第1章勾股定理（提高篇）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.已知直角三角形的斜邊長(zhǎng)為5加，周長(zhǎng)為12%則這個(gè)三角形的面積（）

A.12cm2B.3cm2C.8cm2D.6cm2

2.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)代表作，書(shū)中記載：今有開(kāi)門去閩一尺，不合二寸，問(wèn)

門廣幾何？題目大意是：如圖，推開(kāi)雙門和BC,雙門間隙。的距離為2寸，點(diǎn)C和

點(diǎn)。距離門檻都為1尺（1尺=10寸），則的長(zhǎng)為（）

2t

A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸

3.如圖，以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)作三個(gè)正方形，字母8所代表的正方形的面積是

（）

A.12B.13C.144D.194

4.如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊長(zhǎng)AC=6cm,BC=8cm,將△ABC折疊,

使點(diǎn)8與點(diǎn)A重合，折痕為。E,則C。等于（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

C.10D.12

7.如圖，由6個(gè)相同小正方形組成的網(wǎng)格中，A,B,C均在格點(diǎn)上，則/A8C的度數(shù)

C.55°D.60°

8.已知一輪船以18海里/小時(shí)的速度從港口A出發(fā)向西南方向航行，另一輪船以24海

里/小時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開(kāi)港口L5小時(shí)后，兩輪船相距（）

A.35海里B.40海里C.45海里D.50海里

10.如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm,在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處

有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到

達(dá)蜂蜜的最短距離為（）cm.

A.15B.20C.18D.30

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

12.觀察下列幾組勾股數(shù)，并填空：①6,8,10,②8,15,17,③10,24,26,④12,

35,37,則第⑥組勾股數(shù)為.

14.如圖所示，在四邊形A8CZ）中，AB=5,BC=3,DELAC^E,DE=3,S^\DAC

=6,則NACB的度數(shù)等于.

16.《九章算術(shù)》中有“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問(wèn)折者

高幾何？”題意是：有一根竹子原來(lái)高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處

離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面多高？如圖，設(shè)折斷處距離地面x尺，根據(jù)題意，可列方程

為.

17.某小區(qū)兩面直立的墻壁之間為安全通道，一架梯子斜靠在左墻OE時(shí)，梯子A到左

墻的距離AE為0.7加，梯子頂端。到地面的是樣子離。E為2.4〃z,若梯子底端A保持不動(dòng)，

將梯子斜塞在右墻上，梯子頂端C到地面的距離CB為15%則這兩面直立墻壁之間的

安全道的寬BE為m.

三、解答題（本大題共6小題，共60分）

19.（8分）己知：整式4=52-1）2+（2”）2,整式B>0.嘗試化簡(jiǎn)整式4.發(fā)現(xiàn)A

=B2.求整式艮

聯(lián)想：由上可知，B2=（712-1）2+（2n）2,當(dāng)”>1時(shí)，?2-1,In,8為直角三角形

的三邊長(zhǎng)，如圖，填寫(xiě)下表中8的值；

直角三角形三邊幾2-12nB

勾股數(shù)組/8

勾股數(shù)組〃35

21.(10分)如圖，CE_LA8于點(diǎn)E,BD_LAC于點(diǎn)。，AB=AC.

(1)求證：AAB。絲ZkACE.

(2)連接8C,若AO=6,CD=4,求△48C的面積.

22.(10分)如圖，已知BE_LA￡,NA=/EBC=60。,AB=4,BC2=12,CD?=3,

DE—3.求證：

(1)△BEC為等邊三角形；

(2)EDLCD.

D

E,

B

(2)求原路線AC的長(zhǎng).

(2)連接EF,取E/中點(diǎn)G,連接DG并延長(zhǎng)交8C于H,連接BG.

①依題意，補(bǔ)全圖形;

參考答案

1.D

【分析】

設(shè)該直角三角形的兩條直角邊分別為。、b,根據(jù)勾股定理和周長(zhǎng)公式即可列出方程,

然后根據(jù)完全平方公式的變形即可求出2仍的值，根據(jù)直角三角形的面積公式計(jì)算即可.

解：設(shè)該直角三角形的兩條直角邊分別為。、b,

故選:D

【點(diǎn)撥】此題考查的是直角三角形的性質(zhì)和完全平方公式，根據(jù)勾股定理和周長(zhǎng)列出方

程是解決此題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】

取A8的中點(diǎn)。，過(guò)。作。ELA8于E,根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論.

解：取A8的中點(diǎn)O,過(guò)。作。于E,如圖所示：

DC

OB

由題意得：OA=OB=AD=BC,

設(shè)OA-OB=AD=BC=r，

則AB=2r（:寸），?！?10寸，0E=1-CD=1寸，

：.AE=（rl）寸，

在放AAOE中，Ae+DE2=AD2,即01）2+102=/,

解得：片50.5,

...2—101（寸）,

：.AB=101（寸），

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄懂題意，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.C

【分析】

解:如圖所示，AAOC是直角三角形，ZADC=90°,

字母8代表的正方形的面積是144,

故選C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的正方形面積，熟練掌握勾股定理是

解題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)得設(shè)C￡)=無(wú)cm,則BD=AD=(8-x)cm,在RfAACD中

利用勾股定理得到N+62=(8-x)2,然后解方程即可.

解：:△ABC折疊，使點(diǎn)2與點(diǎn)A重合，折痕為DE,

：.DA=DB,

設(shè)CD=xcm,則BD=AD=(8-x)cm,

在RfAACZ)中，由勾股定理得，

C￡)2+AC2=AD2,

.,.尤2+6』(8-X)2,

7

解得x=：,

4

7

即CO的長(zhǎng)為一cm.

4

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形

的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.也考查了勾股定理.熟練掌握勾股定

理是解題的關(guān)鍵.

5.C

【分析】

E.

D

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題是考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理,

直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.B

【分析】

根據(jù)正方形的面積和勾股定理即可求解.

由題意可知：

》的值是8.

故選:B.

【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的面積、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是隨著正方形的邊長(zhǎng)的

變化表示面積.

7.A

【分析】

連接AC,利用勾股定理分別求出AB、AC、BC,根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是

等腰直角三角形，ZACB=90°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到答案.

解：連接AC,

.,.△ABC是等腰直角三角形，ZACB=9Q°,

：.ZABC=^(180°NAC為=45°.

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形，勾股定理的逆定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)建

三角形，熟練掌握等腰三角形的定義和性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷直角三角形.

8.C

【分析】

根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角.然后根據(jù)路程=速度x時(shí)間，得兩條

船分別走了27,36.再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離.

解：如圖，連接BC.

:兩船行駛的方向是西南方向和東南方向，

ZBAC=90°,

兩小時(shí)后，兩艘船分別行駛了24x1.5=36（海里），18x1.5=27（海里），

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

9.C

【分析】

根據(jù)杯子內(nèi)牙刷長(zhǎng)度的取值范圍得出杯子外面長(zhǎng)度的取值范圍，即可得出答案.

解：：將一根長(zhǎng)為18cm的牙刷，置于底面直徑為5cm,高為12cm的圓柱形水杯中，

...在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最長(zhǎng)是等于牙刷斜邊長(zhǎng)度，

.??當(dāng)杯子中牙刷最短是等于杯子的高時(shí)，x=12,

的取值范圍是：18-13</z<18-12,

即5<%<6.,

故選：C.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出杯子內(nèi)牙刷的取值范圍是解決問(wèn)題

的關(guān)鍵.

10.A

【分析】

把圓柱沿螞蟻所在的高剪開(kāi)并展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，得到一個(gè)矩形，作A點(diǎn)關(guān)于。尸的對(duì)

稱點(diǎn)8,分別連接8。、BC,過(guò)點(diǎn)C作CE_LOH于點(diǎn)E,則8c就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距

離，根據(jù)勾股定理即可求得8C的長(zhǎng).

解：把圓柱沿螞蟻所在的高剪開(kāi)并展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，得到一個(gè)矩形，作A點(diǎn)關(guān)于。尸

的對(duì)稱點(diǎn)2,分別連接瓦入BC,過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E,如圖所示：

則DB-AD-4cm,

由題意及輔助線作法知，加與N分別為G8與。尸的中點(diǎn)，且四邊形為長(zhǎng)

方形，

CE=MH=9cm,EH=CM=4cm,

DE-DH—EH-12—4-8cm,

BE=DE+DB=8+4=12cm,

即螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為15cm,

故選;：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，兩點(diǎn)間線段最短，關(guān)鍵是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解

決，這是數(shù)學(xué)上一種重要的轉(zhuǎn)化思想.

11.8

【分析】

根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合勾股定理就可發(fā)現(xiàn)大正方形的面積是兩個(gè)小正方形的面積

和，即可得出答案.

解：：由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

S1+S2=S3,

,：Si+S2+S.^16,

2.S3=16,

.?$=8,

故答案為：8.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理和正方形面積的應(yīng)用，注意：分別以直角三角形的邊作相

同的圖形，則兩個(gè)小圖形的面積等于大圖形的面積.

12.16,63,65

【分析】

據(jù)前面的幾組數(shù)可以得到每組勾股數(shù)與各組的序號(hào)之間的關(guān)系，如果是第〃組數(shù)，則這

組數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是2(〃+2),第二個(gè)是：(n+1)(〃+3),第三個(gè)數(shù)是：(”+2)2+1.根據(jù)這

個(gè)規(guī)律即可解答.

解：根據(jù)題目給出的前幾組數(shù)的規(guī)律可得：這組數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是2(〃+2),第二個(gè)是:

(n+1)(n+3),第三個(gè)數(shù)是：(w+2)2+1,

故可得第⑥組勾股數(shù)是16,63,65.

故答案為選：16,63,65.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股數(shù)，此題屬規(guī)律性題目，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的勾股數(shù)

找出規(guī)律，按照此規(guī)律即可解答.

13.1

4

【分析】

設(shè)CE=x,然后可得關(guān)于x的方程，解方程即可得到解答.

解：設(shè)CE=x,則AE=BE=BCCE=8x,

...在RfAACE中，由勾股定理可得：AC2+CE2=AE?,

即62+x2=(8x)2,

解方程可得：

7

故答案為7-

【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及方程思想方法在幾何中

的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

14.90°##90度

【分析】

根據(jù)三角形面積公式求出AC=4,根據(jù)勾股定理逆定理即可求出NACB=90。.

解:：￡>E_LAC于E,DE=3,S/QAC=6,

.?.|xACxZ)E=6,

：.AC=4,

'：AB=5,

AAB2=25,

ZACB=90°.

故答案為：90°

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理逆定理和三角形的面積應(yīng)用，熟練掌握勾股定理逆定理是

解題關(guān)鍵.

12

15.—##2.4##2-

55

【分析】

根據(jù)勾股定理的逆定理可以證明NBCA=90。；根據(jù)三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形，得

四邊形CEP尸是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，得EF=CP,則所的最小值即為CP的最小

值，根據(jù)垂線段最短，可知CP的最小值即等于直角三角形ABC斜邊上的高.

又；PELBC于E,PFLAC于尸,

四邊形CEPF是矩形，

：.EF=CP.

當(dāng)CPLA8時(shí)，CP的最小值即為直角三角形A2C斜邊上的高，

12

即E尸的最小值為

12

故答案為：—.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí),

解題關(guān)鍵是要能夠把要求的線段轉(zhuǎn)換為便于分析其最小值的線段.

【分析】

根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.

解：設(shè)未折斷的竹干長(zhǎng)為x尺，

【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方

程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)

確的示意圖.領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.

17.2.7

【分析】

先根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)，同理可得出A8的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

解：在MAACB中，VZACB=9Q°,AE=0.7米，DE=2.4米，

.?.AD2=0.72+2.42=6.25.

在R/AA'JBD中，VZABC=9Q°,8C=L5米，AB^BC^AC2,

4房+1.52=6.25,

：.AB2=4.

'：AB>Q,

.?.AB=2米.

BE=AE+AB=Q.1+2=2.1米.

故答案為2.7.

【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，勾股定理與

方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出

準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.

18.—

5

【分析】

過(guò)點(diǎn)/作“LAC于點(diǎn)H,由翻折的性質(zhì)可知844。=24,由。為A8的中點(diǎn)，貝1|

S〃A4B=2SzA4D=48,得AA'=12,再通過(guò)A4s證明AA'BF^AECF,得CE=A2=8,在RtXCAE

中，由勾股定理求出AC的長(zhǎng)，最后通過(guò)面積法即可求出的長(zhǎng).

解：如圖，過(guò)點(diǎn)尸作RHLAC于點(diǎn)H,

根據(jù)翻折的性質(zhì)得：AD=A'D,AA'±CD,AE=A'E,

是△ABC的中線，

CD=BD,

：.AD=BD=A'Df

：.ZAA'B=90°f

又???S/A0E=12,

：.SAADE=129

：.SAADA'=24,

又???￡)為A3的中點(diǎn)，

：.SAAAB=2SAAAD=48,

即gxAVxA'5=48,

:.AA'=n,

又??,尸為AE的中點(diǎn)，

1

：.AF=EFJ

：.AA'BF^AECF(AAS),

：.CE=AB=^,

VAA'=2A,E,AE=2EF=6,

；?EF=3,AF=9,

在放△CAE中，由勾股定理得：

在八CAb中，

CA-HF=AF?CE,

即點(diǎn)尸到AC的距離為三，

故答案為：-

【點(diǎn)撥】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，運(yùn)

用等積法求垂線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

19.A=02+1)2,B=n2+\,15,17；12,37

【分析】

先根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則求出4進(jìn)而求出8,再把血的值代入即可解答.

解：A=(幾2-1)2+(2n)2=〃4-2幾2+1+4〃2="4+2〃2+1=(幾2+1)2,

*：A=B2fB>0,

.',B=n2+1,

當(dāng)2〃=8時(shí)，”=4,n2-1=42-1=15,?2+1=42+1=17；

當(dāng)“2-1=35時(shí)，〃=±6（負(fù)值舍去），2”=2x6=12,〃2+l=37.

直角三角形三邊n2-\2nB

勾股數(shù)組I15817

勾股數(shù)組II351237

故答案為：15,17；12,37.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股數(shù)的定義及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足

。2+按=〃,則△ABC是直角三角形.

20.見(jiàn)詳解

【分析】

根據(jù)△C4B之△8DE,RTWAB=DE=a,AC=DB=b,再根據(jù)四邊形的面積的兩種不同表

示方式，即可得到足+按=已

解：VZA=ZD=ZCBE=90°,AB=DE,

：.ZABC+ZDBE-90°^ZDEB+ZDBE,

：.ZABC=ZDEB,

.?.△CAB/ABDE；

■:4CAB咨ABDE,

.".AB=DE=a,AC=DB=b,

：C、B、。在同一條直線上，且/A=NO=/CBE=90。，

.,.四邊形ACED是直角梯形，

S型形AEDC=；(AC+DE)AD=；(b+a)(a+b),

又S舉形AEDC=2x1ab+1c2,

y(b+a)(a+b)=2x；"+；c2,

即a2+b2=c2.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角

形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一

個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理.

21.(1)見(jiàn)分析(2)40

【分析】

【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形的全等證明、勾股定理，掌握三角形的全等證明及性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

22.(1)見(jiàn)分析(2)見(jiàn)分析

【分析】

(1)在Rt/VIBE中，求得AE=2,BE2=12,從而有BE=BC,即可得出△BEC為等

邊三角形；

(2)求得DEZ+cDnizuEC?,所以為直角三角形，且ND=90°,即可解決

問(wèn)題.

(1)證明：根據(jù)題意可得：在Rt^ABE中，

VZA=60°,ZAEB^90°,

.../A8E=30°.

'：AB=4,

：.AE=畀8=2,BE2=AB2-AE2=12.

又「近二⑵

：.BE=BC.

又：/CBE=60°,

.?.△SEC為等邊三角形.

(2)：△BEC為等邊三角形，

.?.EC2=BC2=12.

又,：DE2=9,CZ>2=3,

：.DE2+CD2=12=EC2,

；.△(7￡)￡為直角三角形，且N￡>=90°,

：.ED±CD.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理和其逆定理，熟練運(yùn)用勾

股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

【分析】

(2)根據(jù)勾股定理解答即可

答：原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)為等千米.

6

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題關(guān)鍵

24.(1)見(jiàn)分析(2)①見(jiàn)分析；②見(jiàn)分析；③

【分析】

(1)vE^ADE^/\CDF(SAS),得/ADE=/CDF,再證/磯中=90。，即可得出結(jié)論；

(2)①依題意，補(bǔ)全圖形即可；

②由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得0GBG=^EF,即可得出結(jié)論；

③先證△「斯是等腰直角三角形，得NQEG=45。，M