第二十二章二次函數(shù)

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.對于二次函數(shù)y=（x-l）,+3的圖象，下列說法正確的是（）

A.開口向下B.對稱軸是直線x=-l

C.與y軸交點為（。,1）D.頂點坐標(biāo)是（1,3）

2.對于關(guān)于尤的函數(shù)y=（租+l）x"j〃+3x，下列說法錯誤的是（）

A.當(dāng)加=-1時，該函數(shù)為正比例函數(shù)B.當(dāng)病-加=1時，該函數(shù)為一次函數(shù)

C.當(dāng)該函數(shù)為二次函數(shù)時，m=2或%=-1D.當(dāng)該函數(shù)為二次函數(shù)時，m=2

3.若二次函數(shù)〉=以2的圖象過點尸（-2,4）則。的值為（）

A.-1B.1C.-2D.2

4.下列關(guān)于二次函數(shù)y=的說法中，正確的是（）

A.其圖象開口向上B.當(dāng)x=0時，函數(shù)的最大值是-1

C.其圖象的對稱軸是直線x=lD.其圖象與無軸有兩個交點

5.用72米木料制作成一個如圖所示的“目”形長方形大窗框（橫檔斯，GH也用木料）.其中

AB//EF//GH//CD,要使窗框A3CD的面積最大，則的長為（）

A.8米B.9米C.10米D.4g米

6.根據(jù)下列表格中的對應(yīng)值：判斷方程g?+bx+c=0（4片0,ab、。為常數(shù)）一個解x的范圍

最可能是（）

X0.750.80.850.9

ax+bx+c-0.25-0.040.190.44

A.x<0.75B.0.75<x<0.8C.0,8<^<0.85D.0.85<%<0.9

7.如圖，某小區(qū)有一塊三角形綠地ABC,其中N8=90。，AB=BC.計劃在綠地上建造一個矩形的休

閑書吧使點P,M,N分別在邊AC,BC,AB上.記PN=ym,圖中陰影部分的

面積為Sn?.當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x,S與無滿足的函數(shù)關(guān)

系分別是（）

A.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系B.一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系

C.二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系D.反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

8.拋物線>=犬-1與x軸的交點個數(shù)是（）

A.3個B.2個C.1個D.0個

9.二次函數(shù)1，=2/一3的圖象是一條拋物線，下列關(guān)于該拋物線的說法，正確的是（）

A.拋物線開口向下

B.拋物線經(jīng)過點（2,3）

C.拋物線的對稱軸是直線x=l

D.拋物線與x軸有兩個交點

10.已知二次函數(shù)丁=加+笈+。（4片。），當(dāng)v2r時，xV-m-2或XN-ZM+4.若A（-m-3,p）,B（2m,q）

是拋物線y=a/+bx+c上的兩點，且。>4,則機的取值范圍為（）

A.-1</7i<-B.

33

C.--<m<\D.機<-3或機>1

33

11.已知函數(shù)y=0+3）/+1是二次函數(shù)，則根的取值范圍為（）

A.m>-3B.m<-3C.m^-3D.任意實數(shù)

12.在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=（x-iy+l的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個

單位長度，所得函數(shù)的解析式為（）

A.y-（x-2）2—1B.y=（無—2）?+3

C.y=x2+1D.y=X2-I

二、填空題

13.拋物線y=-2/的頂點坐標(biāo)是；對稱軸是.

14.拋物線y=的開口向,頂點坐標(biāo)是.

15.如圖，拋物線>="2+1與過點(0,-3)且平行于x軸的直線相交于點A、B,與>軸交于點C,若

N4CB為直角，貝匹=

16.超市銷售的某商品進價10元/件.在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y(件)與售價無(元

/件)之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-5x+150(10<x<30),則利潤W和售價x之間的函數(shù)關(guān)系為

該商品售價定為元/件時，每天銷售該商品獲利最大.

17.若拋物線y=/+6x-相與x軸有公共點，則”的取值范圍為

三、解答題

18.(1)拋物線的位置如圖所示，點P為拋物線的頂點，將該拋物線向左平移4個單位長度，再向

下平移2個單位長度，請畫出平移后的拋物線和點P的對應(yīng)點P'；

(2)將二次函數(shù)y=(x-iy+l的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得拋物

線的解析式為;

(3)將二次函數(shù)y=3/+6x+2的圖象向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度所得拋物

線的解析式為.

19.［創(chuàng)新意識］如圖，正方形Q4BC的頂點8位于二次函數(shù)y=V在第一象限的圖象上，若點B的橫

坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和等于6,求對角線AC的長.

20.用配方法把二次函數(shù)y=；/-4x+5化為y=a(x+m)2+上的形式，再指出該函數(shù)圖象的開口方向、

對稱軸和頂點坐標(biāo).

21.已知拋物線yuf+lm-Dx+m-3(優(yōu)為常數(shù)),求證：無論，”為何值，拋物線與無軸總有兩個

公共點.

22.如圖，已知二次函數(shù)％=-x2+2x+c的圖象與x軸的一個交點為4(3,0),與V軸的交點為8,過

A、8的直線為必=履+以

(1)求二次函數(shù)％的解析式及點B的坐標(biāo);

（2）由圖象寫出滿足％<%的自變量x的取值范圍;

（3）坐標(biāo)原點為。，在拋物線上是否存在一點P,使得AAO尸的面積為6?若存在，求出點尸的坐標(biāo),

若不存在，說明理由.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系，縱軸上一點A（0,6）,橫軸上有一動點連接AM,作AM的中垂

線4,過點/作橫軸的垂線L4和4交于尸點.設(shè)尸點的坐標(biāo)為（x,y）,當(dāng)點“在橫軸上運動時，解

決下列問題：

（I）求尤,y之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；

⑵己知。（-2,乂）,3（3,%）,。（0,%）在此函數(shù)圖象上，請求出△BCD的面積.

24.某商家銷售一種成本為30元的商品銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)，每天的銷量y（件）與當(dāng)天的銷售單

價X（元/件）滿足的函數(shù)關(guān)系為y=-L5x+1500,物價部門規(guī)定，該商品的銷售單價不能超過60元

/件.

⑴問銷售單價定為多少元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤是9000元？

（2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤最大，并求出最大利潤.

《第二十二章二次函數(shù)》參考答案

題號12345678910

答案DCBBBCABDA

題號1112

答案CD

1.D

【分析】二次函數(shù)、=。(尤-〃-+左①3。)，。>0時，開口向上；頂點坐標(biāo)為仇女),對稱軸為x=〃；

將點坐標(biāo)(0,1)代入解析式，驗證是否經(jīng)過該點；

【詳解】解：y=(x-l)2+3,

。=1>0,開口向上，對稱軸為x=l,頂點坐標(biāo)是。,3),

當(dāng)x=0時，_y=(x-l)2+3=4；

故選：D

【點睛】本題考查二次函數(shù)的解析式頂點式；掌握二次函數(shù)y=a(x-/z)2+MaR0)的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

2.C

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】A、當(dāng)加=-1時，該函數(shù)y=3x為正比例函數(shù)，故不符合題意；

B、當(dāng)加一機=1時，加=生叵，即相+4#0,該函數(shù)為一次函數(shù)，故不符合題意；

2

C、當(dāng)m=-1時，該函數(shù)y=3x為正比例函數(shù)，故符合題意；

D、當(dāng)該函數(shù)為二次函數(shù)時，機=2,故不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)、正比例函數(shù)、二次函數(shù)的定義，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.

3.B

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式.

【詳解】解：將尸(-2,4)代入函數(shù)解析式，得：4tz=4,

解得：a=l.

故選：B.

4.B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=-1,可得函數(shù)圖象的開口向下，對稱軸為直線兀=0,當(dāng)%=。

時，函數(shù)的最大值是-1,當(dāng)產(chǎn)。時，-x2-l=0BPx2=-l,可得圖象與％軸沒有交點，從而可得答案.

【詳解】解：二次函數(shù)>=一/一1,。=-1<0,

；?函數(shù)圖象的開口向下，對稱軸為直線x=0,當(dāng)尤=0時，函數(shù)的最大值是-1,

當(dāng)y=o時，一。-1=0即尤2=一1,

；?方程無解，則圖象與x軸沒有交點，

；.A,C,D不符合題意；B符合題意；

故選B

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)問題，熟記丁=加+左(4/0)的

圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

5.B

【分析】設(shè)A3的長為x米，則的長為個7空2-4米r.表示出窗框A3CD的面積，利用二次函數(shù)的性

質(zhì)即可求解.

丫

【詳解】解：設(shè)A8的長為x米，則AD的長為7土2-產(chǎn)4米

2

72—4x

則窗框ABC。的面積S=ADXA2=JC—=-2(%-9^9+162

1/72-4^>0,0<^<18

.,.當(dāng)x=9時，窗框的面積最大

故選：B

【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用.掌握建模思想是解題關(guān)鍵.

6.C

【分析】本題考查了估算一元二次方程的近似解，用列舉法估算一元二次方程的近似解即可，熟練掌

握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)表格可知，當(dāng)尤=0.8時，ax2+bx+c<0;當(dāng)x=0.85時，ax2+bx+c>0,

/.當(dāng)依2+云+C=0時，一個解x的范圍是0.8<x<0.85,

故選：C.

7.A

【分析】先求出/A=/C=45。，再證明APCM、AAPN都是等腰直角三角形，從而推出y=-x+8C,

11,

S=-X2+-(BC-X)-,由此即可得到答案.

【詳解】解：：NB=90°,AB=BC,

：.ZA=/C=45°,

:四邊形PMfiN是矩形,

NPMB=NPMC=NPNB=ZPNA=90°,PN=BM,

APCM,AAPN都是等腰直角三角形，

CM=PM,AN=PN=BM,

：.PM+PM=CM+BM=BC,即尤+y=8C,

;.y=-x+BC,S=^PM-CM+^PN-AN=^x2+^(BC-xy

：.S=-PM-CM+-PN-AN=-X2+-(BC-X)2,

2222'，

??.y與尤，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系，

故選A.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，列函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的定

義等等，正確求出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】根據(jù)爐-1=0的判別式公=b2-4ac=0-4xlx(-l)=4>0,判定方程有兩個不相等的實數(shù)根，

即可得出拋物線與x軸有兩個交點.

【詳解】：拋物線y=Y-1,

x2-l=0,

'：判另lj式△=/-4。。=0-4x1x(-1)=4>0,

方程有兩個不相等的實數(shù)根，

故拋物線與無軸有兩個交點，

故選B.

【點睛】本題考查了拋物線與x軸交點個數(shù)，熟練掌握拋物線與一元二次方程根的判別式的關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

9.D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對選項A、選項C進行判斷；根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征對選

項3進行判斷；利用方程-3=0解的情況對選項D進行判斷.

【詳解】解：A、。=2,則拋物線y=2/-3的開口向上，故A選項錯誤；

B、當(dāng)尤=2時，y=2x4-3=5,則拋物線不經(jīng)過點(2,3),故B選項錯誤；

C、拋物線的對稱軸為直線x=0,故C選項錯誤；

D、當(dāng)產(chǎn)0時，2/-3=0,此方程中A=0—4X2X(—3)=32>0,因此此方程有兩個不相等的實數(shù)解,

所以拋物線與無軸有兩個交點，故D選項正確.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題，二次函數(shù)

y=af+上的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識.

10.A

【詳解】由題意，,當(dāng)了2/時，XV-ZM-2或xZf?+4,.,.拋物線開口向上，且對稱軸是直線

xJ機—2；相+4=_租+1,.?.當(dāng)拋物線上的點離對稱軸越近函數(shù)值就越小，：一加一3

A(-m-3,p),臺⑵小編是拋物線,二江+6x+c上的兩點，且P><7,-："+1-工一3)>卜加+1-2〃/|,

|3m-l|<4,T<3/w—l<4,—.

11.C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可解答.

【詳解】解：由題意知，〃/+3工0,解得：加工-3；

故選：C.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的二次項系數(shù)不等于。是解題的關(guān)鍵.

12.D

【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可.

【詳解】解：將二次函數(shù)>=(無-丁+1的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所

得函數(shù)的解析式為>=(尤-1+1)2+1-2=/_1

故選D.

【點睛】本題考查了拋物線的平移規(guī)律.關(guān)鍵是確定平移前后拋物線的頂點坐標(biāo)，尋找平移規(guī)律.

13.(0,0)y軸/直線x=o

【分析】根據(jù)頂點式直接寫出頂點坐標(biāo)和對稱軸即可.

【詳解】解：.??拋物線y=-2d,

拋物線y=-2x2的頂點坐標(biāo)是(0,0)；對稱軸是y軸或直線x=o.

故答案為：(0,0)；y軸或直線x=o.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)、=奴2的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握頂點坐標(biāo)公式以及對稱軸公

式.

14.上(0,-3)

【分析】根據(jù)二次項系數(shù)可以確定開口方向，根據(jù)拋物線的表達式解析式可以確定其頂點的坐標(biāo).

【詳解】拋物線y=的開口向上，頂點坐標(biāo)是(0,-3).

故答案為：上，(0,-3).

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

15.--/-0.25

4

【分析】直線A3與y軸交于點。，如圖，則。(0，-3),利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到C(o,l),再證明VABC

為等腰直角三角形得到CD=AZ)=8Z)=4,所以8(4,-3),然后把8點坐標(biāo)代入y=渡+1即可得到。的

值.

【詳解】解：設(shè)直線A3與>軸交于點。，如圖，則。(。，-3),

；。=4,

???裕過點(0,-3)且平行于x軸，

.?△ABC為等腰三角形，

???co’y軸，

***AD=BD,

vZACB=90°,

.?△ABC為等腰直角三角形，

..CD=AD=BD=4,

..3(4,-3),

把5(4,-3)代入y=ax2+1,

得16a+l=—3,

解得a=——.

4

故答案為：一：.

4

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足其解析式.也考查

了二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì).

16.w=-5x2+200x-1500(10<x<30)；20.

【分析】根據(jù)利潤=每件商品利潤X銷售量，可得利潤W和售價之間的函數(shù)關(guān)系式；利用配方法，求

所得二次函數(shù)的最大值即可得出結(jié)論.

【詳解】解：???某商品進價10元/件，售價x(元/件)，

，每件商品的利潤為：(尤-1。)元；

??,銷售量y(件)為：y=-5x+150(10VxV30),

利潤w和售價x之間的函數(shù)關(guān)系為：w=(x-10)(-5%+150),(104x430),

w=-5x2+200x-1500(10<%<30)；

:.w=-5(x—20)2+500,

v-5<0,

AW有最大值，

.■.當(dāng)x=20時，w取最大值，最大值為500；

故答案為：w=-5x2+200x-1500(10<x<30)；20.

【點睛】此題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，正確讀懂題意、列出函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解

此題的關(guān)鍵.

17.m>-9

【分析】

根據(jù)拋物線y=x?+6尤-根與x軸有公共點，可知〃一4ac>0,從而可以求得機的取值范圍.

【詳解】解：??,拋物線y=/+6x-機與x軸有公共點，

A=62-4xlx(-m)>0,

解得，〃?2-9,

故答案為：m>-9.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與x軸的交點，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，

利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

18.(1)見詳解；(2)丫=尤2-1；(3)y=3x2-6x+3

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像的平移，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

(1)先求出平移前的解析式為y=(尤-2『-2,則平移后的解析式為>=(尤+2『-4,即可作出圖像；

(2)按照“上加下減，左加右減”求解即可；

(3)按照“上加下減，左加右減”求解即可.

【詳解】解：(1)如圖，即為所作：

yk

（2）將二次函數(shù)y=（尤-1y+1的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得拋物

線的解析式為y=（x-l+l）2+l-2,即y=V-1,

故答案為：y=x2-l；

（3）y=3尤2+6X+2=3（X+1）2-1

將二次函數(shù)y=3元?+6尤+2的圖象向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度所得拋物線的解

析式為y=3（x+l—2）一一1+1,即為y=3（尤一1）~=3x2—6x+3,

故答案為：y=3x2-6x+3.

19.26

【分析】設(shè)點B的橫坐標(biāo)為。，根據(jù)題意題意可得6-。=/,解方程即可求出點8的坐標(biāo)為（2,4）,

再根據(jù)勾股定理以及正方形的性質(zhì)即可作答.

【詳解】解：設(shè)點B的橫坐標(biāo)為

1/點B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和等于6,

，點8的縱坐標(biāo)為：6-a.

???點B位于二次函數(shù)y=尤2在第一象限的圖象上，

,,6—a=。-,

解得4=-3（不合題意，舍去），a2=2,

??6-a=4,

點B的坐標(biāo)為（2,4）.

連接OB,如圖，

則03=倉+不=2技

:四邊形Q4BC是正方形,

/.AC=OB=2y/5.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握二次函數(shù)的圖象

與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵.

20.拋物線的開口向上，對稱軸是直線無=4,頂點坐標(biāo)是(4,-3).

【分析】本題考查的是二次函數(shù)三種形式的轉(zhuǎn)化、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握配方法、二次函數(shù)的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.利用配方法把一般式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

【詳解】解：,.,y=gx2-4x+5=g(x-4)2-3,

a=—>0

2

,拋物線開口向上，對稱軸是直線x=4,頂點坐標(biāo)是(4,-3).

21.見解析

【分析】求得判別式并分解得到平方與正數(shù)的和，得到判別式大于0即可證明.

【詳解】證明：VA=(/71-1)2-4(/77-3)=m2-6/n+13=(?7?-3)2+4>0,

無論m為何值，拋物線與x軸總有兩個公共點.

【點睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題，把拋物線與x軸的交點問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程

的問題是解題的關(guān)鍵.

22.(；1)%=-廠+2尤+3,3(0,3)

(2)尤<0或x>3

(3)存在,尸(1,4)或(1+2也或(1-26-4)

【分析】(1)把4(3,0)代入必=-x?+2x+c即可求出月的解析式，令x=0即可求出點B的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)圖象即可進行解答;

(3)根據(jù)三角形的面積求出三角形的高，再進行分類討論即可.

【詳解】(1)解：把4(3,0)代入%=-/+2工+。得：

0=—9+6+c,解得：c=3,

%=—x?+2x+3,

令x=o,%=3,

.?.點3(0,3),

綜上：二次函數(shù)％的解析式為％=-/+2犬+3,點3(0,3).

(2)由圖可知：

：A(3,0),8(0,3),

...當(dāng)x<0或x>3時，％<%.

(3)：4(3,0),

OA=3,

AAOP的面積為6

11

：.-OA-h=6,即一x3?/?=6,解得：h=4,

22

設(shè)點到x軸的距離為4,即點尸的縱坐標(biāo)為4