第27章圓（章節(jié)復習）（重點練）一、單選題1．下列說法正確的個數是（）①直徑是圓的對稱軸；②半徑相等的兩個半圓是等??；③長度相等的兩條弧是等??；④和圓有一個公共點的直線是圓的切線．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據對稱軸的定義對①進行判斷；根據等弧的定義對②③進行判斷；根據切線的定義對④進行判斷．【詳解】解：直徑所在的直線是圓的對稱軸，所以①錯誤；半徑相等的兩個半圓是等弧，所以②正確；能完全重合的兩條弧是等弧，所以③錯誤；和圓有唯一公共點的直線是圓的切線，所以④錯誤．故選A．【點睛】本題考查了圓的認識：掌握與圓有關的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了切線的定義．2．如圖，BD是⊙O的直徑，圓周角∠A=30，則∠CBD的度數是（）A．30 B．45 C．60 D．80【答案】C【分析】由BD為⊙O的直徑，可證∠BCD=90°，又由圓周角定理知，∠D=∠A=30°，即可求∠CBD．【詳解】解：如圖，連接CD，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BCD=90°，∴∠D=∠A=30°，∴∠CBD=90°-∠D=60°．故選C．【點睛】本題利用了直徑所對的圓周角是直角和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．3．如圖，圖中共有圓周角（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】C【分析】根據圓周角的定義判斷即可.【詳解】圖中的圓周角有：∠FAE，∠AEF，∠AFE，∠AED，∠FED共5個故選C【點睛】本題考查的是找圓周角，熟練掌握圓周角的定義是關鍵.4．在平面直角坐標系xOy中，點O（0，0），A（2，0），B（0，2），C（﹣2，0）．將△OAB繞點O順時針旋轉α（0°＜α＜360°）得到△OA′B′（（其中點A旋轉到點A′的位置），設直線AA′與直線BB′相交于點P，則線段CP長的最小值是（）A．2 B．2 C．2 D．2【答案】B【分析】判斷P點的運動軌跡，將CP的最小值轉化為C點到圓心的距離減去半徑.【詳解】∵△OAB是直角三角形，點P在以AB為直徑的圓上運動，∵A（2，0），B（0，），∴AB＝4，AB的中點為（1，），∵C（﹣2，0），∴CP的最小值為﹣2；故選B．【點睛】本題考查動點的軌跡，線段的最值；能夠根據運動情況判斷點的運動軌跡是圓是解題的關鍵．5．如圖，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝35°，則∠OBA的度數是（）A．35 B．30° C．25° D．20°【答案】D【分析】根據垂徑定理，可得，∠OEB＝90°，根據圓周角定理，可得∠3，根據直角三角形的性質，可得答案．【詳解】解：連接AO，如圖：由OC⊥AB，得，∠OEB＝90°．∴∠2＝∠3．∵∠2＝2∠1＝2×35°＝70°．∴∠3＝70°，在Rt△OBE中，∠OEB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠3＝90°﹣70°＝20°，故選D．【點睛】本題考查了圓周角定理，利用垂徑定理得出，∠OEB＝90°是解題關鍵，又利用了圓周角定理．6．如圖，的直徑為10，弦，是上一個動點，則的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】首先明確OP最短時，應該是OP⊥AB時，然后根據垂徑定理即可求出．【詳解】解：OP最短時，應該是OP⊥AB時，此時AP=BP=4，

所以．

故選B．【點睛】此題考查垂徑定理，涉及圓中求半徑的問題，此類在圓中涉及弦長、半徑、圓心角的計算的問題，常把半弦長，半圓心角，圓心到弦距離轉換到同一直角三角形中，然后通過直角三角形予以求解，常見輔助線是過圓心作弦的垂線．7．已知⊙O的面積為，若點0到直線的距離為，則直線與⊙O的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【答案】C【分析】求出圓的半徑，然后利用半徑和比較大小即可判斷位置關系．【詳解】∵設⊙O半徑為r，則∴r=2∵∴直線和圓相離，故選C．【點睛】本題考查了直線與圓的關系，解題的關鍵是能熟練根據數量之間的關系判斷直線和圓的位置關系．若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．8．下列圖形中，的是()A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知條件可知A是兩個直角，B是兩個對頂角，C是三角形的一個內角和外角，D是同圓中同弧對應的兩個角.【詳解】解：由已知條件，A中∠1=∠2=90°；B中∠1=∠2（互為對頂角）；C中應用三角形定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和,故∠1＜∠2；D中應用定理：同圓中等弧對應的圓周角相等，故∠1=∠2；故選C.【點睛】本題考查了三角形的基本定理，靈活運用定理是解題的關鍵.9．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦．若BD＝2，CD＝6，則BC的長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連AD，過點D作直徑DE，與AC交于點F，連結CE，由條件知DE⊥AC，CD⊥CE，BD＝CE，可求得DE長和CF長，則AC、BC可求．【詳解】解：連AD，過點D作直徑DE，與AC交于點F，連結CE，∴DE⊥AC，CD⊥CE，∵，∴AD＝CD，∴，，∴BD＝CE＝2，∴，∵∠ECA＝∠CDE，∠ECD＝∠CFD＝90°，∴△ECF∽△EDC，∴，∴，∴，∴，∴．故選B．【點睛】本題考查了圓心角，弧，弦的關系，勾股定理，相似三角形的性質，等腰三角形的性質，解題的關鍵是正確的作出輔助線．10．如圖，已知直線y＝，與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動點，連結PA、PB，則△PAB面積的最小值是（）A．6 B．5.5 C．5 D．4.5【答案】B【分析】過C作CM⊥AB于M，連接AC，MC的延長線交⊙C于N，則由三角形面積公式得，×AB×CM＝×OA×BC，可知圓C上點到直線y＝x﹣3的最短距離是﹣1＝，由此求得答案．【詳解】過C作CM⊥AB于M，連接AC，MC的延長線交⊙C于N，則由三角形面積公式得，×AB×CM＝×OA×BC，∴5×CM＝16，∴CM＝，∴圓C上點到直線y＝x﹣3的最小距離是﹣1＝，∴△PAB面積的最小值是×5×＝，故選B．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，三角形的面積，點到直線的距離公式的應用，解此題的關鍵是求出圓上的點到直線AB的最小距離．11．如圖，⊙O與直線l1相離，圓心O到直線l1的距離OB＝2，OA＝4，將直線l1繞點A逆時針旋轉30°后得到的直線l2剛好與⊙O相切于點C，則OC＝()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先利用三角函數計算出∠OAB＝60°，再根據旋轉的性質得∠CAB＝30°，根據切線的性質得OC⊥AC，從而得到∠OAC＝30°，然后根據含30度的直角三角形三邊的關系可得到OC的長．【詳解】解：在Rt△ABO中，sin∠OAB＝＝＝，∴∠OAB＝60°，∵直線l1繞點A逆時針旋轉30°后得到的直線l2剛好與⊙O相切于點C，∴∠CAB＝30°，OC⊥AC，∴∠OAC＝60°﹣30°＝30°，在Rt△OAC中，OC＝OA＝2．故選B．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了旋轉的性質．12．如圖，⊙C過原點，且與兩坐標軸分別交于點A，點B，點A的坐標為（0，3），M是第三象限內⊙C上一點，∠BMO=120°，則⊙C的半徑為（）A．6 B．5 C．3 D．【答案】C【詳解】∵∠AOB=90°，∴AB是直徑，∴∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°﹣120°=60°，∴∠BAO=60°，∵點A的坐標為（0，3），∴AO=3，∴cos∠BAO=，∴AB==6，∴⊙C的半徑為3，故選：C．13．下列說法正確的是（）A．弦是直徑 B．平分弦的直徑垂直弦C．優(yōu)弧一定大于劣弧 D．等弧所對的圓心角相等【答案】D【分析】根據圓的有關概念進行逐項辨析即可得解.【詳解】A、直徑是弦，但弦不一定是直徑，選項錯誤；B、平分弦的直徑垂直弦，被平分的弦不是直徑，故選項錯誤；C、同圓或等圓中，優(yōu)弧一定大于劣弧，錯誤；D、等弧所對的圓心角相等，正確．故選D．【點睛】此題主要考查了圓的有關概念，熟練掌握相關概念是解決此題的關鍵.14．如圖是一個圓弧形門拱，拱高，跨度，那么這個門拱的半徑為（）A．2m B．2.5m C．3m D．5m【答案】B【分析】設這個門拱的半徑為r，則OB=r-1，根據垂徑定理求出BC的長，再根據勾股定理求出r的值即可．【詳解】設這個門拱的半徑為r，則OB=r?1，∵CD=4m，AB⊥CD，∴BC=CD=2m，在Rt△BOC中，∵BC+OB=OC,即2+(r?1)=r，解得r=2.5m.故選B.【點睛】此題考查垂徑定理的應用，勾股定理，解題關鍵在于求出BC的長.15．已知⊙O的半徑為10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,則弦MN和EF之間的距離為()cm.A．14或2 B．14 C．2 D．6【答案】A【分析】分兩種情況進行討論：①弦MN和EF在圓心同側；②弦MN和EF在圓心異側；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當弦MN和EF在圓心同側時，如圖1，∵MN=12cm，EF=16cm，∴CE=8cm，CF=6cm，∵OE=OM=10cm，∴CO=6cm，OD=8cm，∴EF=OF-OE=2cm；②當弦MN和EF在圓心異側時，如圖2，∵MN=12cm，EF=16cm，∴CE=8cm，CF=6cm，∵OE=OM=10cm，∴CO=6cm，OD=8cm，∴EF=OF+OE=14cm；故選擇：A.【點睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解此類題目要注意將圓的問題轉化成三角形的問題再進行計算．16．如圖，已知，，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據等邊對等角求出∠DBA的度數，利用外角求出∠BAC的度數，再利用同弧所對的圓心角與圓周角的關系求解即可.【詳解】∵，∴∠ABD=∴∠BAC=∠ADB+∠ABD=70°∴∠BOC=2∠BAC=140°故選C【點睛】本題考查的是圓周角定理，掌握“同一條弧所對的圓周角是圓心角的一半”是關鍵.二、填空題17．如圖，AB是⊙O的直徑,C,D是圓上的兩點,若∠ABD=40°,則∠BCD=______【答案】50°【分析】連接AD，由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，即可求得∠ADB的度數，繼而求得∠A的度數，又由圓周角定理，即可求得答案．【詳解】解，如圖，連接AD，則∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=40°，∴∠A=90°-∠ABD=50°；∴∠BCD=∠A=50°．故答案為50°．【點睛】此題考查了圓周角定理以及直角三角形的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．18．已知⊙O的半徑為10，弦AB的長為10，則弦AB所對的圓周角的度數是______.【答案】或.【分析】由⊙O的半徑為10,弦AB的長為10,可知弦AB的長恰好等于⊙O的半徑,則△OAB是等邊三角形,則，而弦AB所對的弧有兩段，一段是優(yōu)弧，一段是劣弧，因此本題要分類討論.【詳解】情形一，如圖1所示，連接OA、OB，在⊙上任取一點，連接CA，CB，∵AB=OA=OB=10,∴，∴即弦AB所對的圓周角等于；情形二，如圖2所示，連接OA，OB，在劣弧上任取一點D，連接AD、OD、BD,則,∴∵AB的長等于⊙O的半徑，∴△AOB為等邊三角形,∴,即弦AB所對的圓周角為故答案為或.【點睛】此題考查圓周角定理，垂徑定理，解題關鍵在于掌握運算法則以及分情況討論.19．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠BAC＝46°，點P在線段OB上運動．設∠ACP＝x°，則x的最小值為_________，最大值為________．【答案】【分析】當點P與點B重合時，，x取最大值，當點P與點O重合時，，x取最小值.【詳解】解：當點P與點B重合時，x取最大值，因為AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，所以；當點P與點O重合時，x取最小值，因為，所以.故答案為.【點睛】本題考查了圓的性質，靈活應用直徑所對圓周角的性質及圓的半徑都相等是解題的關鍵.20．如圖，M，N是正方形ABCD的邊BC上兩個動點，滿足BM＝CN，連結AC交DN于點P，連結AM交BP于點Q，若正方形的邊長為1，則線段CQ的最小值是_____．【答案】【分析】首先證明點Q在以AB為直徑的圓上運動，連接OC與O交于點Q′，此時CQ′最小，根據勾股定理即可計算．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°在△ABM和△DCN中，，∴△ABM≌△DCN，∴∠BAM＝∠CDN，在△CPB和△CPD中，，∴△CPD≌△CPB，∴∠CDP＝∠CBP＝∠BAM，∵∠CBP+∠ABP＝90°，∴∠BAM+∠ABP＝90°，∴∠AQB＝90°，∴點Q在以AB為直徑的圓上運動，設圓心為O，連接OC交⊙O于點Q′，此時CQ′最小，∴CQ′＝OC﹣OQ′＝．故答案為．【點睛】本題考查正方形的性質、圓、勾股定理等知識，解題的關鍵是證明點Q在以AB為直徑的圓上運動，找到點Q的位置，題目比較難，屬于中考填空題中的壓軸題．.21．如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點E,且AE=CD=8,∠BAC=∠BOD,則⊙O的半徑為___.【答案】5【分析】先根據∠BAC=∠BOD可得出弧BC=弧BD，故可得出AB⊥CD，由垂徑定理即可求出DE的長，再根據勾股定理即可得出結論．【詳解】∵∠BAC=∠BOD，∴弧BC=弧BD，∴AB⊥CD，∵AE=CD=8，∴DE=CD=4，設OD=r，則OE=AE?r=8?r，在Rt△ODE中，OD=r，DE=4，OE=8?r，∵OD=DE+OE,即r=4+(8?r)，解得r=5.故答案為5.【點睛】此題考查垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，解題關鍵在于得出AB⊥CD.22．在中，弦BC垂直于半徑OA，垂足為E，D是優(yōu)弧BC上一點，連接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．若弦BC＝6cm，則圖中陰影部分的面積為____.【答案】【分析】先根據勾股定理得出OE的長，再連接OB，求出∠BOC的度數，再根據計算即可.【詳解】∵BC=6，

∴，在中，，

∴，

∵，

∴∠BOC=2∠AOC=120°，

∴（cm2）．故答案為【點睛】本題考查的是垂徑定理，涉及到圓周角定理及扇形面積的計算，勾股定理，熟知以上知識是解答此題的關鍵．23．的半徑是3cm，P是內一點，，則點P到上各點的最小距離是_____cm，最大距離是_____cm.【答案】24【分析】先由PO=1cm＜⊙O的半徑為3cm，得出點P在⊙O內，進而得到點P到⊙O上各點的最小距離為2cm．【詳解】解：∵⊙O的半徑為3cm，平面上有一點P，PO=1cm，

∴點P在⊙O內，

∴點P到⊙O上各點的最小距離為3-1=2（cm），點P到⊙O上各點的最大距離為3+1=4（cm）．

故（1）答案：2．（2）答案：4【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：

①點P在圓外?d＞r；

②點P在圓上?d=r；

③點P在圓內?d＜r．24．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，E為DC延長線上一點，∠A=70°，則∠BCE的度數為_____________【答案】70°【分析】根據已知條件作輔助線，連接BO,DO，已知∠A=70°根據圓心角是對應圓周角的兩倍求出110°,即可求得∠BCE的度數.【詳解】作輔助線連接BO,DO∵圓心角是對應圓周角的兩倍，故答案為70°.【點睛】此題考查圓心角與圓周角之間的關系，解題在于熟練掌握圓周角與對應圓心角之間的關系換算.三、解答題25．如圖，為上一點，按以下步驟作圖：①連接；②以點為圓心，長為半徑作弧，交于點；③在射線上截取；④連接．直線與的位置關系是什么?請說明理由．【答案】直線與相切，理由見解析【分析】如圖，連接AB．證明△AOB是等邊三角形，然后推出.【詳解】解：直線與相切連接，如圖，由作法得，為等邊三角形，，，，，，，∴直線與相切．【點睛】本題考查作圖-基本作圖，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．26．如圖，在⊙O中，是的中點，∠ACB=∠AOB．求證：四邊形是菱形．【分析】如圖，連接．欲證明四邊形是菱形，只需推知即可．【詳解】證明：如圖，連接．是的中點，，，在和中，，．，．又．．，四邊形是菱形．【點睛】此題考查了圓周角定理，菱形的判定，以及圓心角、弧、弦間的關系，難度不大．27．如圖，為的直徑，點在上，為弧的中點，過點作直線于，連接．（1）試判斷直線與的位置關系，并說明理由；（2）若，，求的長．【答案】（1）相切，證明見詳解；（2）3【分析】（1）連接，先證明，再得到，進而得到，問題得證；（2）證明，得到，即可求出AB．【詳解】證明：連接，為的中點，，，，，，，，直線與相切；（2）為直徑，，，，，，，．【點睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質，熟練掌握相關定理，添加適當輔助線是解題關鍵．28．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C是過點A的⊙O的切線上一點，連接OC，過點A作OC的垂線交OC于點D，交⊙O于點E，連接CE．（1）求證：CE與⊙O相切；（2）連結BD并延長交AC于點F，若OA=5，sin∠BAE=，求AF的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OE、BE，先證明OD∥BE，得到OC垂直平分AE，再證明△AOC≌△EOC，求出∠CEO=∠CAO=90°，即可得到結論；（2）作DM⊥AB于M，先利用三角函數求出BE得到AE，根據垂徑定理求出AD，根據三角函數求出DM，利用勾股定理求出AM得到BM，根據DM∥AF證明△DMB∽△FAB，列比例線段由此求出AF.【詳解】（1）連接OE、BE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∵AE⊥OC，∴∠ADO=∠AEB=90°，∴OD∥BE，∵OA=OB，∴AD=DE，∴OC垂直平分AE，∴AC=CE，∴△AOC≌△EOC，∴∠CEO=∠CAO=90°，即OE⊥CE，∴CE與⊙O相切；（2）作DM⊥AB于M，∵OA=5，∴AB=10，∵sin∠BAE=，∴,∴,∴，∴DM=，∴,∵OA=5，∴OM=1，∴BM=6，∵AC是⊙O的切線，∴∠CAB=∠DMB=90°，∴DM∥AF，∴△DMB∽△FAB，∴，∴，∴AF=.【點睛】此題考查圓的性質，切線的判定定理及性質定理，三角函數，勾股定理，全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質.29．如圖，已知⊙O的半徑為5，△ABC是⊙O的內接三角形，AB＝8，．過點B作⊙O的切線BD，過點A作AD⊥BD，垂足為D．（1）求證：∠BAD+∠C＝90°（2）求線段AD的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由弦切角等于同弧所對的圓周角得：∠C＝∠ABD，再根據直角三角形兩銳角互余得出結論；（2）作弦心距