第十四章全等三角形?一與角平分線有關(guān)的全等證明

模型練20252026學(xué)年上期初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級上冊

1.如圖，在VA4c中，AB>ACt為角平分線，P為AD上任意一點(diǎn)，連接尸5,PC,求證:

AB-AC>PB-PC.

A

2.如圖，Zl=Z2,Z3=Z4.求證：AP平分N84C.

A

P

3.感知：如圖①，人。平分/朋GZB+ZC=180°,ZB=90\易知：DB=DC.探究：如圖②，AD

平分NBAC,ZABD+ZACD=180°,ZABD<90°.求證：DB=DC.

c

7

“BAB

①②

4.圖，2為/ABC的平分線上的一點(diǎn),點(diǎn)。和點(diǎn)石分別在AB和BC上，且BDvBE,PD=PE,試

探究尸與N跳尸的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

幺

RFC

5.如圖所示，在VA4C中，AO是VA4C'的外角平分線，一是4。上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較

P8+PC與AB+AC的大小，并說明理由.

A

P

6.如圖，乙408=90。，0M平分NAO8,將直角三角板的頂點(diǎn)P在射線0例上移動，兩直角邊分別

與。A、0B相交于點(diǎn)C、。，問尸。與尸。相等嗎？試說明理由.

7.如圖，在V48C中，NAC8=90。，COJ.A8于點(diǎn)。，AO平分N8AC,交CO于點(diǎn)O,E為A8上

一點(diǎn)，且AE=AC,求證：OE//BC.

8.如圖，已知點(diǎn)C是/MAN的平分線上一點(diǎn)，CEJ.AB于E,B、。分別在人M、AN上，且

2AE=ADIAH.問：N1和N2有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

9.如圖，在VA3C中，AO平分NZMC,CE_L4O于點(diǎn)￡求證：ZACE=ZB+ZECD.

10.如圖所示，已知NAT>C+ZA8C=180。，DC=BC.求證：點(diǎn)C在/ZM8的平分線」二

11.如圖，CA=CB,CD=CE,ZACB=/DCE,AO,BE交于點(diǎn)、H,連接C〃.求證:

(l)VACD^VBCE；

⑵HC平分

12.如圖，在四邊形A3CO中，3C>DA,AD=DC,80平分NA3C,DH1.BC于點(diǎn)、H.求證:

(1)ZZM^+ZC=18O°；

(2)BH=^(AB+BC).

13.如圖，八￡>為V/1BC的中線，DE,￡>歹分別是八￡>8和△">€的角平分線.求證：BE+CF>EF.

14.如圖，在V4AC中，4MC=60。，AD,CE分別平分NBAC,NACB,且交于點(diǎn)。.

⑴求/AOC的度數(shù)；

(2)求證：AC=AE+CD.

參考答案

1.見解析

【分析】在A8上取一點(diǎn)￡，使A￡=AC,連接EP,可證△ACP4△AEP,利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)

合三角形的三邊關(guān)系即可求證.

【詳解】證明：在A8上取一點(diǎn)E,使AE=AC,連接EP,

AC=AE,

在和△人￡1?中，-Z2=Z1,

AP=AP,

：.AACP^A4EP(SAS),

:,CP=EP,

在“5莊:中，BE>BP-EP=BP-PC,

又「BE=AB-AE=AB-AC,

:.AB-AC>PB-PC.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系.以角平分線構(gòu)造全等三角形

是解題關(guān)鍵.

2.見解析

【分析】過點(diǎn)尸作尸。工A3于點(diǎn)Q,PNLBC于點(diǎn)、N,尸知_1_47于點(diǎn)加，利用角平分線的性質(zhì)定

理得到PQ=PM,再推出4P平分ZBAC.

【詳解】證明：如圖，過點(diǎn)。作于點(diǎn)Q,PN上BC于點(diǎn)、N,PM_LAC于點(diǎn)M.

：.PQ=PN,PN=PM.

:.PQ=PM,

xPQ-LAB,PM±AC,

八夕平分/B4C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵.

3.見解析

【分析】過點(diǎn)。作于點(diǎn)日0r_LAC交AC的延長線于點(diǎn)尸，證明△。噌△力”\AAS),

即可證明。4=QC.

【詳解】證明：如圖，過點(diǎn)。作?！晟??于點(diǎn)E。尸JLAC交AC的延長線于點(diǎn)

.A0平分NBA。，DE1AB,DF1AC,

.?.NF=NDEB=90。,DE=DF.

NABD+NACD=180。,Z4CO+NrC力=180。,

...ZABD=NFCD.

NEBD=NFCD

在二OEB和△。回。中，,NDEB=/F,

DE=DF

:./XDEB0/\DFC(AAS).

：.DB=DC.

【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角

形，屬于中考?？碱}型.

4.ZBDP+ZBEP=\800.證明見解析

【分析】過點(diǎn)。作/>M_LA8于點(diǎn)用，PNLBC于點(diǎn)、N,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PM=PN,再證明

RtADPM容U/XEPN(HL),掛出ZADP=/BEP

【詳解】解：過點(diǎn)P作PMLAB于點(diǎn)M,PN工BC于點(diǎn)、N,則NPMD=NPNE=90。.

平分Z4NC.

/.PM=PN,

PD=PE

在RtADP/VZ和RiAEPN中,

PM=PN

RtADPM^RtAEP^(HL).

:.ZADP=/BEP.

vZBDP+ZADP=180o,

:.ZBDP+ZBEP=\SO0.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線上

的點(diǎn)到兩邊距離相等，全等三侑形對應(yīng)角相等.

5.PB+PC>AB+AC.理由見解析

【分析】在84的延長線上取一點(diǎn)尸，使4/=AC,連接尸尸，求證△4C&A4EP(SAS),得出

PC=PF,再利用三角形三條邊的關(guān)系即可得解.

【詳解】解：PB+PC>AB+AC.

理由如下：如圖，在8A的延長線上取一點(diǎn)尸，使A/=AC,連接

AP是VAAC的外角平分線,

:.ZCAP=ZFAP.

AC=AF

在△ACP和二AFP中，，/CAP=NE4P,

AP=AP

/.AACP^Z\AFP(SAS).

:.PC=PF.

?:PB+PF>BF,I3F'=AB+AF=AB+AC,

.\PB+PC>AB+AC.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是全等三角形的判定定理及其性質(zhì)以及三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是

作出合理的輔助圖.

6.尸C與PQ相等.理由見解析

【分析】先過點(diǎn)尸作PE_LOA于點(diǎn)E，P凡L08于點(diǎn)F,構(gòu)造全等三角形：RsPCE和RtdPDF,這

兩個三角形已具備兩個條件：90。的角以及PAPF,只需再證NEPGN尸PD,根據(jù)已知，兩個角都等

于90。減去NCPR那么三角形全等就可證.

【詳解】尸C與P。相等.理由如下：

過點(diǎn)P作PELOA于點(diǎn)E,PF±OB于點(diǎn)F,

???OM平分NAO8,點(diǎn)P在OM上，PE1OA,PFLOB,

:?PE=PF(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)

又,/ZAOB=90°,ZPEO=ZPFO=90°,

JNEPF=900,

???NEPC+NCPF=9()0,

又「/。月。二的。，

JZCPF+ZFPD=90°,

，ZEPC=ZFPD=900-ZCPF.

在△PCE與APO尸中，

NPEC=NPFD

VPE=PF,

NEPC=NFPD

:ZCE叁2PDF(ASA),

：,PC=PD.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及四邊形的內(nèi)角和是360。、還有三角形全等的判定和性質(zhì)

等知識.正確作出輔助線是解答本題的關(guān)犍.

7.見解析

【分析】證明/a*/OE(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出=進(jìn)而根據(jù)等角的

余角相等可得NACD=N8,等量代換得出NAEO=NA,即可得證.

【詳解】證明：???4O平分/朋C,

^CAO=^EAO.

在△AOC和AHOE中，

AC=AE,

<NCAO=NEAO,

AO=AO,

/.zMOC^zMOE(SAS),

二.^ACD=^AEO.

中，ZACT=90°,CDA.AB,

NACD+/BCD=^BCD+ZB=90°,

/.ZACD=ZB,

/.ZAEO=ZB,

??.OE//BC.

【點(diǎn)睛】本題考杳了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判

定是解題的關(guān)鍵.

8.Z1與N2互補(bǔ)，理由見解析

【分析】作CnLAN于尸，證明/?/△AC舊Rt>ACE得至IJAQAE,再證明△。尸得到AQAE,

由已知條件從而證得.

【詳解】解：Z1與N2互補(bǔ)，理由是：

如圖，作CRLAN于F,

VZ3=Z4,CE_LAM,

：.CF=CE,ZCFA=ZCEA=90c,

.*./?；△ACF^RtLACE(HL),

：,AF=AE,

TAE=;(AD+AB)=；(AF-DF+AE+EB)=AE+^(BE-DF),

：.BE-DF=。,

:.BE=DF,

:.△DFC/4BEC(SAS),

AZ5=Z2,

VZ1+Z5=I8O°,

.*.Zl+Z2=180°.

【點(diǎn)睛】本題考杳了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用角平分線性質(zhì)，作犍助線得到

三角形全等，并利用已知條件來求解是解題的關(guān)鍵.

9.證明見解析.

【分析】延長CE交A4于尸，求出NAEC=NA￡：RN/%E=NCA￡,根據(jù)ASA證△用E94CAE,推

出NACE=NAFC,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出/AFC=N8+NECO,代入即可.

【詳解】證明：延長CE交人8于F,

?:CE工AD,

ZAEC=ZAEFf

???人。平分/84。，

：.ZFAE=ZCAE,

在△以￡：和ACAE中，

NFAE=/CAE

：AE=AE,

NAEF=ZAEC

(ASA),

???ZACE=ZAFC,

*//AFC=/B+/ECD,

/.NACE=NB+NECD.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識點(diǎn)，關(guān)鍵是作輔助線后求出

NAFC=ZACE.

10.見解析

【分析】作CE1A8,BJ.AO的延長線，根據(jù)條件證明△C8￡&ACQP(AAS)即可得R?=EC,

從而證明.

【詳解】解；如圖，作CE工旗，CF_L/V)的延長線，垂足分別為E,F,

/.ZBEC=/DFC=90°,

ZADC+ZABC=180°,Z/VX7+ZCDF=180°,

???ZABC=NCDF,

*：DC=BC,

/.ZXCBE絲△8產(chǎn)(AAS),

???FC=EC,

???點(diǎn)C在/D48的平分線上.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定，掌握角平分線的判定定理和全等三角形的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵.

11.(1)證明見解析

⑵證明見解析

【分析】(1)由ZACB=NBCE得ZACD=NBCE,再由C4=C8,CD=CE,利用必S,即可判定

VACD^VBCE；

(2)首先作CM_LAO于點(diǎn)M,CNtBE于點(diǎn)、N,由VAQ闿V8CE,可得CM=CV,即可證得“C

平分ZAHE.

【詳解】(1)證明：,:ZACB=/DCE,:.NACD=NBCE

在，46和BCE中,

CA=CB,

-ZACD=ZBCE,

CD=CE,

/.Z\AC￡)^ABCE(SAS)

(2)證明：如圖：過點(diǎn)。作CM_LA。于點(diǎn)M,CN工BE于點(diǎn)、N

ACD^BCE

:./CAM=/CBN,

在AACA/和中，

/CAM=4CBN,

-ZAMC=NBNC=90。,

AC=BC,

AACMg△8CN,

:.CM=CN

又CM_LA〃，CNA.HE,

???"C平分ZA”E

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形判定與性質(zhì)以及角平分線的判定，此題難度適中，注意掌握輔助線的

做法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，解題關(guān)健是證明三角形全等.

12.⑴見解析

Q）見解析

【分析】（1）如圖所示，過點(diǎn)/）作DEJ4A,交A4的延長線干點(diǎn).由角平分線的性而得至ljDH=DF.

證明RtAADEWRtACDH,得到ZC=/DAE,由NDAB+/DAE=180。，即可證明NDAB+ZC=180°；

（2）證明也口△瓦加，得到應(yīng)：=3”，rflRtAADE^RtACDH,得到AE=CH,再根據(jù)

線段之間的關(guān)系證明八4+8C=28〃，即BH=；（4B+BC）.

【詳解】（1）證明：如圖所示，過點(diǎn)、D作DE」AB,交84的延長線于點(diǎn)石，

Q3O平分/ABC,DHA,BC,DEJ.AB,

:.DH=DE,

在RtAOK和中，

\DE=DH

[DA=DC'

...RtAADE=氏△CD”（HL）,

/.ZC=ZDAE,

-.^DAB+^DAE=\S00,

/.ZZMB+ZC=180°：

BHc

(2)證明；在和RtZSJ?7)“中，

DE=DH

BD=BD'

RtABDE^RtABD//(HL),

:.BE=BH,

RtA4DE^RtACDH,

:.AE=CH,

AB+BC=AB+BH+CH=BE+BH=2BH,

BH=；(AB+BC).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判斷，正確作出輔助線構(gòu)造全等一..角

形是解題的關(guān)鍵.

13.見解析

【分析】根據(jù)中線的定義可得8O=CO,在。人上截取8=6。=。"，然后利用“邊角邊”證明

BDE^,HDE,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得鹿二〃石，同理證明人。力產(chǎn)￡〃￡廳，根據(jù)全等三角形

對應(yīng)邊相等可得。/二，然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊證明.

【詳解】證明：在D4上截取。〃=8力，連接E”,FH.

???A0是4c邊上的中線，

：.CD=BD=DH.

????！辏浩椒?4%，

，ZBDE=ZHDE.

又「DE=DE,

???BDEWHDE(SAS).

:.BE=HE.同理，CDF烏HDF(SAS),

：,CF=HF.

在<.HEF中,?:HEtHF>EF,

???BE+CF>EF.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，作輔助線構(gòu)造出

全等三角形并把BE、CF、E尸的長度轉(zhuǎn)化為同一個三角形的三邊是解題的關(guān)鍵.

14.(1)120°

(2)見解析

【分析】(1)NA4c=60。，AD,CE分別平分/4AC,得NO4C+NOC4=60。，即可得到

"八OC的度數(shù)；

(2)在AC上截取=連接。町先證明△AOEgQMO尸(SAS),