練案17導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

6A組基礎(chǔ)鞏固9

一、單選題

1.(2025?江蘇南通海安質(zhì)檢)函數(shù)I/(x)=x(x—3)2的極大值為()

A.-4B.0

C.1D.4

D

［解析］f(x)=(x-3)2+2x(x-3)=3(x-l)(x-3),故選D.

X(—8,1)1(1,3)3(3,+oo)

f(x)+0—0+

?極大值4極小值0

2.已知函數(shù)人》)和g(x)的導(dǎo)函數(shù)/(x),g<x)圖象分別如圖所示，則關(guān)于函數(shù)y

=g(x)—Ax)的判斷正確的是()

A.有3個極大值點(diǎn)

B.有3個極小值點(diǎn)

C.有1個極大值點(diǎn)和2個極小值點(diǎn)

D.有2個極大值點(diǎn)和1個極小值點(diǎn)

D

［解析］由已知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與極值的關(guān)系進(jìn)行分析即可求解.結(jié)合函

數(shù)圖象可知,當(dāng)時，/(x)<g<x),此時y=g<x)—/(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)

a<x<0時，f(x)>g'(x),此時y'=g'(x)-f(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)0<x<b時，

f(x)<g'(x),此時y=g。)一f(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，/(x)>g，(x),此時

y'=g\x)—f(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)在x=a,關(guān)=6處取得極大值，在關(guān)=0

處取得極小值.故選D.

3.(2024.西安中學(xué)高三第四次月考)函數(shù)Hx)=eM+cosx+l在區(qū)間［―兀，兀］

上的最大值、最小值分別為()

A.11,3B.e\3

C.e年+1,2D.e\2

B

［解析］因?yàn)榘艘粁)=eN+cosx+l=?x),所以人x)為偶函數(shù)，當(dāng)它0時，火x)

=eA+cosx+l,f(x)=ex—smx.易知當(dāng)xNO時，e'>l,sinx<l,BlJy(x)=eA—sin

X>0,/(x)在［0,兀］上單調(diào)遞增，所以五?min=/0)=3,故選B.

4.(2025?皖豫天一大聯(lián)考)若函數(shù)氏0=胃+'+1在x=2時取得極小值,則

人為的極大值為()

A.~eB.1

e3

C.dD.e

o

D

［解析］由函數(shù)於)=■+i+1，

exp^+b-Zx+l—Z?]

求導(dǎo)可得了(x)=d+Zzx+F

由題意可得了(2)=0,則4+20—2)+1—1=0,解得?=—1,

所以■/U)=x2，+1，則f—x+l=錯誤!2+錯誤!>0,

—3x+2e%%—1%—2

%2—x+12x2—x+12'

令了(x)=0,解得尤=1或2,列表如下:

X(—00,1)1(1,2)2(2,+co)

rw+0—0+

fix)極大值e極小值0

e1

則函數(shù)的極大值為/l)=l_；+l=e.故選D.

5.(2023?海南八校聯(lián)盟)已知函數(shù)五x)=31nx—f+錯誤!x在區(qū)間(1,3)上有最

大值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.錯誤！B.錯誤！

C.錯誤！D.錯誤！

B

31

［解析］/(%)=：—2%+。一小由題意易知錯誤!即錯誤!，解得一錯誤!<〃<錯誤!.

故選B.

6.(2025?河北石家莊二中模擬)若函數(shù)五x)=(l—的圖象關(guān)于點(diǎn)

(—2,0)對稱，XI,X2分別是兀0的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，則X2—Xl=()

A.I小B.2\［3

C.-273D.小

C

［解析］由題意可得人一2)=3(4—2a+0)=0,

因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(一2,0)對稱，且汽1)=0,所以4一5)=0,

即五-5)=6(25—5a+0)=0,

聯(lián)立錯誤!解得錯誤！

故人x)=(1—x)(f+7尤+10)=一短一6f—3x+10,

則/(x)=—3f—12x—3=—3(f+4x+l),

結(jié)合題意可知XI,X2是方程/+4%+1=0的兩個實(shí)數(shù)根，J=LX1>X2,Xl+%2

=-4,xi-X2=l>故X2—xi=—|xi-X2|=—^/xi+x22-4xiX2=~7—42—4x1=一

2小.

二、多選題

7.(2025?河南新鄉(xiāng)名校期中)已知函數(shù)人%)=1?+52+依+人的極小值點(diǎn)為

1,極小值為一看,則()

A.a——2

B.Z?=—1

C.危)有3個零點(diǎn)

D.直線y=5與火功的圖象有2個公共點(diǎn)

AC

［解析］由題意得了(%)=/+1+處則%1)=2+。=0,得a=—2,A正確；

由火l)=g+；—2+b=—1,得6=1,B錯誤；/(X)=X2+X—2=(X—1)(X+2),易

知回)在(—8,-2),(1,+o))上單調(diào)遞增,在(一2,1)上單調(diào)遞減，則小)的極大

13

值為八-2)=至，所以九乃有3個零點(diǎn)，直線y=5與人勸的圖象僅有1個公共點(diǎn),

C正確，D錯誤.

8.(2025?江蘇鎮(zhèn)江期中)已知函數(shù)火x)=(x—l)2(x—4)+4的導(dǎo)函數(shù)為/(x),

貝U()

A.人為只有兩個零點(diǎn)

B.f(4~x)=f(x)

C.尤=1是?x)的極小值點(diǎn)

D.當(dāng)xNO時，火工20恒成立

ABD

［解析］f(x)=3(x-l)(x-3)=0,尤=1或3,一%)在(一oo,1)單調(diào)遞增，(1,3)

單調(diào)遞減，(3,十◎單調(diào)遞增，1AX)極大值=AD=4,Hx)極小值=A3)=0,..JU)有且僅

有兩個零點(diǎn)，A正確；/(x)關(guān)于x=2對稱，B正確；x=l是極大值點(diǎn)，C錯誤；

這0時，40)=0,Hx)K)恒成立，D正確.

工2+72

9.(2025?陜西適應(yīng)性檢測)已知函數(shù)而0=加11%+二一在》=1處取得極大值

—1,則下列結(jié)論正確的是(參考數(shù)據(jù)：ln2=0.7)()

A.n—2B.m——3

C.Hx)在x=2處取得極小值D.1Ax)在區(qū)間錯誤!的最小值為31n2—

7

2

BCD

［解析］f(x)=mlnx+x+-X,

上心“m,nx2+mx—n

故/(%)=人-+1--人2=一人—，

由題意汽1)=1+〃=一1,f(l)~l2+m—n=0,

解得〃=—2,m=—3,故A錯誤，B正確；

2

故7(x)=-31nx+》一嚏，

3..2x—lx—2

/W=--+l+^2=~~，(X>0).

令/(x)>0可得0<x<l或x>2,令/(x)<0可得l<x<2,

故人x)在(0,1)與(2,十⑹上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，故人x)在x=2處

取得極小值，故C正確；

由C,五x)在錯誤!上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,4)上單調(diào)遞增.

又通誤！=—31n錯誤！+錯誤！-4=31n2一錯誤！，

27

火2)=—31n2+2—1=—31n2+l>31n2—于故D正確.故選BCD.

10.(2025?山東百師聯(lián)盟期中聯(lián)考)設(shè)函數(shù)人力=X3—Y+ax—1,則()

A.當(dāng)。=一1時，兀0的極大值大于0

B.當(dāng)。弓時，?x)無極值點(diǎn)

C.使人光)在R上是減函數(shù)

D.VaGR,曲線y=/(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)為定值

BD

［解析］當(dāng)。=—1時，fix)

求導(dǎo)得了COMBX2—2x—1,

令/(x)=0得x=—g或％=1，

列表如下：

1

X錯誤！~3錯誤！1(1,+GO)

f(x)+0—0+

22

於)極大值一身極小值一2

A錯誤；

/(x)=3x2~2x+a,當(dāng)時，

zl=4-12tz<0,即/(x)K)恒成立，

函數(shù)人x)在R上單調(diào)遞增，五x)無極值點(diǎn)，B正確；

要使加0在R上是減函數(shù)，

則/(x)=3x2-2x+aWO恒成立，

而不等式3爐一2x+aS0的解集不可能為R,C錯誤；

323

由/錯誤!+y(x)=錯誤!—錯誤!+。錯誤!—1+x—l+ax—］_=錯誤ia—

58

27，

得曲線y=Hx)的對稱中心的坐標(biāo)為錯誤!，D正確.故選BD.

三、填空題

11.(2025?黑龍江雙鴨山一中期中)已知函數(shù)五x)=(x—c)2e*在x=2處有極大

值，則c的值為.

4

［解析］/(x)=(x—c)(x—c+2)eY,

令/(x)>0,解得x?(一℃，c—2)U(c,+co)；

令了(%)<0，解得xC(c—2,c)；

故於)在(一oo,c—2),(c,+oo)上單調(diào)遞增；在(c—2,c)上單調(diào)遞減，

因此在x=c—2處有極大值，即c—2=2,c=4.

12.函數(shù)五x)=|2x—1|-21nx的最小值為.

1

［解析］函數(shù)八x)=|2x—1|—21nx的定義域?yàn)?0,+s).

①當(dāng)時，=2x-1—21nx,

ll-22x-l

所以/(%)=2_:二"一,

當(dāng);<X<1時，/(x)<0,當(dāng)X>1時，/(x)>0,

所以次x)min=/a)=2—1—21n1=1；

②當(dāng)時，

?=1-2x—21nX在錯誤!上單調(diào)遞減，

所以五x)min=通誤！=-21n錯誤！=21n2=ln4>lne=l.綜上，?^=1.

四、解答題

13.(2025?山西大同期中)已知函數(shù)八》)=*—3x+aln(x+2)的圖象在點(diǎn)(0,

人0)處的切線與直線x+y=0平行.

⑴求a-,

(2)求人x)在區(qū)間［—1,4］上的最大值.(參考數(shù)據(jù)：In6句.79)

［解析］(1)由題意得了(x)=x—3+言，x>-2.

由點(diǎn)(0,>)處的切線與直線x+y=0平行知/(0)=—1,即-3+g=—1，

所以。=4.

1--2

(2)由(1)知人x)=/—3x+41n(x+2),f(x)=,x>~2.

當(dāng)xG(—1,2)時，/(x)<0,危)在(一1,2)單調(diào)遞減，

當(dāng)x@(2,4)時，/(x)>0,於)在(2,4)單調(diào)遞增.

所以在區(qū)間［—1,4］上的最大值為八一1)和汽4)中的較大者.

7

因?yàn)榘?1)=1，/(4)=41n6—4,

所以五一1)一五4)=?—41n6>0,

即一一1)次4),

7

故/(x)在區(qū)間［—1,4］上的最大值為亍

14.(2025?江蘇宿遷期中)已知函數(shù)於)=%3+加一x+1,(t/ER,%ER).

(1)當(dāng)a=—1時，求函數(shù)人外的單調(diào)增區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)五x)在區(qū)間(一2,—1)內(nèi)存在極值點(diǎn)，求。的取值范圍.

［解析］(1)當(dāng)a=-1時，yOOu%3—'X2—x+1,

則f(x)=3——2x—1=(3%+l)(x-l),

令/(x)>0,解得％<一；或x>l,

故-x)的單調(diào)增區(qū)間為錯誤!,(1,+oo).

(2?(x)=3f+2ax—1,

則Hx)在區(qū)間(一2,—1)內(nèi)存在極值點(diǎn)等價于了(%)=0在(一2,—1)有解，

即2a=：—3x在(一2,—1)有解，

??/=；—3x在(一2,T)單調(diào)遞減，則可得y=；—3x在(一2,—1)的值域?yàn)?/p>

Ji4

錯誤！，

則2<2a<?,解得l<a<,.

?B組能力提升9

1.(2025?河北邯鄲—中月考)若函數(shù)/)=ae」sinx在x=0處有極值，貝Ua

的值為()

A.11B.0

C.1D.e

C

［解析］f(x)=aex—cosx,若函數(shù)/(x)=aex—sinx在x=0處有極值，則了(0)

=tz—l=0,解得。=1,經(jīng)檢驗(yàn)a=l符合題意.故選C.

2.(2023?貴州黔東南州聯(lián)考)已知函數(shù)Hx)=ln若函數(shù)人乃在［1,e］±

的最小值為右3則。的值為()

A.—B.一

C.—1D.e；

A

fil1,ax~\~a

［解析］/(x)=-+^=—

若近0,則火工)在［1，e］上遞增,

33

火X)min=/(1)=—〃=］,則。=一］,矛盾.

若a<Q,則由/(x)=0得％=—。.

若l<-a<e,即一e<a<—1,

3

則火x)min=y(—a)=ln(—a)+l=5，解得〃=—>\/c,符合題意，故選A.

事實(shí)上，若一定e,即心一e,f(x)<0,危)在［1,e］上遞減，.?優(yōu)x)min=/(e)=

1-1=!'解得a=一向矛盾;

3

若一七1,即a>~l,/(x)>0,火勸在［1,e］上遞增/x)min=/(l)=—a=］,解

3

得a=-矛盾.

3.(2025?江蘇宿遷期中)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y=/(x)及其導(dǎo)函數(shù)y

=/(x)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為(0,1),則

A.函數(shù)y=/(x>ex的最大值為1

B.函數(shù)丁=兀。卜的最小值為1

C.函數(shù)y=g的最大值為1

D.函數(shù)的最小值為1

C

［解析］由題意可知，兩個函數(shù)圖象都在X軸上方，任何一個為導(dǎo)函數(shù)，則

另外一個函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為y=f{x},實(shí)線部分為y=?,

故丁'=/(》)?+五%)?=(/(乃+/0)?>0恒成立，故y=Ax)e》在R上單調(diào)遞增，

則A,B顯然錯誤；了=若產(chǎn)=若在，由圖象可知x?(—oo,0),y'=與笈>0

CCC

恒成立，故尸總單調(diào)遞增，當(dāng)x?(0,+oo),y=%&0,y=￡單調(diào)遞減，所

以函數(shù)丁=自在X=O處取得極大值，也為最大值，咨=1，c正確，D錯誤.故選

c.

4.(2025?北京師大附中月考)設(shè)函數(shù)4x)=%2—2x+alnx

(1)當(dāng)a=—4時，求人勸的極值；

(2)當(dāng)a>0時,判斷五x)的單調(diào)性.

［解析］(1)由已知，人的的定義域?yàn)?0,+◎，

,a2X2—2x+tz

f(x)=2%-2+-="，

人人

當(dāng)。=一4時，令/(x)=0,得2/一2工一4=0,

又x>0,所以尤=2.

當(dāng)0<%<2時，/(x)<0；當(dāng)x>2時，/(x)>0.

因此，當(dāng)無=2時，大%)有極小值,極小值為X2)=—41n2,丁龍)無極大值.

(2)由已知,人x)的定義域?yàn)?0,+oo),

,a2/12%+。

/(x)=2x-2+~=",

令g(x)=2/—2x+tz(x>0),

則g(x)在錯誤!上遞減，在錯誤!上遞增，

因此，g(x)有最小值g錯誤!=。一錯誤!.

①當(dāng)其時,?-1>0,則/(%巨0,此時,函數(shù)於)在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)0</時，令/(x)>0,

1—\11—2a1+A/1—2a

可解z得0a<—2---，或x>—2-----

此時，函數(shù)人x)在錯誤!和錯誤!上單調(diào)遞增；錯誤!上單調(diào)遞減.

綜上：息時，益)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；

0<。<5寸，於)在錯誤!和錯誤!上單調(diào)遞增；錯誤!上單調(diào)遞減.

5.(2025?高考綜合改革適應(yīng)性演練)已知函數(shù)y(x)=alnx+;：—x.

(1)設(shè)a=l,b=~2,求曲線y=/(x)的斜率為2的切線方程；

(2)若x=l是人為的極小值點(diǎn)，求6的取值范圍.

［解析］⑴當(dāng)。=1,6=—2時，

?=lnx-1-x,

其中x>0,則/(%)=:+(一1="『2

.X—J^+1

令〃%)=20一p—=2

化簡得3X2—x—2=(%—l)(3x+2)=0,

解得x=1(負(fù)值舍去)，

又此時人1)=—3,則切線過點(diǎn)(1,-3),結(jié)合切線方程斜率為2,

則切線方程為y+3=2(x—1),即2%—>一5=0.

(2)由題可得八工)定義域?yàn)?0,+s),

ab-xl-\-ax-b

f出=~-72-1=p，

因X=1是火%)的極小值點(diǎn)，則

/(1)=-1+〃-b=O=>a=b~\~1,

—f+b+l%―/?x—lx-b

則/(%)=

X2

若云0,令/(x)>0nxG(0,D，

令7(x)<0=>xG(l,+oo),

則加0在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,十⑹上單調(diào)遞減，

得X=1是汽X)的極大值點(diǎn)，不滿足題意；

若0<0<1,令/(x)>0nxe(。,1),

令/(x)<0-xG(0，")U(1，+oo),

則—龍)在(81)上單調(diào)遞增,在(0,b),(1,+s)上單調(diào)遞減，得x=l是五x)

的極大值點(diǎn)，不滿足題意；

r-12

若6=1,則/(x)=——丁<0,Hx)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，無極值，不滿足

題意；

若。>1,令/(%)>0一汗@(1,b),

令/(x)<0nxG(0,l)U(。，+oo),

則治)在(1,。)上單調(diào)遞增，在(0,1),(b,+oo)上單調(diào)遞減，得x=l是段)

的極小值點(diǎn)，滿足題意;

綜上，尤=1是人X)的極小值點(diǎn)時，b>l.

■C組拓展應(yīng)用(選作)9

(2025?遼寧期中聯(lián)考)已知函數(shù)4%)=。錯誤!+(x—2)eYaGR)

⑴求人助的極值點(diǎn)；

(2)若Vx?[2,十⑹，有次冷沙，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

[解析]⑴因?yàn)槲?=。錯誤!+