圓中常用的作輔助線的八種方法專題第27章圓方法1作半徑，巧用同圓的半徑相等分類訓(xùn)練1.如圖，兩正方形彼此相鄰，且大正方形ABCD的頂點(diǎn)A，D在半圓O上，頂點(diǎn)B，C在半圓O的直徑上；小正方形BEFG的頂點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)E在半圓O的直徑上，點(diǎn)G在大正方形的邊AB上．若小正方形的邊長(zhǎng)為4cm，求該半圓的半徑．【點(diǎn)撥】在有關(guān)圓的計(jì)算題中，求角度或邊長(zhǎng)時(shí)，常連結(jié)半徑構(gòu)造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性質(zhì)來解決問題．方法2連結(jié)圓上兩點(diǎn)，巧用同弧所對(duì)的圓周角相等2.如圖，圓內(nèi)接三角形ABC的外角∠ACM的平分線與圓交于點(diǎn)D，DP⊥AC，垂足是點(diǎn)P，DH⊥BM，垂足為點(diǎn)H.求證：AP＝BH.【點(diǎn)撥】本題通過作輔助線構(gòu)造圓周角，然后利用“同弧所對(duì)的圓周角相等”得到∠DAC＝∠DBC，為證兩個(gè)三角形全等創(chuàng)造了條件．3.如圖，⊙O的半徑為R，弦AB，CD互相垂直，連結(jié)AD，BC．方法3作直徑，巧用直徑所對(duì)的圓周角是直角【點(diǎn)撥】本題作出直徑DE，連結(jié)AE，CE利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”構(gòu)造了兩個(gè)直角三角形，給解題帶來了方便．(1)求證：AD2＋BC2＝4R2；【證明】如圖，過點(diǎn)D作⊙O的直徑DE交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)AE，EC，AC.∵DE是⊙O的直徑，∴∠ECD＝∠EAD＝90°.(2)若弦AD，BC的長(zhǎng)是方程x2－6x＋5＝0的兩個(gè)根(AD>BC)，求⊙O的半徑及點(diǎn)O到AD的距離．【解】如圖，過點(diǎn)O作OF⊥AD于點(diǎn)F.方法4證切線時(shí)輔助線的應(yīng)用4.[2023·長(zhǎng)春五十二中月考]如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，F(xiàn)是弦AD的中點(diǎn)，連結(jié)OF并延長(zhǎng)OF交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)BE交AD于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)C，使得GC＝BC．(1)求證：BC是⊙O的切線．【證明】如圖，連結(jié)OD，

∵OA＝OD，F(xiàn)是弦AD的中點(diǎn)，∴OF⊥AD.∴∠EFG＝90°.∴∠E＋∠FGE＝90°.∵BC＝GC，∴∠BGC＝∠GBC.∵∠FGE＝∠BGC，∴∠GBC＝∠FGE.∵OE＝OB，∴∠ABE＝∠E.∴∠ABE＋∠GBC＝90°.∴∠ABC＝90°，即OB⊥BC.又∵OB為⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線．方法5遇弦作弦心距或半徑C6.如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求OP的長(zhǎng)度范圍．【解】如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，連結(jié)OB.7.如圖①，在⊙O中，弦CD垂直直徑AB于點(diǎn)E，已知AC＝6，DB＝4.方法6遇直徑巧作直徑所對(duì)的圓周角(1)求直徑AB的長(zhǎng)；(2)小慧說“若將題目條件中的‘直徑AB’改為‘弦AB’，其余條件均不變(如圖②)，⊙O的直徑仍不變”，你覺得小慧的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由．小慧的說法正確，理由如下：連結(jié)AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)CF，如圖②所示，8.[2023·新鄉(xiāng)十中期末]如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.方法7遇切線巧作過切點(diǎn)的半徑(1)求證：∠BDC＝∠A；【證明】如圖，連結(jié)OD.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∴∠A＋∠DBO＝90°.∵CD切⊙O于點(diǎn)D，∴∠CDO＝90°.∴∠BDC＋∠ODB＝90°.∵OD＝OB，∴∠DBO＝∠ODB.∴∠BDC＝∠A.(2)若CE＝8，AD＝12，求DE的長(zhǎng)．方法8巧添輔助線計(jì)算陰影部分的面積(1)求證：AC是⊙O的切線；【證明】如圖，連結(jié)CO，交DB于點(diǎn)E，∴∠O＝2∠CDB＝60°.又∵∠OBE＝30°，∴∠B