第七章立體幾何第二節(jié)大題篇

考點(diǎn)一平行的判定

1.直線與平面平行

文字語言圖形語言符號(hào)語言

平面外一條直線與此平面內(nèi)

判定ata

的一條直線平行，則直線與bua=^a//a

定理

此平面平行.b//a

如果一條直線和一個(gè)平面平

麗

行，經(jīng)過這條直線的平面和a//a

定理,0a,llb

這個(gè)平面相交，那么這條直aC\h=b

線就和交線平行.

2.平面與平面平行

文字語言圖形語言符號(hào)語言

一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線aua

判定與另一個(gè)平面平行，則這兩bua

,0a〃,

定理個(gè)平面平行a〃?

口b〃B.

如果兩個(gè)平行平面時(shí)與第三

性質(zhì)

個(gè)平面相交，那么它們的交

定理haV\y—a,=^a//b

線平行t

fL7陽7=>

法一線面平行構(gòu)造之三角形中位線法（又稱“A”型平行）

【例1】四棱椎尸-A8CD底面為平行四邊形，E、尸分別為尸。、3c中點(diǎn)，證明：尸3〃平面4CE

B

法二線面平行構(gòu)造之平行四邊形法（又稱“口”型平行）

【例2】四棱椎P-48CD底面為平行四邊形，E、尸分別為尸￡＞、3c中點(diǎn)，證明：即〃平面尸48

圖一圖二圖三圖四

法三線面平行構(gòu)造之面面平行推導(dǎo)法（做一個(gè)輔助平行平面）

【例3】四棱椎P-48CD底面為平行四邊形，E、尸分別為PD、5C中點(diǎn)，證明：￡廠||平面

【例4】如圖，在四棱錐尸-/BCD中，AB//CD,ABVBC,2AB=2BC=CD=PD=PC,設(shè)瓦廠,“分列為

棱N8,PC,CD的中點(diǎn)，證明：￡///平面尸

考點(diǎn)二垂直的判定

1.直線和平面垂直的定義

直線，與平面。內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線/與平面。互相垂直

2.性質(zhì)定理與判定定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

/、

一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直abUot]

判定aQb=0j.

線都垂直，則該直線與此平面垂>=>Zla

定理y\ILa

直libJ

如果在兩條平行直線中，有一條

0二b

推論垂直于平面，那么另一條直線也￡a//b]

垂直這個(gè)平面7

垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平a一

al.a]

性質(zhì)定理行7

3.平面與平面垂直

文字語言圖形語言符號(hào)語言

一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂lup1

判定定理

線，則這兩個(gè)平面互相垂直

兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面

性質(zhì)定理

FA1

內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一■j

Wa/~aC\g=a?句

個(gè)平面1_LLaJ

L—j

題型1線面垂直與面面垂直的判定定理

【例1】圖1是由矩形4DE2，RtAABC和菱形8FGC組成的一個(gè)平面圖形，其中/B=l,BE=BF=2,

ZFBC=60°.將其沿/B,BC折起使得BE與加7重合，連結(jié)。G,如圖2.證明：圖2中的4,C,G,

。四點(diǎn)共面，且平面48C，平面BCGE

圖1圖2

【例2】如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面ABC。為正方形，P/_L底面ABC。，PA=AB=2,E為線段PB的

中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，證明：平面平面PBC

題型2異面直線垂直

【例3】如圖，在長(zhǎng)方體48coG2中，點(diǎn)E,尸分別在棱。2，上,且2DE=ER,BF=2FBl.

證明：(1)當(dāng)48=8C時(shí)，EF1AC-,(2)點(diǎn)。在平面4EF內(nèi).

題型3等腰三角形三線合一構(gòu)造法

在沒有特殊的重垂線和水平面，證一些線面垂直則需要一些特殊的幾何性質(zhì),由有著共底邊的兩個(gè)等腰三角形構(gòu)

成的立體圖形，則兩個(gè)頂點(diǎn)的連線一定垂直于底邊.

【例4】如圖，已知空間四邊形N8C。中，BC=AC,AD=BD,E是的中點(diǎn).

求證：(1)平面CDE；

(2)平面CDE_L平面NBC；

(3)若G為A4DC的重心，試在線段4E上確定一點(diǎn)尸，使得G尸//平面CDE.

【例5】如圖，在四棱錐P-N8CD中，底面N8C/是40/8=60。且邊長(zhǎng)為。的菱形，側(cè)面上4。是等邊三

角形，且平面尸4D垂直于底面4BCD.

(1)若G為/。的中點(diǎn)，求證：2G_L平面P4D；

(2)求證：ADLPB；

(3)求二面角/-BC-尸的大小.

題型4面面垂直的性質(zhì)定理

【例6】如圖，在平面四邊形尸中，。為P/的中點(diǎn)，PALAB,CD//AB,且尸/=CD=2/3=4.將此

平面四邊形43C尸沿CD折成直二面角尸-DC-8,連接尸4尸尻AD.證明：平面尸平面P8C.

題型5鱉膈幾何體中的垂直

定理：若一條直線/垂直于一個(gè)平面，如果在被垂直的平面內(nèi)找到相互垂直的兩條線4,4(4與/相交)，

則與/異面的直線4垂直于/和4構(gòu)成的平面.鱉月需是最典型的例子.

當(dāng)出現(xiàn)重垂線E4時(shí)，就需要在水平面/CB內(nèi)找到兩條垂直相交的直線/CL3C,由于/C與重垂線

為相交，故能得到面刃C,同理，刃C作為被垂直的平面，在平面內(nèi)找到4DL尸C,3C與PC相

交，故可以得到40_1面。3(7,P2C作為被垂直的平面，需要在這個(gè)面內(nèi)找到垂直的兩條直線，當(dāng)DE工PB

時(shí)(或4E_LPB),能得到尸8_1面/?！?

【例7】如圖，幾何體尸—48。中，尸/,平面48C,ACLCB,必于M,AN工PC于N.

(1)證明：3CL平面R4C；

(2)證明：尸8,平面；

(3)證明：平面P3C，平面㈤W；

(4)證明：PBLMN.

考向2空間向量與立體幾何

知識(shí)點(diǎn)一：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

（1）兩向量夾角

已知兩個(gè)非零向量b,在空間任取一點(diǎn)O,作=OB=b,則4405叫做向量3,石的夾角，

記作?花），通常規(guī)定如果=那么向量Q,石互相垂直，記作

（2）數(shù)量積定義

已知兩個(gè)非零向量a,b,則W^cosk,叫做Q,B的數(shù)量積，記作即a4=.零

向量與任何向量的數(shù)量積為0,特別地，］￡=問:

（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：

（4a）％）,a-b=b-a（交換律）；

a-［b+c^=a-b+a-c（分配律）.

知識(shí)點(diǎn)二：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用

（1）設(shè)a=（。1，。2，。3）'5=（4也力3），貝!J〃+（=（q+"〃2+〃2，a3+“）；

a-b=^ax-bx,a2-b2,a3-b3^；

Aa=（2%,Aa2,Ztz3）；

a'b-帖［+a2b2+a3b3；

a/lb{bw6）=>%=Abva2=Ab2,a3=Ab3；

aLb=>+a2b2+a3b3=0.

（2）設(shè)4（再,必/1）,BN，%,馬），貝!I/5=0夕_。4=（%2_玉，％_必/2_zj.

這就是說，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式.

①已知4=（%,。2，。3），石二（4也也），貝L=V?=Jq2+?2+/2；

W=+42；

a-b-。也1+a2b2+a3b3；

h\-。也+%&+%a

VlJo\vt,47/一/二/

\/J。；+必+/2J/?：+b；+b；

②已知/(再,必,馬)，5(%2，歹2/2)，則［目=J(項(xiàng)一％丫+(%—%)2+(4-Z2丫,

或者d(4,8)=|詬卜其中d(4B)表示/與5兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式.

(4)向量4在向量B上的投影為|Q|COS(Q,B)=：2

知識(shí)點(diǎn)三：法向量的求解與簡(jiǎn)單應(yīng)用

(1)平面的法向量：

如果表示向量〃的有向線段所在直線垂直于平面a,則稱這個(gè)向量垂直于平面a,記作)_La,如果

nla,那么向量〃叫做平面。的法向量.

幾點(diǎn)注意：

①法向量一定是非零向量；②一個(gè)平面的所有法向量都互相平行；③向量［是平面的法向量，向量浣是

與平面平行或在平面內(nèi)，則有而G=0.

第一步：寫出平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向q=(石，M，zj,b=［x2,y2,z2^；

xx+yy+zz=0

第二步：那么平面法向量〃=(%,y,2)滿足1ll

n-b=0xx2+yy2+zz2=0

(2)判定直線、平面間的位置關(guān)系

①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線a,6的方向向量分別為Z,b.

若“〃即a=則Q〃6；

若即〃)=(),貝

②直線與平面的位置關(guān)系：直線/的方向向量為Z,平面a的法向量為五，且/J_a.

若不〃力，即。=%〃，貝！J/_La；

若a-Ln,即a?〃=0,則a//a.

L

（3）平面與平面的位置關(guān)系

平面a的法向量為耳，平面￡的法向量為4.

若4〃%,即％=Zii2，則allP；若％_1_%,即％?元2=0，則a工「.

知識(shí)點(diǎn)四：空間角公式.

（1）異面直線所成角公式：設(shè)Z刃分別為異面直線/「人上的方向向量，。為異面直線所成角的大

,…I/--\1a%

小，則cos。=cos（a,6）=7I一.

1'〃

（2）線面角公式：設(shè)/為平面。的斜線，Z為/的方向向量，3為平面。的法向量，。為

I與a所成角的大小，則sing=cos（a,〃）=.

（3）二面角公式：

設(shè)外,巧分別為平面a，尸的法向量，二面角的大小為0,貝16=伍⑹或%-伍⑹（需要根據(jù)具體

情況判斷相等或互補(bǔ)），其中|cosO|=N

N同

知識(shí)點(diǎn)五：空間中的距離

求解空間中的距離

（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直

接計(jì)算.

如圖，設(shè)兩條異面直線a,6的公垂線的方向向量為五，這時(shí)分別在a,6上任取N,8兩點(diǎn)，則向量在萬

上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線a,6的距離.則d=|萬?/-|=也力即兩異面直線間的距離，等于兩異

\n\\n\

面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線的方向向量模的比值.

(2)點(diǎn)到平面的距離

/為平面a外一點(diǎn)(如圖)，方為平面a的法向量,過A作平面a的斜線AB及垂線AH.

金

|AB-n

|A^H^B|-sin6(=|ZB|?|cos<>|=|畫竺::

ABy-n一問

71萬?十

d——?

1?1

題型1空間向量的基本運(yùn)算

【例1】如圖.空間四邊形CWBC中，OA=a,OB=b,OC=c:，點(diǎn)M在0A上，且滿足=2祝L點(diǎn)N為8c

的中點(diǎn)，則應(yīng)獷=()

B

1-2-1-2-2-1一

A.-ci—b—cB.-a—1——C

232332

1-1;1-2-1一

C.—a+—b——cD.——a+--b+—c

222312

【例2】若點(diǎn)42,—5,-1),5(-1,-4-2),C(m+X-3ME同一條直線上，則加-〃=()

A.21B.4C.-4D.10

【例3】(多選題)已知向量3=(W),3=(-1,0,2),則下列正確的是()

A.a+b=（0,1,3）B.同=6C.a-b=2D.〈1,3〉=：

【例4】在四面體CWBC中，點(diǎn)M,N分別為OA、BC的中點(diǎn)，^OG=^OA+xOB+yOC,且G、M、N三

點(diǎn)共線，則x+y=.

題型2利用空間向量證明平行

【例1】如圖所示，在四棱錐P-48co中，底面48CD為矩形，平面48CD,E為C尸的中點(diǎn)，N為

0E的中點(diǎn)，DM=-DB,DA=DP=1,CD=2求證：MNIIAP.

4

【例2】在蘇州博物館有一類典型建筑八角亭,既美觀又利于采光，其中一角如圖所示，為多面體

ABCDE-AlBlCxDlEl,AB1AE,AE//BC,AB//EDAAi1底面ABCDE,四邊形44GA是邊長(zhǎng)為2

的正方形且平行于底面，AB/ZA^,DXE,的中點(diǎn)分別為尸，G,AB=AE=2DE=2BC=4,M=1.

證明：廠G〃平面qco；

題型3利用空間向量證明垂直

【例11如圖，在平行六面體48co—44GA中，AB=AD=4,AA,=5,NDAB=ZDAAX=NBA4=60°.

⑴求ZG的長(zhǎng)；

(2)求證：AC.1BD.

【例2】如圖，在四棱錐尸-/BCD中，尸。，底面48cD,底面4BC。

是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD=DC,F,G分別是PB,40的中點(diǎn).求證：6尸，平面/＞。8；

【例3】如圖，在四棱錐尸-4BCD中，PA1ABCD,ADVCD,ADUBC,PA=AD=CD=2,BC=3.E

PF1

為P。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在尸C上，且k=a，求證：平面/所，平面PCD.

題型4利用空間向量求夾角、長(zhǎng)度、體積

【例1】（2024新I卷）如圖，四棱錐P—48CD中，PZ_L底面4BCD,PA=4C=2,BC=1,AB=6

pP

「1

⑴若4DLPB,證明：40〃平面必C；

（2）若且二面角/—CP—。的正弦值為近2

,求4D.

7

［例2］（2024新課標(biāo)II卷17題）如圖，平面四邊形ABCD中，4B=8,CD=3,AD=5y/3>ZADC=90°，

/BAD=30,點(diǎn)、E,F滿足AE——AD,AF=-AB,將AAEF沿EF對(duì)折至XPEF，使得PC=

ZJk

P

Bc

氣B

（1）證明：EFLPD；

（2）求面尸CD與面PAF所成的二面角的正弦值.

【例3】(2024甲卷)如圖，在以4,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形4BCD與四邊形跖

均為等腰梯形，BC//AD,EF//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=JO,FB=：2J3,M為AD

的中點(diǎn).

笄

MMC

(1)證明：BM1/平面CDE；

(2)求二面角尸—￡的正弦值.

題型4利用空間向量求距離

【例1】(2024天津卷)已知四棱柱45a4