重難點(diǎn)培優(yōu)13導(dǎo)數(shù)中的整數(shù)解和幾類(lèi)〃距離〃問(wèn)題

目錄

01知識(shí)重構(gòu)?重難梳理固根基.......................................................1

02題型精研?技巧通法提能力.......................................................2

題型一整數(shù)解問(wèn)題（★★★★★）........................................................2

題型二距離問(wèn)題一:一點(diǎn)一曲（直）（★★★★）.........................................8

題型三距離問(wèn)題二：一直一曲（直）（★★★★★）......................................II

題型四距離問(wèn)題三：兩個(gè)曲線（★★★★★）.............................................13

題型五距離問(wèn)題四：水平點(diǎn)間的距離（★★★）..........................................17

題型六距離問(wèn)題五：豎直點(diǎn)間的距離（★★★）..........................................21

題型七距離問(wèn)題六：與反函數(shù)有關(guān)的距離問(wèn)題（★★★）..................................24

題型八距離問(wèn)題七：曼哈頓距離（★★★★）.............................................26

03實(shí)戰(zhàn)檢測(cè)?分層突破驗(yàn)成效......................................................32

檢測(cè)I組重難知識(shí)鞏固..................................................................32

檢測(cè)II組創(chuàng)新能力提升..................................................................47

01

知識(shí)重構(gòu)?重難梳理國(guó)根基

1、整數(shù)解問(wèn)題

整數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，主要采用分離法（完全分離,不完全分離）或分類(lèi)討論解法，結(jié)合數(shù)形結(jié)合分清存在哪個(gè)整

數(shù)解，再分別是以相鄰的哪幾個(gè)整數(shù)為臨界判斷即可.通常情況下可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線的位置關(guān)系，而

直線過(guò)定點(diǎn)，只需將直線旋轉(zhuǎn)即可得到臨界位置，進(jìn)而列出不等式（組）求出參數(shù)的取值范悟.

2、曼哈頓距離

平面內(nèi)兩點(diǎn)的直線距離公式：若小修,力），伏》）2），則這兩點(diǎn)之間的直線距離為

"=4h一4）2+（為一及）,我們也稱直線距離為歐幾里得距離，或簡(jiǎn)稱歐氏距離。但是，在有些實(shí)際問(wèn)

題中，歐氏距離并不適用，比如在紐約的曼哈頓地區(qū)，街道布局橫平豎直，如果我們從如圖所示的。（七,必）

點(diǎn)出發(fā)，沿著街道行至日的點(diǎn)0（今,月），則我們走過(guò)的路程長(zhǎng)度為〃（尸,。）=昆-『|十|以-力|，我們稱

I/55

這樣的距離為乂)，0。2，/)兩點(diǎn)的折線距離，也稱為曼哈頓距離(或￡距離，出租車(chē)距離等)

結(jié)論1：設(shè)點(diǎn)〃"。，打)為直線/:4x+8y+C=()外一定點(diǎn)，。為直線/上的動(dòng)點(diǎn)，則

Mxo+Wo+q

d（P，O）min=

max{|/|,|8|}

結(jié)論2：設(shè)點(diǎn)0為直線4x+繪+G=0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為直線小+約，+G=。上的動(dòng)點(diǎn)，則

IG-Gl

火P，Q)mm

max{|J|,|B|）

02

題型精研?技巧通法提能力

?題型一整數(shù)解問(wèn)題?

1.已知函數(shù)/(x)=(x-a)e'-x+l(a>0),若不等式/(x)<0的整數(shù)解有且僅有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)Q的取值范

圍為()

A.(l,2e—1)B.1,2--yC.^2—^-,2e-lD.(1yJ

【答案】B

【分析】由題意當(dāng)/(X)<O等價(jià)于里子"，設(shè)函數(shù)g(x)=二一-1，利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)的最小值,

ee

再結(jié)合g(x)的圖象可知當(dāng)a>g(x)僅有兩個(gè)整數(shù)解，則可求得1<。工2-二，從而可求解.

【詳解】由/(耳<0得：a>xe'；+l,令晨力=三二.，則?")=e，：：-2,

令力(x)=e'+x-2,則。(x)=4-1>0在R上恒成立,

2/55

所以Mx)在R上單調(diào)遞增，由/?(0)=-1<0,A(l)=e-l>0,

所以加?0,1),使得力小)=0,

當(dāng)xe(-g,Xo)時(shí)，A(x)<0,即g[x)<0,所以g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(%,+8)時(shí)，/?(x)>0,即g<x)>0,所以g(x)單調(diào)遞增,

所以[g(x)]mm=gao)，如圖所示，因?yàn)椴坏仁?(“<0的整數(shù)解有且僅有兩個(gè),

即〃,g(x)的整數(shù)解有且僅有兩個(gè).g(o)=g⑴=1.g⑵=2—二,^(-l)=2e-l.

e

”g(l)

所以有:解得故B正確.

”4g(2)

故選:B.

V—1

2.(23-24高三下?河北?月考)已知函數(shù)/(x)=-r關(guān)于x的不等式f(x)-qf(x)>0有且只有三個(gè)正整

數(shù)脩，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

【答案】B

【分析】探討函數(shù)/(x)的性質(zhì)，再按。>0,。40分類(lèi)討論，結(jié)合正整數(shù)解的個(gè)數(shù)建立不等式組求解即得.

【詳解】函數(shù)/(切=二的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得/'(x)=W，

ee

當(dāng)工<2時(shí)，,r(x)>0；當(dāng)x>2時(shí)，/'(x)<o,函數(shù)/(用在(—8,2)上單調(diào)遞增，

在(2,內(nèi))上單調(diào)遞減，/(x)a=/0)=《，而/⑴=0,當(dāng)x>l時(shí)，/。)>0恒成立，

e

不等式f2(x)-of(x)>0<=>/(x)[/(x)-6f]>0,

當(dāng)時(shí)，八幻<〃或〃幻>0,由得X>1,原不等式的整數(shù)解有無(wú)數(shù)個(gè)，不符合題意，

當(dāng)”>1時(shí)，/仕)<0或/(幻>%由/(x)<0,得xvl,無(wú)正整數(shù)解，

因此原不等式有且只有3個(gè)正整數(shù)解，等價(jià)于不等式/(x)>a有且只有3個(gè)正整數(shù)解，

3/55

1臉2

2m-1<

M2)<g(2)2解得汽％海［?

,即?

”3)2g(3)bgQ

3m-1>

3

故選：C.

4.(23-24高三上?福建福州?期末)設(shè)函數(shù)/(x)=6/(x+l)e'-ax+a~e(a>0),若關(guān)于x的不等式/(x)<0有

且只有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

(c3cz1fe3e2\

A，〔KT記刁B.［戶P方刁

，(—q21Fj_e25

2D，,2

Ck2e*3e-12e3e-1?

【答案】B

【分析】把不等式轉(zhuǎn)化為,>x+l-q,令〃(x)=x+l-與，求得/(x)=c、+x-2,令例K)=e'+x-2,

aeeeA

p(i)=e'+x-2在R卜.單調(diào)遞增，存在唯?的/&(0,1)使得以不)=0,得出函數(shù)方CD的單調(diào)性，結(jié)合田0),

1I7

力⑴，A(-l),力⑵,M3)的值和題設(shè)條件，得出3-；<上4-彳,求解即可.

e"ac

1Y-1

【詳解】???，a)=4(x+l)e*-ar+a-e*<0,等價(jià)于一>x+l

ae

令力(x)=x+l-=1則/㈤J二I,

eeA

令p(x)=e'+x-2,(p(x)=e'+x-2在R上單調(diào)遞增，

又由網(wǎng)0)<0,。(1)>0,

J存在唯一的x°e(0,l)使得奴/)=0,

當(dāng)”為時(shí),(p(x)<0,h\x)<0,〃(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)%時(shí)，刎工)>0,/f(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，

19

又力(0)=2,〃(1)=2,A(-l)=2e,//(2)=3--,//(3)=4--.

ee-

所以當(dāng)/(x)<0右且僅有：個(gè)整數(shù)解時(shí)，

故選：B

5.(24-25高三上?吉林長(zhǎng)春?期末)若關(guān)于x的不等式xe，-2ax+a<0的非空解集中無(wú)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是()

5/55

21_L立］逅

A.B.c.D.

3e'4e4e'

【答案】B

【分析】原不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=xe，的圖象一定有部分在直線/(X)=2G-。的下方，且該部分圖象橫坐

標(biāo)中沒(méi)有整數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線與曲線相切時(shí)的斜率.，畫(huà)出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合可得答

案.

【詳解】原不等式可化為2分a>x/，設(shè)/(x)—2公-a,g(x)—xe'

則直線/(x)=2公-a過(guò)定點(diǎn)(；,0|,

因?yàn)椴坏仁揭?-2辦+4<0的解集非空，所以函數(shù)g。)=屁、的圖象一定有部分在直線/(')=的下

方,

又因?yàn)椴坏仁奖龋?2ax+a<0的解集中無(wú)整數(shù)解，所以該部分圖象橫坐標(biāo)中沒(méi)有整數(shù),

???g(x)=xe',Ag(x)=(x+l)er,設(shè)直線/(x)=2ar—a與曲線g(x)=xe'相切于點(diǎn)。明〃)，

)，消去a整科得2”'-m-1-O>解得加=一］或，〃=1,

則有m

me=2am-a2

若陽(yáng)=1,則切點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，若不等式叱-2依+"0的解集非空，解集中?定含有整數(shù)1，所以不合題意,

m=1舍去;

故吁二1，則切線的斜率為2a=(」+1].=立,解得〃=立

22I22c4e

又由題意知原不等式無(wú)整數(shù)解，結(jié)合圖象可得當(dāng)x=-l時(shí)，/(-=-3a,g(—l)=—g,

當(dāng)f(—l)=g(—1)時(shí)，解得。=±，當(dāng)直線/W=2a.a繞著點(diǎn)|-,oj旋轉(zhuǎn)時(shí),

要使不等式靖-2公+4<0的解翼非空，且解集中無(wú)整數(shù)解，必有得〈逅，故實(shí)數(shù)■的取值范圍是

3e

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是正確理解不等式的解集非空且不包含整數(shù)；二是數(shù)形

6/55

結(jié)合思想的應(yīng)用，將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象間的位置關(guān)系.

6.(2025?甘肅?模擬預(yù)測(cè))若關(guān)于x的不等式(妙-2)/2..2|7>0)有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是()

A.(0,1]B.[2-e,DC.(0,1)D.[e-2,D

【答案】C

【分析】設(shè)/(x)=竺」(。>0),利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)/(x)的單調(diào)性，再結(jié)合特殊點(diǎn)及一次函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)

e

出函數(shù)/(x),g(x)的大致圖象，根據(jù)圖象列不等式組求解即可.

【詳解】設(shè)/(》)=巴」S>0),g(x)=x-2,

e

則不等式(?-2)/2工-2(。>0)即/(x)>g(x)有且只有兩個(gè)整數(shù)解.

所以當(dāng)誓時(shí)?，/'(力>0,/(力單調(diào)遞增,

當(dāng)工>空Z(yǔ)時(shí)，/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減.

a

當(dāng)工時(shí)，/(x)=0,當(dāng)x<4時(shí)，/(x)<0,當(dāng)時(shí)，/(x)>0,

aaa

當(dāng)上無(wú)限趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，無(wú)限趨向于負(fù)無(wú)窮大，

當(dāng)X無(wú)限趨向了正無(wú)窮大時(shí)，/(力無(wú)限趨向于0.

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在R上單調(diào)遞增,g(O)=-2,g(l)=-l,g⑵=0,

則〃O)=W=—2,/(l)=jj(2)=^J(O)=g(O)，

eee

函數(shù)/(x)，g(x)的大致圖象如圖

y=g(x\

2/

/%/U)

J

由圖可知，要使/(x)2g(x)有且只有兩個(gè)整數(shù)解，這兩個(gè)整數(shù)解必然是0,1,

7/55

所以2—0解得2V?又。〉。，所以

故選：C.

?題型二距離問(wèn)題一：一點(diǎn)一曲(直)?

1.設(shè)點(diǎn)4a0),尸為曲線y=e'上動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)力，。間距離的最小值為幾，則實(shí)數(shù)，的值為()

_5_cIn2cln3

A.5/5B.-C.2H----D.2H----

222

【答案】C

【分析】設(shè)尸求|力砰，作為x的函數(shù)，其最小值是6,利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求邛的最小值.

【詳解】設(shè)尸(X,"),則MP「=(XT)2+/',記g(x)=e2x+(xT)2,

g,(x)=2e2v+2(x-/),易知g'(x)=2e2x+2(xT)是增函數(shù)，且g(x)的值域是A,

g'(X)=0的唯一解與,且X<X°時(shí)，g'(X)<0,X>X0時(shí)，g'(X)>0,即g(X)min=g(%),

2x

由題意g(Xo)=e"+(XoT)2=6,而g'(Xo)=2e2"+2(XoT)=O,x0-t=-e^,

Ae2x<,+e4x°=6，解得《2%=2，*)=竽.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查用導(dǎo)數(shù)求最值.解題時(shí)對(duì)不和/的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵.

2.(23-24高三下?湖北?月考)已知點(diǎn)M(l,0),從拋物線/=4y的準(zhǔn)線/上一點(diǎn)P引拋物線的兩條切線尸力，

PB,且A,B為切點(diǎn),則點(diǎn)“到直線力4的距離的最大值是()

A.72B.75C.2D.3

【答案】A

【分析】設(shè)出點(diǎn)P,48的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線249的方程，進(jìn)而抽象出直線43的方程,

即可推理作答.

【詳解】拋物線產(chǎn)=心的準(zhǔn)線為丁=-1,設(shè)點(diǎn)。&-1),4(不乂),8(與,必)，對(duì)函數(shù))，=：/求導(dǎo)得/=

于是直線P/1的方程為‘-乂=；*(■*),即y-必=g$x-gx；,亦即歹=；,中一乂，

8/55

同理，直線心的方程為），=：*21-必，而點(diǎn)P為直線產(chǎn)力、PB的公共點(diǎn)，則＜tx}-2yy+2=0

tx2-2y,+2=0

因此點(diǎn)A,3的坐標(biāo)都滿足方程狀-2y+2=0,即直線的方程為a-2y+2=0,從而直線4夕恒過(guò)定點(diǎn)

（01），

所以點(diǎn)”到直線的距離的最大值”=J（1一0）2+（0一1）2=6.

故選：A

3.設(shè)。為j，=；/-2圖象。上任意一點(diǎn)，/為C在點(diǎn)戶處的切線，則坐標(biāo)原點(diǎn)O到/距離的最小值為.

【答案】2

【分析】設(shè)出切點(diǎn)P坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)求得C在點(diǎn)P處的切線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式寫(xiě)出坐標(biāo)原點(diǎn)。到

/距離，再由基本不等式求最小值.

【詳解】設(shè)尸（/二年一2）,

4

由二一;N-2,得/=4x,

42

則C在點(diǎn)P處的切線方程為：y-；/?+2=；/（.丫-工0）,

2

整理得：2V-4y-xo-8=O.

.?.坐標(biāo)原點(diǎn)。到/距離d=而梟4君*口1x；+4+4

V+4

當(dāng)且僅當(dāng)"瓦2+4=1三

即知=0時(shí)上式等號(hào)成立.

???坐標(biāo)原點(diǎn)O到/距離的最小值為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，訓(xùn)練了利用基

本不等式求最值，是中檔題.

14

4.（23-24高三上?遼寧錦州?期末）已知曲線C：r+r=l,點(diǎn)P是曲線C上的一點(diǎn)，則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)

xy

的距離的最小值是.

【答案】3

9/55

【分析】設(shè)點(diǎn)尸(幾，衣)，得出"2=-^：,從而得出點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d=j/2+草7,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求

V-1Vx0--i

出最小值即可.

14

[詳解】設(shè)點(diǎn)戶(方,在),則有—+—=1，

X。%

所以%2=W7,(V>1)

X0T

點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d=&+婕=卜,

Af

設(shè)，="，/(。=/+'7">1)，

/—1

則%)=]+竺二匕史=吐崢，

J-("I)?("I)?

在(1,3)上,r(/)<0,在(3,+00)上,在。>0,

所以所。=f+3在f=3時(shí)有最小值/(3)=9,

/-1

所以d=的最小值為的=3.

故答案為：3

5.若點(diǎn)4(00與曲線y=lnx上點(diǎn)A距離最小值為2石，則實(shí)數(shù)，為.

【答案】51n3+3

【分析】設(shè)點(diǎn)4的坐標(biāo)為(〃4nm),對(duì)函數(shù)y=lnx求導(dǎo)得

由題意可知，直線力8與曲線y=lnx在點(diǎn)8處的切線垂直，

進(jìn)而利用兩點(diǎn)距離公式即可求出|，4M的最小值

【詳解】設(shè)點(diǎn)8的坐標(biāo)為(〃川nm),對(duì)函數(shù)y=lnx求導(dǎo)得歹=」,

X

由題意可知，直線力5與曲線y-ln4在點(diǎn)。處的切線垂直，則&8=匕見(jiàn)”二一/〃，

得2=nr+Inm，

由兩點(diǎn)間的距離公式得|力卻=J〃/+(f_ln〃?)2=J/+/,

由干|力用的最小值為28，即〃J+〃[2=]2,?.”>(),解得〃『石，

因此，Z=3+lnx/3=3+—ln3.

10/55

故答案為：qln3+3

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)題意，直線45與曲線N=lnx在點(diǎn)8處的切線垂直，則々而二匕業(yè)二:-/%得到

一"，

2

/=/n+lnW,進(jìn)而得到|”|=J/+a—m〃?)2,即可求出m,進(jìn)而求出/,屬于中檔題

?題型三距離問(wèn)題二：一直一曲(直)?

1.(24-25高三上?福建福州?期中)若點(diǎn)P是曲線y=e'上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x-3踮離最小值為

()

A.1B.y/2C.2N/2D.y-

【答案】C

【分析】設(shè)出點(diǎn)。的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式列式，再構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出最小值.

|e'-x+3|

【詳解】依題意，設(shè)點(diǎn)P(x,e')，則點(diǎn)。到直線》-歹-3=0的距離4=~4T~

令函數(shù)/(x)=e*—x+3,求導(dǎo)得，a)=e'-l,當(dāng)x<0時(shí)，/'(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，/'(x)>0,

函數(shù)/(幻在(e,0)上單調(diào)遞減，在電+0。)上單調(diào)遞增,則〃x)/=/(0)=4,

所以點(diǎn)尸到直線y=x-3距離最小值為擊=2及.

故選：C

2.已知點(diǎn)P在曲線E：k=l(x＞0)上，點(diǎn)。在直線2x+y=0上，則。兩點(diǎn)距離最小值為()

A而2710「舊2＞/5

A.---on?-------Un?----

5555

【答案】B

【分析】由題可知，當(dāng)曲線E在戶點(diǎn)處的切線與2x+y=0平行時(shí)，兩平行直線間的距離為P,。兩點(diǎn)距離最

小值.

【詳解】由題可知，曲線上:孫=1。＞0)為y=L(x＞。)，

X

則:/=-}(》＞0),設(shè)尸(.％,”)，

當(dāng)曲線￡在。點(diǎn)處的切線與2x+y=0平行時(shí)，兩平行直線間的距離為P,。兩點(diǎn)距離最小值，

11/55

所以曲線E在2點(diǎn)處的切線方程為丁-拉=-2X-即2x+y-20=O,

-2V22x/22x/10

此時(shí)R。的距離最小值為直線2x+y—2貶=0與直線2x+y=0的距離：d

故選：B.

9

3.（2025?河南駐馬店?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P為曲線y=x+—上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)。到直線x+y=0的距離的最小

值為（

「972

A.3及

2

【答案】B

【分析】根據(jù)曲線的切線與直線平行時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離最小，求出曲線的切點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距

離公式計(jì)算最小距離即可.

【洋解】設(shè)曲線y-x+2在點(diǎn)尸處的切線與直線工+丁=0平行，

由"4一,得一苧,則。殍笥或+當(dāng)當(dāng)）

逑+述3/29/2|

則動(dòng)點(diǎn)尸到直線x+y=0的距離的最小值為‘三十；-r66

a=.—=----.--=~—=6

所以點(diǎn)尸到直線x+y=o的距離的最小值為6,

故選：B.

4.（24-25高三上?江蘇南通?月考）設(shè)函數(shù)/（》）=/+|./+如.若函數(shù)P=/（x）在工=%和%=%+1的切線

互相平行，則兩平行線之間距離的最大值為（）

11人12

A.-B.-C.-D.—

6323

【答案】C

【分析】求出函數(shù)八門(mén)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及平行關(guān)系求出切線方程，進(jìn)而求出最大距離.

【詳解】函數(shù)/（》）=/+3父+奴，求導(dǎo)得/'（x）=3x'+3x+。，

依題意，/'（%+1）=/'（/）,即3（芍+1）2+3（t+1）+°=3%+3%+a,解得/=-1,

則兩條切線的斜率為/'（0）=。，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)切點(diǎn)為（-,-。）,（0,0），

切線方,程為y_（；_Q）=a（x+l）和y=Q,即or—y+g=0和ar-y=0,

12/55

切線4X-j，+g=0過(guò)定點(diǎn)40,g）,切線辦7=0過(guò)定點(diǎn)0（0,0）,

所以兩平行線之間距離的最大值為I。力l=g.

故選：C

5.已知點(diǎn)P是曲線y=——31nx上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線2x+2y+3=0的距離最小，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)

為.

【答案】（1,1）

【分析】求出平行于直線2x+2y+3=0且與曲線y=x2—3lnx相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，此時(shí)曲線上的點(diǎn)P到直線

的距離最小.

【詳解】解：由題意知，曲線y=/—3inx,x>0,y=2x--=^—令y'=0,得1=逅/=-逅（舍）,

xx22

所以函數(shù)在（（）,逅）上單調(diào)遞減，在（巫,+8）上單調(diào)遞地，如下圖所示，為曲線y=x2—31nx與直線

在點(diǎn)尸的切線與直線2x+2y+3=0平行時(shí)，此時(shí)曲線上的點(diǎn)P到直線2x+2y+3=0的距離最小.設(shè)

a3a

P（Xo，yo）（Xo>O），則y'=2x-L貝lj2x0--=-1,解得.％=1（x°=-：舍去），所以P（l,l）.

xx02

故答案為：（U）

?題型四距離問(wèn)題三：兩個(gè)曲線?

1.曲線y=ex上到直線卜="+正的距離為十的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.I

【答案】C

【分析】設(shè)曲線y=e'上的點(diǎn)坐標(biāo)為（x,e、），根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得出關(guān)于x的方程式，根據(jù)，，三個(gè)等價(jià)，，

從函數(shù)圖象的角度得出交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論.

13/55

【詳解】設(shè)曲線y=e'上的點(diǎn)坐標(biāo)為(x,e),點(diǎn)到直線y=cx+j5的距崗為;,

即：J"一：+理」,化簡(jiǎn)得：ex-e'+后卜!歷7,

212

令/(x)=ex-e'+近,求導(dǎo)得：r(x)=e-e>

.?.當(dāng)x<l時(shí)，/r(x)>0,/(力單調(diào)遞增；

當(dāng)%>1時(shí)，，(x)<0,/(、)單調(diào)遞減：

"2(')=八1)=后>0,又??./(一1)<。，/(2)<0,

.?—1,1),使〃xJ=O；.?.電?1,2),使〃％)二°；

??.對(duì)于函數(shù)g(x)=k"e'+閔，則有：

xe(YO,xJ,g(x)單調(diào)遞減；(?石,1),g(x)單調(diào)遞增；

X?l/2)，g(x)單調(diào)遞減；XG(X2,+OO),g(X)單調(diào)遞增;

x*/g(l)=V2<i\/e2+1,

8(工)=k-十+間與直線>；有兩個(gè)交點(diǎn)，

???曲線y=e，上到直線》=6+應(yīng)的距離為g的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè).

故選:C.

2.(24-25高三下?河南周口?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/("=lnx7+2,直線/:x+2y-4-21n2=0,點(diǎn)尸是

曲線V=/(x)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)。是直線/上任意一點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P,0間的距離為止則下列說(shuō)法正確的是().

A.d的最大值為3B.d的最大值為坡

55

C.d的最小值為金D."的最小值為邁

55

【答案】D

【分析】首先判斷直線/、/(力的位置關(guān)系，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意知與直線/平行且與/(x)相切的直

線，其對(duì)應(yīng)切點(diǎn)到直線/的距離，即為d的最小值，即可求.

【詳解】由直線/的方程，得尸-%+2+ln2.

令g(x)=/(x)———x+2+In2=Inx——x-\n2,x>0,

則g[x)=112-x

5二方~

14/55

當(dāng)x?0,2)時(shí),g")>0,g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(2,*o)時(shí)，g<x)<0,g(x)在(2,4<o)上單調(diào)遞減，

所以g(x)的最大值為g(2)=ln2-gx2-ln2=—l<0,

所以g(x)<0恒成立，所以曲線y=〃x)與直線/無(wú)交點(diǎn)，且曲線歹=/(》)在直線/的下方.

由題設(shè)/'(x)=Ll且x>0,設(shè)直線/'與直線/平行且與/(x)相切，

.V

則直線/'與“X)的切點(diǎn)到直線/的距離，為"的最小值，且d無(wú)最大值，

乂々=一(，

因?yàn)?(x)=lnx_%+2,x>0,求導(dǎo)，==—.

XX

]-Y1

解—=一：，得x=2,

x2

因?yàn)?(2)=ln2—2+2=加2,所以P(21n2).

此時(shí)，點(diǎn)0至I」直線/的星巨離為|2+2,242、2|=多.半,

4+2?V55

所以d的最小值為名巨.

5

故選：D.

3.已知點(diǎn)戶(?"?")是函數(shù)y=e'圖像上任意一點(diǎn)，點(diǎn)。是曲線(x-e，2)2+y2=]上一點(diǎn)，則,°、。兩點(diǎn)之

間距離的最小值是.

【答案】e2x/77T-l

【分析】依題意可得曲線1-r-2『+/=1表示圓心為。3+2,0),半徑廠=1的圓，由距離公式表示出

\PD\,令/(x)=(x-c-2丫+小，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的最小值，即可求出|明的最小值，最后由

|P°L=P°L「〃計(jì)算可得.

【詳解】曲線卜-/-2)。_/=1表示圓心為。?、2,0),半徑r=l的圓，

422Ab

則|PQ|=^(.v0-e-2)+e,

令/(力=卜_e4-2『+則/1X)二21一/一2)+2e2x,

令g(x)=/'(x)=2(x-e，2)+2e”，則/⑴=2+4?2、>0,

所以g(x)單調(diào)遞增，又g(2)=0,

所以當(dāng)x<2時(shí)g(x)〈0,即/'(X)<(),即/(%)在(f,2)上單調(diào)遞減，

15/55

當(dāng)工>2時(shí)g(x)>o,即r(x)>0,即/(力在(2,+8)上單調(diào)遞增,

4

所以/(X)在x=2處取得極小值即最小值，即/(、)1111n=/(2)=e'+e,

所以|PQ|=-eJ2『+e?*。2Je*+1=JV77T，

所以|尸。［由=|raLn-〃=e?>/?+1-1.

故答案為：e2Ve4+1-1

4.(24-25高三下?河南周口?開(kāi)學(xué)考試)記曲線G:?=/+/+?關(guān)于直線/:y=2x-l的對(duì)稱曲線為G，則

G上任意一點(diǎn)與G上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為.

【答案】痍石

55

【分析】先分析曲線G與直線/是否存在交點(diǎn)，若存在交點(diǎn)則距離的最小值為0,若不存在交點(diǎn)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為與直線/平行的切線所對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)到直線/的距離.

【詳解】因?yàn)椤?1)>0+；=1,所以G與1沒(méi)有公共點(diǎn)，

則G上任意一點(diǎn)與C?上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為G上任意一點(diǎn)與/上任意一點(diǎn)之間距離最小值的2倍.

設(shè),4(〃,0“+/+。)為《|上的一點(diǎn)，

因，=er+2X+1,則過(guò)A點(diǎn)的切線斜率為k=e“+2a+1,

令y=e'+2,r+l,則y=ev+2>0,

故》=6*+2%+1是遞增函數(shù)，且當(dāng)。=0時(shí)，e“+2°+l=2,

則上=2存在唯一解。=0,此時(shí)過(guò)點(diǎn)力(01)的切線與/平行，

所以G上任意一點(diǎn)與/上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為點(diǎn)4(0,1)到直線/的距離，

所以G上任意?點(diǎn)與G上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為24=菅.

故答案為：生叵.

5

5.已知0是函數(shù)y=2e'圖象上任意一點(diǎn).若點(diǎn)。的坐標(biāo)(xj)滿足：/廿-In(2x-用工1,則|尸。|的最小

值為.

【答案】任

5

【分析】利用切線不等式和不等式性質(zhì)可得e2T-Jln(2x-y"l。結(jié)合條件於一日-In(2、-歹51可推得

2,

e^---ln(2x->-)-l,從而可得點(diǎn)Q在直線2》-)，一1一0上運(yùn)動(dòng)，設(shè)與2x-y-1-0平行的直線與》-21相

16/55

切干點(diǎn)尸(方,2/)，利用求導(dǎo)求得切點(diǎn)尸(0,2),結(jié)合圖形計(jì)算出點(diǎn)P到直線2、-歹-1=0的距離即可.

【詳解】易證e'2%+1，huWx—l(x>0).(后續(xù)提供證明)，所以e2xeN2x—y,\n(2x-y)<(2x-y)-\,

由不等式的性質(zhì)知e2'-i-ln(2x-y)21,當(dāng)且僅當(dāng)2x-y-1=0時(shí)取等號(hào)，

姑合已知可得e2x--ln(2x-y)=l,此時(shí)2x-y-l=0,即點(diǎn)。在直線2彳一》-1=0上運(yùn)動(dòng).

設(shè)與2x-y-1=0平行的直線與y=2e*相切于點(diǎn)尸卜。,2W),令=2c"=2得/=0,

故切點(diǎn)為產(chǎn)(U,2),由圖知其到直線2x-yT=0的距離］=亭即為歸0|的最小值.

證明：設(shè)/(x)=e'—(x+l),則r(x)=e'—l,

當(dāng)x<0時(shí)，/'")<(),當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0,

故函數(shù)/(x)=e、-(x+1)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,竹))上單調(diào)遞增.

故/3)之/(0)=0,即e'O+l得證.

1[—X

乂設(shè)g(x)=lnx-(x-l),則g(x)=--1=——，當(dāng)Ovxvl時(shí),g'(x)>0,

XX

當(dāng)x>l時(shí)，gV)<0,故函數(shù)g(x)=lnx-(x-l)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)卜.單調(diào)遞減.

故g(x)4g(1)=0,即—得證.

故答案為：堂.

5

題型五距離問(wèn)題史：水平點(diǎn)間的距離

1.己知直線X”與函數(shù)/(x)=x+l,g("=ln(2x+l)的圖像分別交于46兩點(diǎn)，則H同的最小值為()

133

A.一一In2B.l-ln3C.一一21n2D.一一In2

222

【答案】D

【分析】將兩個(gè)函數(shù)作差,得到函數(shù)力(口=/(幻-g(x),再求出函數(shù)的最小值即可求出結(jié)果.

17/55

【詳解】設(shè)h(x)=/(x)—g(x)=x+l-ln(2x+l)(x>-

22.v-l

則力'(x)=l-

2x+l2x+l

當(dāng)時(shí)，h\x)<0,當(dāng)〃(x)>0,

222

所以/心”/(x)-g(x)在區(qū)間(-gg)上單調(diào)遞減，在區(qū)間+8)上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)“號(hào)時(shí)，〃⑶-。。取得最小值,

所以|力回的最小值為|-ln2,

故選：D.

2.設(shè)函數(shù)/(x)=sin2x,g(x)=^x+旦,直線x=與/(x)、g(x)的圖像分別交于點(diǎn)M、N,

2IL2」,

則|MN|的最小值為()

A.近B.2C.叵D.亙

248128

【答案】D

【分析】設(shè)。(/)=歷+*-sin2i,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函

數(shù)的最小值.

【詳解】解：設(shè)/)="+乎-sin2z，fe。仁,則在(。=應(yīng)-2cos2/,

由力‘1)<()可得0</<巳，由〃(“>()可得工<,<工,

882

所以3)在(0卷)上單調(diào)遞減,在《身上單調(diào)遞增,

???力(。在|=?處取得最小值。

O

故選：D.

3.已知函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)/(x)=e'-x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，動(dòng)直線”與函數(shù)f(x),g(x)的

圖象分別交于點(diǎn)48,函數(shù)/(x)的圖象在A處的切線人與函數(shù)g(x)的圖象在8處的切線4相交于點(diǎn)C,則

VABC面積的最小值是.

【答案】2

【分析】先利用兩個(gè)函數(shù)對(duì)稱求出解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，利用基本不等式可求答案.

18/55

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)g(X)的圖象與函數(shù)/(x)=c'-x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

所以g(x)=-/(-x)=—所以|第=|/(4)-g(4)卜e"+e\

ra)=e'Tg'(x)=erTr(a)=e“Tg'(a)=e-"-l,

所以直線4：y-(ea-a)=(e°-l)(x-a),即尸(e。-l)x+(l-a)e。；

直線6：y+(e-°+a)=(ei_l)(x_4),即y=(e"_l)x_(l+a)e-\

ua

y=(e-l).v+(l-?)e(加+,+］、。

聯(lián)力得七

y=(e'a-l)x-(l+a)e~a

所以點(diǎn)C到x=。("0)的距離為4=

設(shè)V/8。的面積為S,則咱。")然卜愛(ài)孑

令/=e"-e，貝|］卜"+。-")2=(ca-c-a)?+4=r+4,

S《(M+仆，2局=2,當(dāng)且僅當(dāng)卜|=j，W=2,即卜a-e[=2時(shí)，取到等號(hào).

故答案為：2

4.(23?24高三下?福建泉州?月考)雙曲線C-)J=1的左、右頂點(diǎn)分別為兒B,。為C上一點(diǎn)，直線

PA,與x分別交于M,N兩點(diǎn)，則的最小值為.

【答案】石

【分析】設(shè)PQoJo),/H±1,%w0,片-*=1，寫(xiě)出直線方程求得M4點(diǎn)縱坐標(biāo)后，求出|MN|,然

后利用導(dǎo)數(shù)求得最小值.

【詳解】由題意4一1,0)，5(1,0),設(shè)P(x°Jo),x0#±l,用/0,焉-4=1,

直線產(chǎn)力方程為"等T-D’令得”事

直線FA方程為y=』7。-1),令X=:，得J=/1、，

%T22(x0-l)

M(4?%-2)%2^7T-I

2(x:-l)

0y展hl

設(shè)“)=*8。)'貝"岳'

/G)二o得尸百,

19/55

0<y<6時(shí)，f\y）<0,y>有時(shí)，f'（y）>o,

???/U）在（o,G）上遞減，在（由,+8）上遞增，

y=百時(shí)，/（XU=/'（G）=G，

所以|MNL=6?

故答案為：戶.

5.（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線=八0）的左、右頂點(diǎn)分別為48,直線x=x。與雙

a-b、

曲線。交于不同的兩點(diǎn)P,Q，設(shè)直線力尸潭。的斜率分別為勺內(nèi)，則當(dāng)上即一言-；（咽2+ln用取得最

abZK}K24'

小值時(shí)，雙曲線。的離心率e=.

【答案】V10

【分析】設(shè)產(chǎn)（％,為），則。小,一為），求得秘2=-與，得到河=2+2+竺—In。，令，=2>0,得到

a~ab2baa

A/|/）