2026年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)—專題01集合與常用邏輯用語

目錄

01理?思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。

02盤?基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分。

【知能解讀01】集合與元素

【知能解讀02】集合間的基本關(guān)系

【知能解讀03】集合的基本運算

【知能解讀04】充分條件與必要條件

【知能解讀05】全稱量詞與存在量詞

03破?重點難點：突破重難點，沖刺高分。屈屈

【重難點突破01】利用元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

【重難點突破02】利用集合間的關(guān)系求參數(shù)

【重難點突破03】根據(jù)交集、并集、補集的運算求參數(shù)

【重難點突破04】利用充分必要條件求參數(shù)

【重難點突破05】根據(jù)全稱、存在量詞命題的真假求參數(shù)

【重難點突破06】突破雙變量"存在性"或"任意性”問題

04辨?易混易錯：辨析易混易錯知識點，夯實基礎(chǔ)。

【易混易錯01】對集合表示方法的理解偏差致錯

【易混易錯02】忽視（漏）空集致錯

【易混易錯03】忽視集合元素的互異性致錯

【易混易錯04】充分性與必要性位置顛倒理解錯誤致錯

【易混易錯05】對含有一個量詞命題的否定理解致錯

05點?方法技巧：點撥解題方法，練一題通一類

【方法技巧01】子集的個數(shù)問題

【方法技巧02】判斷集合間的關(guān)系

【方法技巧03】Venn圖在集合運算中的應(yīng)用

【方法技巧04】集合新定義的解題思路

【方法技巧05】充分條件與必要條件的判斷

思繚3槌

Q注意元素類型及元素含義

元素的三大特性：確定性、無序性、互異性

知識點1集合元素與集合的關(guān)系：屬于、不屬于

集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法

子集：集合A中所有元素都是集合B的元素

真子集：集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于A

知識點2集合間的基本關(guān)系

相等集合：集合A、B的元素完全相同

空集：不含任^元素的集合

O根據(jù)交集、井集、補集運算結(jié)果求參數(shù)

交集乂Cl3={x\x€.4,且.V€3}

集合與常用邏輯用語知識點3集合的基本運算并集/03={巾€乩或《8}

補集C/■{巾wU,且.V&.4}

多分費件與必要條件：若p=q,p是q的充分條件，q是p的必要條件

知識點4充分條件與必要條件

充要條件p是q的充要條件，q也是p的充要條件

全稱量詞：短語"所有的""任意一個”等

全稱量詞命題

全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題

存在量詞:短語“存在一個”"至少有一個"等

知識點5全稱量詞與存在量詞《存在量詞命題

存在量詞命題：含有存在量詞的命題

\命題的否定

注意：全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞

O雙變量"存在性"與"任意性”問題

笈怩解犢集合與元素

1、集合元素的三個特性：確定性、互異性、無序性；

2、元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，用符號e或e表示

3、集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法

4、常見數(shù)集的記法與關(guān)系圖

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*(或N+)ZQR

5、常見集合的含義

集

{%/(%)=0}{%/(%)>0)y=/(%)}{巾=/(%)}{(羽y)y=/(%)}

合

代

表方程/（x）=0不等式/（x）>0函數(shù)y=/（x）的函數(shù)y=于（x）函數(shù)y=/（X）圖象

元的根的解自變量的取值的函數(shù)值上的點

素

【真題實戰(zhàn)】（2025?河南?三模）已知集合4=1*<1},既418,則（）

A.—B.—leAuBC.1€5D.1￡A。3

【答案】c

【解析】因為集合4=司Y<I}=(T』)，且”貝u(f-1]31,+8)=5.

所以一leg,-leAuB,\&B,leAcB.故選：C.

加怩解犢02集合間的基本關(guān)系

表示

文字語言符號語言圖形語言

關(guān)

o

集合A的所有元素都是集合B的

子集AqB或B衛(wèi)A

元素（A則

或

基本

集合A是集合5的子集，且集合o

關(guān)系真子集AtjB或"A

B中至少有一個元素不屬于A

相等集合A,3的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任

空集0

何集合4的子集

yy=:+g/ez1,則()

【真題實戰(zhàn)】（2025?寧夏吳忠?一模）已知集合4=X

A.AB=0B.A=B

C.A星8D.8星A

【答案】C

flk\12k-]1

【解析】由A=*k=彳+了,及eZ={x|x=—^+；；,ZeZ},顯然2左一1為奇數(shù),

[I24J42

而B={yy=工+/,/eZ1,所以A基8.故選：C

加怩解犢[03集合的基本運算

1、集合交并補運算的表示

集合的并集集合的交集集合的補集

c?

圖形語言U①

符號語言AiB-GA,GAB=|x|xGA,Mxe樂A=<X|XGC7,MX^Aj

2、集合運算中的常用二級結(jié)論

（1）并集的性質(zhì)：AU0=A；AUA=A；AUB=BUA；AUB=AQBUA

（2）交集的性質(zhì)：AA0=0；AHA=A；AnB=BHA；AnB=A=4UB

（3）補集的性質(zhì)：AU（［uA）=U；An（［以）=0.［加斌）=4；

UAUB）=（hA）n（hB）；［MAn8）=（［必）u（［曲）.

【真題實戰(zhàn)】（2025?全國二卷?高考真題）已知集合4={-4,0,1,2,8},臺=卜，=耳,則4B=（）

A.{0,1,2}B.{1,2,8}C.{2,8}D.{0,1}

【答案】D

【解析】fi={x|x3=x}={0-1,1},故A3={0,l},故選：D.

知惋解裱：04充分條件與必要條件

1、充分條件與必要條件

“若p,則爐為真命題“若P，則g”為假命題

推出關(guān)系p0q

p是q的充分條件p不是q的充分條件

條件關(guān)系

q是p的必要條件q不是p的必要條件

判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件

定理關(guān)系

性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件

2、充要條件

(1)充要條件的定義

如果“若夕，則q”和它的逆命題“若q,則P”均為真命題，即既有pnq,又有就記作poq.

此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說「是q的充分必要條件，簡稱充要條件.

(2)充要條件的含義：P是q的充要條件，則q也是p的充要條件，雖然本質(zhì)上是一樣的，但在說法上還

是不同的，因為這兩個命題的條件與結(jié)論不同.

(3)充要條件的等價說法：P是q的充要條件又常說成是q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立，或夕與q等價.

【真題實戰(zhàn)】(2025?天津?一模)已知x>0,y>0,則“婢25>尸25”是“山尤>Iny”的()

A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】對于函數(shù)y=/°25在R上單調(diào)遞增，由尤>0,y>0,/。25>/025,知》>丫>(),

由函數(shù)y=Inx在(0,+功上單調(diào)遞增，則lnx>lny,故充分性成立；

由上，lnx>lny有x>y>0,進而有/⑵>產(chǎn)必，故必要性也成立；

所以“丁。25>>20,,是“111元>111)；”的充要條件.故選：A

知怩解裱05全稱量詞與存在量詞

1、全稱量詞與全稱量詞命題

(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫作全稱量詞，并用符號“V”表示.

(2)全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題.

符號表示：通常，將含有變量了的語句用p(x),q(x),r(x),...表示，變量x的取值范圍用M表示，那

么，全稱量詞命題“對M中任意一個x,p(x)成立"可用符號簡記為也6",0(司.

2、存在量詞與存在量詞命題

(1)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫作存在量詞，并用符號“于’表示.

【注意】常見的存在量詞還有“有些”、“有一個”、“對某些”、“有的”等；

(2)存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫作存在量詞命題.

3、命題的否定：對命題p加以否定，得到一個新的命題，記作“一/7”，讀作“非)”或p的否定.

⑴全稱量詞命題的否定：一般地,全稱量詞命題“VxGMq(x)”的否定是存在量詞命題：入G(力.

(2)存在量詞命題的否定:一般地,存在量詞命題，勺％6知應(yīng)(九)”的否定是全稱量詞命題：

(3)命題與命題的否定的真假判斷：一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能

一真一假.

即：如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定是假命題，反之亦然.

(4)常見正面詞語的否定:

正面詞語等于(=)大于(>)小于(<)是都是

否定不等式")不大于(W)不小于(>)不是不都是

正面詞語至多有一個至少有一個任意所有至多有n個

否定至少有兩個一個都沒有某個某些至少有n+1個

【真題實戰(zhàn)】(2025?重慶?三模)命題"Vx>LX2_%之0”的否定是()

A.Vx<1,x2—x<0B.Vx>1,x2-x<0

C.HxK1,Y—xvoD.3x>l,x2—x<0

【答案】D

【解析】因為全稱命題的否定是特稱命題，

而命題必—入之0”是全稱命題，

所以命題0”的否定是"Hx>1,x2—x<05\故選：D.

)q點噴點

q雍直突破01利用元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

(1)確定性的運用：利用集合中元素的確定性解出參數(shù)的所有可能值；

(2)互異性的運用：根據(jù)集合中元素的互異性對集合中元素進行檢驗.

【典例1】(2025?甘肅慶陽?二模)已知集合&={1,|。-1|,。+2},且2eA,則實數(shù)。的值為.

【答案】3

【解析】因為2eA,所以分為以下兩種情況：

當(dāng)。=-1時，集合A={1,2,1},違反了集合的互異性，故舍去；

②a+2=2na=0,此時集合4={1,1,2},違反了集合的互異性，故舍去；

綜上所述，a=3.

【典例2](24-25高三上?上海?階段練習(xí))已知不等式上二?>1的解集為A,若5WA,則實數(shù)〃的取值范

圍為______

【答案】。2,或〃(0

【解析]由±4>1,得至!1az半9>0,等價于3-1)[(1一0尤一5]>0,

ax-1ax-1

因為5eA,則有(5a-l)[(l-a)x5-5]V0,即5。(5。-1)20,解得aig或040,

《難點突破02利用集合間的關(guān)系求參數(shù)

第一步：弄清兩個集合之間的關(guān)系，誰是誰的子集；

第二步：看集合中是否含有參數(shù)，若且A中含參數(shù)應(yīng)考慮參數(shù)使該集合為.空集的情形；

第三步：將集合間的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）或不等式（組），求出相關(guān)的參數(shù)的值或取值范圍.常采用數(shù)形

結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答.

31

【典例1】（2025?河南?二模）已知集合A=，尤4]>,3={x[a<x<a+2},若AgB,則a的取值

范圍為（）

A.（1,2]B.（0,1）C.[1,2]D.[0,1]

【答案】B

【解析】由題意可得A={x|1?%?2},又5={Xk<x<a+2},A^B,

fl>a

所以解得Ovavl.故選：B.

\2<a+2

【典例2】（2025?河南?二模）已知集合川=卜,2-彳-2>0}"=卜|尤2>力，若NjM,則實數(shù)°的取

值范圍為（）

A.(1,2)B.[l,+oo)C.(4,-HX))D.[4,+oo)

【答案】D

【解析】由％2—%—2>0,即（x+l）（x—2）>。，解得%>2或％<—1,

所以A/={x|九<一1或%>2},因為N=1卜之>〃}且,

若〃<0時雙=11,若.=0時"={]|]。0},不符合題意，所以a>0,

-y/a<-1

則"={兀|%<-&或1>&},所以<解得a之4,

y[a>2

即實數(shù)〃的取值范圍為[4,+s）.故選：D

《雍點突破03根據(jù)交集、并集、補集的運算結(jié)果求參數(shù)

法一：根據(jù)集合運算結(jié)果確定集合對應(yīng)區(qū)間的端點值之間的大小關(guān)系，確定參數(shù)的取值范圍.

法二：（1）化簡所給集合；（2）用數(shù)軸表示所給集合；

（3）根據(jù)集合端點間關(guān)系列出不等式（組）；（4）解不等式（組）；（5）檢驗.

【注意】（1）確定不等式解集的端點之間的大小關(guān)系時，需檢驗?zāi)芊袢　?"；（2）千萬不要忘記考慮空集.

【典例1]（24-25高三下?山東德州?階段練習(xí)）已知集合&={疝）"<。},3=卜|/一》（（）},若

3cA=3,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（0,1）B.C.[0,1]D.（1,+8）

【答案】B

【解析】因為8=付f—x40}=[0,l],BIA=B,所以3=所以故選：B

【典例2】（2025?山東?模擬預(yù)測）已知集合4=川？20],B={x\x<a\,若（猴1）B=RA,則0的

取值范圍是（）

A.[0,+oo）B.（0,+（?）C.（-oo,-1）D.

【答案】A

【解析】有二^上。"龍（；+l）"°=x>0或xW-1,

所以A=（-e,-l]3°，+8），aA=（T°]，

由健A）c3=RA有

所以aNO,即ae[0,4<o）.故選：A.

童難克突破04利用充分必要條件求參數(shù)

1、巧用轉(zhuǎn)化法求參數(shù)：把充分條件、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于

參數(shù)的不等式（不等式組）求解；

2、端點取值需謹慎：在求參數(shù)范圍時，要注意邊界或區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍.

【典例1】（2025?福建泉州?模擬預(yù)測）設(shè)4=卜|"2y4},B=[x\x2<ax],若xeA是的充分條

件，則（）

A.0<a<2B.l<a<2C.a=2D.a>2

【答案】D

【解析】由題意，得人=[0,2],因為A是x$6的充分條件，

所以A口3即V%￡[0,2],尤之一依W0,

已知二次函數(shù)y=/一。％=x（x-。），開口向上，與1軸交于（0,0）,3。）,

僅當(dāng)122滿足\/%￡。2],九2一依0）.故選：D.

【典例2]（24-25高三上?河南?階段練習(xí)）已知集合>={yly=x+a,—l<xW2},Q={x|ln（2—x）<0},若

xe尸是xeQ的必要不充分條件，則實數(shù)”的取值范圍為.

【答案】[0,2]

【解析】由y=x+a,-l<x<2,則a-l<y4a+2,

所以尸={>|a-l<y4a+2},

由ln（2-x）<0,gpin（2-x）<lnl,解得l<x<2,

所以Q={M<尤<2},

因為P是。的必要不充分條件，

所以〈，且〃一1=1,〃+2=2也符合題意，解得0WaK2.

[a+2>2

所以實數(shù)。的取值范圍為[。,2].

童難克突破05根據(jù)全稱、存在量詞命題的真假求參數(shù)

1、全稱量詞命題求參的問題，常以一次函數(shù)、二次函數(shù)等為載體進行考察，一般在題目中會出現(xiàn)“恒成立”

等詞語，解決此類問題時，可構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)范圍，也可用分離參數(shù)法求參數(shù)范圍；

2、存在量詞命題求參數(shù)范圍的問題中常出現(xiàn)“存在”等詞語，對于此類問題，通常時假設(shè)存在滿足條件的參

數(shù)，然后利用條件求參數(shù)范圍，若能求出參數(shù)范圍，則假設(shè)成立；否則，假設(shè)不成立。解決有關(guān)存在量詞命

題的參數(shù)的取值范圍問題時，應(yīng)盡量分離參數(shù).

【典例1】（2025?河南南陽?模擬預(yù)測）已知aeR,若“*eR,。=2，+1”為假命題，則。的取值范圍是

（）

A.（-℃」）B.（1,-HX））C.（-oo,l]D.[1,+co）

【答案】C

【解析】命題“HxeR,。=2工+1”是存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題,

其否定為：VxeR,a^2x+l,而函數(shù)y=2，+l的值域為

由“玉eR,a=2"+l”為假命題，得“VxeR,aw2*+1”為真命題，則aWl,

所以4的取值范圍是(-叫1].故選：C

【典例2](24-25高三上?山東?期末)已知命題p：“VxeR,犬―2(a+l)x+4>0”為真命題，則實數(shù)a

的取值范圍是.

【答案】{。1-3<”1}

【解析】對于二次函數(shù)y=/-2(。+1)工+4,A=[-2(a+l)]2-4x1x4.

根據(jù)題意，令△<(),即[―2(a+l),一4x1x4<0,得(a—1)(。+3)<。成立，解得一3<a<l.

故實數(shù)。的取值范圍是-3<。<1.

《難直突破06突破雙變量“存在性”或“任意性”問題

1、解決雙變量“存在性”或“任意性”的等式問題

(1)關(guān)鍵點：一是理解量詞的含義，“脫去”量詞，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的值域之間的問題；二是會利用函數(shù)

的單調(diào)性，求函數(shù)的值域.

(2)常見的轉(zhuǎn)化形式：

①VxieM,Bx2^N,/a)=g(x2)o/(x)的值域為g(x)值域的子集；

②叫eM,x2eN,/&)=g(/)=/(x)的值域與g(無)值域的交集不為空集.

2、解決雙變量“存在性”或“任意性”的不等式問題

⑴VxjeM,工2?N,/&)>g(x2)o/(x)min>g(x)max；

(2)3x^M,x2eN,/(%1)>g(x2)<=>f(x)max>g(x)min；

⑶Vx；eM,,/(^)>g(%2)<?/(x)^>g(x)min;

⑷3%1GA1,yN，/a)>g(X2)O/(X)max>g(X)max；

【典例1】(2025高三上?安徽淮北?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/(x)=f-2x,g(x)=〃a+2,若對任意的

與目-1,2],存在5式一1,2],使得g(%)=/(%),則實數(shù)機的取值范圍是()

A.0,gB,-1,—C.--JD.[0,1]

【答案】B

【解析】由題意可得函數(shù)g(x)的值域的值域為函數(shù)的值域的子集,

當(dāng)義e[-1,2]時,/(x)=/-2x=(x-1)2-1e[-1,3]，即的值域為[T3],

若fn=O,則g(x)=e+2=2,即g(x)的值域為｛2｝,而｛2仁[-1,3],符合要求;

若〃?<0,則由一次函數(shù)的性質(zhì)可得g⑺=mx+2e[2機+2,-m+2],

f—1<2加+2

則有C，解得加2T，又m<0,故一14根<°；

[3>-m+2

若機>0,則由一次函數(shù)的性質(zhì)可得且(%)=如+2￡[-m+2,2m+2],

f—1W—加+211

則有\(zhòng)、CC,解得又m>0,故°<根《彳；

[3>2/z1+222

綜上所述，me-1,1.故選：B.

【典例2】(2025高三下?江蘇徐州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=(x2-x+l)e*,g(x)=x2-bx+90eR),若

對任意％eR,存在使/&)>g(w)成立，則實數(shù)6的取值范圍是.

【答案】[6,+8)

【解析】由題意得,對任意jeR,存在々11,3],使/&)>gG)成立,則/(x)1nhi>g(x)1111n成立,

由函數(shù)/(*)=卜2-*+1產(chǎn)可得尸(x)=(尤2+x”,

當(dāng)x<-l或x>0時，有一(力>0,故〃x)在(f,-1),(0,物)上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，有/'(x)<0,故/(X)在(TO)上單調(diào)遞減,

當(dāng)尤=。時，7(0)=1；當(dāng)2-8時，/(?-0+,所以〃“總>。,

又函數(shù)g(x)=/-bx+9(beR)的開口向上，且對稱軸的方程為尤=萬，

b

當(dāng)即6W2時，=

由0210-人解得8210,不合題意，舍去；

當(dāng)即/6時，g(x)min=g(3)=18-3Z7,

由0218—3。，解得匕之6,符合題意；

當(dāng)1<5<3即2<。<6時,g(x)1nJg匕J=9—1，

A2

由9---<0,解得626或。W-6,不合題意，舍去.

4

綜上所述，實數(shù)〃的取值范圍是叵+8).

易混易錯（對集合表示方法的理解偏差致錯

辨析：對集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要對本質(zhì)進行剖析，需要明確集合中的代表元

素類型（點集或者數(shù)集）及代表元素的含義.

【典例1】（2025.甘肅張掖.模擬預(yù)測）方程組：的解集是（）

[x-j=-3

A.{(x,y)|x=-l,或y=2}B.{(1.-2))

x—2y——5

D.

x+y=l

【答案】D

【解析】由方程組解得];二；，所以該方程組的解集為｛（T2）｝,

而卜x，y）一二=y,田=｛（t2）｝.故選：D.

【典例2】（2025?湖北黃岡?二模）若集合A=｛（尤,y）|x+y=0｝,B=｛x|2x-y=3｝,則AB=（）

A.｛1,-1｝B.｛（-1,1）｝C.｛（1,-1）｝D.0

【答案】D

【解析】因為集合4=｛（羽y）h+>=0｝表示直線x+y=0上所有點的集合，其元素是點，

集合3=N2x-y=3｝表示直線2x-y=3上所有點的橫坐標(biāo)的集合,其元素是數(shù)，

所以A8=0.故選：D.

易混易黯【02忽視（漏）空集致錯

辨析：空集不含任何元素，在解題過程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問題中，往

往容易因忽略空集的特殊性而導(dǎo)致漏解.

【典例1】（2025高三下?重慶?模擬預(yù)測）已知A=｛x|-2W尤45｝,B=｛x|m+l<x<2m-l）,B=則

m的取值范圍是（）

A.m<2B.m<2C.m<3D.2<m<3

【答案】C

【解析】因為所以當(dāng)m+1〉2加—1,即加<2時，5=0,滿足BqA,即加<2；

當(dāng)根+1=2根一1,即機=2時，B={3},滿足BqA,即加=2；

當(dāng)機+1<2加一1,即機>2時，由BqA,得加+1之一2,2m-l<5,BP2<m<3；

綜上，m<3.故選：C.

【典例2】（2025?遼寧本溪?模擬預(yù)測）已知集合4=卜6兇（》-2）（彳-3）40},3=0以-2=0},若

AB=A,則a的取值構(gòu)成的集合為（）

A.{0}B.{0,1}C.|l,|jD.jo,l,|j

【答案】D

【解析】由題得A={2,3},因為AB=A,所以3UA.

當(dāng)a=0時，B=0,滿足51A；

?22

，因為BqA,所以—=2或一=3,解得〃=1或。=；,

Baa3

綜上。的取值構(gòu)成的集合為1o，l，g，.故選：D.

易隔易錯403忽視集合元素的互異性致錯

辨析：集合元素的互異性是集合的特征之一，集合中不可出現(xiàn)相同的元素.

【典例1】（2025?河北衡水?模擬預(yù)測）設(shè)集合4=伍,3,B={2a,2a2},若A=B,則而=.

【答案】|

【解析】在8={2a,2a"中,2a2a2，貝!lawO且awl,

而4={a,>},A=B,顯然a/2a,

因此解得a=g,6=l,所以就=1.

16=2a22

【典例2】（2025?山東威海?三模）已知集合4={1,2,而},2={1,相},若AB=B,則機=（）

A.0B.。或2C.1或2D.0或1

【答案】B

【解析】由AP歸=3,得B=A,

因為8={1,〃"，所以〃zwl,

因為集合A={1，2,而},所以m=2或根=而，解得機=2或冽=。（〃?=1不合題意舍去），

所以m=0或2.故選：B.

易混易錯404充分性與必要性位置顛倒理解錯誤致錯

辨析：需要多注意倒裝句的標(biāo)志，解題時先翻譯成正常的結(jié)構(gòu)再判斷計算.

【典例1]（2025?福建福州?階段練習(xí)）關(guān)于工的一元二次方程二+》+m=0有實數(shù)解的一個必要不充分

條件的是（）

A.m<—B.m<—C.m<D.m<—

2424

【答案】A

【解析】關(guān)于x的一元二次方程/+》+/=o有實數(shù)解，

則A=1-4/20,解得根

4

結(jié)合選項可知的一個必要不充分條件的是機<2.故選：A.

42

【典例2】（2025?寧夏銀川?四模）若x,yeR,則“x>V'的一個充分不必要條件可以是（）

A.|x|>|y|B.x2>y2C.y>lD.x-y>\

【答案】D

【解析】對A,由取x=-2,y=l,則x<V,

由尤>丫，取x=l,y=.2,貝

所以W>N是x>V的既不充分也不必要條件，A錯誤；

對B,由—取彳=-2,丁=1,則x<y,

由x>y,取x=l,y=-2,貝

所以是x>y的既不充分也不必要條件，B錯誤；

%

對C,由—>1,取x=-2,y=—l,貝ljx<y,

y

元

由x>y,取％=l,y=—2,則一<1,

y

x

所以->1是x>y的既不充分也不必要條件，c錯誤；

y

對D,因為所以x>y+l>y,即尤>丁，

當(dāng)x>y時，取元=2.5,y=2,則x-ycl,

所以x-y>l是“x>y”的一個充分不必要條件，D正確；故選:D.

易漏易錯：05對含有一個量詞命題的否定理解錯誤致錯

辨析：對含有一個量詞的命題進行否定時，先將存在(全稱)量詞變?yōu)槿Q(存在)量詞，再將結(jié)論加以

否定論.這類問題最常見的錯誤是沒有變換量詞，或者對于結(jié)論沒有給予否定.有些命題中的量詞不明

顯，應(yīng)注意挖掘其隱含的量詞.

【典例1】(2025?甘肅白銀?模擬預(yù)測)命題“Vxe(0,2),2x-尤眨sin(9”的否定是()

A.V尤任(0,2),2.x-x2>sin(^)B.Vxe(0,2),2x-x2<sin(^)

-rr丫jr丫

C.e(0,2),2x—x2<sin(^-)D.Hxe(0,2),2x—x2>sin(-^-)

【答案】C

【解析】易得全稱量詞命題“Vxe(0,2),Zx-VNsin(9”的否定

是存在量詞命題““€(0.2),2x-V<sin()”.故選:c.

【典例2](24-25高三上?河南周口?期中)命題“存在偶數(shù)°,使數(shù)據(jù)3,4,1,a,5,7的中位數(shù)是偶數(shù)”

的否定為()

A.對任意的偶數(shù)a,數(shù)據(jù)3,4,1,a,5,7的中位數(shù)是奇數(shù)

B.對任意的偶數(shù)a,數(shù)據(jù)3,4,1,5,7的中位數(shù)不是偶數(shù)

C.存在奇數(shù)a,使數(shù)據(jù)3,4,1,a,5,7的中位數(shù)是奇數(shù)

D.不存在奇數(shù)a,使數(shù)據(jù)3,4,1,a,5,7的中位數(shù)不是偶數(shù)

【答案】B

【解析】命題“存在偶數(shù)。，使數(shù)據(jù)3,4,1,a,5,7的中位數(shù)是偶數(shù)”的否定為“對任意的偶數(shù)a,

數(shù)據(jù)3,4,1,a,5,7的中位數(shù)不是偶數(shù)”.故選：B

?點右柒技巧

方法技巧01子集的個數(shù)問題

求子集個數(shù)的兩種方法：

1、列舉法：將集合的子集一一列舉出來，從而得到子集的個數(shù)，適用于集合中元素個數(shù)較少的情況；

2、公式法：含有n個元素的集合的子集個數(shù)是2",非空子集的個數(shù)是2"—1,真子集的個數(shù)是2〃一1,非

空真子集的個數(shù)是2"-2.

【典例1】（2025?山東濰坊?二模）已知集合4={龍€M了3<27},則A的子集的個數(shù)是（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【解析】由尤3<27,解得x<3,

所以4=小葉3<27}=卜€(wěn)葉<3}={0,1,2},

所以A的子集有23=8個.故選：B

【典例2】（2025?黑龍江哈爾濱?一模）已知集合4=卜產(chǎn)-4》+3=0,尤eR},

B={x|-x2+6.x+7>0,xeN},則滿足條件43的集合C的個數(shù)為（）

A.512B.128C.64D.32

【答案】C

【解析】因為A={xk2-4x+3=0,xeR}={l,3},

B=卜卜尤？+6%+7>0,.xeN!=1x|—1<x<7,xeNj={0,1,2,3,4,5,6,71,

由AUCUB可得{1,3}=C={0,1,2,3,4,5,6,7},

由于每個符合條件的集合C都包含元素1、3,

所以，集合C的個數(shù)即為集合{024,5,6,7}的子集個數(shù)，

故集合C的個數(shù)為26=64.故選：C.

方法技巧02判斷集合間的關(guān)系

判斷集合間關(guān)系的三種方法:

1、列舉觀察法：列出幾何中的全部元素，通過定義得出集合間關(guān)系；

2、集合元素特征法：首先確定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判

斷集合間關(guān)系；

3、數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或韋恩圖判斷集合間關(guān)系，如不等式的解集之間的關(guān)系，適合用數(shù)軸法.

【典例1]（24-25高三上.天津.階段練習(xí)）已知集合4=同/-彳-2<0},8=卜卜1<彳<3},則（）

A.A*8B.8呈AC.A=BD.AfB=0

【答案】A

【解析】由題意知，A={x[—l<x<2},

又8={x[—l<x<3},所以A基從故選：A

【典例2]（24-25高一上?山西大同?階段練習(xí)）已知集合小

I4o

y=-+-,*Z,則（

28e

A.M=NB.NqMC.MqND.McN=0

【答案】B

【解析】因為M=左

N=[yy=1+",4eZ,=[yy=

因為=4k+1,左￡Z}q{x|x=2左一1,左￡Z},

所以NqM,故選：B.

方法技巧03Venn圖在集合運算中的應(yīng)用

元素與集合的隸屬關(guān)系以及集合之間的包含關(guān)系，一般都能通過韋恩圖形象表達.有時題設(shè)條件比較抽

象，也應(yīng)借助于韋恩圖尋找解題思路。這樣做有助于直觀地分析問題、解決問題.

【典例1】（2025?山東棗莊?二模）已知全集為U,集合48是U的兩個子集，若AB/0,則下列運算

結(jié)果為A的子集的是（）

A.ABB.（dA）c3

C.A1（aB）D.（楸）3膽）

【答案】C

【解析】作出Venn圖，如圖,

對于A,AuAB,故A錯誤；

對于B,（gA）cB與集合A交集是空集，

若曲A）CBW0,貝匹取1卜3不是A的子集，故B錯誤；

對于C,故C正確；

對于D,（瘵4）口（心）與集合A交集是空集，

若（瘵4）口（心沖0,則（瘵4）U