第2節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

【課標(biāo)要求】（1）借助函數(shù)圖象，會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解其實(shí)際意義；（2）掌握函

數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性

L單調(diào)性的定義

要求Xl，X2一般地，設(shè)函數(shù)/（X）的定義域?yàn)?。，區(qū)間/Q。，如果VX|,X2^I,當(dāng)無1＜X2時(shí)

要求

都有f（Xl）＜f（X2）都有[（尤1）＞1（制）

定了（尤1）與/（必）

義函數(shù)f（無）在區(qū)間/上單調(diào)遞增；若函數(shù)f函數(shù)―名區(qū)間/上單調(diào)遞減；

結(jié)論G）在定義域D上單調(diào)遞增，則/（%）為增函若函數(shù)/（%）在定義域。上單調(diào)遞減,

數(shù)則/（X）為減函數(shù)

圖象描述

自左向右看圖象是下降的

自左向右看圖象是上升的

2.單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=/（x）在區(qū)間/上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=/（無）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）

單調(diào)性，區(qū)間/叫做y=f（尤）的單調(diào)區(qū)間.

結(jié)論（1）若函數(shù)/（x）,g（無）在區(qū)間/上具有單調(diào)性，則在區(qū)間/上具有以下性質(zhì)：①在公共定義域內(nèi)，增函

數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；增函數(shù)一減函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)一增函數(shù)=減函數(shù)；②若k＞

0,則妖（x）與/（x）單調(diào)性相同；若左＜0,則夕'（x）與/（尤）單調(diào)性相反；③函數(shù)y=f（x）（/（x）＞0）在

公共定義域內(nèi)與y=—/（x）,y=f的單調(diào)性相反.

（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足同增異減.

【例1】（1）〔多選〕（北師必修一P65習(xí)題A5題改編）下列函數(shù)在（0,+8）上單調(diào)遞增的是（AC）

A.y—ex—^xB.y=Ix2—2xI

C.y=2x+2cos無D.y=Jx2+x—2

解析：：丫=^與y=—e"均為R上的增函數(shù)，；.y=ex—e-x為R上的增函數(shù)，故A正確；由y=I2xI的圖

象（圖略）知，B不正確；對(duì)于C,y=2-2sinx》0,...,=2尤+2＜：05；＜:在（0,+8）上單調(diào)遞增，故C正確；y

=]久2+刀一2的定義域?yàn)椋ā?,—2]U[1,+8）,故D不正確.

（2）（人A必修一P78例1改編）試討論函數(shù)/（x）=含QW0）在（一1,1）上的單調(diào)性.

解：法一（定義法）設(shè)一

f(x)=aC1+1)=a(1+-^—),

X—lX—l

則/(為)~f(^2)=a(1+―^―)~a(141)a(次一%i)

x2~l—

由于-1Vxi<X2<L

所以一乃>0,x\—KO,X2—IVO,

故當(dāng)a>0時(shí)，f(xi)~f(x2)>0,

即/(尤1)>f(X2),函數(shù)/(X)在(一1,1)上單調(diào)遞減;

當(dāng)a<0時(shí)，f(xi)~f(%2)<0,

即f（Xl）<f（X2），函數(shù)/（x）在（一1,1)上單調(diào)遞增.

(ax)'(x—l)-ax(x—1)'a(x—l)-ax__a

法二（導(dǎo)數(shù)法）f222'

(x—1)(x—1)(x—1)

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)<0,函數(shù)/（無）在（一1,1）上單調(diào)遞減;

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)>0,函數(shù)尤）在（一1,1）上單調(diào)遞增.

規(guī)律方法

1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

（1）定義法；（2）圖象法；（3）利用已知函數(shù)的單調(diào)性；（4）導(dǎo)數(shù)法.

提醒函數(shù)在兩個(gè)不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，一般要分開寫，用“，”或“和”連接，不能用“U”.

練1（1）函數(shù)/（無）=（x-4）-1x1的單調(diào)遞增區(qū)間是（C）

A.（—8,o）B.（一巴o）U（2,+為）

C.（一巴0）和（2,+力）D.（2,十8）

—ziYx>n

一函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

—X2+4x,x<0,

(—8,0)和(2,+8),故選C.

（2）函數(shù)y=lo史（X2-2X+3）的單調(diào)遞增區(qū)間為（A)

2

A.(—8,1)B.(-1,0)

C.(-1,1)D.(1,+8)

解析：（2）因?yàn)閥=lo史（f—2%+3）,且2x+3=（%—1）2+2>0,所以函數(shù)y=lo史（x2—2x+3）的定義

22

域?yàn)镽,設(shè)〃=f—2x+3,所以〃在（一8,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增，而y=log工〃在（0,+

2

8）上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)y=lo生（x2—2x+3）的單調(diào)遞增區(qū)間為（一功，1）.

2

知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的最值（值域）

前提設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)?。，如果存在?shí)數(shù)M滿足

①VxGO,都有f(x)WM；①V尤G￡>,都有f(x)；

條件

@Bx0^D,使得f(xo)=M@Bx0^D,使得尸(尤o)=M

結(jié)論M是函數(shù)y=/(x)的最大值M是函數(shù)y=/(x)的最小值

【例2】(1)(人A必修一P81例5改編)函數(shù)g(x)=竺二在區(qū)間［工，2］上的最小值是(B)

x2

A.-1B.OC.-2D.-

2

解析：(1)(單調(diào)性法)Vg(x)='」=2+一，/.g(X)在號(hào)，2］上單調(diào)遞增，.??g(x)min=g(1)=2

+一■=0,故選B.

2

(2)已知x>l,則/(無)=。的最大值是勺.

Jxz+24

解析：(2)(換元法)令％—1=￡,貝1x=/+l,/>0,則g(力=----J—=-^——=——.Vr+-^2V3,當(dāng)

(t+l)+21+2t+3t+-+2t

且僅當(dāng)時(shí)，"=”成立，，―一三一—=四二.(x)的最大值為由二.

t+-+22V3+244

規(guī)律方法

求函數(shù)最值(值域)的常用方法

(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；

(2)數(shù)形結(jié)合法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值；

(3)配方法：主要用于和一元二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)求值域問題；

(4)換元法：引進(jìn)一個(gè)(幾個(gè))新的量來代替原來的量，實(shí)行這種“變量代換”；

(5)分離常數(shù)法：分子、分母同次的分式形式采用配湊分子的方法，把函數(shù)分離成一個(gè)常數(shù)和一個(gè)分式和的形

式.

練2(1)已知函數(shù)/(x)=空三*二(。>0)在區(qū)間［2,6］上的最大值為5,貝ija=(B)

A.2B.3

C.15D.3或15

(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,定義min{a,b}=[a，a-設(shè)函數(shù)/(x)=~x+3,g(x)=log2%,則函數(shù)〃(x)

(h,a>b.

=min{/(x),g(%)}的最大值是1、

解析：(1)/(無)=2x+<。.2)=2“—I)+a=2+3.因?yàn)閝〉。,所以函數(shù)尤)在(1,+8)上單調(diào)遞減，所

X—lX—lX—1

以函數(shù)/(%)在區(qū)間［2,6］上的最大值為/(2)=2+^^=2+〃=5,解得〃=3.

(2)法一(數(shù)形結(jié)合法)在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)/(x),g(x)的圖象，依題意，h(x)的圖象為如圖所示

的實(shí)線部分.易知點(diǎn)A(2,1)為圖象的最高點(diǎn)，因此/z(x)的最大值為//(2)=1.

Ay

3'、一―

y=h(x)

O(2x

法二(單調(diào)性法)依題意，h(x)=『°先心°<"*2,當(dāng)0<無忘2時(shí)，h(x)=log2X單調(diào)遞增，當(dāng)x>2時(shí)，h

1—%+3,x>2.

(%)=3—冗單調(diào)遞減，因此〃(x)在％=2時(shí)取得最大值0(2)=1.

提能點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

角度1比較函數(shù)值的大小

【例3】(1)(2025?錦州聯(lián)考)若了(尤)是定義在(一8,十8)上的偶函數(shù)，對(duì)任意的xi,x2e[0,+°°)且

xiW血,有f⑻<o,則(B)

%2—^1

K.f(3)</(1)</(-2)

B./(3)</(-2)<f(1)

C./(—2)</(1)<f(3)

D./(1)</(-2)<f(3)

解析：(1)?.?對(duì)任意的為，x2e[0,+8)且xiW尤2,有,"2)?so<o.；.當(dāng)尤2o時(shí),函數(shù)y(x)單調(diào)遞減，

：.f(3)</(2)</(1),又/(%)是定義在(-8,+8)上的偶函數(shù)，/(X)=/(一%),???/(3)</(-

2)</(1).

(2)若〃=ln3,b=lg5,c=logi26,則(D)

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>c>b

解析：(2)Vtz=ln3>lne=l,b=lg5<lg10=1,c=logi26Vlogi212=l,.\a>b,a>c,只要比較Z?與c的大

小，?；35=氣=乎三，i°g]26=%=JR,.?.構(gòu)造函數(shù)/(x)=a=1—七(尤>0),顯然函數(shù)/(%)

log2101+10025log212l+log261+x1+x

在(0,+°°)上單調(diào)遞增,又OVlog25Vlog26,(Iog25)<f(logz6),即Ig5<logi26,即c>6,故a>c>

b.

規(guī)律方法

利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小的方法

(1)若題目條件中有具體函數(shù)，比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則要利用函數(shù)的性

質(zhì)，將自變量的值轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較，或采用插值法比較大??；

(2)若題目條件中無具體函數(shù)，則需根據(jù)數(shù)值的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，再利用其單調(diào)性比較大小.

角度2解函數(shù)不等式

【例4】(1)(2025?濟(jì)寧模擬)函數(shù)y=/(x)是定義在[—2,2]上的減函數(shù)，且/(a+1)<f(2a),則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是(C)

A.[-1,0)B.(-1,0)

C.[-1,1)D.(-1,1)

(—2<a+1<2,

解析：(1)依題意得，一2w2aW2,=>—l/a<l.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是［-1，1).

(a+1>2a

2*XQ

'一'若/(a)</(6-?2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

{x3+1,x<0,

(D)

A.(-8,-2)U(3,+8)B.(-2,3)

C.(—8,-3)U(2,+8)D.(-3,2)

解析：(2)函數(shù)/(x)的圖象如圖，由圖可知/(x)在R上單調(diào)遞增.因?yàn)?(a)</(6-a2),所以a<6—

a2,解得一3<a<2,故選D.

規(guī)律方法

角度3求參數(shù)的值（范圍）

—Y2—20丫—zjY0

''在R上單調(diào)遞增，則4的取值

ex+ln（x+1）,久>0

范圍是（B）

A.（—8,o]B.E-1,0]

C.[-1,1]D.[0,+8）

（2）已知函數(shù)無）是R上的減函數(shù)，若/（以2—2元）在（1,+8）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是—

（-8,0].

解析：（1）因?yàn)?（x）在R上單調(diào)遞增，且尤20時(shí)，/（x）=e*+ln（x+1）單調(diào)遞增，則需滿足

-2x（-1）-解得一IWaWO,即a的取值范圍是[—1,0].故選B.

—a<eO+lnl,

a<0,

解析：（2）由題意知函數(shù)>="2—2x在（1,+8）上單調(diào)遞減，故1或“=0,解得

\—a<1

規(guī)律方法

利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的方法

（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程（組）（不等式（組））或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求

解；

（2）對(duì)于分段函數(shù)，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值.

練3（1）（2025?四川外國語大學(xué)附中模擬）若函數(shù)/（x）=4Ix—aI+3在區(qū)間［1,+8）上不單調(diào)，則°的

取值范圍是（B）

A.［1,+8）B.（1,+8）

C.（―8,1）D.（―8,1］

（2）（2023?全國甲卷文11題）已知函數(shù)/（x）=e-d）：記°=/（爭(zhēng)，匕=/（爭(zhēng)，（爭(zhēng)，貝|

（A）

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

（3）（2025?湘潭統(tǒng)考）已知函數(shù)/（x）=lnx+2\若/（x2—4）<2,則實(shí)數(shù)尤的取值范圍是（一遮，一2）

U（2,遮）.

解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)/（無）=4|x-aI+3在（-8,a）上單調(diào)遞減，在（°,+?=）上單調(diào)遞增.又函數(shù)了

（x）在區(qū)間［1,+8）上不單調(diào)，所以0>1,故選B.

2

（2）函數(shù)/（x）1）是由函數(shù)丁=巳"和〃=一（X—1）2復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，y=e"為R上的增函數(shù)，u=

-（x—1）2在（一功，1）上單調(diào)遞增，在（1,十8）上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，/（%）在

（—8,1）上單調(diào)遞增，在（1,十8）上單調(diào)遞減.易知/（X）的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱，所以C=/（爭(zhēng)=

f（2-y）,又曰<2—當(dāng)〈當(dāng)VI,所以/（?）<f（2-y）<f（y）,所以心C>0,故選A.

（3）因?yàn)楹瘮?shù)/（%）=lnx+2］在定義域（0,+功）上單調(diào)遞增，且/（I）=ln1+2=2,所以由/（/一4）<

2,得/（爐一4）</（1）,所以O(shè)Vx2—4V1,解得一遍<了<—2或2<工<遙.

課時(shí)跟蹤檢測(cè)

應(yīng)雙基過關(guān)

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2025?荷澤檢測(cè)）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=—j^+lB.y=y/x

i

C.y=-D.y=3—x

解析：By=—r+1在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，故A不符合題意；y=正是［0,+-）上的增函數(shù)，所以在區(qū)

間（0,1）上單調(diào)遞增，故B符合題意；丫=工在（0,+-）上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，故C

不符合題意；y=3—x在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，故D不符合題意.

2.函數(shù)/（無）=13+2x—%2的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.(一8,1]B.[l,+8)

C.[1,3]1]

解析：D函數(shù)/(x)=13+2%一/的定義域需要滿足3+2x——NO,解得了(x)定義域?yàn)椋?1,3］,因?yàn)閥=3

+2x—f在［-1,1］上單調(diào)遞增，所以/(x)=13+2支-%2在［-1,1］上單調(diào)遞增，故選D.

3.(2025?武漢一模)已知函數(shù)/(x)IxI,則關(guān)于x的不等式/(2%)>/(l-x)的解集為()

A.(-,+8)B.(—8,1)

33

C.(i,1)D.(-1,i)

33

%2xQ

'一'故/(x)在R上是增函數(shù)，由/(2x)>/(l-x),有2x>l—尤，

{-X2,x<0,

即x>|.故選A.

4.函數(shù)/(x)=2x—J久一)的最小值為()

3

A.-B.1

4

15

C.—D.2

8

解析：C設(shè)/=/%—1,則％=5+1,且/20,則g(/)=2(?+1)~t=2(r—-)2+—(/20),其圖象開口

Y48

向上，對(duì)稱軸為直線所以g⑺在［o,9］上單調(diào)遞減，在［%+°°)上單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)，g

40444°

⑺取得最小值，即/(x)而盧■

5.已知函數(shù)/(九)=%+必，X\,X2，X3￡R，%1+%2<0，X2+X3VO，X3+xi<0,那么/(Xl)+f(X2)+/(X3)的值

()

A.一定大于0B.一定小于0

C.等于0D.正負(fù)都有可能

解析：B因?yàn)?(x)=x+%3是增函數(shù)，且為十工2<0,所以/(%1)V/(―X2)?又易驗(yàn)證/(―X)=—/(%),

所以/(尤1)V-/(%2)，即/(%1)+/(X2)V0.同理/(尤2)+/(%3)<0,f(%3)+/(X1)V0.所以/(為)+f

(X2)+/(X3)=］［/(?)+/(X2)+/(X2)+/(尤3)+/(13)+/(尤1)］<0.

pX--p-X丫>Q

6.已知函數(shù)/(%)=''若〃=50°i,Z?=log32,c=log2().9,則有()

—%2,%<0,

A./(〃)>f(/?)>f(c)B/(。)>/(〃)>f(c)

C./(〃)>f(c)>f(/?)D/(c)>/(〃)>f(Z?)

解析：Ay=e”是增函數(shù)，y=—er是增函數(shù)，因此在(0,+°°)±f(x)=寸一?一“單調(diào)遞增，且此時(shí)/(x)>

0；又/(九)=—x2在(-8,0］上單調(diào)遞增，且/(%)W0,所以7(x)在R上是增函數(shù).c=log20.9V0,0<b=

log32VLa=5°Q］>L即a>b>c,所以/(〃)>f(Z?)>f(c).

7.(2025?滁州調(diào)研)若存在非正實(shí)數(shù)使得方程2工一°=工成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

X—1

A.(—0°,0)B.［-2,0)

C.(0,2］D.［2,+8)

解析：C由題意可得：0=2*—六，令/(X)=2工一士(xWO),因?yàn)閥=2l>=—￡?在(-8,0］上均單調(diào)

遞增，所以/(x)=2'一二一在(一8,0］上單調(diào)遞增，且/(0)=2,2*>0,-->0,所以0<2"—二-W2,所

X—1X—1X—1

以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,2］.

二、多項(xiàng)選擇題

8.(2025?泰安一模)已知函數(shù)了(無)滿足/(?=第，則關(guān)于函數(shù)/(x)的說法中正確的是()

AJ(無)的定義域?yàn)椋菼x#-l)

B./(x)的值域?yàn)椋鹹Iy^l,且y#2｝

C.f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減

D.不等式/(x)>2的解集為(一1,0)

解析：BCD由于/(2)=注匚=與，故/(x)=莊=1+--(xWO且無#—1),所以/(x)的定義域?yàn)椋鹸l

JXX+l1+-XJx+lx+lJ

xW—l,且xWO｝,作出其圖象(圖象略)，由圖象知，/(x)的值域?yàn)椋鹹I且)#2｝；/(x)在(0,十

“)上單調(diào)遞減；f(x)>2的解集為(一1,0).故選B、C、D.

9.(2025?揚(yáng)州開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=/—2ar+a在區(qū)間(一8,1)上有最小值，則函數(shù)g(x)=心?

在區(qū)間［1,+8)上()

A.單調(diào)遞減B.單調(diào)遞增

C.有最小值D.有最大值

解析：BC?.?函數(shù)/(%)=/一2依+4在區(qū)間(一8,1)上有最小值，，函數(shù)/(%)=——2公+〃的對(duì)稱軸應(yīng)位

于區(qū)間(一8,1)內(nèi)，則g(x)(%)=x+--2a,當(dāng)〃V0時(shí)，g(x)=%+2—2〃在區(qū)間［1,+°0)

XXX

上單調(diào)遞增，此時(shí)，g(x)2g(1)=1一〃；當(dāng)〃=0時(shí)，g(x)=x在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞增，此時(shí)，g

(x)2g(1)=1；當(dāng)OVaVl時(shí),g(x)=x+^~2a,g'(x)=1一爰:,g(x)在［1,+00)上單調(diào)

遞增，此時(shí)g(x)2g(1)=l~a,故選B、C.

三.填空題

%>1,

10.函數(shù)f(x)=\x的值域?yàn)?-8,2］.

—X2+2,x<1

工，%>1,

解析：法一(圖象法)作出函數(shù)/(%)=卜‘一’的圖象(如圖所示)，/(%)max=/(0)=2.由函數(shù)圖

—%2+2,x<1

象可知，f(x)的值域?yàn)?一8，2］.

法二(單調(diào)性法)當(dāng)工21時(shí)，函數(shù)，(x)=1單調(diào)遞減，所以/(x)在％=1處取得最大值，為/(I)=1；當(dāng)

1時(shí)，易知函數(shù)/(尢)=一f+2在x=0處取得最大值，為/(0)=2.故函數(shù)/(元)的最大值為2.所以/(無)的值

域?yàn)?-8,2].

11.(2025?無錫調(diào)研)已知函數(shù)/(x)(〃為常數(shù)).若，(x)在區(qū)間[1,+8)上單調(diào)遞增，貝的取

值范圍為(-8,1].

解析：由題意可知：y=3"在R上是增函數(shù)，且u—Ix-aI在(一8,上單調(diào)遞減，在(m+°°)上單調(diào)遞

增，所以/(x)在(一8,〃)上單調(diào)遞減，在(〃，十刃)上單調(diào)遞增，若/(x)在區(qū)間[1,+8)上單調(diào)遞

增，則〃W1,所以〃的取值范圍為(一功，1].

12.(2025?順義一模)能使“函數(shù)/(x)Ix-1I在區(qū)間/上不是單調(diào)函數(shù)，且在區(qū)間/上的函數(shù)值的集合為

[0,2]”是真命題的一個(gè)區(qū)間/為吟，2](答案不唯一).

解析：當(dāng)時(shí)，f(x)=X(x-1)=X2—X;當(dāng)尤〈1時(shí)，/(尤)=x(1—X)=—Xi+x,(X)在(一00,|),

(1,+8)上單調(diào)遞增，在G，1)上單調(diào)遞減.令/(x)=0,解得x=l或x=0；令/(x)=2,解得x=2,...只

需/=[a,2],OWaCl或/=(6,2],OW6<1時(shí)，f(x)在/上不單調(diào)且函數(shù)值的集合為[0,2].

四、解答題

13.(2025?濱州一模)已知函數(shù)/(x)="一島.

(1)求/(0)；

(2)探究/(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

(3)若/(無)為奇函數(shù)，求滿足了(")</(2)的x的取值范圍.

解：(1)/(0)—島=a—l.

(2)f(x)在R上為增函數(shù).證明如下：

V/(x)的定義域?yàn)镽,，任取的,%2￡R，且

則/(即)—f(%2)=a—一一—

J」2%1+12*2+1

_2?(2勺一2"2)

一(1+2肛)(1+2%2)*

,.?丁=2]在R上為增函數(shù)且%1<元2，

???0V2如V2%2,??.2%一2久2V0,2的+1>0,2^+1>0,

.*./(Xl)—f(X2)<0,即/(%1)<f(%2)，

：.f(x)在R上為增函數(shù).

(3)V/(x)是奇函數(shù)，."(一元)=一/(外，

.*./(ax)</(2),即為/(x)</(2).

又??V(%)在R上為增函數(shù)，：.x<2.

??.x的取值范圍是(一8，2).

14.(2025?紹興期末節(jié)選)設(shè)/(x)=f+l,g(x)=f(/(x)),F(尤)=g(%)—人于(x).問是否存在實(shí)

數(shù)4，使/(尤)在區(qū)間(一8,一彳)上單調(diào)遞減且在區(qū)間(一日，0)上單調(diào)遞增？若存在，求出A的值；若

不存在，請(qǐng)說明理由.

解：假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)3

則由/(犬)=x2+l,g(x)=f(/(x)),

得g(x)=(f+l)2+l.

??F(x)=g(x)—(x)=x4+(2—X)f+2—X.

令％=f,則/=%2在(一8,0)上單調(diào)遞減，

且當(dāng)無￡(—8,—?)時(shí)，

當(dāng)xG,0)時(shí)，0<r<i

22

故若下(x)在(一8,一日)上單調(diào)遞減，在(一日，0)上單調(diào)遞增，

則函數(shù)°(D=產(chǎn)+(2—4)t+2~A在(|,+8)上單調(diào)遞增，在(0,|)上單調(diào)遞減.

函數(shù)P(D=-+(2—兒)r+2-A的圖象的對(duì)稱軸為直線t=|,

即匚=工，則4=3.

22

故存在滿足條件的實(shí)數(shù)4(4=3),使尸(x)在區(qū)間(一8,一日)上單調(diào)遞減且在區(qū)間(一彳，0)上單調(diào)遞

增.

圍拓廣探索

15.(2025?揭陽一模)已知定義在R上的函數(shù)/(x),若對(duì)于任意的正整數(shù)"，有