么這個方程就有兩個不相等

的實數(shù)根；如果另一邊是雯，那么這個方程就有兩個相等的實數(shù)根；如果另一邊是負數(shù),那么這個方程就

沒有實數(shù)根.

3.解題依據(jù)：(a±b)2=a2±2ab+抉，把公式中的a看作未知數(shù)支,并用久代替，則(%±Z?)2=x2±2bx+b2.

知識點3一元二次方程根的判別式

1.對于一元二次方程a/+b%+c=0("0),通過配方可得(尤+梟2=噤￡,則方程根的情況由爐一

4ac的符號決定.

一般地，式子房-4ac叫做一元二次方程a/+法+。=0根的判別式，通常用希臘字母“△”表示它，即2\=

b2-4ac.

2.根的判別式△的符號與一元二次方程根的情況

(1)△>0Q一元二次方程有兩個丕相篁的實數(shù)根；

(2)A=0=一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；

(3)A<0=一元二次方程無實數(shù)根.

3.應用

(1)不解方程判斷一元二次方程根的情況；

(2)根據(jù)方程根的情況求字母系數(shù)的取值范圍.

知識點4公式法解一元二次方程

1.當ANO時，方程。久2+版+。=0(61K0)通過配方，其實數(shù)根可寫為％=也萼叁的形式，這個式子叫

做一元二次方程a/+bx+c=0的求根公式.將各系數(shù)直接代入求根公式，這種解一元二次方程的方法叫

做公式法.

△>0方程有兩個不相等的實數(shù)根X=W土

2a

△二0方程有兩個相等的實數(shù)根/=犯=-/

△<0方程無實數(shù)根

2.利用公式法解一元二次方程的一般步驟

(1)把方程化為一般形式，確定a,b,c的值;

(2)求出△=爐—4ac的值；

(3)若ANO,則將a,6,c的值代人求根公式x=士"亞求出方程的根，若△<0,則方程無實數(shù)根.

知識點5因式分解法解一元二次方程

1.先因式分解，使一元二次方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式,再使這兩個一次式分別等于0,從

而實現(xiàn)降次,這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

2.適合用因式分解法求解的一元二次方程的形式

3.利用因式分解法解一元二次方程的一般步驟

一移使方程的右邊為0

二分將方程的左邊因式分解

三化將方程化為兩個一元一次方程

四解寫出方程的兩個解

【題型1直接開平方法解一元二次方程】

【例1】若方程(X-4)2=a有實數(shù)解，則a的取值范圍是()

A.a<0B.a>0C.a>0D.a<0

【答案】B

【分析】利用直接開平方法解方程，然后根據(jù)二次根式的被開方數(shù)的非負數(shù)列出關(guān)于a的不等式方程，然后

求得a的取值范圍.

【詳解】???方程(x-4>=a有實數(shù)解，

Ax-4=±Va,

a>0,

故選B.

【點睛】本題考查了解一元二次方程--直接開平方法.用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a(a>0)；

ax2=b(a,b同號且a/))；(x+a)2=b(b>0)；a(x+b)2-c(a,c同號且存0).法則：要把方程化為“左平

方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1,再開平方取正負，分開求得方程解”.解答該題時，還利用了二次根式有意

義的條件這一知識點.

【變式1-1](24-25八年級下?安徽六安?階段練習)解方程：(3%-1尸=(%-1)2.

【答案】%i=0,x2=

【分析】本題考查用直接開平方法解一元二次方程.用直接開平方法求解可.

【詳解】解：(3x-l)2=(x-l)2,

開方得3x-1=±(x—1),

**?3x—1=x—1或3x—1—x+1，

.八1

??一U,%2—

【變式1-2】形如Q+m)2=20)的方程，它的根是()

A.x—±VnB.x=+m+y/nC.x=+y/n—mD.x——m±yfn

【答案】D

【分析】因為方程的左邊是一個完全平方式，且被開方數(shù)吟0,所以可以利用數(shù)的開方直接求解.

【詳解】因為nK),開方得x+m=±VH,

移項得：x=-m±Vn.

故選D.

【點睛】本題需要運用整體思想，會把被開方數(shù)看成整體，且要注意n為正數(shù)，以使方程有解.

【變式1-3](2025?廣東佛山?二模)新定義：a便)6=一兒若(％-1)合3=1,貝阮的值為.

【答案】3或-1

【分析】本題考查了新定義運算，解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意得到(％-1尸一3=1,即(％-1)2=4,得到萬一1=±2,求出x=3或％=-1,即可得到答案.

【詳解】解：r新定義：a卷b=a?-b,(x-1)⑤3=1,

(x—I)2—3=1,即(％—1)2=4,

???x—1—+2,

解得：x=3或x=-1,

故答案為：3或-1.

【題型2配方法解一元二次方程】

【例2】(2025?湖南岳陽?一模)某數(shù)學興趣小組的四人以接龍的方式用配方法解一元二次方程，每人負責完

成一個步驟(如圖)，老師看后，發(fā)現(xiàn)最后結(jié)果是錯誤的，并說：“錯誤是從某位同學負責的步驟開始出現(xiàn)

的.”則這位同學是()

丁

X[=N2-1

x片-fJ^T

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程，先把2-+4x-1=0進行移項，再把二次項系數(shù)化1,然后

配方，再解出x的值，即可作答.

【詳解】解：依題意，2/+4%-1=0,

移項得2/+4x=1,

整理得/+2x=l，

/.x2+2%+1=-

2

(X+I)2=I，

???x+l=±/=±f

?V6.V6.

..%1=--l,x2——--1.

觀察以及對比，得出錯誤是從乙同學負責的步驟開始出現(xiàn)的，

故選：B

【變式2-1X24-25八年級下?安徽阜陽?期中)用配方法解方程/+阮+3=0時，若將方程變形為(x+p>=q,

則q-p=()

A.9B.17C.13D.5

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握配方法解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵；

先將原方程配方得到0+4)2=13,即可得出口g的值，進而可得答案.

【詳解】解：方程/+8%+3=0即為/+8x=-3,

所以/+8x4-16=-3+16=13,

即0+4)2=13,

=4,q=13,

:?q-p=13—4=9；

故選：A.

【變式2-2](24-25八年級下?安徽淮北?階段練習)用配方法解方程：

(I)%2-8%+12=0.

(2)4/-7%+2=0；

【答案】(1)%1=6,冷=2.

【分析】本題考查了一元二次方程的解法，根據(jù)配方法解方程即可，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解：(1)%2一8%+12=0

%2—8%+42=-12+42

(x—4)2=4

%—4=±2

%—4=2或久—4=—2

??X1=6,%2=2.

：(2)4%2-7%+2=0,

4x2—7x=-2

71

x2——X=—一,

42

2

配方得彳式+6）(丁T

7,V17

/.X——"T,

818

_7+V177-V17

??X]

88

【變式2-3]（24-25九年級上?河南南陽?期末）下面是小明解一元二次方程的過程，請認真閱讀并完成相應的

任務.

解：3x2+12%-6=0

二次項系數(shù)化為1,得/+4%—2=0.................................第一步

移項，得/+4久=2....................................第二步

配方，得/+4x+4=2+4,即（x+2）2=6...................................第三步

由此，可得久+2=傷..................第四步

所以，x=-2+V6.................................第五步

任務一、填空：

①“第二步’,變形的數(shù)學依據(jù)是「（用文字語言填空）

②小明同學這種解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方時用到的數(shù)學公式是二（用數(shù)學符號

語言填空）

③小明同學的解題過程中，從第一步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是

任務二、請你也運用配方法解一元二次方程：4/-12比-2=0.

【答案】任務一：①等式的基本性質(zhì)；②。2+2防+匕2=（。+6）2；③四；沒有正確運用平方根的意義

/工攵一3V113V11

4王務—*：----1--------，%2=-------------

X]1=22,22

【分析】本題考查等式的性質(zhì)，完全平方公式，平方根意義，配方法解一元二次方程等.

任務一：①利用等式的基本性質(zhì)作答即可；②利用完全平方公式作答即可；③利用平方根意義作答即可；

任務二：配方法解一元二次方程即可.

【詳解】解：任務一：①等式的基本性質(zhì)；或填等式兩邊同時加上(或減去)同一個整式，所得結(jié)果仍是

等式

②a?+2ab+爐=(a+b)2,

③四，沒有正確運用平方根的意義；

任務二：解：原方程可化為：4%2-12%-2=0,

配方得：%2-3%+(|)2=|+^,即(％—|)2='

【題型3根的判別式】

【例3】(2025?河北邯鄲?模擬預測)已知關(guān)于久的一元二次方程％2-(m+n)x+mn=0,其中租,荏在數(shù)軸上

的對應點如圖所示，則這個方程的根的情況是()

---1----------1------1---->

m0n

A.有兩個相等的實數(shù)根B.沒有實數(shù)根

C.兩根之和小于0D.兩根之積大于0

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別，根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解決此

類問題的關(guān)鍵.根據(jù)數(shù)軸上表示的點的值和根的判別式△=(m+n)2-4mn,判定根的情況有兩個不相等

mn

實數(shù)根，結(jié)合％1+x2=m+n<0,=<。可得答案.

【詳解】解：由數(shù)軸看出m<0,n>0,\m\>\n\,

Vx2—(m+n)x+mn=0是關(guān)于％的一元二次方程，

2

.*.△=(m+n)—4mn,x1+x2=Tn+n<0,xrx2=mn<0,

m<0,n>0,

/.—4mn>0

.*.△=(m+n)2—4mn>0,

???原方程有兩個不相等的實數(shù)根.

.'.A,B,D不符合題意，C符合題意

故選：c.

【變式3-1]若關(guān)于x的方程3/-5x+a=0沒有實數(shù)根，則a的取值范圍是()

.、25c-25-—25r、25

A.a>—B.a<—C.a4—D.aN—

12121212

【答案】A

【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式.根據(jù)沒有實數(shù)根得到A=(-5)2-4x3a<0,解不等式即

可.

【詳解】解：???關(guān)于》的方程3/—5久+a=0沒有實數(shù)根，

.*.△=(一5尸—4x3a<0,

解得a>||,

故選：A

【變式3-2](24-25八年級下?浙江?階段練習)已知關(guān)于x的一元二次方程/+(2m+l)x+m=0.

(1)求證：無論加取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)當方程的一個根是1時，求小的值.

【答案】(1)證明見解析

2

(2)771=--

【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解，熟練掌握利用根的判別式判斷一元二次方

程解的情況是解題的關(guān)鍵.

(1)利用一元二次方程根的判別式判定即可；

(2)將x=1代入/+(2m+1)%+m=0,求解即可.

【詳解】(1)解：*.?A=(2m+l)2-4ni

=4m2+4m+1—4m

=4m2+1>0,

.?.無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)解：將尤=1代入/+(2m+1)%+m=0,

得I2+(2m+1)+m=0,

解得：m=-|.

【變式3-3](2025?河南焦作?二模)定義運算：a^b-a2+ab-2b2,例如4回3=42+4x3—2x32,則不

解方程，判斷方程(x+1)32=0的根的情況是.

【答案】有兩個不等實數(shù)根

【分析】本題考查新定義，解一元二次方程，理解新定義的運算，得出方程是解題的關(guān)鍵.

先利用新定義得到0+1)2+2(x+1)-2x22=0,再把方程化為一般式，進而判斷判別式的符號，求解

即可.

【詳解】解：V(x+1)02=0,

(x+I)2+2(X+1)-2X22=0,

即一+4久-5=0,

a—l,b—4,c——5

AA=爐一4四=16+20=36>0

二方程(x+1)團2=0有兩個不等實數(shù)根，

故答案為：有兩個不等實數(shù)根.

【題型4公式法解一元二次方程】

【例4】(24-25八年級下?安徽淮北?階段練習)在用求根公式求某一元二次方程的根時，得到“=

S±"T)：［：X2X(T).,則該一元二次方程可能為()

A.2/+5%—1=0B.2x2—5x—1=0

C.-2x2-5x+1=0D.5x2-2x-1=0

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的求根公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)求根公式》=也孚王，對比已知式子確

2a

定4,b,C的值.

通過求根公式X=5±J(-5)：［：X2X(0,分析出q,b,C.

【詳解】一元二次方程求根公式為x=上宇遠，已知尤=見里乎巨，

ZClZXZ

由2a=2x2,可得a=2,

由—b=5,可得b=—5,

由4ac=4X2X(-1),可得c=-l,

將a=2,b=—5,c=-1代入一兀二次方程a/+fox+c=0,

得至U2--5%-1=0,對應選項B.

故選：B.

【變式4-1](23-24九年級上.全國.課后作業(yè))用公式法解一元二次方程：(%-2)(3x-5)=0.

一元二次方程

化成衣2+取+°=0的形式

I

。=？b=?c=?

I

求/二〃一4〃。

I

心0?

是/'否

代入求根公式求解無實數(shù)根

解：方程化為3/-11%+10=0.

ci—3,Z7—,c—10.

△=爐-4ac=-4X3X10=1>0.

方程實數(shù)根.

x==，

艮|3汽1=,%2=

【答案】-11(—11)2有兩個不相等的?著正字2

【分析】根據(jù)公式法解一元二次方程的解法步驟求解即.

【詳解】解：方程化為3/一11X+10=0.

。=3,b=-11,c=10.

△=b2-4ac=(-11)2-4x3xl0=l>0.

方程有兩個不相等的實數(shù)根.

-(-ii)±Vin±i

x——,

2X36

即=2,x2=1.

故答案為：—11；(—11)2;有兩個不相等的；(2.

2X36

【點睛】本題考查公式法解一元二次方程，熟練掌握公式法解一元二次方程的解法步驟是解答的關(guān)鍵.

【變式4-2](23-24九年級上?全國?課后作業(yè))已知》="三⑵-4c>0),則式子/+法+c的值是.

【答案】0

【分析】本題考查一元二次方程的求根公式，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的求根公式，本題屬于基

礎題型，根據(jù)一元二次方程的求根公式即可求出答案.

【詳解】解：由一元二次方程的求根公式可知：/+bx+C=0的其中一個解為X=3"：TC

故答案為：0.

【變式4-3】用公式法解方程：

(1)—3%=1—%2；

(2)2/-4x-3=0.

【答案】(1)/=言目,盯=手

(2)X1=^,X2=^

【分析】(1)先算出△=b2-4ac=13,再代入公式進行計算，即可得到答案；

(2)先算出A=b2-4ac=40,再代入公式進行計算，即可得到答案；

本題考查了公式法解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：:一3%=1—％2,

%2—3%—1=0,

.??△=力2_4ac=9—4x1x(-1)=13,

,_3±V13_3±V13

??X——，

2X12

?3+V133-V13

,?=-2-，%2=-2-；

(2)解：V2x2-4x-3=0,

.??△二爐一4ac=16—4X2X(-3)=40,

,_4±V4O_2±V10

??X——,

2X22

._2+V1O_2->/10

=~^—'X2=――

【題型5因式分解法解一元二次方程】

[例5](24-25八年級下?黑龍江哈爾濱?期中)若方程/—8%+12=0的兩個根恰好是等腰△4BC的兩條邊

長，則△ABC的周長為().

A.10B.14C.10或14D.8或10

【答案】B

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系定理，解此方程得到得%】=2,X2=6,然后根

據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到AABC的腰為6,底邊為2,再計算三角形的周長，進行分類討論是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：%2-8%+12=0,

解得X1=2,x2=6,

因為這個方程的兩個根恰好是等腰△4BC的兩條邊長，

①當△ABC的腰為6,底邊為2,則△力BC的周長為6+6+2=14；

②當AABC的腰為2,底邊為6時，不能構(gòu)成三角形.

綜上所述，該三角形的周長的14.

故選：B.

【變式5-1](24-25八年級下?浙江金華?期中)解方程

⑴久2-4%-5=0

(2)(%-4)2=10(%-4)

【答案】(1)乂1=5,x2——1,

(2)Xj=4,x2=14

【分析】本題考查的是一元二次方程的解法；掌握公式法與因式分解的方法解方程是關(guān)鍵.

(1)利用因式分解法解方程即可；

(2)分解因式為(X-4)[(x-4)-10]=0,再化為兩個一次方程，再解一次方程即可.

【詳解】(1)解：(x—5)(x+1)=0,

解得：%1=5,%2=-1；

(2)解:整理，得：(x-4)2-10(x-4)=0,

因式分解，得：(x—4)[(x—4)—10]=0,

即：刀-4=0或％-14=0,

解得：=4,x2—14.

【變式5-2](2025.廣東廣州.一模)根據(jù)如圖所示的程序計算函數(shù)y的值.若輸入x的值為4,則輸出y的值為

7.若輸出的y值為13,則輸入的x值為.

【答案】一3或7/7或一3

【分析】本題考查函數(shù)值、解一元二次方程，先根據(jù)已知求得6值，再由y=13分別解方程求得尤值即可.

【詳解】解：???輸入”的值為4,則輸出y的值為7,且4>3,

.?.2x4+6=7,解得。=一1,

若輸出的y值為13,

則當x>3時，由2x-1=13得x=7；

當％<3時，由/—%+1=13得/=-3,%2=4（舍去），

綜上，若輸出的y值為13,則輸入的x值為-3或7,

故答案為：-3或7.

【變式5-3］（2025?江蘇常州?一模）若a?-。2=20,ab=24,則2a-b的值是（）

A.±8