第5節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征

【課標(biāo)要求】(1)了解離散型隨機(jī)變量的概念，理解離散型隨機(jī)變量的分布列；(2)理解離散型隨機(jī)變量的均

值、方差的概念；(3)能計算離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些簡單的實際問題.

知識點一離散型隨機(jī)變量的分布列

1.離散型隨機(jī)變量

對于隨機(jī)試驗樣本空間。中的每個樣本點co,都有唯一的實數(shù)X(co)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量.可能

取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量,我們稱為離散型隨機(jī)變量.

2.離散型隨機(jī)變量的分布列

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為X1，尤2，…，招，我們稱X取每一個值H的概率P(X=Xj)=P,,i

=1,2,,,,,〃為X的概率分布列，簡稱分布列.

離散型隨機(jī)變量的分布列也可以用如下表格表示：

XXIX2…Xn

PPiP2,**Pn

3.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

(1)pi20(1=1,2,…，n)；

(2)pi+p2H----\-Pn=1.

【例1】(1)已知隨機(jī)變量X滿足尸(X=k)=士k=l,2,3,其中°為常數(shù)，則尸(1<XW3)=(A)

a

(2)(湘教選二P134練習(xí)3題改編)已知隨機(jī)變量X的分布列為

X1234

111

pP

636

設(shè)y=2x—5,則尸（y2i）=1

解析：(1)依題意，-+-+-=1,解得0=6,則尸(X=k)=-,k=l,2,3,所以尸(1<XW3)=P(X=2)

aaa6

+P(X=3)=2+1=三.故選A.

326

(2)由題意得工+工+工+〃=1,解得夕=工，故y=2X—521,即X23,所以尸(Y21)=尸(X23)=P(X=3)

6363

+P(X=4)=-+p=-.

62

規(guī)律方法

離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用

(1)利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；

(2)利用“離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概

率；

(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.

練1(1)(2024?云南一中檢測)設(shè)離散型隨機(jī)變量&的分布列如表所示，則下列各式正確的是(C)

-10123

1i112

rP

To51055

A.P(匕＜3)=|B.P(匕＞1)

C.P(2＜自＜4)D.P(自＜0.5)=0

(2)若離散型隨機(jī)變量X的概率分布列如表所示，則.=,.

X-11

P4。一1

解析：(1)P(&＜3)=^+|+^+|=|,A錯誤；P(自＞1)=|+|=|,B錯誤；P(2＜&＜4)=P(&=3)=

|,C正確；P(§＜0.5)=^+|=^＞D錯誤.

(2)由離散型隨機(jī)變量X的概率分布列知：4a—l+3a2+a=L解得°=：或a=-2.當(dāng)a=-2時，4a—1=-9,

3a2+a=10,不符合題意；當(dāng)時，4a—1=|,3tz2+a=|,符合題意.所以a=,.

知識點二離散型隨機(jī)變量的均值與方差

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

???

XX1X2Xn

…

PPiP2Pn

n

(1)均值(數(shù)學(xué)期望)：稱E(X)=X1小+必＞2+…=＞/必?為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映

i=l

了隨機(jī)變量取值的平均水平；

n

(2)方差：稱。(X)=(xi—E(X))2+(x-E(X))2pH------1-(x-E(X))2p?=X(x「E(X))2

P122ni=lPi

為隨機(jī)變量X的方差，并稱(X)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)為,記為0(X),它們都可以度量隨機(jī)變量取值與

其均值的偏離程度；

(3)均值(數(shù)學(xué)期望)與方差的性質(zhì)：①ECaX+b)=aE(X)；②D(aX+b)=a?D(X)(a,b

為常數(shù)).

結(jié)論(1)若丫="乂+從其中a,6是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則

①E*)=k,DQk)=0,其中左為常數(shù)；

②E(X1+X2)=E(Xi)+E(X2)；

③。(X)=E(X2)-(E(X))2；

④若Xi,X2相互獨立，則E(Xi?X2)=E(Xi)?E(X2).

(2)若隨機(jī)變量X服從兩點分布，則E(X)=p,D(X)=p(1-p).

角度1均值與方差的性質(zhì)

【例2】(1)〔多選〕(2025?南通模擬)已知隨機(jī)變量X,Y,其中y=3X+l,隨機(jī)變量X的分布列如表

XI1I2345

113

Pm——n

10510

若E(X)=3,貝！J(AC)

AA.m=—3B-.n1=-

105

C.E(y)=10D.D(y)=21

解析：(1)由加+卷+■|+〃+總=1可得：根+〃='!①，因為E(X)=m+2X專+3X：+4〃+5*總=3,則m~\~4-n

=工②，所以由①②可得：n=—,m=—,故A正確，B錯誤；因為E(F)=E(3X+1)=3E(X)+1=10,故

101010

C正確；D(X)=(1-3)2X—+(2-3)2X—+(3-3)2xi+(4~3)2X—+(5—3)2X—=4X—+1X—

1010510101010

+lX±+4X-=—,D(K)=D(3X+1)=9D(X)=9X^=—,故D錯誤.故選A、C.

1010555

(2)已知隨機(jī)變量X的分布列為

X123

Pab2b-a

則。(3X—1)的最大值為_6_.

解析：(2)D(3X-1)=9D(X),只需求。(X)的最大值即可，根據(jù)題意：a+b+2b~a=\,b=[,E(X)

=a+2X^+3義(--a)=--2a,所以。(X)=(--2a)2Xa+(--2a)2Xi+d+2a)2X(--a)=-4/

33333333

+%+|=—4(a-|)2+|,當(dāng)時，其最大值為I，故。(3X—1)的最大值為|x9=6.

規(guī)律方法

與均值、方差性質(zhì)有關(guān)問題的解題思路

若給出的隨機(jī)變量Y與X的關(guān)系為y=aX+"a,6為常數(shù)，一般思路是先求出E(X),。(X),再利用公

式E(aX+6)=aE(X)+b,D(aX+6)=crD(X)求E(K),D(K)；也可以利用X的分布列得到Y(jié)■的分

布列，關(guān)鍵是由x的取值計算丫的取值，對應(yīng)的概率相等，再由定義法求得E(y)或。(y).

角度2離散型隨機(jī)變量的均值與方差

【例3】不透明袋中裝有質(zhì)地、大小相同的4個紅球，加個白球，若從中不放回地取出2個球，在第一個取出的球是

紅球的前提下，第二個取出的球是白球的概率為W

O

(1)求白球的個數(shù)加；

解：(1)因為在第一個取出的球是紅球的前提下，袋中還有3個紅球，加個白球，

則第二個取出的球是白球的概率為二三=］解得根=5.

m+38

(2)若有放回地取出兩個球，記取出的紅球個數(shù)為X,求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.

解：(2)由題意可知，袋中有4個紅球，5個白球，

若有放回地取出兩個球，記取出的紅球個數(shù)為X,則X的可能取值有0,1,2,

則P(X=0)=(-)2=-,P(X=l)=2X-X-=-,P(X=2)=(i)2=-,

9819981981

所以隨機(jī)變量X的分布列如表所示：

X012

254016

p

818181

所以E(X)=OX-+1X—+2X-=-,

8181819

D(X)=(0--)2X-+(1-5)2X-+(2-5)2X-=-.

98198198181

規(guī)律方法

求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟

(1)理解X的意義，寫出X可能的全部值；

(2)求X取每個值的概率；

(3)寫出X的分布列；

(4)由均值、方差的定義求E(X),。(X).

練2為推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1

小時的部分每小時收費標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時的部分按1小時計算).現(xiàn)有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場

運動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為:，31小時以上且不超過2小時離開的概率分別為】，兩人滑

雪時間都不會超過3小時.

(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；

(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機(jī)變量自，求自的分布列與均值E?),方差。鰭).

解：(1)兩人所付滑雪費用相同，相同的費用可能為0,40,80元，甲、乙兩人2小時以上且不超過3小時離開

的概率分別為11

4Z4ODD

兩人都付。元的概率為P1=；X；=3

4624

兩人都付40兀的概率為尸2=^X'|=1，

兩人都付80兀的概率為尸3=；X；=占

4624

則兩人所付滑雪費用相同的概率為P=PI+B+P3=2+；+?=2.

2432412

(2)4的所有可能取值為0,40,80,120,160,則

P(￡=0)=-X-^—,

、4624

P?=40)=三*2+工"=工，

、43264

P(￡=80)=ixi+iX-+ixi=—,

七46234612

P(￡=120)

126434

P(￡=160)=-X-=—.

七4624

所以自的分布列為

04080120160

11511

p

24412424

-|ie-1-1

E⑺=0X-+40X;+80X-+120X-+160X-=80.

2222

D?）=（。-80）2義或+（40-80）XU（80-80）X±+（120-80）X1+（160-80）xA=^.

提能點均值與方差在決策中的應(yīng)用

【例4】(2025?海南模擬)從2024年開始，新高考數(shù)學(xué)試卷中為了提高試卷考點的覆蓋面和提高試卷的區(qū)分度，

對多項選擇題的命題進(jìn)行了改革.新高考數(shù)學(xué)試卷中的多項選擇題，給出的4個選項中有2個以上選項是正確的.

每一道題考生全部選對得6分，選項中有錯誤得。分，對而不全得部分分.對而不全得部分分的規(guī)則如下：若多選

題中有2個選項正確，則只選對1個得3分；若多選題中有3個選項正確，則只選對1個得2分，只選對2個得4

分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多選題中有2個選項正確的概率為p(0<p<l),有3個選項正確的概率為1—p,沒有4

個選項都正確的(在本問題中認(rèn)為其概率為0).在一次模擬考試中：

(1)小明可以確認(rèn)一道多選題的選項A是錯誤的，從其余的三個選項中隨機(jī)選擇2個作為答案，若小明該題得6

分的概率為總求°的值；

(2)小明可以確認(rèn)另一道多選題的選項A是正確的，其余的選項只能隨機(jī)選擇.小明有三種方案：①只選A不再

選擇其他答案；②從另外三個選項中再隨機(jī)選擇1個，共選2個；③從另外三個選項中再隨機(jī)選擇2個，共選3

個.若p=V，以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇哪個方案？

解：(1)根據(jù)題意可知，不妨記一道多選題''有2個選項正確”為事件Ai，

有3個選項正確”為事件

“小明該題得6分”為事件2,

則尸(B)=P(BAi)=P(Ai)XP(B|Ai)=P><專=.,解得p，

(2)若小明選擇方案①，

記小明該題得分為X,則X的可能取值為2,3,對應(yīng)概率為：

P(X=2)=P(A)P(X=3)=P(Ai)故E(X)=2X-+3X-=-.

21212121212

若小明選擇方案②，

記小明該題得分為匕則y的可能取值為0,4,6,對應(yīng)概率為:

Pg°)=P(4)g+P(4)對卷x|+?：?P(y=4)=P(A2)翳?H胃

Cj_51_5

P(Y=6)=P(Al)~z\,

C112336

17758643

故E(y)=ox—+4X—+6X------

363618

若小明選擇方案③,

記小明該題得分為Z,則Z的可能取值為0,6,對應(yīng)概率為：

P(Z=0)=P(Al)馬+P(A2)^-=-+-X-=-,P(Z=6)=P(A2)

CjCl1212336Cl12336

故E(Z)=0X—+6X—

3636366

E(Z)<E(y)<E(X)，

故以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇方案①.

規(guī)律方法

利用樣本的數(shù)字特征解決有關(guān)決策問題的關(guān)鍵

(1)建立模型，根據(jù)題意準(zhǔn)確建立解決問題的概率模型，要注意各種概率模型的差異性，不能混淆;

(2)分析數(shù)據(jù)，分析題中的相關(guān)數(shù)據(jù)，確定概率模型中的相關(guān)參數(shù)；

(3)求值，利用概率知識求出概率模型中的數(shù)學(xué)期望、方差等數(shù)字特征；

(4)做出決策，比較概率模型中的數(shù)字特征，確定解決問題的最優(yōu)方案，做出決策.

練3猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，一局游戲中有A,B,C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名

游戲，且可自主選擇猜歌順序，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對應(yīng)的獎勵基金.假

設(shè)甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲的概率及猜對時獲得相應(yīng)的獎勵基金如表：

歌曲ABC

猜對的概率0.80.50.5

獲得的獎勵基金金額/元100020003000

(1)求甲按“A,B,C”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率；

(2)甲決定按“A,B,C”或者“C,B,A”兩種順序猜歌名，請你計算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎勵基金的期

望；為了得到更多的獎勵基金，請你給出合理的選擇建議，并說明理由.

解：(1)由題意可知甲按“A,B,C”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名分兩種情況：猜對A,B；猜對A,B,

C,這兩種情況不會同時發(fā)生.

設(shè)“甲按'4B,C’的順序猜歌名至少猜對兩首歌名”為事件E,

由甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立可得

P(E)=P(ABC+ABC)=0.8X0.5X(1-0.5)+0.8X0.5X0.5=0.4.

(2)甲決定按“A,B,C"的順序猜歌名，獲得的獎金數(shù)記為X,

則X的所有可能取值為0,1000,3000,6000,

P(X=0)=1-0.8=0.2,

P(X=l000)=0.8X(1-0.5)=0.4,

P(X=3000)=0.8X0.5義(1-0.5)=0.2,

P(X=6000)=0.8X0.5X0.5=0.2,

所以E(X)=0X0.2+1000X0.4+3000X0.2+6000X0.2=2200；

甲決定按“C,B,A”的順序猜歌名，獲得的獎金數(shù)記為匕

則y的所有可能取值為0,3000,5000,6000,

p(y=o)=0.5,

P(y=3000)=0.5X(1-0.5)=0.25,

P(y=5000)=0.5X0.5X(1-0.8)=0.05,

P(y=6000)=0.5X0.5X0.8=0.2,

所以￡■(y)=0X0.5+3000X0.25+5000X0.05+6000X0.2=2200.

參考答案一：由于￡>(x)=(0-2200)2X0.2+(1000-2200)2X0.4+(3000-2200)2X0.2+(6000-2

200)2X0.2=4560000,

D(y)=(0-2200)2X0.5+(3000-2200)2X0.25+(5000-2200)2X0.05+(6000-2200)2X0.2=5

860000,

由于。(y)>D(X),所以應(yīng)該按照“A,B,cn的順序猜歌名.

參考答案二：甲按“C,B,A"的順序猜歌名時，獲得0元的概率為0.5,大于按照“A,B,C”的順序猜歌名時

獲得0元的概率0.2,所以應(yīng)該按照“A,B,C”的順序猜歌名.其他合理答案均可.

課時跟蹤檢測

■雙基過關(guān)

一、單項選擇題

1.甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得。分，共下三局.用C表示甲的得分，則《=3｝表示

()

A.甲贏三局

B.甲贏一局輸兩局

C.甲、乙平局二次

D.甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次

解析：D因為甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，故化=3｝表示兩種情況，即甲贏一局

輸兩局或甲、乙平局三次.

2.若離散型隨機(jī)變量X服從兩點分布，且尸(X=l)=p,4—5尸(X=0)=p,則"=()

A.-B.-

84

C.-D.-

32

解析：B因為X服從兩點分布，所以尸(X=0)+P(X=l)=1,由4—5P(X=0)=p,得4—5[1—P(X=

1)]=p，所以

3.隨機(jī)變量X的取值范圍為｛0,1,2｝,若尸(X=0)=-,E(X)=1,則。(X)=()

4

A-B*

42

C.-D.-

24

解析：C設(shè)PCX=1)=p,P(X=2)=q,由題意得E(X)=0X(+/?+2q=l,且]+p+q=l,解得q

所以。(X)=-X(0-1)2+-X(1-1)2+-X(2-1)

44242

4.已知甲、乙兩種產(chǎn)業(yè)收益的分布列分別為：

甲產(chǎn)業(yè)收益分布列

收益X/億元-102

概率0.10.30.6

乙產(chǎn)業(yè)收益分布列

收益匕億元012

概率0.30.40.3

則下列說法正確的是()

A.甲產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風(fēng)險高

B.甲產(chǎn)業(yè)收益的期望小，風(fēng)險小

C.乙產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風(fēng)險小

D.乙產(chǎn)業(yè)收益的期望小，風(fēng)險高

解析：A由題意可得E(X)=-1X0.l+0X0.3+2X0.6=l.1,D(X)=(-1-1.1)2X0.1+(0-1.1)

2X0.3+(2-1.1)2X0.6=1.29；E(7)=0X0.3+1X0.4+2X0.3=1,D(K)=(0-1)2X0.3+(1-1)

2X0.4+(2-1)2X0.3=0.6,故E(X)>E(K),D(X)>D(Y),即甲產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風(fēng)險高.

5.現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最

小值為則E?)=()

解析：D由題意知&的可能取值為1,2,3,4,P(&=1)P(&=2)=%簪1=11,P(&=3)

=*=*P(自=4)=*=總所以匕的分布列為

1234

31631

p

7353535

E9=1*+2X||+3X5+4X塌.故選D.

6.已知隨機(jī)變量x,y的分布列如下，則()

X12

P0.60.4

Y1-2

P0.50.5

K.D(K)=9D(X)B.E(1—X)=0.5

C.D(1-y)=2.5D.E(X+Y)=0.9

解析：DE(X)=1X0.6+2X0.4=1.4,E(X)=1X0.5-2X0.5=-0.5,D(X)=(1-1.4)2X0.6+(2

-1.4)2X0.4=0.24,D(F)=(1+0.5)2X0.5+(-2+0.5)2X0.5=2.25,所以。(X)W9D(X),E(1

—x)=-E(x)+i=-o.4,D(i-y)=(-1)2D(y)=2.25,E(X+F)=E(X)+E(y)=0.9,故選

D.

7.體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一次發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3

次為止.設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為pe(0,1),發(fā)球次數(shù)為X,若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>1.75,則p的取值

范圍是()

77

A.(0,—)B.(一,1)

1212

-1-1

C.(0,-)D.1)

22

解析：C根據(jù)題意，學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為P，即尸(X=l)=p,發(fā)球次數(shù)為2即第二次發(fā)球成功的概率為

P(X=2)=(l—p)p,發(fā)球次數(shù)為3的概率為P(X=3)=(l—p)2,則期望E(X)=p+2P(1-p)+3(1

—p)2=p2—3p+3,依題意有E(X)>1.75,即02—30+3>i.75,解得p>|或p<|,結(jié)合p的實際意義，可得

0<p<|.故選C.

二、多項選擇題

8.已知下表為離散型隨機(jī)變量X的分布列，其中則下列說法正確的是()

X012

bb

Pa

22

A.a+b=lB.E(X)=2b

C.D(X)有最大值D.D(X)有最小值

解析：AC由題意可知a+：+：l,即a+6=l,所以A正確；因為E(X)=0義°+1X殲2義|=即所以B不

正確；因為。(X)=a(0--)2+-(1--)2+-(2--)2=--b2+-b=--(b--)2+至，be(0,1),

22222424936

所以。(X)是開口向下的二次函數(shù).所以。(X)在(0,Q上單調(diào)遞增，在(■!，1)上單調(diào)遞減.所以。(X)

有最大值，無最小值.所以C正確，D不正確.

9.已知隨機(jī)變量X的取值為不大于〃(wGN*)的非負(fù)整數(shù)，它的概率分布列為

X0123???n

PPoPiP2P3???Pn

其中跖(i=0,1,2,3,…，w)滿足0代[0,1],且po+pi+p2H-----Hp“=l.定義由X生成的函數(shù)/(尤)=/%+

pix+pv^+p^-\-------------------\-pnx",g(x)為函數(shù)/(無)的導(dǎo)函數(shù)，E(X)為隨機(jī)變量X的期望.現(xiàn)有一枚質(zhì)地

均勻的正四面體形骰子，四個面分別標(biāo)有1,2,3,4四個點數(shù)，這枚骰子連續(xù)拋擲兩次，向下點數(shù)之和為X,此

時由X生成的函數(shù)為力(%),則()

1C

A.E(X)=g(2)B.fi(2)=y

C.E(X)=g(1)D.力(2)=—

解析：CD因為/(冗)=/?o+pix+p2X2+/73X3H------\-Pi^~\------l~p/,則g(x)=f(x)=pi+2〃2xl+3pH------1-

ipiXl~[-\-------F叩〃/—i,E(X)=/7i+2〃2+3p3H---------H辦H--------1"印八，當(dāng)x=l時，E(X)=pi+2〃2+3p3H--------H辦H—

+npn^g(1),故選項A錯誤，選項C正確；連續(xù)拋擲兩次骰子，向下點數(shù)之和為X,則X的分布列為

X2345678

1234321

ip

161616正161616

力(尤)=-x2+-^3+-x4+-x5+-x6+-x7+-x8,力(2)=-X22+-X23+-X24+-X25+-X26+-X27+

716161616161616J161616161616

—X28=—,故選項B錯誤，選項D正確.故選C、D.

164

三、填空題

10.隨機(jī)變量X的分布列如下：

X-101

Pabc

其中a,b,c成等差數(shù)列，則尸(1X1=1)=|,公差d的取值范圍是.

解析：b,c成等差數(shù)列，2b=a-\-c,又a+6+c=l,.*.P(IXI=1)=a+c=g.又d,c

=1+d,根據(jù)分布列的性質(zhì)，得OW：—dw|,0W：+dW|,一

11.已知隨機(jī)變量X的分布列為

X-2-10123

111111

P

124312612

若尸/<尤)=苫，則實數(shù)尤的取值范圍為(4,9].

解析：X2的可能取值為0,1,4,9,P(X2=0)=尸(X=0)=|,P(X2=l)=P(X=-l)+P(X=l)=i+

—P(X2=4)=P(X=—2)+P(X=2)P(X2=9)=P(X=3)=—.因為尸(X2<x)=—=

12312641212

l+l+p所以實數(shù)x的取值范圍是4<xW9.

334

12.一個袋中共有10個大小相同的黑球、白球和紅球.已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是孑

則白球的個數(shù)為5；從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為號則隨機(jī)變量自的數(shù)學(xué)期望E=_

3

2----■

解析：設(shè)白球的個數(shù)為y,從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是j則或+”.—>=■!，化簡得產(chǎn)一

9C1O9

19y+70=0,解得y=5或y=14(舍)，由題設(shè)知自的所有取值是0,1,2,3,P(&=0)=圣=上,P?=1)

01012

萼=白P(匕=2)=警=白P(自=3)=舁=].則隨機(jī)變量自的分布列為

[10"「10110

0123

1551

P

12121212

所以E(自)=-+-X2+-X3=-.

,1212122

四、解答題

13.袋中裝有大小相同的4個紅球，2個白球.某人進(jìn)行摸球游戲，一輪摸球游戲規(guī)則如下：①每次從袋中摸取一個

小球，若摸到紅球則放回袋中，充分?jǐn)嚢韬笤龠M(jìn)行下一次摸??；②若摸到白球或摸球次數(shù)達(dá)到4次時本輪摸球游

戲結(jié)束.

(1)求一輪摸球游戲結(jié)束時摸球次數(shù)不超過3次的概率；

(2)若摸出1次紅球計1分，摸出1次白球記2分，求一輪游戲結(jié)束時，此人總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解：(1)設(shè)一輪摸球游戲結(jié)束時摸球次數(shù)不超過3次為事件4記第1次(i=l,2,3)摸到紅球為事件民，

則事件4=瓦UB再2UBiB正3>

顯然瓦，6歷2,8國2瓦彼此互斥，

由互斥事件概率的加法公式：P(A)=P(瓦UB歷2UB182瓦)=P(尻)+P(B歷2)+P(BiB正3)，

因為每次摸到紅球后放回，所以P出)=|,P(瓦)=%

所以P(A)=l+^xi+-X-xi=-.

33333327

(2)依題意，X的可能取值為2,3,4,5,

P(X=2)=尸(％)=%

--717

P(X=3)=P(SB2)=-xi=-,

z339

P(X=4)=P(S&萬3)+P(BB2B3B4)=-X-X-+(|)4=￡|,

P(X=5)=P(81B2B3B4)=(1)3xj=^-,

所以一輪摸球游戲結(jié)束時，此人總得分X的分布列為：

X2345

12288

P

398181

E(X)=2xi+3X-+4X-+5X-=—.

39818181

14.近年來，全國旅游業(yè)蓬勃發(fā)展.某景區(qū)有一個自愿消費的項目：在參觀某特色景點入口處會為每位游客拍一張

與景點的合影，參觀后，在景點出口處會將剛拍下的照片打印出來，游客可自由選擇是否帶走照片，若帶走照片

則需支付20元，沒有被帶走的照片會收集起來統(tǒng)一銷毀.該項目運營一段時間后，統(tǒng)計出平均只有30%的游客會

選擇帶走照片.為改善運營狀況，該項目組就照片收費與游客消費意愿關(guān)系做了市場調(diào)研，發(fā)現(xiàn)收費與消費意愿有

較強(qiáng)的線性相關(guān)性，并統(tǒng)計出在原有的基礎(chǔ)上，價格每下調(diào)1元，游客選擇帶走照片的可能性平均增加0.05.假設(shè)

平均每天有5000人參觀該特色景點，每張照片的綜合成本為5元，假設(shè)每位游客是否購買照片相互獨立.

(1)若調(diào)整為支付10元就可帶走照片，該項目每天的平均利潤比調(diào)整前多還是少？

(2)要使每天的平均利潤達(dá)到最大值，應(yīng)如何定價？

解：(1)當(dāng)收費為20元時，每張照片被帶走的概率為0.3,不被帶走的概率為0.7,設(shè)此時每張照片的利潤為匕

元，則X的分布列為

Yi15-5

P0.30.7

E(Ki)=15X0.3-5X0.7=1,

則每天的平均利潤為5000元.

當(dāng)收費為10元時，每張照片被帶走的概率為0.3+0.05X10=0.8,不被帶走的概率為0.2,設(shè)每張照片的利潤為

力元，則力的分布列為

Y25-5

P0.80.2

E(y2)=5X0.8-5X0.2=3,

則每天的平均利潤為5000X3=