專題01勾股定理（解析版）

目錄

A題型建模?專項(xiàng)突破

題型一、勾股定理解三角形.......................................................I

題型二、勾股定理與無理數(shù)......................................................3

題型二、趙爽弦圖...............................................................3

題型四、勾股定理的最值問題....................................................5

題型五、勾股定理的證明.........................................................8

題型六、勾股定理的解決應(yīng)用...................................................14

題型七、勾股定理逆定理的解決應(yīng)用.............................................19

題型八、勾股定理的網(wǎng)格問題...................................................22

題型九、勾股定理的折售問題....................................................8

題型十、螞蟻爬行問題..........................................................14

題型十一、平方關(guān)系問題........................................................19

題型十二、新定義問題22

B綜合攻堅(jiān)?能力躍升

題型建模?專項(xiàng)突破

題型一、勾股定理解三角形

1.在VABC中，NC=90°,/A、NB、NC所對邊的長分別為。、b、c,若a2=2,b2=4,那么c?的

值是（）

A.2B.6C.20D.36

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理；熟練掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵.

在直角三角形中，利用勾股定理直接計(jì)算斜邊的平方即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，VA8C為直角三角形，ZC=90°,因此邊。為斜邊，。、。為直角邊，

由勾股定理得：/+/=。2,

代人己知條件/=2,〃=4,

得：c2=2+4=6，

因此，/的值為6,

故選:B.

2.如圖，在V4BC中，ZBAC=90°,AB=AC,BC=4.點(diǎn)D在BC上,且B/）:CO=1:3,連接A。，將

線段AO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AE,分別連接DE,則V8OE的面積為.

E

A

B]D------------

3

【答案】I

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到△A￡8名△4。。，然

后得到NACZ)=ZAB￡=45。，DC=EB=3,利用三角形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：NB4c=90。，AB=AC,

ZA^C=ZACB=45°,

8C=4,BD:CD=\:3,

.?80=1,8=3,

,/將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,

AAE=AD.7RAD=90°.

AEAD-/BAD=ABAC-/BAD,即NEAR=ZDAC,

在4A和"小中，

AB=AC

/EAB=ZDAC

AE=AD

???^AEB^.ADC(SAS),

.\ZACD=ZABE=45°,DC=EB=3,

NEBD=ZABE+ZA3c=90°,

.13

?'?5rME=1*3*彳=彳，

22

3

故答案為：

3.如圖，ACB和,ECQ都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CQ,.4C3的頂點(diǎn)A在二ECD的斜邊QE

(2)若人E=2,AC-4,求人。的長.

【答案】(1)見解析

(2)2x/7

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

(1)由SAS可證,DC8,即可證明結(jié)論；

(2)由全等三角形的性質(zhì)證明NAOB=90。，再利用勾股定理即可求解.

【詳解】(1)證明：；AC8和ECD都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD,

/.NECD=ZACB=900,

:./ECD-ZACD="B-"D,即ZEC4=/DCB,

在cECA和，DCB中，

EC=DC

<Z.ECA=Z.DCB,

AC=BC

：.t.ECA^,DCB(SAS),

???AE=BD；

(2)解：??二EGA烏cDCB,AE=2,

:?/E=/BDC,AE=BD=2,

V/E+NE7)C=9O。，

:.ZADB=NEDC+/BDC=90。；

*：AC=2,ZACB=90°,AC=BC,

?*-AB=ylAC2+BC2=4>/2，

???AD=^AB2-BD2=25/7-

題型二、勾股定理與無理數(shù)

1.利用勾股定理可以作出長為無理數(shù)的線段.如圖，在數(shù)軸上找到點(diǎn)A,使OA=5,過點(diǎn)A作直線/_LOA,

在/上取點(diǎn)8,使AB=1,以點(diǎn)。為圓心，的長為半徑作弧，弧與數(shù)軸正半軸交于點(diǎn)C,那么點(diǎn)。表示

的無理數(shù)是()

012345

A.5.3B.724C.5&D.腐

【答案】D

【分析】本題考查了勾股定理，無理數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確理解作圖過程.

根據(jù)勾股定理可得QB的長度，結(jié)合作圖過程可知OC=O6,從而可得點(diǎn)C衣示的無理數(shù).

如圖②，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度8￡=lm,將它往前推6m（即水平距離C￡>=6m）至C處時(shí),

踏板離地的垂直高度Cb=4m,秋千的繩索始終拉直，求繩索47的長.

【答案】（D1+JB;

（2）7.5m.

【分析］本題考查了勾股定理的應(yīng)用，數(shù)軸與無理數(shù)，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵.

（1）利用勾股定理求出5。=J值，即可求解；

（2）秋千繩索AC的長度為“］】，利用勾股定理列方程求解即可.

【詳解】（I）解：由題意可知，AD=3,AB=2,

/.BD=\lAD2+AB2=，

：.CD=Vf3?

.??點(diǎn)C（點(diǎn)C在點(diǎn)。的右側(cè)）表示的數(shù)是1+JR,

故答案為：i+JFJ；

（2）解：設(shè)秋T-繩索AC的長度為皿，則A8=AC=xm,

由題意得：（x-3）2+62=f,

解得：x=7.5.

答：繩索AC的長為7.5m.

題型三、趙爽弦圖

1.“趙爽弦圖''是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽為證明勾股定理而構(gòu)造的精妙圖形，它最早用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹皵?shù)形結(jié)合”方法，

直觀揭示了百角三角形三i力的數(shù)后關(guān)系，展現(xiàn)了中華民族的數(shù)學(xué)智慧.如圖,四個(gè)全等的直角三角形闈成

一個(gè)大正方形ABC。，中間陰影部分是一個(gè)小正方形E"G〃，這樣就組成一個(gè)“趙爽弦圖若A8=10,

AE=8,則正方形ERG”的面積為（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，掌握勾股定理的推導(dǎo)過程是解決問題的關(guān)鍵.利用勾股定理求得直

角邊的較短邊，進(jìn)一步根據(jù)正方形EFGH的面積=大正方形面積-4個(gè)直角三角形面積即可求得正方形

EPGH的面積.

【詳解】解：直角三角形直角邊的較短邊為加匚記=6，

正方形ER；”的面積=10X10-LX8X6X4=100-96=4.

2

故選：A.

2.趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序付，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）.某數(shù)學(xué)興趣小組類

比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2,V人8c為等邊三角形，A。、BE、CF圍成的SEP也是等邊三角形.已知點(diǎn)。、

￡、產(chǎn)分別是砥、CF、4。的口點(diǎn)，若V4BC的面積為24,則0所的面積是.

圖1圖2

【答案】y

【分析】本題考查了勾股定理、等邊三角形的基礎(chǔ)知以及三角形中線的性質(zhì)等知識，掌握求解的方法是關(guān)

鍵；

連接4E,如圖，根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積可得SA"=S°EF，SA￡F=SACE，進(jìn)而可得

S?CF=2S&DEF，同理可得5旌=25.，進(jìn)而可得S樹=7S四，即可求解.

【詳解】解：連接AE,如圖，

???點(diǎn)。、E、尸分別是的、CF、AO的中點(diǎn)，

??§AEF=SDEF'§AEF=§ACE,

??$ACF=2SAEF=2SDEF，

同理可得：S.BCF.=2S.。旺上ABD=2S.DEF，

SABC=IS.DEF?

??,VABC的面積為24,

.C_lc_24

.??DEF—y°ABC一~；

故答案為：-y-.

3.閱讀與思考

【問題情境】教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1,利用此圖，可以驗(yàn)證勾股定理嗎？

【探索新知】從面枳的角度思考；不難發(fā)現(xiàn)：大正方形的面積;小正方形的面枳+4個(gè)直角三角形的面積，從

而得數(shù)學(xué)等式：(用含字母〃、〃、。式子表示)，化簡證得勾股定理：〃+從=,2.

圖I圖2圖3

【初步運(yùn)用】

(1)如圖1,若匕=2a,則小正方形面積:大正方形面積=.

(2)現(xiàn)將圖1中上方的兩直角三角形向內(nèi)折疊，如圖2,。=2,8=4,此時(shí)空白部分的面積為.

(3)如圖3,將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成風(fēng)車狀，已知外圍輪廓(實(shí)線)的周長為24,OC=3,

求該風(fēng)車狀圖案的面積.

【答案】【探索新知】(a+b)2=c2+4xg"

【初步運(yùn)用】(1)5:9；(2)12；(3)24

【分析】本題考查了勾股定理的證明與應(yīng)用，掌握勾股定理內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

1、【探索新知】利用“大正方形的面積;小正方形的面積+4個(gè)直角三角形的面積”，列式即可求解；

2、【初步運(yùn)用】(1)分別表示出大正方形面積與小正方形面積，即可求解；

(2)利用邊長為。的正方形面積減去兩個(gè)直角三角形面積，即可求解；

(3)設(shè)AC=工，則。4=OC+AC=3+x,由題意得A8+x=6,則A8=6-x,由勾股定理建立方程即可

求得x,從而得Q4,即可求得面積.

【詳解】解：【探索新知】由題意，大正方形面積為(。+與2,小正方形面積為C2,四個(gè)直角三角形的面積為

4x-ab,

2

(a+/?)2=c2+4x—?/;；

故答案為：(。+＞尸=(二+4xl?Z?:

2

【初步運(yùn)用】(1)大正方形面積為伍+與2=(3〃)2=9/

小正方形面積為/=/+從=/+4/=5〃2,

則5a2：%?=5：9,

故答案為：5:9；

(2)?=?2+^=22+42=20,一個(gè)直角三角形的面積為!"=1X2X4=4,

22

則空白部分面積為：r-2xl^=20-2x4=12：

2

故答案為：12；

(3)設(shè)AC=x,貝iJ3=OC+AC=3+x,

由題意得4(A8+X)=24,

AB+A=6>

即AB=6-x；

由勾股定理得：OB2+OA2=AB2

?：0B=0C=3,

，(3+x)2+32=(6-x尸，

解得：X=l,

/.0A=3+1=4,

故風(fēng)車狀圖案的面積為4x；0^04=4x1x3x4=24.

題型四、勾股定理的最值問題

1.如圖1,我們把對角線相等的四邊形稱為對等四邊形.如圖2,在VAB。中，AB=AC；點(diǎn)。為8c邊上

一動點(diǎn)，M,N分別為AB,4c邊上的動點(diǎn).已知48=10,8C=12,若四邊形AMPN為對等四邊形，則/WN

的最小值為（）

【答案】B

【分析】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段最值問題，根據(jù)對等四邊形對角線相等和點(diǎn)到直

線垂線段最短即可求出長度的最小值.

【詳解】解：連接AP,如圖所示：

A

M,

BC

???四邊形AMPN為對等四邊形，

???AP=MN,

???當(dāng)AP18C時(shí)AP最短，

此時(shí)???AB=4C=10,AP1BC,

:.BP=CP=-BC=6,

2

,AP=>]AB2-13P2=V102-62=8?

???MN的長度的最小值為8.

故選:B.

2.如圖，四邊形A3CO中，AB//DC,/A8c=90,A8=5,BC=6,點(diǎn)尸是CO邊上一動點(diǎn)，則-948

周長的最小值為.

【答案】18

【分析】本題考查軸對稱最短問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

如圖，作點(diǎn)8關(guān)的對稱點(diǎn)8，連接人"證明PA+P8=PA+P￡N48'=I3，再計(jì)算..243周長即可.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)氏關(guān)于CO的對稱點(diǎn)外,連接

:.胡=12,

ZABC=90°，

:.AB,=X/AB2+BB,2=752+122=13?

,??PC垂直平分線段59，

:.PB=PH，

PA+PB=PA+PBf>=\3,

?8的最小值為13,

，的周長最小值為P4+P8+"=13+5=18.

3.【背景資料】在已知VABC所在平面上求一點(diǎn)P,使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是

法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆

利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營''問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補(bǔ)充以卜推理過程:(其中①處從“直角”和“等邊''中選擇填空，

②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊''中選擇填空，③處填寫角度數(shù))當(dāng)VA3C的三個(gè)

內(nèi)角均小于120。時(shí)，如圖1,將ZvlPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到工4'PC,連接P戶，由PC=9C,

N產(chǎn)C0=6O。，可知7y為①三角形，故尸尸=〃。，又產(chǎn)A=%,故由+P8+PC=H4'+P3+/7y?A'8,

由②可知，當(dāng)B,P,產(chǎn)，P在司一條直線上時(shí)，R4+P8+PC取最小值，如圖2,最小值為48,此時(shí)

的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有==?；

【知識生成】由此我們可以發(fā)現(xiàn)，通過旋轉(zhuǎn)變換我們可以解決一些問題：

(1)如圖3,等邊VA8C內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到頂點(diǎn)4、B、C的距離分別為3,4,5,求/A陽的度數(shù).為

了解決本題，我們可以將“總繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AW處，此時(shí)AWg這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段小、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出/4PB=；

(2)如圖4,VABC中，ZC4B=90°,AB=AC,E,f為BC上的點(diǎn)，且NE4/=45。，判斷BE,EF,

FCZ間的數(shù)量關(guān)系為;

圖4圖5

【問題解決】怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120。的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊為邊在外側(cè)作

等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與VA8C的另?頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn).請同學(xué)們探

索以下問題.

⑴如圖5,VABC三個(gè)內(nèi)角均小于120。，在VA4c外側(cè)作等邊三角形△"￡>,連接CO,在CD上取點(diǎn)產(chǎn)，

使/3PC=120。，連接AP、BP,

求證：點(diǎn)，是VA8C的費(fèi)馬點(diǎn).

(2)如圖6,在RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=1,NA8C=30。，點(diǎn)夕為V/WC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接BP、

CP,則P4+P8+PC的值為.

【學(xué)以致用】(1)如圖7所示是一個(gè)三角形公園，其中頂點(diǎn)A,為公園的出入l」，NA=75。，AB=2V2km，

AC=4km,工人師傅準(zhǔn)備在公園內(nèi)修建一涼亭P,使該涼亭到三個(gè)出入口的距離和最小，則尸A+PA+PC

的最小值是

A

圖6圖7

【答案】背景資料：等邊；兩點(diǎn)之間，線段最短；120%知識生成：(I)150°；(2)E尸=8尸」尸。2；問

題解決：(1)見解析；(2)近；學(xué)以致用：2ViUkm

【分析】背景資料：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PC=PC,NPC產(chǎn)=60。，得出APCP為等邊三角形三角形,故

PP=PC,由兩點(diǎn)之間，線段最短可知，當(dāng)8,P,P,P'在同一條直線上時(shí)，R4+P8+PC取最小值，

即可得解；

知識生成：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP'=3,BP=C9=4,?C4K?BAP,NAP8=N4PC,證明PAP

為等邊三角形，得出^^=40=3,NAPP=60。，由勾股定理逆定理得出NCPP=90。，求出

ZArC=ZArP+CPP=150°,即可得解；

(2)由等腰直角三角形的性質(zhì)可得/B=4C5=45。，將..ABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到“ACE,連接E'F,由

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AE,ZE4T=90°,CE=BE,NAC￡=N3=45。，證明一AE/注..A￡*SAS),得

出EF=E,F,再由勾股定理即可得解；

問題解決：(1)在PO上截取一點(diǎn)。.使得PB=PQ\連接BQ,證明V8PQ為等邊三角形，得出PQ=PB=QB,

NPBQ=60。,由等邊三角形的性質(zhì)可得乙鉆。=60°,AB=BD,證明.A8/2..DBQ(SAS),得H"P=Q。，

PA+PB+PC=QD+PQ+PC>CDt即可得證；

(2)由直角三角形的性質(zhì)可得總=2,由勾股定理可得4C二JAV—AC?=75,將ZW*順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得

到△A'P4,連接6戶，A!C,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得A8=AB=2,A'P=AP，BP=B產(chǎn),NA84'=NP3〃=60。，

推出1尸8。為等邊三角形，^ABC=ZA'BA+ZABC=90°,由等邊三角形的性質(zhì)可得尸產(chǎn)二依，即可得到

PA+PB+PC=A,P,+PP,+PC^AfC,再由勾股定理得出4c=,44+8C?=B即可得出答案；

學(xué)以致用：連接B4、/火、PC,將繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到/APC,連接尸P、AA,作A'H_L84

交M的延長線于H,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PC=PC,AC=AC=4km,ZPCP=ZAGV=60%得出△PCP,

4cA'均為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得^y=2。，兒4'=AC=4km,ZA,4C=60c,證明

.ACX,ACP(SAS),得出推出EA+PB+PCuPTT+P尸+求出

ZA'AH=180°-ZBAC-ZA'AC=45°,得出AH=A”，結(jié)合勾股定理可得A"=A77=2&km，求出

8H=A8+AH=4/km，再由勾股定理計(jì)算即可得解.

【詳解】背景資料：當(dāng)V/WC的三人內(nèi)角均小于120。時(shí)，如圖I,將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AP'C,

連接尸產(chǎn)，由八？=〃。，N尸C。=60。，可知△PC0為等邊三角形三角形，故P。=PC,又0A'=E4,故

PA+PB+PC=P,Af+PB+PP,>A'B,由兩點(diǎn)之間，線段最短可知，當(dāng)B,P,尸，尸在同一條直線上時(shí),

P4+P8+PC取最小值，如圖2,最小值為48,此時(shí)的尸點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有

ZAPC=ZBPC=ZAPB=120°：

知識生成：(I)將繞頂點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到△AC產(chǎn)處，此時(shí)

AAP=APf=3,BP=CP=4,?CA碑?BAP,ZAPB=ZAPC,

???VA3C為等邊三角形，

/BAC=NBAP+ZCAP=60°,

:.乙PAP=/CAP+/CAP=60°,

A^PAP為等邊三角形，

:,PP=AP=3,ZA/yP=60°,

丁PP2+CP?=CP2,

：./。尸'尸=90。，

???ZAPC=ZAP尸+CPP=150°,

ZAP8=ZA〃C=150°；

(2)?.?VA8C中，ZC4B=90°,AB=AC,

AZB=ZACB=45°,

如圖：將..ABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ACE!,連接￡尸，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AE=AE,ZE4￡*=90°,CE=BE,NAC￡*=N3=45。,

；?Z.ECF=ZACB+ZACr=90°,

丁ZE4F=45°,

：.乙EAF=90°-匕EAF=AEAF=45°,

：..AEF^.ATF(SAS),

???EF=E'F,

*/E,F2=CF2+CEf2,

:.EF2=CF?+BE2；

問題解決：(1)如圖，在尸。上截取一點(diǎn)。，使得PB=PQ,連接BQ,

圖5

???ZBPC=120°,

.??4RPQ=180°-NBPC=60°,

???VBPQ為等邊三角形,

:.PQ=PB=QB,NP6Q=60。，

???為等邊三角形，

AZABD=60°,AB=BD,

Z.PBQ-ZABQ=/ABD-ZABQ,

：."BP=/DBQ,

???AB恪.DBQ(SAS),

??.AP=QD,

??.PA+PB+PC=QD+PQ+PC>CDf

???點(diǎn)尸是VABC的費(fèi)馬點(diǎn)；

(2)???在RlZ\A8C中，ZC=90°,AC=1,ZA8C=30。，

.,?,$=2，BCAAB'-AC?=3

如圖，將ZW>8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到A4戶5,連接3/，A:C,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：A8=45=2，A'P=AP,BP=BP\&BA二NP8P=60°,

Z...PBP為等邊三角形,ZAfBC=^ABA+ZABC=9()°,

???PP=PB,

???PA+PB+PC=AT+PP+PC>ArC,

由勾股定理可得：A'CnyjA'B^+BC?=幣，

???PA\PB\PC的值為為正；

學(xué)以致用：如圖，連接處、PB、PC,將△APC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到，A7yC,連接尸產(chǎn)、A4L作

AH_L8A交班的延長線于H,

圖7

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：PC=PC,A'C=AC=4km,/PCP=N4OV=60。,

???4PCP,ACT均為等邊三角形，

APPf=PC,A4'=AC=4km,ZA'4c=60。，

\:/PCP-ZACP=ZACA-ZACP,

???ZACP=Z4,CPZ,

AACP^.AB(SAS),

???A利二AP，

???PA+PB+PCnPA'+PP+PBNA'B,

???ZAAH=1800-/BAC-ZAAC=45°,

AH=AH,

VAH2+A,H2=AAf2^

/.AH=A,H=2>J?km，

，BH=AB+AH=4>歷km，

???A:B=y/A'^+BH2=2Wkm，

???PA+PB+PC的最小值是2西km.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、

等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o

助線是解此題的關(guān)鍵.

題型五、勾股定理的證明

1.【問題提出】勾股定理是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石（1）在我國最早對勾股

定理進(jìn)行證明的是三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽.如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形（直

角邊分別為“，b,斜邊為。）拼成，用它可以驗(yàn)證勾股定理/+6=。2;（2）圖2為美國第二十任總統(tǒng)加

菲爾德的“總統(tǒng)證法”，它用兩個(gè)全等的直角三角形（直角邊分別為〃，b,斜邊為。）和直角邊為c的等腰

直角三角形拼成一個(gè)直角梯形，用它也可以驗(yàn)證勾股定理/+從=。2

【問題解決】（1）在直角三角形中，直角邊分別為4,〃，斜邊為J從上述兩種方法中，任選一種方法證

明勾股定理/+/=。2；

（2）勾股定理的驗(yàn)證過程體現(xiàn)了?種重要的數(shù)學(xué)思想是（）；

4.函數(shù)思想B.整體思想C分類討論思想D.數(shù)形結(jié)合思想

【知識應(yīng)用】（3）如圖3,在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A,B,該村為方

便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)〃（A,H,8在同一條直線上），并新修一條路C”，現(xiàn)測得C4=l

千米，A8=2.l千米，8c=1.7千米，為最大限度節(jié)省鋪路的費(fèi)用（保證質(zhì)量的前提下），求新修路CH的

長.

【答案】（1）見解析；（2）D；（3）0.8千米

【分析】本題考查勾股定理的證明，勾股定理的應(yīng)用.

（1）在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)直角三角形的面積與中間小正方形的面積之和，列出式子后化簡

即可證明；在圖2中，梯形的面積等于三個(gè)三角形的面積之和，列出式子后化簡即可證明.

（2）勾股定理的驗(yàn)證過程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，據(jù)此即可解答；

（3）當(dāng)時(shí)，CH最小,能最大限度節(jié)省鋪路的費(fèi)用.設(shè)A”=xT?米，則8〃=A8—A〃=2.1—x（下

米），根據(jù)勾股定理列出方程，求解即可解答.

【詳解】解：（1）根據(jù)趙爽弦圖進(jìn)行證明：

丁S大正方形=4s三角形+S小正方形,

:.c1=4x^ab+(b-a)2,

c2=a2+b2.

根據(jù)“總統(tǒng)證法”進(jìn)行證明:

SRIADE+SR(CDE+S以3CE，

—(a+b)(a+b)=—ab+—c2+—ab,

~222

a'+lab+b2=c2+lab，

:，(T+b2=c2.

（2）勾股定理的驗(yàn)證過程體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想.

故選：D

（3）當(dāng)時(shí).最小，能最大限度節(jié)省鋪路的費(fèi)用.

設(shè)A”=x千米，則8H=AB-A^=2.1-x（千米）

???CHA.AB.

，在RtACH中，。，2=4。2一力"2=]2一工2,

在RtABC/7中,O/2=BC2-BH2=1,72-（2.1-x）2,

A12-X2=1.72-（2.I-X）2,

解得x=0.6,

???A”=0.6千米，

,CH=dAC?-AH2=4-（）6?=（）.8（千米）.

答：新修路。”的長為0.8千米.

2.【背景介紹】

勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，我國最早的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》就有記載.千百年來，人們

對它的證明趨之若鷲，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，我國數(shù)學(xué)教育工作者向常春老師，在

1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了?個(gè)簡潔優(yōu)美的新證法.

【證法再現(xiàn)】

如圖，把兩個(gè)全等的直角三角形.D4E和VA8C如圖1放置，其三邊長分別為顯然，NDW=N4=9（）。,

AC±DE.請用a,b,c分別表示出梯形A8CQ,二E8C.四邊形AECD的面積：S桶形枷〃=，=

，S四邊形AECD=，探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可證得勾股定理，完成以上證明過程；

【知識運(yùn)用】

如圖2,河道上A,B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距160米,C,。為兩個(gè)菜園（看作兩個(gè)點(diǎn)），ADJ.AB,BC1AB,

垂足分別為4,B,AO=70米，8c=50米，現(xiàn)在菜農(nóng)要在A8上確定一個(gè)抽水點(diǎn)P,使得抽點(diǎn)點(diǎn)，到兩個(gè)

菜園C,。的距離和最短.

（1）請?jiān)趫D2中確定點(diǎn)戶的位置，并說明理由；

（2）該最短距離和為多少米？

【答案】證法再現(xiàn)：；〃（a+〃），證明見解析.：知識運(yùn)用：（]）見解析（2）200米

乙乙乙

【分析】本題考查了用數(shù)形結(jié)合來證明勾股定理，勾股定理的應(yīng)用，軸對稱-最短路線問題，證明勾股定理

常用的方法是利用面積證明，本題鍛煉了同學(xué)們數(shù)形結(jié)合的思想方法.

證法再現(xiàn)：根據(jù)三角形的面積和梯形的面積就可表示出.

知識運(yùn)用：（1）作點(diǎn)C關(guān)于A8的對稱點(diǎn)立連接。尸交A8于點(diǎn)P,連接尸C,點(diǎn)尸即為所求.

（2）運(yùn)用勾股定理求出。尸，就是代數(shù)式PC+P。的最小值，

【詳解】證法目現(xiàn)：由題意,S四邊開"Be=7"（"+"）,SBEC--b^u—b）,S叫邊形.Em=與邊形八…一5ESC=Q

滿足關(guān)系式：；4（4+匕）一38（"一"）=；/.

整理得：片+從=。2；

故答案為：+^b（a-b\,^e2.

知識運(yùn)用：（1）作點(diǎn)C關(guān)于AB的在稱點(diǎn)尸，連接。/，PC,PD*PF,如圖.

又PD+PFNDF、

當(dāng)DP,產(chǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，以）+尸產(chǎn)的最小值為。/，

.?.PC+PO的最小值為。尸，此時(shí)點(diǎn)。到兩個(gè)菜園C,。的距離前最短.

（2）作OE_LBC交BC的延長線于E.

在Rt△。所中，???OE=A8=160米，所=4。+8c=120米，

?*-DF=yjDE2+EF-=200（米）?

故答案為:200.

3.【背景介紹】千百年來，人們對勾股定理的證明樂此不疲，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者.向

常春構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的RtZXABC和Rt.EDA按如圖1方式放置，其三邊長分別為m

b,c,/BAC=NOE4=90。.

（1）請你利用圖1證明勾股定理;

（2）如圖2,在VAAC中，BC-a,AC-b,AB-c,.^.c>b>a,當(dāng)VABC是鈍角三角形時(shí)，猜想『十從與

C?之間的關(guān)系，并說明理由；

(3)已知RtAABC的三邊為小b,c(c為斜邊),其中小〃滿足(/+⑹(/+〃-4)=5,求RtAABC的斜

邊的長.

【答案】(1)見解析

(2)/+從</,理由見解析

(3)&△ABC的斜邊的長為石

【分析】本題考查了勾股定理、完全平方公式，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵.

22

(1)ill劉,BC_LAD,根據(jù)S四邊形而0c=SADB+SADC=SBED+SADE+S列」弋"Jfra~+b=c;

(2)過點(diǎn)4作A”_LC8交BC延長線于“，設(shè)C〃=y,由勾股定理得),2=/-(4+),『，整理得

22

a^-b--c=-2ayt由。>0,可得/+廿-c?<0,故可得結(jié)論；

(3)把/=/+/代入(/+加)(/+從-4)=5得/-4/-5=0,求出c?的值，再求c?的值即可.

【詳解】(1)證明：根據(jù)題意，由圖1可知：

AB=DE=Cl，AC-AE=b,BC-AD=c，ZBC71=Z1DAE,/BAC=NDEA―9U°?

工^DAE+ZFAC=9O0,

JZBC4+ZE4C=90°,

ZAFC=180O-(ZBC44-ZMC)=180O-900=90O,

???BC1AD.

=

S四邊形A8DCS+SADC

=-ADBF+-ADCF

22

=-ADBC

2

12

=2C；

=

乂7S四邊形A80cSBED+SADE+SACl)

=-DEBE+-DEAE+-ACEA

222

=-a(a-b)+—axb+—b2

2'J22

=如+⑹，

a2+b2=c2;

(2)解：/+/</，理由如下:

過點(diǎn)A作A/7_LCB交BC延長線于〃，設(shè)?！倍,

在RtA/7C中，AH2=b2-y2,

在R3AH5中，AH2=c2-(a+y)2,

/.b2-y2=c2-(?+yJ,

化簡得，a2+b2-c2=-lay,

Va>0,y>0,

/.-2ay<0,

a2+b2-c2<0?

???2a~+1b2~<c2~;

(3)解：在RtZ\ABC中，°2=1+/，

,:(a2+尸)(/+/-4)=5

/.?(C2-4)=5,

***c4-4c2-5=0，

解得，c2=5,e2=-l,

????>0

***c2=5,

:?c=M(負(fù)值舍去)

???RtZXABC的斜邊的長為石.

題型六、勾股定理的解決應(yīng)用

1.我國明朝數(shù)學(xué)家程大位的數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》中，有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問題是使用《西江

月》詞牌寫的：

平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步與人齊，五尺人高曾記.仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉.良工高

士素好奇，算出索長有幾？翻譯成現(xiàn)代漢語的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往

前推進(jìn)10尺(5尺為一步)，秋千的踏板就和某人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，(假設(shè)秋千的繩索拉的很

直)如圖，請你根據(jù)詞意計(jì)算秋千繩索。4的長度.

【答案】秋千繩索的長度為14.5尺

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，理解題意，作適當(dāng)輔助線得到直角三角形是解題的關(guān)鍵；過點(diǎn)A'作

A'8_L0A于點(diǎn)8.設(shè)秋千繩索的長度為x尺，則可表示出08,A8,在Rlz^OAB中，由勾股定理建立方程

求解即可.

設(shè)秋千繩索的尺度為x尺.

由題可知，OA=OA,=xR,AB=5-1=4(尺)，48=1()尺，

.\OB=OA-AB=(x-4)R.

在RtZ\0A6中，由勾股定理得：A!B-^OB~=OA!2,

：.I02+(X-4)2=X2,

解得x=14.5.

答：秋千繩索的長度為14.5尺.

2.我縣某初中八年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)利用社團(tuán)活動時(shí)間測量學(xué)校壁掛音箱的長，因不方便直接測量,

設(shè)計(jì)方案如下：

課

測量壁掛音箱例N的長

題

方工具竹竿、米尺

相關(guān)竹竿長度為5m,壁掛音箱MN垂直地面A8于點(diǎn)。，線段表示同

數(shù)據(jù)一根竹竿.第一次將竹竿的一個(gè)端點(diǎn)與點(diǎn)用重合，另一個(gè)端點(diǎn)落在地面的

及說點(diǎn)A處，第二次將竹竿的一個(gè)端點(diǎn)與點(diǎn)N重合，另一個(gè)端點(diǎn)落在地面的點(diǎn)

明B處,已知AO=3m,3。=4m

計(jì)算

過程

請根據(jù)上述方案中的內(nèi)容，計(jì)算MN的長.

【答案】MN=lm

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用.

根據(jù)勾股定理得到OM=4m,ON=3m,即可求出MN的長.

【詳解】解：由題意可知，NNOB=90。,在中，AM=5m,0A=3^,

則OM=y]AM2-O^=4m，

在RtAOBN中,BN=5m,03=4m,則次=[BN?—OB2=3m?

:?MN=0M-0N=\m.

3.如圖，一架梯子48斜靠在某個(gè)過道豎直的左墻匕頂端在點(diǎn)A處，底端在水平地面的點(diǎn)6處，保持梯

子底端8的位置不變，將梯子斜靠在豎直的右墻上，此時(shí)梯子的頂端在點(diǎn)C處，A010D.CD10D,測得

頂端A距離地面的高度A0為2米，0B為1.5米，且頂端C距離地面的高度CO比A0多0.4米，求。。的

【答案】2.2米

【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.先在RtzXAB。中，根據(jù)勾股

定理求出梯子的長度，然后在RtABC。中根據(jù)勾股定理求出8。的長，進(jìn)而可求解.

【詳解】解：由題意可得：在RtAO8中，NAO8=90。，AO=2米，08=1.5米,

**-AB=yjBCP+AO2=V22+1.52=2.5（米）,

???CO=AO+（）.4=2.4米，

??,BC=AB=2.5米，

?*-BD=siBC2-CD2=V2.52-2.4;=0.7（米）,

/.OD=OB+BD=\.5+O.l=2.21米）.

題型七、勾股定理逆定理的解決應(yīng)用

I.如圖，四邊形4B6中，2B90?,44=4,BC=3,6=13,AD=I2,求四邊形ABC。的面積.

BP~V

【答案】36

【分析】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面積，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出三角形

的形狀是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)勾股定理求出AC的長度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出，八8的形狀，最后利用三角形的面積公

式求解即可.

【詳解】解：連結(jié)AC,

VZABC=90°,A8=4,BC=3,

AC=dAB2+BC，=5，

在」48中，AC2+AD2=52+122=25+144=169=132=CD\

:.AC。是直角三角形，

???=-ABBC+-ACMD=-x4x3+-x5xl2=36.

2.如圖，某地理測繪團(tuán)隊(duì)通過測量A、4、C三點(diǎn)的位置，確定了由這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形區(qū)域.并通過

測繪，得到以下數(shù)據(jù)?：A3=3,BC=3.在8C邊上有一處重要地標(biāo)點(diǎn)。，滿足CO=1,AD=45.測繪人

員需要確定A點(diǎn)到C點(diǎn)的距離，以便完成整個(gè)區(qū)域的測繪工作.請求出A點(diǎn)到。點(diǎn)的距離.

【答案】76

【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，熟練掌握勾股定理(直角三角形兩直角邊的平方和等于斜

邊的平方)和勾股定理逆定理(若三角形三邊滿足片+從=1,則該三角形為直角三角形)是解題的關(guān)鍵.因

為BC=3,CO=1,所以BQ=BC-a)=2.然后在一ABO和4c。中，利用勾股定理，設(shè)4。垂直于

某點(diǎn)(實(shí)際A。是線段，可通過勾股定理建立等式)，分別表示出AB?、AD\CD2.BQ?的關(guān)系，進(jìn)而求

出AC的長度.

【詳解】解：?,BC=3,CD=\,

:.BD=BC-CD=2.

在中，A8=3,BD=2,AD=6

.2?+(石尸=4+5=9=3,

.qA8￡)是直角三角形，/人。8=90.

在RtAC。中，CO=1,AD=&

.AC2=AD1+CD1.

/.AC2=(X/5)2+12=5+1=6,

AC=,

???A點(diǎn)到C點(diǎn)的距離為太.

3.【綜合與實(shí)踐】

【問題探究】

(1)如圖1,8。為四邊形A8CO的對角線，BDA.CD,若A8=8,AO=6,BC=5小,CD=5,試求四

邊7月48的面積；

【問題解決】

（2）如圖2,四邊形48co是某縣一座全民健身中心的平面示意圖，AC.AE.即為三條走廊（點(diǎn)E和

點(diǎn)F分別在邊8C和A8上），AD=60米，CD=A￡=40米，C￡=20米，8E=30米，AC1CD,EFLAB.

瓦的長；

圖2

（3）隨著民眾健康意識的不斷增強(qiáng)，對科學(xué)健身也有了更多的需求，為滿足民眾不斷增長的健身需求，該

縣計(jì)劃對這座全民健身中心進(jìn)行重新規(guī)劃，在A3上取點(diǎn)“，并將區(qū)域修建為功能訓(xùn)練區(qū)，根據(jù)設(shè)

計(jì)要求，應(yīng)為等腰三角形,請你幫助設(shè)計(jì)人員計(jì)算出所有符合條件的A”的長.

【答案】（1）49；（2）EF=24X；（3）20米或14米或25米

【分析】（1）先利用勾股定理，由8c=5石，8=5,8。工。。算出8￡＞的長；再通過勾股定理逆定理,

結(jié)合AB=8,AD=6,判斷一AAD是直角三角形；最后將四邊形A3CO拆分為m和.BCD,分別用直

角三角形面積公式計(jì)算后求和.

（2）先根據(jù)勾股定理，由4）=60米，8=40米，ACJ.CO算出AC；再用勾股定理逆定理，結(jié)合AE=40

米，CE=20米，判斷，ACE是直角三角形；接著算出AB的長，最后依據(jù)三角形面積的兩種不同表示方法

（SABE=：AEBE=：ABEF）,求出所.

（3）分三種等腰三角形情況討論：當(dāng)BE=BH時(shí),直接用算AH：當(dāng)時(shí)，先算8尸，再

確定5H,進(jìn)而得A"；當(dāng)=時(shí)，設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理列方程求解8"，再算AH.

【詳解】（1）解：（I）由題意可得：^BDC=9（f.

V5C=5\/5.8=5,

,BD=yjBC2-CD2=J（5扃-5?=10.

VBD=10,A8=8,AD=6,

???AB2+AD2=82+62=100=BD2.

???△AZ?。是直角三角形，且NA=90。.

*,*$四邊形ABCD=S&BD+SABCD=-x8x6+—x5x10=49.

A

（2）VACA.CD,

，ZACL>=9（r,

?*-AC=yjADr-CD1=205/5（米）?

???AC=20遙米，AE=40米，C￡=20米，

AAC2=AE2+CE2.

???△ACE是直角三角形，且Z4EC=90。，

，ZAEB=90°,ABE是直角三角形，

???AE=40米，8E=30米，

,AB=JAE?+BE?=50米.

?:EF±AB,

:.s4/i,o1,￡E=-2AEBE=2-ABEF.

A-x40x30=-x50xFF,

22

解得耳'=24米.

（3）①當(dāng)?shù)臅r(shí)，如圖2,點(diǎn)〃在的位置,

圖2

???8>=30米.

.??AM=A8-叫=20米.

②當(dāng)E8=E，時(shí)、如圖2,點(diǎn)”在H?的位置,

???BE=30米，斯=24米，NBFE=90°,

***BF=^BE1-EF2=18（米）?

由題意可得：H2F=BF=\S（米）.

??.A”2=A8-颯=50—(18+18)=14(米)；

③當(dāng)，寸，如圖2,點(diǎn)”在%的位置，

設(shè)，3〃=x，則〃3七=〃34=I8+X.

222

H,E=H3F+EF,

J(18+A)2=X2+242,

解得x=7,即&F=7.

??.A〃3=A8-8%=50-(18+7)=25(米).

綜上可知，A"的長為20米或14米或25米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面積公式以及等腰三角形的分類討論，熟練

掌握勾股定理及其