2025年考研數(shù)學(xué)一真題及答案

一、單項選擇題1.當\(x\to0\)時，下列無窮小量中，與\(x^2\)等價的是（）A.\(1-\cosx\)B.\(\ln(1+x^2)\)C.\(\sqrt{1+x^2}-1\)D.\(x-\sinx\)答案：B2.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且\(f(0)=0\)，\(f^\prime(0)=1\)，\(f^{\prime\prime}(0)=2\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)-x}{x^2}\)的值為（）A.0B.1C.2D.\(\frac{1}{2}\)答案：B3.已知向量組\(\alpha_1=(1,1,1)^T\)，\(\alpha_2=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_3=(1,3,t)^T\)，則當\(t=\)（）時，向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)。A.5B.4C.3D.2答案：A4.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(|A|=0\)，則（）A.\(A\)中必有兩行（列）元素對應(yīng)成比例B.\(A\)中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的線性組合C.\(A\)中必有一行（列）元素全為零D.\(A\)的秩\(r(A)\leqn-2\)答案：B5.設(shè)隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1,4)\)，已知\(\Phi(0.5)=0.6915\)，\(\Phi(1)=0.8413\)，則\(P\{-1\ltX\lt3\}\)等于（）A.0.6826B.0.3413C.0.9544D.0.8413答案：A6.設(shè)函數(shù)\(f(x,y)\)在點\((0,0)\)處可微，且\(f(0,0)=0\)，\(f_x^\prime(0,0)=3\)，\(f_y^\prime(0,0)=-1\)，則\(\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,3h)}{h}\)等于（）A.0B.1C.3D.6答案：D7.設(shè)冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-1)^n\)在\(x=3\)處條件收斂，則該冪級數(shù)的收斂半徑\(R\)為（）A.1B.2C.3D.4答案：B8.設(shè)\(L\)是從點\(A(1,0)\)沿曲線\(y=\sqrt{1-x^2}\)到點\(B(-1,0)\)的上半圓周，則曲線積分\(\int_{L}(x+y)ds\)的值為（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(0\)D.\(\pi+2\)答案：A9.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階可逆矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.\((AB)^=B^A^\)B.\((A+B)^=A^+B^\)C.\((A^T)^=(A^)^T\)D.\((A^{-1})^=(A^)^{-1}\)答案：B10.設(shè)隨機變量\(X\)與\(Y\)相互獨立，且\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda_1\)的泊松分布，\(Y\)服從參數(shù)為\(\lambda_2\)的泊松分布，則\(X+Y\)服從（）A.泊松分布，參數(shù)為\(\lambda_1+\lambda_2\)B.二項分布，參數(shù)為\(n,\lambda_1+\lambda_2\)C.均勻分布，參數(shù)為\([\lambda_1,\lambda_2]\)D.正態(tài)分布，參數(shù)為\((\lambda_1,\lambda_2)\)答案：A二、多項選擇題1.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\ln(1+x)\)C.\(y=\sqrt{x}\)D.\(y=\frac{\sinx}{x}\)答案：BC2.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上可導(dǎo)，則下列結(jié)論正確的有（）A.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)增加，則\(f^\prime(x)\geq0\)，\(x\in[a,b]\)B.若\(f^\prime(x)\geq0\)，\(x\in[a,b]\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)增加C.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上有最大值\(M\)，則存在\(c\in[a,b]\)，使得\(f^\prime(c)=0\)D.若\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且\(f(a)=f(b)\)，則存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f^\prime(\xi)=0\)答案：AD3.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&t\\3&6&9\end{pmatrix}\)，則（）A.當\(t=6\)時，\(r(A)=1\)B.當\(t\neq6\)時，\(r(A)=2\)C.當\(t=6\)時，方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系含\(2\)個線性無關(guān)的解向量D.當\(t\neq6\)時，方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系含\(1\)個線性無關(guān)的解向量答案：ABCD4.設(shè)\(A\)，\(B\)為兩個事件，且\(P(A)\gt0\)，\(P(B)\gt0\)，則下列說法正確的有（）A.若\(A\)，\(B\)相互獨立，則\(P(A|B)=P(A)\)B.若\(A\)，\(B\)互不相容，則\(P(A|B)=0\)C.若\(P(A|B)=P(A)\)，則\(A\)，\(B\)相互獨立D.若\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)，則\(A\)，\(B\)互不相容答案：ABCD5.設(shè)函數(shù)\(z=f(x,y)\)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且\(\frac{\partial^2z}{\partialx^2}+\frac{\partial^2z}{\partialy^2}=0\)，又\(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\)，則（）A.\(\frac{\partialz}{\partialr}=\cos\theta\frac{\partialz}{\partialx}+\sin\theta\frac{\partialz}{\partialy}\)B.\(\frac{\partial^2z}{\partialr^2}=\frac{\partial^2z}{\partialx^2}\cos^2\theta+2\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}\cos\theta\sin\theta+\frac{\partial^2z}{\partialy^2}\sin^2\theta\)C.\(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partialr}(r\frac{\partialz}{\partialr})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2z}{\partial\theta^2}=0\)D.\(\frac{\partial^2z}{\partial\theta^2}=-r(\sin\theta\frac{\partialz}{\partialx}-\cos\theta\frac{\partialz}{\partialy})\)答案：ABC6.下列級數(shù)中收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}\)答案：ACD7.設(shè)\(A\)為\(n\)階實對稱矩陣，則（）A.\(A\)的特征值都是實數(shù)B.\(A\)必可相似對角化C.存在正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)為對角矩陣D.\(A\)的屬于不同特征值的特征向量相互正交答案：ABCD8.設(shè)隨機變量\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}ax+b,&0\ltx\lt1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，且\(E(X)=\frac{7}{12}\)，則（）A.\(a=1\)B.\(b=\frac{1}{2}\)C.\(D(X)=\frac{1}{144}\)D.\(P\{X\gt\frac{1}{2}\}=\frac{3}{8}\)答案：ABC9.設(shè)\(f(x)\)是周期為\(2\pi\)的周期函數(shù)，且在\([-\pi,\pi]\)上可積，則\(f(x)\)的傅里葉級數(shù)（）A.在\(f(x)\)的連續(xù)點處收斂于\(f(x)\)B.在\(f(x)\)的間斷點處收斂于\(\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}\)C.在\([-\pi,\pi]\)上一致收斂于\(f(x)\)D.在\(f(x)\)的連續(xù)點處收斂于\(f(x)\)的平均值答案：AB10.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則（）A.\(A\)，\(B\)有相同的特征值B.\(A\)，\(B\)可同時相似對角化C.\(A\)，\(B\)的特征向量相同D.\((A+B)^m=\sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}A^{k}B^{m-k}\)（\(m\)為正整數(shù)）答案：BD三、判斷題1.若函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在點\(x_0\)處一定連續(xù)。（）答案：對2.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線性相關(guān)，則其中必有一個向量可由其余向量線性表示。（）答案：對3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(|A|\neq0\)，則\(A\)的列向量組線性無關(guān)。（）答案：對4.若隨機變量\(X\)與\(Y\)的協(xié)方差\(Cov(X,Y)=0\)，則\(X\)與\(Y\)相互獨立。（）答案：錯5.函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處的全微分\(dz=f_x^\prime(x_0,y_0)\Deltax+f_y^\prime(x_0,y_0)\Deltay\)。（）答案：對6.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑\(R\)滿足\(\frac{1}{R}=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\)（若極限存在）。（）答案：對7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)有相同的特征多項式。（）答案：對8.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的定積分\(\int_{a}^f(x)dx=0\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒為零。（）答案：錯9.設(shè)\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則\(Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\)服從標準正態(tài)分布\(N(0,1)\)。（）答案：對10.若矩陣\(A\)的秩\(r(A)=r\)，則\(A\)中存在\(r\)階子式不為零，而所有\(zhòng)(r+1\)階子式全為零。（）答案：對四、簡答題1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2-9x+5\)的單調(diào)區(qū)間和極值。答案：對函數(shù)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)\)。令\(y^\prime=0\)，解得\(x=-1\)或\(x=3\)。當\(x\lt-1\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當\(-1\ltx\lt3\)時，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當\(x\gt3\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增。所以極大值為\(y(-1)=10\)，極小值為\(y(3)=-22\)。2.計算二重積分\(\iint_D(x+y)dxdy\)，其中\(zhòng)(