深圳中考一一專題16解答壓軸幾何綜合題

一、解答題

1.（2024?廣東深圳.統(tǒng)考中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作關(guān)于不

相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點(diǎn)是這條邊的中點(diǎn)，則該平行四邊形是“垂

中平行四邊形”.

BC

圖3圖3備用圖

（1）如圖1所示，四邊形A3CO為“垂中平行四邊形"，AF＜，C￡=2,則AE=：AB=

（2）如圖2,若四邊形ABC。為“垂中平行四邊形”，且瓦），猜想■與CO的關(guān)系，并說(shuō)明理

由；

（3）①如圖3所示，在△ABC中，BE=5,CE=2AE=\2,BE_LAC交AC于點(diǎn)E,請(qǐng)畫出以8C

為邊的垂中平行四邊形，要求：點(diǎn)A在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；

②若△ABC關(guān)于直線AC對(duì)稱得到VA8'C，連接C9,作射線CB'交①中所畫平行四邊形的邊于點(diǎn)?，

連接尸E，請(qǐng)直接寫出所的值.

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）（1）如圖，在矩形A8CD中，E為AD邊上一點(diǎn)，連接酩，

①若BE=BC,過(guò)C作6J?班:交的于點(diǎn)R,求證：AABEdFCB；

②若S柜形"e=20時(shí)，則BE?CF=.

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(2)如圖，在菱形A8c。中，cosA=~,過(guò)C作CE/A6交A4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)笈，過(guò)￡作上AD

求斯?8C的值.

(3)如圖，在平行四邊形48co中，ZA=60°,48=6,八。=5,點(diǎn)￡在CD上，且CE=2,點(diǎn)尸

為上一點(diǎn)，連接E7L過(guò)E1作EG_LEF交平行四邊形A8C。的邊于點(diǎn)G,若EF-EG=76時(shí),

3.(2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題)(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形A8CO中，E為A。邊上一

點(diǎn)，將小4團(tuán)沿班翻折到48所處，延長(zhǎng)防交CO邊于G點(diǎn).求證：△BFGQABCG

圖①

(2)【類比遷移】如圖②，在矩形ABC。中，七為A力邊上一點(diǎn)，且AO=8,AB=6,將△板沿8E翻

折到斯處，延長(zhǎng)EF交BC邊于點(diǎn)G,延長(zhǎng)BF交CD邊于點(diǎn)”,且FH=CH,求AE的長(zhǎng).

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AgD,

s

BGC

圖②

（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形43co中，E為CD邊工三等分點(diǎn)，工少=60°,將△ADE沿AE翻

折得到△AFE，直線互交8c于點(diǎn)尸，求CP的長(zhǎng).

ABAB

備用1備用2

4.（2024?廣東深圳?鹽田區(qū)一模）如圖，等腰Rt^ABC中，Z4CB=90°,AC=BC,懸D為BC邊工

一點(diǎn)，CE_LAO于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)尸.

W/

BDCBC

備用圖

（1）求證：—=^；

EDCD1

RC

（2）當(dāng)EF平分/AEC時(shí)，求——的值：

DC

A.p

（3）當(dāng)點(diǎn)。為3C的三等分點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出——的值.

FC

5.（2024?廣東深圳?福田區(qū)三模）【初步探究】

如織1,四邊形A8C。是矩形，點(diǎn)P是平面內(nèi)任一點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是()

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②證明；ADGH-ADH.

【問題解決】

（2）在（1）的條件下，已知AC=4,BC=3,求C”的長(zhǎng).

【拓展提升】

（3）如圖2,在菱形A8CQ中，AC=8,BD=6,將菱形A8CO繞著A8中點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到

菱形EFGH,當(dāng)菱形EPGH的頂點(diǎn)七分別恰好落在菱形48co的AO邊和對(duì)角線8。上時(shí)，菱形

EFGH的邊與8c邊相交于點(diǎn)N,請(qǐng)直接寫出BN的長(zhǎng).

圖2備用圖

7.（2024.廣東深圳?33校聯(lián)考一模）在矩形ABCO中，點(diǎn)E是射線6c上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,過(guò)點(diǎn)B作

M_LAE于點(diǎn)G,交直線CQ于點(diǎn)F.

圖|圖2S3

（1）當(dāng)矩形A8C。是正方形時(shí)，以點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)在正方形A8CO的外部作等腰直角三角形CH7,連

接EH.

①如圖1,若點(diǎn)七在線段3c上，則線段AE與￡7/之間的數(shù)量關(guān)系是________,位置關(guān)系是；

②如圖2,若點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，

請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）如圖3,若點(diǎn)E在線段8C上，以3E和8戶為鄰邊作口痛〃LM是8”中點(diǎn)，連接GM,AB=3,

BC=2,求GM的最小值.

8.（2024?廣東深圳?南山區(qū)一模）如圖1,在等腰三角形A3c中，NA=90。，AB=AC,點(diǎn)。、上分別

在邊ABAC上，AD=AE^連接8E,點(diǎn)M,N,P分別為QEBE,6C的中點(diǎn).

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圖1圖2

(1)觀察猜想：

圖1中，線段MV與NP的數(shù)量關(guān)系是______，NMNP的大小是；

(2)探究證明：

把VAO石繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接/巾尸、BD、CE,判斷△MNP的形狀，試說(shuō)明理

由；

(3)拓展延伸：

把VAOE繞點(diǎn)A在平血內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AO=1,A4=3,請(qǐng)直接寫出AMA儼面積的最大值.

9.(2024?廣東深圳?寶安區(qū)二模)如圖，在菱形A8CO中，對(duì)角線AC,交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)A作BC的

垂淺，垂足為點(diǎn)E，延長(zhǎng)8C到點(diǎn)尸，使CF=BE,連接。尸.

(1)求證：四邊形4E77)是矩形；

(2)連接若BD=8,AC=4,求cos/BOE.

10.(2024?廣東深圳?寶安區(qū)二模)(1)【問題探究】如圖1,正方形ABCO中，點(diǎn)尸、G分別在邊BC、CD

上，且A/LBG于點(diǎn)P,求證：AF=BG；

(2)【知識(shí)遷移】如圖2,矩形ASCO中，AB=4,8C=8,點(diǎn)E、尸、G、”分別在邊AB、BC、CD、

AD上，且EG_Lb”于點(diǎn)P.若EGHF=48,求”產(chǎn)的長(zhǎng)；

(3)【拓展應(yīng)用】如圖3,在菱形A8c。中，NA3c=60。，A8=9,點(diǎn)E在直線A8上，BE=6,AhDE

交直線8C于點(diǎn)E請(qǐng)直接寫出線段/C的長(zhǎng).

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11.(2024J*東深圳?寶安區(qū)二?！橙鐖D1.四邊形A6C。、CEGb都是矩形，點(diǎn)G在AC上，且CC=

AC2

AB=6,AO=8,小李將矩形CEG尸繞點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)a°(OWa<360),如圖2所示：

A(IAG

(1)①他發(fā)現(xiàn)■^的值始終不變，請(qǐng)你幫他計(jì)算出力的值二

BEBE

②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)8、E、F在同一條直線上時(shí)，求出AG的長(zhǎng)度是多少？

(2)如圖3,443C中，AB=AC=>/5^ZBAC=a°,tan/A8C=g,G為3c的中點(diǎn)，點(diǎn)。為

平田內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).且OG=@，將線段BD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a°,得到。夕，則四邊形BACB'的面

5

積的最大值為.

12.(2024.廣東深圳.福田區(qū)二模)問題探究：如圖1,在正方形ABCD,點(diǎn)E,。分別在邊5C,48上,

DQ工AE于點(diǎn)O,點(diǎn)、G,b分別在邊CD、A8上，GP1AE.

(1)①判斷。。與AE的數(shù)量關(guān)系：DQAE-,

②推斷：一=(填數(shù)值)；

AE

(2)類比探究：如圖2,在矩形A8CQ中，—將矩形A8CD沿G/折疊，使點(diǎn)A落在3c邊上

AB3

的點(diǎn)石處，得到四邊形EEPG,EP交CD于點(diǎn)H,連接AE交G尸于點(diǎn)。.試探究G廠與4E之間的

數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)拓展應(yīng)用1：如圖3,四邊形A8CO中，ZABC=90°,AB=AD=10,BC=CD=5,AM上DN,

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DN

力、M,N分別在邊8C、ABk,求——的值.

AM

BE3

（4）拓展應(yīng)用2：如圖2,在（2）的條件下，連接CP,若——=-,GF=2M，求C尸的長(zhǎng).

B卜4

13.（2024?廣東深圳?光明區(qū)二模）在四邊形ABCO中，點(diǎn)￡為線段CO上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合），

連接鹿，線段BE的垂直平分線與A。、BC、BE分別相交于點(diǎn)尸、G、H,連接/B、PE.

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,若四邊形ABC。為矩形，BFA.EF，求證：AABF^ADFE；

【能力提升】如圖2,若四邊形A8CD為矩形，4A=4,8C=6,Z\AG廠是等腰三角形，求EC的長(zhǎng)：

【拓展應(yīng)用】如圖3,若四邊形A3CO為菱形，8七_(dá)1。。,8€的垂直平分線與4/）、BC、BE分別相交

于點(diǎn)尸、G、H,連接bB、FE.若ABFE是等邊三角形,求siM的值.

14.（2024?廣東深圳?33校三模）數(shù)學(xué)課上老師讓學(xué)生們折矩形紙片.由于折痕所在的直線不同，折出的

圖形也不同，請(qǐng)根據(jù)下面不同的折痕解決下列問題:

問題（1）：如圖，在矩形紙片A8CD中，將紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折,48邊對(duì)折后與CO邊相交于點(diǎn)E,

試劃斷A/CE形狀，并說(shuō)明理由.

問題（2）：如圖，在矩形A3CD中，43=6,40=4,以PQ為折痕對(duì)折V8PQ,B點(diǎn)落在OC的中點(diǎn)

F處,求折痕PQ的長(zhǎng)

問期（3）：如圖，在矩形A8CO中，AB=6、AD=2瓜P在直線A3上，。在邊BC上,以R2為折

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痕對(duì)折V8PQ,8點(diǎn)落在邊OC■上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為〃，當(dāng)〃到其內(nèi)的距離為1時(shí)，直接寫出折痕尸。的長(zhǎng).

備用圖

15.（2024?廣東深圳?龍華區(qū)二模）如圖1,在正方形A3CQ中，點(diǎn)七是AB邊上一點(diǎn)，尸為CE的中點(diǎn),

將線段A/7繞點(diǎn)廠順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至線段G廠，連接CG.某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)線段CE與CG之間

圖1

【特例分析】當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)8重合時(shí)，小組成員經(jīng)過(guò)討論得到如下兩種思路:

思路一思路二

第如圖3,將線段CF繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

如圖2,連接AG,AC,證明

至HF，連接A“，證明

/\ACG^/\AEF；

步△4"7g△G/C；

第利用相似三角形的性質(zhì)及線段CE與利用全等三角形的性質(zhì)及線段CE與AH

放之間的關(guān)系，得到線段與CG之間的關(guān)系，得到線段CE與CG之間的數(shù)

步之間的數(shù)量關(guān)系.量關(guān)系.

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(I)①在上述兩種思路中，選擇其中一種完成其相應(yīng)的第一步的證明：②寫出線段CE與CG之間的數(shù)量

關(guān)系式：:

【深入探究】(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)3不重合時(shí)，(1)中線段CE與CG之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若

成立，請(qǐng)加以證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

【拓展延伸】(3)連接AG,記正方形A6C。的面積為aA尸G的面枳為邑，當(dāng)△尸CG是直角三角

5,

形時(shí)，請(qǐng)直接寫出U的值?

32

16.(2024?廣東深圳?羅湖區(qū)二模)【問題提出】

(1)如圖1,在邊長(zhǎng)為6的等邊中，點(diǎn)。在邊8C上，CD=2,連接4。，則△AC。的面積為

【問題探究】

(2)如圖2,已知在邊長(zhǎng)為6的正方形A3CO中，點(diǎn)E在邊8C上，點(diǎn)尸在邊CD上，且NEF=45。，若

EF=5,求△AEF的面積；

圖2

【問題解決】

(3)如圖3是我市華南大道的一部分，因自來(lái)水搶修，需要在A8=4米，AO=4有米的矩形A8CO區(qū)域

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內(nèi)開挖一個(gè)AAE廠的工作面，具中K、”分別在6C、CO邊上（不與點(diǎn)8、C、。重合），且NKA〃=6（r,

為了減少對(duì)該路段的交通擁堵影響，要求4A族面積最小，那么是否存在一個(gè)面積最小的.AEb?若存

在，請(qǐng)求出AAE尸面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖3

17.（2024?廣東深圳?羅湖區(qū)三模）【問題探究】

課外興趣小組活動(dòng)時(shí).，同學(xué)們正在解決如下問題：

如紐1,在矩形ABCO中，點(diǎn)￡尸分別是邊。C，上的點(diǎn)，連接AE,。下，且「于點(diǎn)G,

（I）請(qǐng)你幫助同學(xué)們解決上述問題，并說(shuō)明理由.

【初步運(yùn)用】

AR3

（2）如圖2,在AABC中，ZBAC=90°,二大二:，點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，連接B7），過(guò)點(diǎn)A作AEJ_

AC4

AI:

于點(diǎn)點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,求大的值.

BD

【靈活運(yùn)用】

AB2

（3）如圖3,在四邊形ABCO中，ZBAD=90°,—=一，AB=BC,AD=CD,點(diǎn)、E,產(chǎn)分別在

AD3

CF

邊AB,AO上，且DE-LCF,垂足為G,則場(chǎng)=?

18.（2024?廣東深圳?南山區(qū)三模）如圖①，在正方形A8CO中，點(diǎn)E,尸分別在邊AB、8。上，DFLCE

于點(diǎn)。點(diǎn)G,〃分別在邊A。、8c上，GHLCE.

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(1)問題解決：①寫出。/與CE的數(shù)最關(guān)系：；

②空的值為________；

CE

(2)類比探究，如圖②，在矩形A8CO中，一=ka為常數(shù))，將矩形A8CD沿GH折疊，使點(diǎn)C

BC

落在48邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形比'G”交A力于點(diǎn)P,連接CE交GH于點(diǎn)0.試探究G"與CE之

間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)拓展應(yīng)用，如圖③，四邊形A8C。中，N8A0=90。，AB=BC=6,AD=CD=4,BFtCE,

CE

點(diǎn)E、尸分別在邊AB、AD±,求=的值.

BF

19.(2024?廣東深圳?南山區(qū)二模)(1)問題呈現(xiàn)：如圖1,A43c和VAOE都是直角三角形，

NA3C=NAZ)E=90。，且普=￡=?.連接8。，CE,求絲的值.

BCDE4CE

(2)類比探究：如圖2,是等腰直角三角形，ZACB=90°,將3c繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到

NADE，連接30,EC,延長(zhǎng)EC交BD于點(diǎn)F,設(shè)48=6,求瓦'的長(zhǎng)；

(3)拓展提升：如圖3,在等邊中，AB=6,4。是AC邊上的中線，點(diǎn)切從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)。，

連接MC,以MC為邊長(zhǎng)，在MC的上方作等邊△MNC,求點(diǎn)N經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

圖1

20.(2024.廣東深圳.九下期中)(1)請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖1，寫出完整的證明過(guò)程.

(2)初步探究：如圖2,在四邊形48C。中，

NBAD=NBCD=9()。,AB=AD9NCBD=30。,AP工BD于點(diǎn)P,連接CP,4C=G+1.

①/AC。的度數(shù)為；

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②求A/）長(zhǎng).

(3)拓展運(yùn)用：如圖3,在平行四邊形A8CO中，尸是8C邊上一點(diǎn)，

Z4BC=60°,BC=6,BF=2.按以下步驟作圖：①以點(diǎn)3為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交

AB,BC于點(diǎn)M,N；②分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于gAW的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射

線BE.過(guò)點(diǎn)、F作PF〃AB交BE于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)尸作PG_LA8于點(diǎn)G,。為射線站上一動(dòng)點(diǎn)，連接

GQ,CQ,若PQ=；BP,直接寫出黑的值.

例：如圖1，在RtZ\A8C中，4C3=90。，。。是

斜邊A8上的中線.求證：CO二,48.

2

證孫延長(zhǎng)C。至點(diǎn)E,使。七二C。，連接AEfBE.

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專題16解答壓軸幾何綜合題

一、解答題

1.（2024?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作關(guān)于不

相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點(diǎn)是這條邊的中點(diǎn)，則該平行四邊形是“垂

中平行四邊形”.

圖2

BC

圖3圖3備用圖

（1）如圖1所示，四邊形A8CO為“垂中平行四邊形"，AF<,CE=2,則AE=；AB=

（2）如圖2,若四邊形A3C。為“垂中平行四邊形"，且AB=BD,猜想A尸與。。的關(guān)系，并說(shuō)明理

由；

（3）①如圖3所示，在△ABC中，BE=5,CE=2AE=\2,BE_LAC交AC于點(diǎn)E，請(qǐng)畫出以

為邊的垂中平行四邊形，要求：點(diǎn)A在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；

②若△ABC關(guān)于直線AC對(duì)稱得到VAZ?'。，連接C8',作射線CB'交①中所畫平行四邊形的邊于點(diǎn)P,

連接尸石，請(qǐng)直接寫出PE的值.

【答案】（1）1，V17

（2）AF=6CD，理由見解析

（3）①見解析；②尸E=上生或工亙.

42

【解析】

Ap

【分析】（1）根據(jù)題意可推出得到一=—，從而推出AE,再根據(jù)勾股定理可求

BCCE

得BE,再求得43；

4EADDE

（2）根據(jù)題意可推出，得到===2,設(shè)BE=a,則Z）E=2a,

EFB卜EB

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AB=CD=3a,再利用勾股定理得到AZ?,從而推出口、4”,即可求得答案；

(3)①分情況討論，第一種情況，作BC的平行線4。，使AD=BC,連接。。，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)、F；

第二種情況，作/A8C的平分線，取C”=CB交/ABC的平分線于點(diǎn)“，延長(zhǎng)C”交酩的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)。，在射線84上取4萬(wàn)=/16,連接。尸；第三種情況，作AO〃BC,交8E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，連接

CD,作8。的垂直平分線；

在D4延長(zhǎng)線上取點(diǎn)尸，使A/=4),連接^?；

②根據(jù)①中的三種情況討論：

第一種情況，根據(jù)題意可證得△PAC是等腰三角形，作P〃_LAC,則AH=HC,可推出

PH「H

△CPHs/^CB'E,從而推出＜二—,計(jì)算可得尸“，最后利用勾股定理即可求得PE：

第二種情況，延長(zhǎng)C4、交于點(diǎn)G,同理可得△尸GC是等腰三角形，連接Q4,可由△GV'S.OB,

結(jié)合三線合一推出B4J_4C,從而推出CP4s△CEE,同第一種情況即可求得所；

第三種情況無(wú)交點(diǎn)，不符合題意.

【小問1詳解】

解：?.?AO||8C,尸為八。的中點(diǎn)，AD=BC,AF＜，CE=2,

:AAEFSACEB,BC=AD=2AF=26，

AFAEBrlV5AE初，曰"?

--=,即一f=--，解得AE=1，

BCCE2石2

/.BE2=BC2-CE2=(2⑹2-22=I6,

AB=y/AE2+BE2=#716=后；

故答案為：1；\[\1；

【小問2詳解】

解：AF=y[2CD?理由如下：

根據(jù)題意，在垂中四邊形ABCO中，AFLBD，且產(chǎn)為8c的中點(diǎn)，

?.AD=BC=2BF,ZAEB=90°；

又..AD//BC,

.'.^AED^aFEB?

AEADDEc

--=---=---=2；

EFBFEB

設(shè)BE=a,則力石=2。,

第15頁(yè)共95頁(yè)

AB-DD^

AB=BD=BE+ED=a+2a=3a

AE=y]AB2-BE2=7（3?）2-a2=242a>EF=?i，

AF=AE+EF=2缶+缶=3缶，

?.?AB=CD,

.AFAF3y/2a

~CD~~AB~3a'

:.AF=y[2CD^

【小問3詳解】

解：①第——種情況：

作3c的平行線AO,使4)=6。，連接CO,

則7邊形A8CO為平行四邊形；

延長(zhǎng)座交AO于點(diǎn)產(chǎn)，

-BC\\ADf

:4AEFs2CEB,

AF__AE_

~BC~~CE

?;AD=BC,CE=2AE,

AF_AE

~BC~~CE~2

???于為AD的中點(diǎn);

故如圖1所示，四邊形A8CO即為所求的垂中平行四邊形:

第二種情況：

作NA8C的平分線，取C〃=C5交/48c的平分線于點(diǎn)H，延長(zhǎng)C”交HE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，在射線

R4上取4F=AB，連接Q尸，

第16頁(yè)共95頁(yè)

故A為所的中點(diǎn)；

同理可證明：AB=-CD,

2

則4/二46+4/=245=。力，

則四邊形BCDF是平行四邊形；

故如圖2所示，四邊形88戶即為所求的垂中平行四邊形:

第三種情況：

作AD〃NC,交班的延長(zhǎng)線干點(diǎn)。,連接O,作的垂直平分線:

在D4延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F,使A/=AO,連接W7，

則A為力b的中點(diǎn)，

同理可證明AO=!8C,從而DF=BC,

2

故四邊形BCDF是平行四邊形：

故如圖3所示，四邊形88戶即為所求的垂中平行四邊形：

由題意可知，ZACB=ZACP,

?/四邊形4BCO是平行四邊形，

:.ZACB=ZPAC,

第17頁(yè)共95頁(yè)

.\ZPAC=ZPCA,

△尸4c是等腰三角形；

過(guò)尸作PH_LAC于〃，則4”二，。，

:BE=5,CE=2AE=\2,

;.B'E=BE=5,AE=6,

..AH=HC=-AC=-(AE-^CE)=-(6+\2)=9,

222

:.EH=AH-AE=9-6=3；

-PHA.AC,BEA.AC,

.△CPHSACB'E，

PHCH,CHB'E9x515

——=----，E(PIIIPnHr=-----------=------=—

若按照?qǐng)D2作圖,

延長(zhǎng)C4、。下交于點(diǎn)G,

同理可得：△PGC是等腰三角形,

連接以，

?.?GF〃BC,

.^GAF^CAB，

AFAG

/.—=——=14,

ABAC

AG=AC?

s.PAVACx

同理，ACPAs公CEE,

???AE=6,EC=\2,B'E=BE=5,

B'ECEms.BEAC5x1815

PAACCE122

第18頁(yè)共95頁(yè)

/.PE=y/PA2^AE2=+62

若按照?qǐng)D3作圖，貝IJ：沒有交點(diǎn)，不存在尸石（不符合題意）

故答案為：叫號(hào)或嚶

【點(diǎn)睛】本題考查了垂中平行四邊形的定義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股

定理，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意并作出合適的輔助線是解

題的關(guān)鍵.

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）（1）如圖，在矩形AZ?CZ＞中，E為AD邊上一點(diǎn)、,連接應(yīng):，

①若BE=BC,過(guò)C作CFLBE交BE于點(diǎn)F，求證：AABEHFCB；

②若S蛆形A8O=2°時(shí)，則BECF=

（2）如圖，在菱形A3CO中，cosA=-,過(guò)。作CE/A3交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)E作石尸

3

交AO于點(diǎn)尸，若S芟形八*。=24時(shí)，求叮的值.

（3）如圖，在平行四邊形A3C7）中，ZA=60°,AB=6,AZ）=5,點(diǎn)E在CO上，且。=2,點(diǎn)尸

為BC上一點(diǎn)、,連接反，過(guò)E1作EG_L￡b交平行四邊形A5CO的邊于點(diǎn)G,若EF-EG=76時(shí),

第19頁(yè)共95頁(yè)

【解析】

【分析】（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得出NA8E+NC3/=90。，ZCfB=ZA=90°,進(jìn)而證明

NFTBuNABE結(jié)合已知條件，即可證明△從此絲△尸C8：

ARBE

②由①可得NFCB=Z4BE,ZCFB=ZA=90°,證明得出一=—,根據(jù)

C卜BC

S短形.C=AB-CD=20,即可求解；

14

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出4O〃BC,AB=BC,根據(jù)已知條件得出3七=-3C,AK=-AB,證明

33

△AFEMBEC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

（3）分三種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)G在A。邊上時(shí)，如圖所示，延長(zhǎng)EE交AO的延長(zhǎng)線F點(diǎn)“，連接G尸，

過(guò)點(diǎn)上作￡H_LDW于點(diǎn)H,記明△及加s△瓦萬(wàn)，解RtAO￡〃，進(jìn)而得出MG=7,根據(jù)

tan=tanZHGE,得出〃上。二"例?”G，建立力程解力程即可求解：②當(dāng)G點(diǎn)在A8邊上時(shí)，

如空所示，連接GF,延長(zhǎng)GE交3c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)6作仍〃入。，則次〃8。，四邊形

4DNG是平行四邊形，同理證明AENGS△石CM,根據(jù)?tan/尸切=tanNM得出“產(chǎn)二產(chǎn)”.”加，

建立方程，解方程即可求解；③當(dāng)G點(diǎn)在BC邊上時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)3作57J.DC于點(diǎn)7,求得

§8W=旦8,而5皿二6得出矛盾，則此情況不存在.

△O/C8△2

【詳解】解：（1）①???四邊形ABCZ）是矩形，則NA=NA8C=90。，

???ZABE+ZCBF=90°,

又CF工BC，

???4FCB+NCBF=90°,NCFB=ZA=90°，

???4FCB=ZABE,

又。BC=BE,

???AABEgAFCB；

第20頁(yè)共95頁(yè)

②力①可得=ZCF2?=ZA=9O°

ABBE

：.——=——，

CFBC

又；S矩形ABCD=ABCD=20

:,BECF=ABBC=2(),

故答案為：20.

(2)???在菱形ABC。中，cosA=",

3

/.AD//BC,AB=BC,

則NC5E=ZA，

,:CE，AB,

???ZCEB=90°,

nr

???cosZCBE=—

CB

BE=BC?cosZ.CBE=BCxcosZA=-BC，

3

114

???AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AB=-AB

333t

,:EFLAD,CE1AB

???ZAFE=ZBEC=90°,

又NCBE=ZA,

???△AFEFBEC,

.AE_EF_AF

*\?C-CF-BE*

444

：.EF-BC=AECE=-ABXCE=-S^ABCD=-X24=32；

JJJ

(3)①當(dāng)點(diǎn)G在A。邊上時(shí)，如圖所示,延長(zhǎng)房交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連接G/，過(guò)點(diǎn)E作EHJLDM

于點(diǎn)H，

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M

???平行四邊形A8CO中，A8=6,CE=2,

:,CD=AB=6,DE=DC-EC=6-2=4,

,：DM〃FC,

???AEDMS^ECF

EMED4c

???——=——=-=2,

EFEC2

.SWGE二EM二、

,,S△rFcFOC~EF~

S.MGE=2S/G=EF-EG=7+

在中，N”QE=4=60。，

則EH=&DE=BX4=26DH=-DE=2,

222

：.-MGxHE=lyf3

2

:?MG=7,

?.?GE1EF,EH上MG,

???/MEH=90°-4HEG=ZHGE

???（anAMEH=tail/HGE

?HE_HM

???HE2=HM-HG

設(shè)AG=。，^\GD=AD-AG=5-atGH=GD+HD=5—a+2=7—a,

HM=GM-GH=1-a）=a,

/.（2V3）2=X（7-X）

第22頁(yè)共95頁(yè)

解得；a=3或a=4,

即AG=3或AG=4,

②當(dāng)G點(diǎn)在AB邊上時(shí)，如圖所示,

M

連桂G廠.延長(zhǎng)GE交AC的延長(zhǎng)線干點(diǎn)過(guò)點(diǎn)G作GN〃AD,則GN〃區(qū)C，四邊形ADNG是平

行四邊形，

設(shè)AG=x,則。N=AG=x,EN=DE—DN=4—x,

GN//CM

：?4ENS4ECM

EGENGN4-x

c,2GN10

???CM=----=------

4-x4-x

.S^GEF_EG_4-x

??§”一前一丁

■:EFEG=7上

..e=2S“76

即4x4_x

過(guò)點(diǎn)E作EH上BC于點(diǎn)、H,

在RtZXEHC中，EC=ZZECH=60°,

:.EH=6CH=1,

:與MFXEH，則二國(guó)MF=^~,

"224-x

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14

/.MF=

4—x，

141()r1()14-r

:?FH=MF-CM-CH=-----------------1=」一，MH=CM+CH=——+1=——-

4-x4-x4-x4-x4-A

4MEF=/EHM=90°，

???AFEH=90。-AMEH=ZM

tanZ.FEH=tanNM,

FHEH

即=?==

EHHM

,EH2=FH-HM

x14-x

即----x--------

4-x4-x

3

解得：工［=5，彳2=8（舍去）

3

即AG=—；

2

③當(dāng)G點(diǎn)在3c邊上時(shí)，如圖所示,

過(guò)點(diǎn)3作BTJLO。于點(diǎn)r，

在Rt^MC中，CT=，3C=*,BT=yf3TC=^-

222

*?S^BTC=LB"TC=X4W

22228

EFEG-773，

,,S^EFG=26，

?.Un,

82

???G點(diǎn)不可能在3c邊上,

3

綜上所述,4G的長(zhǎng)為3或4或；.

【點(diǎn)睛】本題考食了相似一-角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角「角形，地形的性質(zhì)，熟練掌

第24頁(yè)共95頁(yè)

握相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）（I）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形ABCO中，E為AD邊上一

點(diǎn)，將沿座翻折到環(huán)處，延長(zhǎng)防交CO邊于G點(diǎn).求證：ABFGQABCG

E為AD邊上一點(diǎn)，且AD=8,A8=6,將AAEB沿BE翻

折到△BEF處，延長(zhǎng)石尸交BC大于點(diǎn)G,延長(zhǎng)即交C。邊于點(diǎn)"，且尸”=C77,求4E的長(zhǎng).

（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形A8C。中，E為CD邊上三等分點(diǎn)，/。=60。,將4/10日沿/1￡：翻

折得到△AFE，直線瓦'交BC于點(diǎn)P,求CP的長(zhǎng).

備用1備用2

CP的長(zhǎng)為之或自

【答案】（1）見解析；（2）

*⑶25

【解析】

【分析】（1）根據(jù)將AAE3沿瓦:翻折到處，四邊形A6CQ是正方形，得AB=BF，

第25頁(yè)共95頁(yè)

N8尸石=ZA=90。，即將N8尸G=9(r=NC',可證Rr.BFG芻R『A8CG(HL)；

7

（2）延長(zhǎng)期/,A。交于Q,設(shè)切=〃C=x,在RSBCH中,有82+』=（6+4,得工二,，

6BGFG?

O〃=DC-〃C=—，由她少少幼?！保糜岩籢7一〒，BG=—，F(xiàn)G=-，而EQ//GB,DQ//CB,

3o+——44

33

7

可得益=照，即磊=37，OQ罟，設(shè)4E=M=m，則。石=8-加，因整=整，有

，2n，，丫6L/rO

3

144

----，nQ

7=號(hào),即解得AE的長(zhǎng)為/

4-J?乙

~44

⑶分兩種情況：（1）當(dāng)。石=扣。=2時(shí)，延長(zhǎng)FE交AO于Q，過(guò)。作QH_LC。于〃，設(shè)OQ=x,

QE=y,則八。=6x,CP^2x,由AE是。。下的角平分線，有生三=上①，在RtZWQE中,

62

（l一gx）2+（等x）2=y2②，可解得x=（,CP=2x=1；

（ID當(dāng)CE=：OC=2時(shí)，延長(zhǎng)在交A力延長(zhǎng)線于Q',過(guò)。作ONA及交84延長(zhǎng)線于N,同理解

f#X=y,CP=1.

【詳解】證明：（1）???將必所沿砥翻折到A8E廠處，四邊形A8CO是正方形，

:.AB=BF，N3F￡=NA=90。，

?"BFG=900=NC,

?;AB=BC=BF,BG=BG,

RSBFG/RsBCG（HL）；

（2）解：延長(zhǎng)B〃，AQ交于0，如圖:

第26頁(yè)共95頁(yè)

在RABCH中,DC2+CH2=BII2，

82+x2=(6+x)2,

7

解得工二不，

3

,\DH=DC-HC=—f

3

?.,4BFG=4BCH=^,4HBC=NFBG,

:ZFdNCH，

“6BGFG

BFBGrCj—=-------=------

*=——，即8a77,

HC6+-

BCBH33

257

/.BG=—,FG=一，

44

?：EQHGB,DQ//CB,

:MFQs&GFB,/SDHQ^bCHB,

7

BCCHi:n83

,.衣=而，加=之，

3

,DQ=3，

設(shè)AE=EF—m,則DE=S—in,

?八八廠八八o88144

EQ=DE+DQ=S-in+—=———m,

,/亞FQS^GFB,

144

.絲二空印丁'〃」〃

BGFG，P25~V

44

9

解得m=-,

2

9

二.AE的長(zhǎng)為；；；

2

(3)(1)當(dāng)OE=!Z)C=2時(shí)，延長(zhǎng)FE交4。于Q,過(guò)。作Q"，C。于，，如圖:

第27頁(yè)共95頁(yè)

P

F

D耳

設(shè)OQ=x,QE=y,則AQ=6-x,

\-CP//DQ,

ACPES&QDE,

CPCEc

-----==2,

DQDE

CP=2x,

???WDE沿AE翻折得到AAFE,

,\EF=DE=2,AF=AD=6,ZQAE=ZFAEt

.?.AE是AAQ尸的角平分線，

...理工絲,即U①,

AFEF62

vZD=60°,

:.DH=^DQ=^xHE=DE-DH=2—gx,HQ=^DH當(dāng)x,

f

在心△“QE中，HE2+HQ2=EQ2,