2025年高中段自主招生科學(xué)素養(yǎng)模擬卷（數(shù)學(xué)部分）一、選擇題（共9小題，每小題6分，滿分54分）1．（6分）（2025?平?jīng)觯┠吵校ㄉ虉?chǎng)）失竊，大量的商品在夜間被罪犯用汽車運(yùn)走．三個(gè)嫌疑犯被警察局傳訊，警察局已經(jīng)掌握了以下事實(shí)：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案時(shí)總得有甲作從犯；（3）乙不會(huì)開(kāi)車．在此案中，能肯定的作案對(duì)象是（）A．嫌疑犯乙 B．嫌疑犯丙 C．嫌疑犯甲 D．嫌疑犯甲和丙2．（6分）（2025?茂名）如圖是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個(gè)小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長(zhǎng)度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）范圍是（）A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤133．（6分）（2025?長(zhǎng)沙校級(jí)自主招生）甲從一個(gè)魚(yú)攤上買了三條魚(yú)，平均每條a元，又從另一個(gè)魚(yú)攤上買了兩條魚(yú)，平均每條b元，后來(lái)他又以每條元的價(jià)格把魚(yú)全部賣給了乙，結(jié)果發(fā)現(xiàn)賠了錢，原因是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)=b D．與a和b的大小無(wú)關(guān)4．（6分）（2025?桃源縣校級(jí)自主招生）如圖，甲、乙兩動(dòng)點(diǎn)分別從正方形ABCD的頂點(diǎn)A、C同時(shí)沿正方形的邊開(kāi)始移動(dòng)，甲點(diǎn)依順時(shí)針?lè)较颦h(huán)行，乙點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较颦h(huán)行，若乙的速度是甲的速度的4倍，則它們第2000次相遇在邊（）A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．DA上5．（6分）（2025?寧夏）如圖，一根5m長(zhǎng)的繩子，一端拴在互相垂直的圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊A（羊只能在草地上活動(dòng)），那么小羊A在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域面積是（）A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm26．（6分）（2025?漳州自主招生）若關(guān)于x的不等式組有解，則函數(shù)y=（a﹣3）x2﹣x﹣圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．1或27．（6分）（2025?金昌）如圖是公園的路線圖，⊙O1，⊙O2，⊙O兩兩相切，點(diǎn)A，B，O分別是切點(diǎn)，甲乙二人騎自行車，同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以相同的速度，甲按照“圓”形線行駛，乙行駛“8字型”線路行駛．若不考慮其他因素，結(jié)果先回到出發(fā)點(diǎn)的人是（）A．甲 B．乙 C．甲乙同時(shí) D．無(wú)法判定8．（6分）（2025?淮安）一名考生步行前往考場(chǎng)，10分鐘走了總路程的，估計(jì)步行不能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，于是他改乘出租車趕往考場(chǎng)，他的行程與時(shí)間關(guān)系如圖所示（假定總路程為1），則他到達(dá)考場(chǎng)所花的時(shí)間比一直步行提前了（）A．20分鐘 B．22分鐘 C．24分鐘 D．26分鐘9．（6分）（2025?海南）自然數(shù)4，5，5，x，y從小到大排列后，其中位數(shù)為4，如果這組數(shù)據(jù)唯一的眾數(shù)是5，那么，所有滿足條件的x，y中，x+y的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題（共5小題，每小題8分，滿分40分）10．（8分）（2025?漳州自主招生）如圖，DE是△ABC的中位線，M是DE的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于N，那么S△DMN：S四邊形ANME=．11．（8分）（2025?福建校級(jí)自主招生）若關(guān)于x的分式方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，則實(shí)數(shù)a=．12．（8分）（2025?淮安）函數(shù)y=的圖象如圖所示，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果將直線y=﹣x+1沿y軸向上平移2個(gè)單位后，那么所得直線與函數(shù)y=的圖象的交點(diǎn)共有個(gè)．13．（8分）（2025?漳州自主招生）如圖所示，已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D、E、F分別是三邊AB、BC、AC上的點(diǎn)，則DE+EF+FD的最小值為．14．（8分）（2025?畢節(jié)地區(qū)）如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF是梯形的中位線，DH為梯形的高，則下列結(jié)論正確的有．（填序號(hào)之間不用符號(hào)，如①②）①四邊形EHCF為菱形；②∠BCD=60°；③S△BEH=S△CEH；④以AB為直徑的圓與CD相切于點(diǎn)F．三、解答題（共3小題，滿分42分）15．（12分）（2025?梅州）梅林中學(xué)租用兩輛小汽車（設(shè)速度相同）同時(shí)送1名帶隊(duì)老師及7名九年級(jí)的學(xué)生到縣城參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每輛限坐4人（不包括司機(jī)）．其中一輛小汽車在距離考場(chǎng)15km的地方出現(xiàn)故障，此時(shí)離截止進(jìn)考場(chǎng)的時(shí)刻還有42分鐘，這時(shí)唯一可利用的交通工具是另一輛小汽車，且這輛車的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下車時(shí)間忽略不計(jì)）．（1）若小汽車送4人到達(dá)考場(chǎng)，然后再回到出故障處接其他人，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明他們能否在截止進(jìn)考場(chǎng)的時(shí)刻前到達(dá)考場(chǎng)；（2）假如你是帶隊(duì)的老師，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種運(yùn)送方案，使他們能在截止進(jìn)考場(chǎng)的時(shí)刻前到達(dá)考場(chǎng)，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明方案的可行性．17．（14分）（2025?常德）把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q．（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證△APD∽△CDQ．此時(shí)，AP?CQ=；（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α＜90°，問(wèn)AP?CQ的值是否改變？說(shuō)明你的理由；（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（圖2，圖3供解題用）18．（16分）（2025?威海）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），二次函數(shù)y=﹣x2的圖象記為拋物線l1．（1）平移拋物線l1，使平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)A，但不過(guò)點(diǎn)B，①滿足此條件的函數(shù)表達(dá)式有個(gè)；②寫出向下平移且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的表達(dá)式；（2）平移拋物線l1，使平移后的拋物線過(guò)A，B兩點(diǎn)，記為拋物線l2，如圖2，求拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式及定點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求△ABC的面積；（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使S△ABP=S△ABC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2025年高中段自主招生科學(xué)素養(yǎng)模擬卷（數(shù)學(xué)部分）參考答案與試題解析一、選擇題（共9小題，每小題6分，滿分54分）1．（6分）（2025?平?jīng)觯┠吵校ㄉ虉?chǎng)）失竊，大量的商品在夜間被罪犯用汽車運(yùn)走．三個(gè)嫌疑犯被警察局傳訊，警察局已經(jīng)掌握了以下事實(shí)：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案時(shí)總得有甲作從犯；（3）乙不會(huì)開(kāi)車．在此案中，能肯定的作案對(duì)象是（）A．嫌疑犯乙 B．嫌疑犯丙 C．嫌疑犯甲 D．嫌疑犯甲和丙【解答】解：由于“大量的商品在夜間被罪犯用汽車運(yùn)走”，根據(jù)條件（3）可知：乙肯定不是主犯；根據(jù)（1）可知：嫌疑犯必在甲和丙之間；由（2）知：若丙作案，則甲必作案；由于沒(méi)有直接證明丙作案的證據(jù)，因此根據(jù)（1）（2）可以確定的是甲一定是嫌疑犯．故選：C．2．（6分）（2025?茂名）如圖是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個(gè)小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長(zhǎng)度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）范圍是（）A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13【解答】解：a的最小長(zhǎng)度顯然是圓柱的高12，最大長(zhǎng)度根據(jù)勾股定理，得：=13．即a的取值范圍是12≤a≤13．故選：A．3．（6分）（2025?長(zhǎng)沙校級(jí)自主招生）甲從一個(gè)魚(yú)攤上買了三條魚(yú)，平均每條a元，又從另一個(gè)魚(yú)攤上買了兩條魚(yú)，平均每條b元，后來(lái)他又以每條元的價(jià)格把魚(yú)全部賣給了乙，結(jié)果發(fā)現(xiàn)賠了錢，原因是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)=b D．與a和b的大小無(wú)關(guān)【解答】解：利潤(rùn)=總售價(jià)﹣總成本=×5﹣（3a+2b）=0.5b﹣0.5a，賠錢了說(shuō)明利潤(rùn)＜0∴0.5b﹣0.5a＜0，∴a＞b．故選A．4．（6分）（2025?桃源縣校級(jí)自主招生）如圖，甲、乙兩動(dòng)點(diǎn)分別從正方形ABCD的頂點(diǎn)A、C同時(shí)沿正方形的邊開(kāi)始移動(dòng)，甲點(diǎn)依順時(shí)針?lè)较颦h(huán)行，乙點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较颦h(huán)行，若乙的速度是甲的速度的4倍，則它們第2000次相遇在邊（）A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．DA上【解答】解：根據(jù)題意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周長(zhǎng)的×=；從第2次相遇起，每次甲走了正方形周長(zhǎng)的，從第2次相遇起，5次一個(gè)循環(huán)．因此可得：從第2次相遇起，每次相遇的位置依次是：DC，點(diǎn)C，CB，BA，AD；依次循環(huán)．故它們第2000次相遇位置與第五次相同，在邊AB上．故選A．5．（6分）（2025?寧夏）如圖，一根5m長(zhǎng)的繩子，一端拴在互相垂直的圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊A（羊只能在草地上活動(dòng)），那么小羊A在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域面積是（）A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2【解答】解：大扇形的圓心角是90度，半徑是5，所以面積==m2；小扇形的圓心角是180°﹣120°=60°，半徑是1m，則面積==（m2），則小羊A在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域面積=+=（m2）．故選D．6．（6分）（2025?漳州自主招生）若關(guān)于x的不等式組有解，則函數(shù)y=（a﹣3）x2﹣x﹣圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【解答】解：∵關(guān)于x的不等式組有解，∴3a﹣2＞a+2，即a＞2，令y=0，（a﹣3）x2﹣x﹣=0，△=（﹣1）2﹣4×（a﹣3）×（﹣）=a﹣2，∵a＞2，∴a﹣2＞0，∴函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)變?yōu)橐淮魏瘮?shù)，故有一個(gè)交點(diǎn)，故選D．7．（6分）（2025?金昌）如圖是公園的路線圖，⊙O1，⊙O2，⊙O兩兩相切，點(diǎn)A，B，O分別是切點(diǎn)，甲乙二人騎自行車，同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以相同的速度，甲按照“圓”形線行駛，乙行駛“8字型”線路行駛．若不考慮其他因素，結(jié)果先回到出發(fā)點(diǎn)的人是（）A．甲 B．乙 C．甲乙同時(shí) D．無(wú)法判定【解答】解：設(shè)⊙O1的半徑是r，則⊙O2的半徑是r，⊙O的半徑是2r．則延“8字型”線路行駛時(shí)：路線長(zhǎng)是4πr．同樣按“圓”形線行駛的路線長(zhǎng)4πr．因而兩人同時(shí)到達(dá)．故選C．8．（6分）（2025?淮安）一名考生步行前往考場(chǎng)，10分鐘走了總路程的，估計(jì)步行不能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，于是他改乘出租車趕往考場(chǎng)，他的行程與時(shí)間關(guān)系如圖所示（假定總路程為1），則他到達(dá)考場(chǎng)所花的時(shí)間比一直步行提前了（）A．20分鐘 B．22分鐘 C．24分鐘 D．26分鐘【解答】解：他改乘出租車趕往考場(chǎng)的速度是÷2=，所以到考場(chǎng)的時(shí)間是10+÷=16分鐘，∵10分鐘走了總路程的，∴步行的速度=÷10=，∴步行到達(dá)考場(chǎng)的時(shí)間是1÷=40，則他到達(dá)考場(chǎng)所花的時(shí)間比一直步行提前了40﹣16=24分鐘．故選C．9．（6分）（2025?海南）自然數(shù)4，5，5，x，y從小到大排列后，其中位數(shù)為4，如果這組數(shù)據(jù)唯一的眾數(shù)是5，那么，所有滿足條件的x，y中，x+y的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：唯一的眾數(shù)是5，中位數(shù)為4，故x，y不相等且x＜4，y＜4．x、y的取值為0，1，2，3，則x+y的最大值為2+3=5．故選C．二、填空題（共5小題，每小題8分，滿分40分）10．（8分）（2025?漳州自主招生）如圖，DE是△ABC的中位線，M是DE的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于N，那么S△DMN：S四邊形ANME=1：5．【解答】解：DE是中位線，M是DE中點(diǎn)，∴DM：BC=1：4，∴DN：DB=1：3，AN：DN=1：2，∴S△NDM：S△ANM=1：2．∴S△ADM=S△AME，∴S△NDM：S四邊形ANME=1：5．11．（8分）（2025?福建校級(jí)自主招生）若關(guān)于x的分式方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，則實(shí)數(shù)a=1．【解答】解：原方程化為整式方程得：1﹣x﹣3=a，整理得x=﹣2﹣a，因?yàn)闊o(wú)解，所以x+3=0，即x=﹣3，所以a=﹣2+3=1．12．（8分）（2025?淮安）函數(shù)y=的圖象如圖所示，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果將直線y=﹣x+1沿y軸向上平移2個(gè)單位后，那么所得直線與函數(shù)y=的圖象的交點(diǎn)共有2個(gè)．【解答】解：y=﹣x+1的k=﹣1，b=1，向上平移2個(gè)單位后，新直線的k=﹣1，b=1+2=3．∴新直線的解析式為：y=﹣x+3．有交點(diǎn)，則，解得或．那么所得直線與函數(shù)y=的圖象的交點(diǎn)共有2個(gè)．故答案為：2．13．（8分）（2025?漳州自主招生）如圖所示，已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D、E、F分別是三邊AB、BC、AC上的點(diǎn)，則DE+EF+FD的最小值為．【解答】解：如圖，由勾股定理知，AC=5，作出△ABC關(guān)于AB對(duì)稱的△ABG，△ABC關(guān)于AC對(duì)稱的△ACH，則點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為S，關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為W，當(dāng)S，D，F(xiàn)，W在同一直線上，且點(diǎn)S與點(diǎn)E重合在點(diǎn)B，點(diǎn)W在點(diǎn)H時(shí)，DE+EF+FD有最小值，根據(jù)三角形的面積公式可求得AC邊上的高為，故DE+EF+FD的最小值=2×=．14．（8分）（2025?畢節(jié)地區(qū)）如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF是梯形的中位線，DH為梯形的高，則下列結(jié)論正確的有①②③．（填序號(hào)之間不用符號(hào)，如①②）①四邊形EHCF為菱形；②∠BCD=60°；③S△BEH=S△CEH；④以AB為直徑的圓與CD相切于點(diǎn)F．【解答】解：①正確∵EF=2，BH=AD=1∴CH=2∴即四邊形EFCH是平行四邊形∵CF=2=EF∴四邊形EHCF為菱形；②正確，在直角三角形CDH中，CH=2，CD=4，則∠CDH=30°，∴∠BCD=60°；③正確，因?yàn)锽H=CH，所以S△BEH=S△CEH；④不正確，根據(jù)以上的證明只能得出以AB為直徑的圓與CD相切于點(diǎn)G，而不切于點(diǎn)F，因?yàn)镋F=2，而圓的半徑為根號(hào)3，所以以AB為直徑的圓不可能與點(diǎn)F相切．④不正確，∵以AB為直徑的圓∴圓心是E，半徑是AB的一半作EG⊥CD于G∴∠ECG=30°∴CE=2EG∵在直角三角形BCE中，∠BCE=30°∴CE=2BE=AB∴AB=2EG∴以AB為直徑的圓與CD相切于點(diǎn)F；故答案為：①②③．三、解答題（共3小題，滿分42分）15．（12分）（2025?梅州）梅林中學(xué)租用兩輛小汽車（設(shè)速度相同）同時(shí)送1名帶隊(duì)老師及7名九年級(jí)的學(xué)生到縣城參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每輛限坐4人（不包括司機(jī)）．其中一輛小汽車在距離考場(chǎng)15km的地方出現(xiàn)故障，此時(shí)離截止進(jìn)考場(chǎng)的時(shí)刻還有42分鐘，這時(shí)唯一可利用的交通工具是另一輛小汽車，且這輛車的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下車時(shí)間忽略不計(jì)）．（1）若小汽車送4人到達(dá)考場(chǎng)，然后再回到出故障處接其他人，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明他們能否在截止進(jìn)考場(chǎng)的時(shí)刻前到達(dá)考場(chǎng)；（2）假如你是帶隊(duì)的老師，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種運(yùn)送方案，使他們能在截止進(jìn)考場(chǎng)的時(shí)刻前到達(dá)考場(chǎng)，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明方案的可行性．【解答】解：（1）（分鐘），∵45＞42，∴不能在限定時(shí)間內(nèi)到達(dá)考場(chǎng)．（2）方案1：先將4人用車送到考場(chǎng)，另外4人同時(shí)步行前往考場(chǎng)，汽車到考場(chǎng)后返回到與另外4人的相遇處再載他們到考場(chǎng)．先將4人用車送到考場(chǎng)所需時(shí)間為（分鐘）．0.25小時(shí)另外4人步行了1.25km，此時(shí)他們與考場(chǎng)的距離為15﹣1.25=13.75（km），設(shè)汽車返回t（h）后先步行的4人相遇，5t+60t=13.75，解得．汽車由相遇點(diǎn)再去考場(chǎng)所需時(shí)間也是．所以用這一方案送這8人到考場(chǎng)共需．所以這8個(gè)人能在截止進(jìn)考場(chǎng)的時(shí)刻前趕到．方案2，8人同時(shí)出發(fā)，4人步行，先將4人用車送到離出發(fā)點(diǎn)xkm的A處，然后這4個(gè)人步行前往考場(chǎng)，車回去接應(yīng)后面的4人，使他們跟前面4人同時(shí)到達(dá)考場(chǎng)，由A處步行前考場(chǎng)需，汽車從出發(fā)點(diǎn)到A處需先步行的4人走了，設(shè)汽車返回t（h）后與先步行的4人相遇，則有，解得，所以相遇點(diǎn)與考場(chǎng)的距離為：．由相遇點(diǎn)坐車到考場(chǎng)需：．所以先步行的4人到考場(chǎng)的總時(shí)間為：，先坐車的4人到考場(chǎng)的總時(shí)間為：，他們同時(shí)到達(dá)則有：，解得x=13．將x=13代入上式，可得他們趕到考場(chǎng)所需時(shí)間為：（分鐘）．∵37＜42，∴他們能在截止進(jìn)考場(chǎng)的時(shí)刻前到達(dá)考場(chǎng)．17．（14分）（2025?常德）把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q．（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證△APD∽△CDQ．此時(shí)，AP?CQ=8；（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α＜90°，問(wèn)AP?CQ的值是否改變？說(shuō)明你的理由；（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（圖2，圖3供解題用）【解答】解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，∴△APD∽△CDQ．∴AP：CD=AD：CQ．∴即AP×CQ=AD×CD，∵AB=BC=4，∴斜邊中點(diǎn)為O，∴AP=PD=2，∴AP×CQ=2×4=8；故答案為：8．（2）AP?CQ的值不會(huì)改變．理由如下：∵在△APD與△CDQ中，∠A=∠C=45°，∠APD=180°﹣45°﹣（45°+α）=90°﹣α，∠CDQ=90°﹣α，∴∠APD=∠CDQ．∴△APD∽△CDQ．∴．∴AP?CQ=AD?CD=AD2=（AC）2=8．（3）情形1：當(dāng)0°＜α＜45°時(shí)，2＜CQ＜4，即2＜x＜4，此時(shí)兩三角板重疊部分為四邊形DPBQ，過(guò)D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，∴DG=DN=2由（2）知：AP?CQ=8得AP=于是y=AB?BC﹣CQ?DN﹣AP?DG=8﹣x﹣（2＜x＜4）情形2：當(dāng)45°≤α＜90°時(shí)，0＜CQ≤2時(shí)，即0＜x≤2，此時(shí)兩三角板重疊部分為△DMQ，由于AP=，PB=﹣4，易證：△PBM∽△DNM，∴即解得．∴MQ=4﹣BM﹣CQ=4﹣x﹣．于是y=MQ?DN=4﹣x﹣（0＜x≤2）．綜上所述，當(dāng)2＜x＜4時(shí)，y=8﹣x﹣．當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=4﹣x﹣（或y=）．18．（16分）（2025?威海）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），二次函數(shù)y=﹣x2的圖象記為拋物線l1．（1）平移拋物線l1，使平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)A，但不過(guò)點(diǎn)B，①滿足此條件的函數(shù)表達(dá)式有個(gè)；②寫出向下平移且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的表達(dá)式；（2）平移拋物線l1，使平移