浙江省江山市中考數(shù)學(xué)真題分類（勾股定理）匯編必考點(diǎn)解析考試時(shí)間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計(jì)14分）1、觀察“趙爽弦圖”（如圖），若圖中四個(gè)全等的直角三角形的兩直角邊分別為a，b，，根據(jù)圖中圖形面積之間的關(guān)系及勾股定理，可直接得到等式（

）A． B．C． D．2、在△ABC中，，那么△ABC是（

）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形3、如圖，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則BD的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．44、如圖，在中，，兩直角邊，，現(xiàn)將AC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，則CD長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5、在中，，，，的對(duì)邊分別是a，b，c，若，，則的面積是（

）A． B． C． D．6、如圖，正方體盒子的棱長(zhǎng)為2，M為BC的中點(diǎn)，則一只螞蟻從A點(diǎn)沿盒子的表面爬行到M點(diǎn)的最短距離為（

）A． B．C． D．7、下面圖形能夠驗(yàn)證勾股定理的有（）個(gè)A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計(jì)16分）1、如圖，點(diǎn)在正方形的邊上，若，，那么正方形的面積為_．2、圖，在菱形ABCD中，，是銳角，于點(diǎn)E，M是AB的中點(diǎn)，連接MD，若，則的值為______．3、等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，則BC邊上的高是_______cm．4、把兩個(gè)同樣大小含角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，且另外三個(gè)銳角頂點(diǎn)在同一直線上．若，則____．5、我國(guó)古代九章算術(shù)中有數(shù)學(xué)發(fā)展史上著名的“葭生池中”問題：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問：葭長(zhǎng)幾何？（1丈＝10尺）．意思是：有一個(gè)長(zhǎng)方體池子，底面是邊長(zhǎng)為1丈的正方形，中間有蘆葦，把高出水面1尺的蘆葦拉向池邊（蘆葦沒有折斷），剛好貼在池邊上，問：蘆葦長(zhǎng)多少尺？答：蘆葦長(zhǎng)____________尺．6、如圖，臺(tái)風(fēng)過后，某希望小學(xué)的旗桿在離地某處斷裂，且旗桿頂部落在離旗桿底部8m處，已知旗桿原長(zhǎng)16m，你能求出旗桿在離底部________m位置斷裂．7、勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1，柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是________（結(jié)果用含m的式子表示）．8、如圖1，鄰邊長(zhǎng)為2和6的矩形分割成①，②，③，④四塊后，拼接成如圖2不重疊、無縫隙的正方形，則圖2中的值為___________，圖1中的長(zhǎng)為_______．三、解答題（7小題，每小題10分，共計(jì)70分）1、勾股定理的證明方法是多樣的，其中“面積法”是常用的方法．小麗發(fā)現(xiàn)：當(dāng)四個(gè)全等的直角三角形如圖擺放時(shí)，可以用“面積法”來證明勾股定理．請(qǐng)寫出勾股定理的內(nèi)容，并利用給定的圖形進(jìn)行證明．2、如圖，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中點(diǎn)，MD⊥AB于D，求證：.3、點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與它到點(diǎn)A(-8,2)的距離都等于13,求點(diǎn)P的坐標(biāo)。4、在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請(qǐng)你按照他們的解題思路完成解答過程．5、我方偵查員小王在距離東西向公路400米處偵查，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛．他趕緊拿出紅外線測(cè)距儀，測(cè)得汽車與他相距400米，10秒后，汽車與他相距500米，你能幫小王計(jì)算敵方汽車的速度嗎？6、如圖，在△ABC和△DEB中，AC∥BE，∠C＝90°，AB＝DE，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，．（1）求證：△ABC≌△DEB．（2）連結(jié)AE，若BC＝4，直接寫出AE的長(zhǎng)．7、如圖是三個(gè)全等的直角三角形紙片，且，按如圖的三種方法分別將其折疊，使折痕（圖中虛線）過其中的一個(gè)頂點(diǎn)，且使該頂點(diǎn)所在角的兩邊重合，記折疊后不重疊部分面積分別為．(1)若，求的值．(2)若，求①單個(gè)直角三角形紙片的面積是多少？②此時(shí)的值是多少？-參考答案-一、單選題1、C【解析】【分析】根據(jù)小正方形的面積等于大正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積可得問題的答案．【詳解】標(biāo)記如下：∵，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4＝a2﹣2ab+b2．故選：C．【考點(diǎn)】此題考查的是利用勾股定理的證明，可以完全平方公式進(jìn)行證明，掌握面積差得算式是解決此題關(guān)鍵．2、D【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的判定和勾股定理逆定理得出三角形的形狀即可．【詳解】∵a：b：c=1：1：，∴三角形ABC是等腰三角形．設(shè)三邊長(zhǎng)為a,a,∵，∴三角形ABC是直角三角形．綜上所述：△ABC是等腰直角三角形．故選D．【考點(diǎn)】本題考查了等腰三角形的判定和勾股定理逆定理．此題關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理解答．3、B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，利用翻折得到AE=AB=10，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到，列得，求出BD．【詳解】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴，由翻折得AE=AB=10，DE=BD，∴CE=AE-AC=10-8=2，在Rt△CED中，，∴，解得BD=，故選：B．【考點(diǎn)】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，翻折的性質(zhì)，熟記勾股定理的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．4、A【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求得AE，BE的長(zhǎng)，從而利用勾股定理可求得CD的長(zhǎng)．【詳解】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°，∴AB＝（cm），由折疊的性質(zhì)得：AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，∴BE＝10cm?6cm＝4cm，∠BED＝90°，設(shè)CD＝x，則BD＝BC?CD＝8?x，在Rt△DEB中，BE2＋DE2＝BD2，即42＋x2＝（8?x）2，解得：x＝3，∴CD＝3cm，故選：A．【考點(diǎn)】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；熟記折疊性質(zhì)并表示出Rt△DEB的三邊，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．5、A【解析】【分析】根據(jù)題意可知，的面積為，結(jié)合已知條件，根據(jù)完全平方公式變形求值即可．【詳解】解：中，，，，所對(duì)的邊分別為a，b，c，，∵，，∴，，故A正確．故選：A．【考點(diǎn)】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是將完全平方公式變形求出ab的值．6、B【解析】【分析】先利用展開圖確定最短路線，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，螞蟻沿路線AM爬行時(shí)距離最短；∵正方體盒子棱長(zhǎng)為2，M為BC的中點(diǎn)，∴，∴，故選：B．【考點(diǎn)】本題考查了螞蟻爬行的最短路徑為題，涉及到了正方形的性質(zhì)、正方體的展開圖、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與靈活應(yīng)用．7、A【解析】【分析】分別計(jì)算圖形的面積進(jìn)行證明即可．【詳解】解：A、由可得，故該項(xiàng)的圖形能夠驗(yàn)證勾股定理；B、由可得，故該項(xiàng)的圖形能夠驗(yàn)證勾股定理；C、由可得，故該項(xiàng)的圖形能夠驗(yàn)證勾股定理；D、由可得，故該項(xiàng)的圖形能夠驗(yàn)證勾股定理；故選：A．【考點(diǎn)】此題考查了圖形與勾股定理的推導(dǎo)，熟記勾股定理的計(jì)算公式及各種圖形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．二、填空題1、．【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)正方形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：由勾股定理得，，正方形的面積，故答案為．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2．2、【解析】【分析】延長(zhǎng)DM交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)首先證明，設(shè)，利用勾股定理構(gòu)建方程求出x即可解決問題．【詳解】延長(zhǎng)DM交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，四邊形ABCD是菱形，，，，，，≌，，，，設(shè)，，，，，，或舍棄，，故答案為．【考點(diǎn)】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題是解決本題的關(guān)鍵．3、8【解析】【詳解】如圖，AD是BC邊上的高線．∵AB=AC=10cm，BC=12cm，∴BD=CD=6cm，∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD===（8cm）．故答案為8．4、．【解析】【分析】如圖，先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出，，再利用勾股定理求出DF，即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，過點(diǎn)作于，在中，，，，兩個(gè)同樣大小的含角的三角尺，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，故答案為．【考點(diǎn)】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．5、13【解析】【分析】設(shè)水深OB=x尺，則蘆葦長(zhǎng)OA'=（x+1）尺，根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)水深OB=x尺，則蘆葦長(zhǎng)OA'=（x+1）尺，根據(jù)題意列方程得：x2+52=（x+1）2，解得：x=12∴OA'=13尺．故答案為：13．【考點(diǎn)】此題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解．6、6【解析】【分析】設(shè)，則,在中，利用勾股定理列方程，即可求解．【詳解】解：如圖，由題意知，，，設(shè)，則,在中，，即，解得，因此旗桿在離底部6m位置斷裂．故答案為：6．【考點(diǎn)】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．7、m2+1【解析】【分析】2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】∵2m為偶數(shù)，∴設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，解得a=m2-1，∴弦長(zhǎng)為m2+1，故答案為：m2+1．【考點(diǎn)】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．8、

【解析】【分析】由等積法解得正方形的邊長(zhǎng)，再利用勾股定理解得圖④的直角邊FH的長(zhǎng)，在圖2中，利用正弦的定義解得，接著利用勾股定理解得，據(jù)此解得的值，最后利用解答即可．【詳解】解：矩形的面積為：2×6=12正方形的邊長(zhǎng)如圖1，如圖2，設(shè)或（舍去）故答案為：，．【考點(diǎn)】本題考查正方形與矩形、圖形的拼接，涉及勾股定理、正弦、余弦等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．三、解答題1、見解析【解析】【分析】多邊形的面積可以等于邊長(zhǎng)為c的正方形面積加上兩個(gè)直角三角形的面積，也可以等于兩個(gè)直角梯形的面積和，由此得證．【詳解】解：若直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，則，如圖，這個(gè)多邊形的面積為整理得ab+c2=，故．【考點(diǎn)】此題考查了勾股定理的證明，正確掌握多邊形的面積的計(jì)算方法及勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．2、見解析【解析】【分析】連接AM得到三個(gè)直角三角形，運(yùn)用勾股定理分別表示出AD2、AM2、BM2進(jìn)行代換就可以最后得到所要證明的結(jié)果．【詳解】證明：連接MA，∵M(jìn)D⊥AB，∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2，∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，∴BM=MC．∴AD2=AC2+BD2【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理，三次運(yùn)用勾股定理進(jìn)行代換計(jì)算即可求出結(jié)果，另外準(zhǔn)確作出輔助線也是正確解出的重要因素．3、或.【解析】【分析】由P到y(tǒng)軸的距離為13，可得P點(diǎn)橫坐標(biāo)為13或-13，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式建立方程求解即可.【詳解】解：∵點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為13，∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為13或-13當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為13時(shí)，設(shè)P(13,a)由點(diǎn)P到點(diǎn)A(-8,2)的距離等于13得：整理得，無解，故此種情況不存在；當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為-13時(shí)，設(shè)P(-13,a)同理可得整理得，解得或∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.【考點(diǎn)】本題考查直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式與解一元二次方程，熟練掌握公式建立方程是解題的關(guān)鍵.4、84.【解析】【詳解】解：作AD⊥BC于D，如圖所示：設(shè)BD=x，則．

在Rt△ABD中，由勾股定理得：，在Rt△ACD中，由勾股定理得：，∴，

解之得：．

∴．

∴．5、速度為30米每秒【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)度，再根據(jù)速度等于路程除以時(shí)間即可求得敵方汽車的速度．【詳解】，，米每秒，答：敵方汽車的速度為30米每秒．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．6、（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行可得∠DBE＝90°，再由HL定理證明直角三角形全等即可；（2）構(gòu)造，利用矩形性質(zhì)和勾股定理即可求出AE長(zhǎng)．【詳解】（1）∵AC∥BE，∴∠C＋∠DBE＝180°．∴∠DBE＝180°－∠C＝180°－90°＝90°．∴△ABC和△DEB都是直角三角形．∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，，∴AC＝DB．

∵AB＝DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEB（HL）．（2）．過程如下：連接AE、過A點(diǎn)作AH⊥BE，∵∠C＝90°，∠DBE＝90°．∴，，∴AH=BC=4，，∴，在中，．【考點(diǎn)】本題主要考查了直角三角形全等的判定和勾股定理解三角形，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用用平行線間的距離處處相等得線段AH=BC，從而利用勾股定理求AE．7、(1)(2)①36；②【解析】【分析】（1）設(shè)DE=CE=x，則BE=4-x，依據(jù)S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到x的值，進(jìn)而得出S1的值．（2）①如圖1，依據(jù)S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到DE=x，進(jìn)而得出S1=x2；如圖2，依據(jù)S△ABN=AB×HN=AN×BC，即可得到EN=x，進(jìn)而得出S2=x2，再根據(jù)S1+S2=13，即可得到x2=6，進(jìn)而得出單個(gè)直角三角形紙片的面積．②如圖3，由折疊可得，AC=CF=3x，所以BF=BC-CF=4x-3x=x，則S3=S△CMF=S△ACM，所以S