第4章Z變換4.1

Z變換4.2

Z反變換4.3

Z變換的性質(zhì)和定理4.4系統(tǒng)函數(shù)與差分方程

4.5系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幾何表示4.6

Z變換與拉普拉斯變換、傅里葉變換的關(guān)系4.7

MATLAB實(shí)現(xiàn)習(xí)題4.1.1Z變換的定義

序列x(n)的Z變換定義為(4.1-1)式中，z為連續(xù)的復(fù)變量，具有實(shí)部和虛部，所在的復(fù)平面稱為z平面。X(z)是關(guān)于z－1的冪級數(shù)，對n的求和是由－∞到∞，故把式(4.1-1)的變換稱為雙邊Z變換。而單邊Z變換的定義如下(4.1-2)單邊Z變換對n求和是從0到∞。顯然，對因果序列，單邊Z變換與雙邊Z變換的結(jié)果相同。因此，可把單邊Z變換看成因果序列情況下的雙邊Z變換。本書以后所述的Z變換均指雙邊Z變換。一般把序列x(n)的Z變換記為X(z)=Z［x(n)］，即(4.1-3)4.1.2Z變換的收斂域

式（4.1-1）表示的冪級數(shù)只有收斂時，Z變換才有意義,也就是要求|X(z)|<∞。因此必須討論Z變換的收斂問題。X(z)是否收斂，決定于z。我們把使X(z)能夠收斂的z的取值集合稱為Z變換X(z)的收斂域，一般用Rx－<|x|<Rx+表示，其中Rx－和Rx+稱為收斂半徑。因此只有z在收斂域內(nèi)取值時上述Z變換才有意義。不同形式的序列有不同的收斂域，下面分別討論。1.有限長序列

只在有限長度n1≤n≤n2內(nèi)序列x(n)才具有非零值，而在此區(qū)間外x(n)=0，即

x(n),n1≤n≤n2

0,其他這類序列稱為有限長序列。有限長序列的Z變換為x(n)=(4.1-4)因此X(z)是有限項(xiàng)級數(shù)之和，故只要級數(shù)的每一項(xiàng)有界，則級數(shù)就收斂，即要求由于x(n)有界，故要求顯然在0<|z|<∞上，都滿足此條件，也就是說收斂區(qū)域至少是除z=0和z=∞外的開域(0,∞)“有限z平面”，在n1、n2的特殊選擇下，收斂域還能進(jìn)一步擴(kuò)大：

0<|z|≤∞,n1≥0

0≤|z|<∞,n2≤0例4-1求序列x(n)=anRN(n)的Z變換。解根據(jù)Ｚ變換定義有顯然，X(z)有一個z=a的零點(diǎn)和極點(diǎn)，零極點(diǎn)對消后只要|a|是有限值，X(z)就收斂，收斂域?yàn)?<|z|≤∞，如圖4-1所示。圖4-1有限長序列Z變換的收斂域

2.右邊序列這類序列是指只在n≥n1時x(n)才有取值，而在n<n1時x(n)=0。其Z變換為(4.1-6)顯然，n1的取值直接影響序列的特征。下面分兩種情況分析:（1）n1≥0，則序列為因果序列。其Z變換中只有z的負(fù)冪次項(xiàng)，因此，此時的收斂域?yàn)閦平面上某一個半徑為Rx－的圓外的所有區(qū)域，且包含|z|=∞，即收斂域?yàn)镽x－<|z|≤∞，如圖4-2所示。（2）n1<0，則序列為非因果序列。Z變換中有z的負(fù)冪次項(xiàng)和正冪次項(xiàng)，此時，可把序列x(n)看做一個有限長序列和一個因果序列之和，顯然這兩種序列的共同收斂域?yàn)镽x－<|z|<∞，這也即序列x(n)的Z變換收斂域，如圖4-2所示。

例4-2求序列x(n)=3nu(n)的Z變換，并指出其收斂域。解該序列為右邊序列，因此為一因果序列。根據(jù)Z變換的定義式，有系統(tǒng)存在一個極點(diǎn)|z|=3，所以該序列的收斂域?yàn)?<|z|≤∞。

3.左邊序列這類序列是指只在n≤n2時x(n)才具有非零的有限值，而在n>n2時，序列x(n)=0，其Z變換為

其收斂域也需根據(jù)n2的取值進(jìn)行分析。（1）n2≤0，這時序列x(n)稱為逆因果序列。其Z變換中只有z的正冪次項(xiàng)，顯然|z|=0時級數(shù)收斂，因此此時的收斂域?yàn)?≤|z|<Rx+，如圖4-3所示。圖4-3左邊序列Z變換的收斂域（2）n2>0，這時序列x(n)為非因果序列。其Z變換中有

z的負(fù)冪次項(xiàng)和正冪次項(xiàng)，因此，可把序列x(n)看做一個有限長序列和一個n2=0的左邊序列之和，二者的共同收斂域?yàn)?<|z|<Rx+，這也即序列x(n)的Z變換收斂域，如圖4-3所示。

例4-3已知序列x(n)=－3nu(－n－1)，求序列的Z變換。解根據(jù)Z變換公式，有

該序列存在極點(diǎn)|z|=3，又知該序列是一個左邊序列，所以該序列的收斂域?yàn)?≤|z|<3。

4.雙邊序列

這類序列是指n在－∞到∞都具有非零的有限值。雙邊序列可以看成一個右邊序列和一個左邊序列之和，即根據(jù)右邊序列和左邊序列的收斂域可知，雙邊序列的收斂域應(yīng)該取二者的交集，因此雙邊序列的收斂域應(yīng)該是一個環(huán)狀區(qū)域Rx－<|z|<Rx+，如圖4-4所示。圖4-4雙邊序列Z變換的收斂域例4-4討論X(z)收斂域的形式及其對應(yīng)序列的種類。解由=0可求得兩個極點(diǎn)：2和1/3。收斂域?qū)?yīng)有下列三種情況：

（1）|z|>2:序列為因果序列；

（2）|z|<1/3:左邊序列；

（3）1/3<|z|<2:雙邊序列。

結(jié)論：如果序列在有限z平面內(nèi)沒有極點(diǎn)，則該序列是有限長序列；否則該序列是無限長序列。

幾種常用序列的Z變換如表4-1所示。4.2Z反變換

根據(jù)X(z)和其收斂域求序列x(n)，就是求Z反變換，也稱為逆Z變換，其定義為

x(n)=Z－1［X(z)］

求Z反變換實(shí)質(zhì)上就是求X(z)的冪級數(shù)展開式。求Z反變換x(n)的方法通常有觀察法、圍線積分法(留數(shù)法)、冪級數(shù)法(長除法)和部分分式展開法。

1.觀察法

觀察法是指利用常用序列的Z變換(如表4-1所示)，直接求出序列的方法。

2.部分分式展開法

一般X(z)是z的有理分式，可以表示為X(z)=B(z)/A(z)，B(z)、A(z)都是z的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，并且沒有公因式。記住了常用序列的Z變換，就可以將X(z)表示成簡單項(xiàng)之和的形式，而后求取其中的每一項(xiàng)Z反變換（可以查表），然后把求得的每一項(xiàng)部分分式相加，就得到所求的x(n)，即若

則在利用部分分式展開法求Z反變換時，必須使部分分式各項(xiàng)的形式能夠比較容易地從已知Z變換表中識別出來，并且注意收斂域。如果X(z)可以表示為有理分式，則X(z)可以展開成以下部分分式形式其中,zi為X(z)的一個r階極點(diǎn),zk都是X(z)的單階極點(diǎn)。展開式中的系數(shù)Ak、Ck可用留數(shù)定理求得，Bn可用長除法求得。

例4-5已知

求X(z)的反變換x(n)。

解將X（z)展開為部分分式利用常用Z變換公式，有

3.冪級數(shù)法（長除法）根據(jù)Z變換的定義式有所以只要在給定的收斂域內(nèi)將z前面的系數(shù)組成序列，該序列即為序列x(n)。一般情況下，X(z)是一個有理分式，分子和分母都是關(guān)于z的多項(xiàng)式，可以直接用分子多項(xiàng)式除以分母多項(xiàng)式，得到冪級數(shù)展開式，從而得到x(n)。由于用X(z)的閉合表達(dá)式加上它的收斂域才能唯一確定序列x(n)，因此在利用長除法進(jìn)行Z反變換時，同樣要注意由收斂域判斷所要得到的x(n)的性質(zhì)，然后再展開成相應(yīng)的z的冪級數(shù)。分兩種情況

展開：（1）X(z)的收斂域?yàn)閨z|>Rx－，x(n)必為因果序列，此時應(yīng)將X(z)展開為z的負(fù)冪級數(shù)，為此X(z)的分子、分母應(yīng)按照

z的降冪排列（或z－1升冪）；

（2）X(z)的收斂域?yàn)閨z|<Rx+，x(n)必為左邊序列，此時應(yīng)將X(z)展開為z的正冪級數(shù)，為此X(z)的分子、分母應(yīng)按照

z的升冪排列（或z－1降冪）。例4-6已知利用冪級數(shù)展開法求其Z反變換。解

X(z)只有在z=0處有極點(diǎn)，因此x(n)為有限長序列。將式子展開得可以看出所以

例4-7已知利用冪級數(shù)展開法求Z反變換。解由該序列Z變換的收斂域可判斷，該序列必為因果序列，因此應(yīng)將X(z)展開為z的負(fù)冪級數(shù)，為此X(z)的分子、分母應(yīng)按照z的降冪排列（或z－1升冪）。進(jìn)行長除所以由此得到

4.圍線積分法(留數(shù)法)留數(shù)法是求Z反變換的一種有用的方法。根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，若，則式中，c是X(z)的收斂域中的一條逆時針方向環(huán)繞原點(diǎn)的閉合積分圍線。直接計算圍線積分比較麻煩，一般采用留數(shù)定理求解。按照留數(shù)定理，若函數(shù)F(z)=X(z)zn－1在圍線c上連續(xù)，在c內(nèi)有K個極點(diǎn)zk，而在圍線外部有M個極點(diǎn)zm（M和K都取有限值），則有或其中,符號表示函數(shù)X(z)zn－1在點(diǎn)z=zk（c內(nèi)極點(diǎn)）的留數(shù)。式（4.2-2）的應(yīng)用條件是函數(shù)X(z)zn－1在z=∞有二階或二階以上的零點(diǎn)，也就是說分母多項(xiàng)式z的階次比分子多項(xiàng)式z的階次高二階或二階以上。式（4.2-1）說明，函數(shù)X(z)zn－1沿圍線c逆時針方向的積分

值等于函數(shù)X(z)zn－1在圍線c內(nèi)部各個極點(diǎn)的留數(shù)之和；式（4.2-2）說明，函數(shù)X(z)zn－1沿圍線c順時針方向的積分值等于函數(shù)X(z)zn－1在圍線c外部各個極點(diǎn)的留數(shù)之和。對于相同的函數(shù)X(z)zn－1，由于沿圍線c逆時針方向的積分等于沿圍線順時針方向積分值的相反數(shù)，即故因此，有(4.2-3)(4.2-4)同樣，式（4.2-4）也必須滿足函數(shù)X(z)zn－1分母多項(xiàng)式z的階次比分子多項(xiàng)式z的階次高二階或二階以上。根據(jù)具體情況的不同，可以選擇上述兩種方法中的一種。當(dāng)n大于某一個值，函數(shù)X(z)zn－1在z=∞處可能有多重極點(diǎn)時，若采用圍線外部的極點(diǎn)進(jìn)行留數(shù)運(yùn)算就比較麻煩，因而通常選擇圍線內(nèi)部的極點(diǎn)進(jìn)行留數(shù)的計算；當(dāng)n小于某一個值，函數(shù)X(z)zn－1在z=0處可能有多重極點(diǎn)時，采用圍線內(nèi)部的極點(diǎn)進(jìn)行留數(shù)運(yùn)算同樣比較麻煩，通常選擇圍線外部的極點(diǎn)進(jìn)行留數(shù)的計算就會很方便。應(yīng)用留數(shù)定理計算Z反變換時，要注意：

（1）留數(shù)定理中的極點(diǎn)不是指X(z)的極點(diǎn)，而是F(z)=X(z)zn－1的極點(diǎn)。

（2）利用留數(shù)定理求Z反變換時，先根據(jù)X(z)的收斂域判定x(n)的性質(zhì)（序列的類型），然后根據(jù)函數(shù)X(z)zn－1的極點(diǎn)位置選擇公式。

（3）X(z)與F(z)=X(z)zn－1只在z=0處的極點(diǎn)發(fā)生變化，其他都相同。函數(shù)X(z)zn－1在任一極點(diǎn)zr處的留數(shù)的計算方法如下：（1）如果zr是函數(shù)X(z)zn－1的單極點(diǎn)，則有(4.2-5)（2）如果zr是X(z)zn－1的多重（N階）極點(diǎn)，則有(4.2-6)例4-8已知求其Z反變換。解c為X(z)的收斂域內(nèi)的閉合圍線。接下來看極點(diǎn)在圍線內(nèi)部和外部的分布情況以及極點(diǎn)的階數(shù)，以便確定采用哪些極點(diǎn)進(jìn)行留數(shù)的計算比較簡單。當(dāng)n≥－1時，函數(shù)X(z)zn－1為在圍線c內(nèi)部,函數(shù)X(z)zn－1只有z=1/4處的一個一階極點(diǎn)，因此采用圍線c內(nèi)部的極點(diǎn)進(jìn)行留數(shù)的計算相對簡單，利用式(4.2-3)和式(4.2-5)得當(dāng)n≤－2時，函數(shù)X(z)zn－1在圍線c的外部只有z=4一個一階極點(diǎn)，且此時分母多項(xiàng)式的次數(shù)比分子多項(xiàng)式的次數(shù)高二階以上，因此采用圍線c外部的極點(diǎn)進(jìn)行留數(shù)的計算相對簡單。利用式(4.2-4)和式(4.2-6)，得故4.3Z變換的性質(zhì)和定理

在離散時間信號與系統(tǒng)的研究中，Z變換的許多性質(zhì)是特別有用的。這些性質(zhì)往往與Z反變換聯(lián)系在一起，可以用來求得更為復(fù)雜的表達(dá)式的Z反變換。下面討論Z變換的幾個最常用的性質(zhì)。

1.線性

Z變換是一種線性變換，它滿足比例可加性，即(4.3-1)這里，線性組合序列ax1(n)+bx2(n)的收斂域?yàn)閮蓚€序列

Z變換的收斂域的相交部分。若aX1(z)+bX2(z)的極點(diǎn)由全部

X1(z)和X2(z)的極點(diǎn)組成，即如果沒有任何零極點(diǎn)相消的情況，則收斂域就等于兩個序列收斂域的相交部分；如果aX1(z)+bX2(z)的線性組合使得某些零點(diǎn)和極點(diǎn)相互抵消，那么收斂域就可能擴(kuò)大。式(4.3-1)表明序列線性組合的Z變換等于各序列Z變換的線性組合。

例4-9求序列x(n)=u(n)－u(n－3)的Z變換。

解因?yàn)樗钥梢钥闯觯諗坑虮粩U(kuò)大了。實(shí)際上由于x(n)=u(n)－u(n－3)是有限長序列，故收斂域?yàn)槌藎z|=0外的全部z平面。

2.序列的移位/時移若序列x(n)的Z變換為則有(4.3-2)式中，m為任意整數(shù)。若

m為正整數(shù)，則為序列延遲；若m為負(fù)整數(shù)，則為序列前移。證明根據(jù)Z變換定義，有令n－m=k，得一般序列移位后Z變換的收斂域不會發(fā)生變化，但可能會因?yàn)閦－m的加入而改變在

z=0或z=∞處的收斂情況。例如:

Z［δ(n)］=1,收斂域?yàn)檎麄€z平面，即0≤|z|≤∞；

Z［δ(n－1)］=z－1，在z=0處是一階極點(diǎn)，即收斂域?yàn)?<|z|≤∞；

Z［δ(n+2)］=z2，在z=∞處是二階極點(diǎn)，即收斂域?yàn)?≤|z|<∞。例4-10已知

求其逆Z變換。解將原式重寫為用部分分式法展開，因分子分母最高次冪相同，所以可以提出一個常數(shù)項(xiàng)因利用序列移位性質(zhì)，就有

3.序列的指數(shù)加權(quán)（z域尺度變換）設(shè)a為常數(shù)，序列x(n)的Z變換為則(4.3-3)證明根據(jù)Z變換定義，有式(4.3-3)表明，z域尺度變換與序列的指數(shù)加權(quán)相對應(yīng)。根據(jù)該性質(zhì)，全部零極點(diǎn)的位置的尺度都改變a。如果X(z)有一個極點(diǎn)在z=z1處，那么一定有一個極點(diǎn)在z=az1

處。若a為實(shí)數(shù)，則表現(xiàn)為收斂域在z平面內(nèi)的擴(kuò)大或縮小，對零、極點(diǎn)而言，只有幅度上的變化，沒有相位上的變化；如果a為任意復(fù)數(shù)，則在z平面上零、極點(diǎn)的幅度和相位都將發(fā)生變化,相應(yīng)的收斂域也發(fā)生改變；如果a為模是1的復(fù)數(shù)，則零、極點(diǎn)只有相位發(fā)生變化，沒有幅度變化，收斂域不變。

4.序列的線性加權(quán)(z域的微分)

若序列x(n)的Z變換為則有(4.3-4)根據(jù)式(4.3-4)可知，序列nx(n)的Z變換收斂域至多在z=0或z=∞處與X(z)有所不同。式(4.3-4)表明，序列x(n)的Z變換X(z)在z域的微分再乘以z等效于序列

x(n)的線性加權(quán)。

例4-11求序列x(n)=nanu(n)的Z變換。

解由于x(n)=nanu(n)=n·(anu(n))，而序列anu(n)的Z變

換為

利用式(4.3-4)，有

5.復(fù)數(shù)序列的共軛若序列x(n)的Z變換為則序列x(n)的共軛序列x*(n)的Z變換為(4.3-5)由Z變換的定義式即可證明。

6.翻折序列/序列的倒置

若序列x(n)的Z變換為

Z［x(n)］=X(z),Rx－<|z|<Rx+

則序列x(n)的翻折序列的Z變換為式(4.3-6)表明，序列x(n)的Z變換X(z)在z域的變量倒置等效于序列x(n)的變量取反。例4-12求序列x(n)=a－nu(－n)的Z變換。解因利用式(4.3-6)，有

7.序列的卷積和（時域卷積和定理）若時域序列y(n)為時域序列x(n)和h(n)的卷積和且則(4.3-7)式(4.3-7)表明，若時域序列之間為卷積和，則在z域它們?yōu)橄喑岁P(guān)系，乘積的收斂域?yàn)閄(z)和H(z)收斂域的重疊部分。由于存在零極點(diǎn)相消的可能性，因此收斂域可能會擴(kuò)大。該定理對于數(shù)字信號處理而言是一個重要的定理。證明利用卷積和公式及Z變換的定義式，有利用該定理，可以把離散線性時不變系統(tǒng)的求解先變換到z域，獲得系統(tǒng)輸出的Z變換，再通過求Z反變換來求出系統(tǒng)的輸出序列。以后可以看到，利用時域卷積定理求解系統(tǒng)可以大大簡化計算，而且求解很方便。

例4-13已知x1(n)=anu(n),x2(n)=u(n)，這里|a|<1，利用序列卷積和定理計算x1（n)*x2(n)。

解故用部分分式法展開Y(z)，有利用Z變換的線性性質(zhì)，有

8.初值定理

如果序列x(n)為因果序列，即n<0時，x(n)=0，則有(4.3-8)證明因x(n)為因果序列，所以有故

9.終值定理

如果序列x(n)為因果序列，且序列x(n)的Z變換X(z)的極點(diǎn)處于單位圓以內(nèi)（單位圓上至多在z=1處有一階極點(diǎn)，即允許在單位圓上有一個極點(diǎn)z=1），則(4.3-9)證明利用序列的移位性質(zhì)，有因?yàn)樾蛄衳(n)為因果序列，所以當(dāng)n<0時，x(n)=0；當(dāng)

n<－1時，x(n+1)=0。因此又因?yàn)?z－1)X(z)在單位圓上無極點(diǎn)，將上式兩端對z→1求極限，得故

10.復(fù)卷積定理若時域序列y(n)為時域序列x(n)和h(n)的乘積，即y(n)=x(n)·h(n),且則有(4.3-10)其中,c是啞變量v平面上，X(z/v)和H(v)的公共收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時針旋轉(zhuǎn)的單封閉圍線。證明我們知道這類問題可以用留數(shù)定理來解，關(guān)鍵是如何確定c所在的收斂域，以確定圍線內(nèi)函數(shù)X(z/v)H(v)v－1的極點(diǎn)。注意式(4.3-10)類似于卷積積分。由于v和z都是復(fù)變量，因此可以利用極坐標(biāo)的形式來表示這兩個變量，令v=ρejθ，z=rejω，并代入式(4.3-10)中，則有這個積分和卷積的形式很像，并且是在從－π到π的一個周期上進(jìn)行的，故稱它為周期卷積。

11.帕斯維爾(Parseval)定理利用復(fù)卷積定理可以得到重要的帕斯維爾定理。若且Rx－·Ｒh－<1<Rx+·Rh+，則有(4.3-11)其中,積分閉合圍線c是在X(v)、的公共收斂區(qū)域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時針旋轉(zhuǎn)的單封閉圍線，即證明設(shè)由于利用復(fù)卷積定理和共軛序列的Z變換，得故有4.4系統(tǒng)函數(shù)與差分方程

對于任意一個線性時不變離散系統(tǒng)而言，如果它的單位抽樣響應(yīng)為h(n)，則任意的激勵序列x(n)在時域系統(tǒng)的輸出為

y(n)=x(n)*h(n)根據(jù)時域卷積定理,對上式兩端取Z變換，得

Y(z)=X(z)H(z)因此定義H(z)為線性時不變離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它就是單位抽樣響應(yīng)為h(n)的Z變換。在z平面的單位圓上（即z=ejω）的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejω)，也即單位抽樣響應(yīng)h(n)的傅里葉變換。

對于用線性常系數(shù)差分方程所描述的線性時不變系統(tǒng)，其線性常系數(shù)差分方程的一般形式為當(dāng)系統(tǒng)處于零狀態(tài)，激勵序列為x(n)時，我們利用Z變換的移位和線性性質(zhì)，直接對上式兩邊取Z變換，可得系統(tǒng)函數(shù)為可見，系統(tǒng)函數(shù)僅決定于系統(tǒng)的差分方程，而與系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)形式無關(guān)，只要差分方程給定，系統(tǒng)函數(shù)H(z)即可確定；反之，若已知系統(tǒng)函數(shù)H(z)，也可獲得描述系統(tǒng)的差分方程。例4-14某一線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為求該系統(tǒng)的差分方程。解將H(z)展開有因此差分方程為系統(tǒng)函數(shù)H(z)和系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(z)構(gòu)成Z變換對，因此我們可用H(z)來判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。利用系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性對時域單位抽樣響應(yīng)h(n)的要求，可以用系統(tǒng)函數(shù)H(z)來描述系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。

因果性：若系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域?yàn)镽h－<|z|≤∞，則系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。

穩(wěn)定性：若系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓，則系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。

因果穩(wěn)定性：系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域?yàn)?≤|z|≤∞，即系統(tǒng)函數(shù)H(z)的全部極點(diǎn)必須在z平面的單位圓內(nèi)。例4-15某一線性時不變系統(tǒng)的差分方程為試?yán)孟到y(tǒng)函數(shù)分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性，并指出不同系統(tǒng)的收斂域。解對系統(tǒng)方程兩邊進(jìn)行Z變換，得則系統(tǒng)函數(shù)為賦予系統(tǒng)函數(shù)H(z)不同的收斂域，就對應(yīng)不同的系統(tǒng)。系統(tǒng)函數(shù)H(z)有三種可能的收斂域選擇，在每一種收斂域情況下，系統(tǒng)的性質(zhì)如下：

（1）若H(z)的收斂域?yàn)閨z|>2，則系統(tǒng)為因果不穩(wěn)定

系統(tǒng)；

（2）若H(z)的收斂域?yàn)?.5<|z|<2，則系統(tǒng)為非因果但穩(wěn)定系統(tǒng)；

（3）若H(z)的收斂域?yàn)閨z|<0.5，則系統(tǒng)為非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。

可以看出，要使系統(tǒng)既穩(wěn)定又因果，則系統(tǒng)函數(shù)H(z)的全部極點(diǎn)都應(yīng)在單位圓內(nèi)。4.5系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幾何表示

對于用離散線性常系數(shù)差分方程描述的穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)的一般形式為(4.5-1)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是系統(tǒng)函數(shù)H(z)在單位圓上的值，即

因此式(4.5-1)所描述系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為

(4.5-2)可以利用H(z)在z平面上的零、極點(diǎn)分布，通過幾何方法直觀地求出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。把式（4.5-1）表示的系統(tǒng)函數(shù)H(z)改用零、極點(diǎn)表示，即(4.5-3)其中,K為實(shí)數(shù)，把z=ejω代入式（4.5-3），得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為(4.5-4)把系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejω)寫成極坐標(biāo)的形式，即(4.5-5)式中(4.5-6)(4.5-7)在z平面上，z=cm（m=1,2,…,M）表示系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零點(diǎn)，而z=dk（k=1,2,…,N）表示系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點(diǎn)。定義Cm=ejω－cm為系統(tǒng)的零點(diǎn)矢量，它是一個由零點(diǎn)cm指向單位圓上ejω點(diǎn)的矢量；Dk=ejω－dk為系統(tǒng)的極點(diǎn)矢量，它是一個由極點(diǎn)dk指向單位圓上ejω點(diǎn)的矢量。設(shè)Cm=ρmejθm,Dk=lkejk，其中ρm和lk分別為矢量Cm和Dk的模，θm、為矢量Cm和Dk的相角。這樣系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejω)可以進(jìn)一步寫為(4.5-8)(4.5-9)(4.5-10)

式(4.5-9)表明，系統(tǒng)的幅頻特性等于系統(tǒng)各零點(diǎn)矢量長度之積除以各極點(diǎn)矢量長度之積，再乘以常數(shù)|K|；式(4.5-10)表明，系統(tǒng)的相頻特性等于各零點(diǎn)矢量的相角之和減去各極點(diǎn)矢量的相角之和，再加上線性相移(N－M)ω。當(dāng)頻率ω從π到2π變化時，這些零、極點(diǎn)矢量的終點(diǎn)沿著單位圓旋轉(zhuǎn)一周，矢量的長度和相角不斷發(fā)生變化，所以可以用這種直觀的幾何方法計算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，分析系統(tǒng)的特性，從而改變系統(tǒng)零、極點(diǎn)的分布，使之達(dá)到預(yù)期的要求。例4-16已知系統(tǒng)的差分方程為

y(n)=x(n)+ay(n-1),0<a<1

求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，并分析系統(tǒng)的幅頻特性。

解根據(jù)系統(tǒng)的已知差分方程，兩端取Z變換得系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為該系統(tǒng)是一個因果系統(tǒng)，利用Z反變換可求得系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為

h(n)=anu(n)

系統(tǒng)的幅頻特性為系統(tǒng)的相頻特性為因此，系統(tǒng)的零點(diǎn)z=0，極點(diǎn)z=a。由于零點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，因此零點(diǎn)矢量的長度不隨ω變化，它對幅頻特性沒有影響。而極點(diǎn)矢量在ω=0時最短，形成|H(ejω)|的波峰點(diǎn)，在ω=π時最長，形成|H(ejω)|的波谷點(diǎn)。在ω從0到π變化時，極點(diǎn)矢量逐漸變長，|H(ejω)|逐漸變小;在ω從π到2π變化時，極點(diǎn)矢量逐漸變短，|H(ejω)|逐漸變大。4.6Z變換與拉普拉斯變換、傅里葉變換的關(guān)系

4.6.1Z變換與拉普拉斯變換之間的關(guān)系

首先分析序列的Z變換與理想抽樣信號的拉普拉斯變換的關(guān)系。

設(shè)連續(xù)信號為xa(t)，其理想抽樣信號為，它們的拉普拉斯變換分別為而理想抽樣信號和連續(xù)信號的關(guān)系為將上式代入的拉普拉斯變換式，得到(4.6-1)抽樣序列x(n)=xa(nT)的Z變換為(4.6-2)對比式（4.6-1）和式（4.6-2）可以看出，當(dāng)z=e－sT時，抽樣序列的Z變換就等于其抽樣信號的拉普拉斯變換，即(4.6-3)這種變換關(guān)系體現(xiàn)了由復(fù)變量s平面到復(fù)變量z平面的映射關(guān)系，即為了討論兩者之間的映射關(guān)系，將s平面用直角坐標(biāo)表示，即s=σ+jΩ，而將z平面用極坐標(biāo)表示，即z=rejω，代入式(4.6-4)中，可得到(4.6-4)顯然，Z變換的模r只與S變換的實(shí)部σ相對應(yīng)，而Z變換的相角ω只與S變換的虛部Ω相對應(yīng)。

根據(jù)式(4.6-5)，可以得到以下結(jié)論：

(1)r與σ的關(guān)系為r=eσT，如圖4-5所示。

σ=0（s平面的虛軸）對應(yīng)于r=1（z平面的單位圓）；

σ<0(s平面的左半平面)對應(yīng)于r<1(z平面的單位圓內(nèi)部)；σ>0(s平面的右半平面)對應(yīng)于r>1(z平面的單位圓外部)。圖4-5r與σ的映射關(guān)系（2）ω與Ω的關(guān)系為ω=ΩT。

Ω=0（s平面的實(shí)軸）對應(yīng)于ω=0（z平面的正實(shí)軸）；Ω=Ω0（常數(shù)）（s平面上平行于實(shí)軸的直線）對應(yīng)于ω=Ω0T（z平面上始于原點(diǎn)的輻射線）；

Ω由－π/T到π/Τ，對應(yīng)ω由－π經(jīng)0到π，即在z平面旋轉(zhuǎn)一周。

可見，s平面上寬度為2π/T的一個水平條紋帶，映射了整個z平面。Ω每增加一個間隔2π/T，在z平面的映射就

重疊一次。所以，從s平面到z平面的映射是多值映射，如圖4-6所示。圖4-6s平面與z平面的多值映射關(guān)系根據(jù)時域抽樣定理，Xa(s)與的關(guān)系如下(4.6-6)利用s平面和z平面的映射關(guān)系，得到Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換Xa(s)的關(guān)系如下(4.6-7)4.6.2Z變換與模擬信號傅里葉變換的關(guān)系

我們知道傅里葉變換是拉普拉斯變換在虛軸上的特例，即s=jΩ，因而映射到z平面上為單位圓z=ejΩT，將這兩個關(guān)系代入式（4.6-7）可得式(4.6-8)表明，抽樣序列在單位圓上的Z變換等于其理想抽樣信號的傅里葉變換。4.6.3Z變換與序列信號傅里葉變換的關(guān)系

根據(jù)z平面與s平面的映射關(guān)系ω=ΩT，

z平面的變量ω直接與s平面的角頻率變量Ω對應(yīng)，因此ω具有頻率的意義，稱為數(shù)字頻率，它實(shí)際上就是模擬頻率對抽樣頻率的歸一化。把映射關(guān)系ω=ΩT代入式(4.6-8)，可得(4.6-9)

式(4.6-9)表明，單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換，且與模擬信號的頻譜相聯(lián)系，它是模擬信號的頻譜周期延拓后再對抽樣頻率的歸一化。4.7MATLAB實(shí)現(xiàn)

4.7.1系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)的MATLAB求解在數(shù)字信號處理的諸多應(yīng)用中，離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)往往可以表示為上式中分母多項(xiàng)式的首系數(shù)A0已被歸一化?？梢岳肕ATLAB提供的roots()函數(shù)來求解上述系統(tǒng)的零極點(diǎn)，利用zplane()函數(shù)來畫圖。例4-17已知系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為求該系統(tǒng)的零極點(diǎn)。

解求解系統(tǒng)零極點(diǎn)的MATLAB程序如下：

b=［300］;

a=［1－1.750.875－0.125］;zeros=roots(b);poles=root(a);zplane(b,a);程序執(zhí)行結(jié)果如下：

zeros=

0

0

poles=

1.3574

0.1963+0.2314i

0.1963－0.2314i

系統(tǒng)的零極點(diǎn)如圖4-7所示。圖4-7例4-17的零極點(diǎn)圖4.7.2序列的Z變換和Z反變換的MATLAB求解

從前面的分析可以看出，逆Z變換的計算一般是比較復(fù)雜的，但部分分式的展開卻很容易用MATLAB函數(shù)residue()和residuez()來實(shí)現(xiàn)。設(shè)X(z)是待展開的z的有理函數(shù)，將X(z)/z的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的系數(shù)以z-1的升冪排列并作為residue()函數(shù)的輸入元，則residue()函數(shù)將給出X(z)/z的極點(diǎn)和部分分式的系數(shù)。如果希望直接對部分分式展開，則將X(z)的分母多項(xiàng)式A(z)和它的分子多項(xiàng)式B(z)以z－1的升冪排列，其系數(shù)分別用向量a和b表示，并作為函數(shù)residuez()的輸入元，那么語句［R，p，C］=residuez（b,a）將給出X(z)的極點(diǎn)向量（p）、部分分式的系數(shù)向量（R）和直接項(xiàng)（C）。例4-18求的逆Z變換，并討論不同的收斂區(qū)域?qū)?yīng)的不同序列。解首先把x(z)按照z－1的升冪排列調(diào)用residuez()函數(shù)：

b=［01］;

a=［－3－41］；［RpC］=residuez(b,a)；

MATLAB的運(yùn)行結(jié)果如下：

R=

0.5000－0.5000

p=

1.0000

0.3333

C=

［］

由上述結(jié)果可得到：該系統(tǒng)有兩個極點(diǎn)，即z1=1,z2=1/3,由此得到三種不同的收斂區(qū)域，對應(yīng)的三種序列分別是：(1）(2）(3）4.7.3系統(tǒng)頻譜響應(yīng)的MATLAB計算分析

可以利用MATLAB提供的函數(shù)freqz()求解系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和相位響應(yīng)。該函數(shù)調(diào)用的基本形式為

［Hw］=freqz(b,a,N)

式中,b和a分別表示分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，N是指定的N點(diǎn)頻率向量w和N點(diǎn)復(fù)頻率響應(yīng)向量H。

例4-19已知系統(tǒng)函數(shù)

(1）求出零極點(diǎn)，并畫圖；

(2）畫出該系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)特性曲線。

解運(yùn)用MATLAB的roots()函數(shù)求出系統(tǒng)的零極點(diǎn)。

MATLAB程序如下：

b=［110］；

a=［12.74－0.760.76－0.3］;

zero=roots(b);

poles=roots(a);

zplane(b,a);

H=freqz(b,a,w);

magh=abs(H);delt=angle(H);

subplot(211);plot(w/pi,magh);

subplot(211);plot(w/pi,magh);

subplot(212);plot(w/pi,delt);

程序執(zhí)行的結(jié)果如圖4-8所示。圖4-8例4-19的MATLAB求解例4-20已知一個因果系統(tǒng)

y(n)=0.81y(n－2)+x(n)－x(n－2)

求:

(1）系統(tǒng)函數(shù)H(z)；

(2）單位沖擊響應(yīng)h(n)；

(3）H(ejω)，并畫出該系統(tǒng)的幅頻和相頻曲線。

解(1）由于系統(tǒng)是因果的，收斂域一定位于以最大極點(diǎn)值為半徑的圓的外部。

對差分方程兩邊同時取Z變換得到

(2）利用MATLAB，鍵入如下命令：

b=［10－1］；

a=［10－0.81］；

［RpC］=residuez(b,a)；

運(yùn)行結(jié)果如下：