2023-2024學年人教版七年級上冊第一章有理數(shù)講義1.1正數(shù)與負數(shù)層級要求：④正數(shù)與負數(shù)在實際問題中的應用，并理解其意義(難點)掌握③用正數(shù)、負數(shù)表示具有相反意義的量理解②正數(shù)、負數(shù)的定義，零表示的量的意義(重點)認識①負數(shù)的產(chǎn)生與具有相反意義的量基礎知識詳解知識點一正數(shù)和負數(shù)的概念（重點）出題角度1用定義判斷正數(shù)與負數(shù)例1.下列各數(shù)中哪些是正數(shù)？哪些是負數(shù)？除了0之外在正數(shù)的前面加上“—”號正數(shù)除了0之外-18，-0.002，，-，2014，，1.3，0，3.14，π。除了0之外在正數(shù)的前面加上“—”號正數(shù)除了0之外分析：0既不是正數(shù)也不是負數(shù)小學學過的數(shù)0既不是正數(shù)也不是負數(shù)小學學過的數(shù)解：正數(shù)：，2014，1.3，3.14，π。負數(shù)：-18，-0.002，-，。點撥：正數(shù)的正號可以省略不寫，負數(shù)的負號不可省略，所以可以從負號上判斷正數(shù)和負數(shù)，但要注意，帶負號的數(shù)不一定都是負數(shù)，如“—0”、“—（—1）”都不是負數(shù)。出題角度2對正數(shù)、負數(shù)和0的意義的考查例2．下列說法正確的是（）A． 一個數(shù)前面加上“﹣”號，這個數(shù)就是負數(shù)B．零既不是正數(shù)也不是負數(shù)C． 零既是正數(shù)也是負數(shù)D．若a是正數(shù)，則﹣a不一定就是負數(shù)解析：A、負數(shù)是小于0的數(shù)，在負數(shù)和0的前面加上“﹣”號，所得的數(shù)是非負數(shù)，故A錯誤；B、0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是正數(shù)和負數(shù)的分界點，故B正確；C、0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是正數(shù)和負數(shù)的分界點，故C錯誤；D、若a是正數(shù)，則a＞0，﹣a＜0，所以﹣a一定是負數(shù)，故D錯誤．答案：B點撥： 解答此題的關鍵是弄清正數(shù)、負數(shù)和0的區(qū)別；正數(shù)是大于0的數(shù)，負數(shù)是小于0的數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負數(shù)．出題角度3對用字母表示的數(shù)的正負性的判斷例3.若m表示一個數(shù)，那么﹣m一定是（）A． 負數(shù) B． 正數(shù) C． 0或負數(shù) D． 無法確定解析： 此題要分三種情況當m=0時，當m＜0時，當m＞0時分別計算出﹣m．當m=0時，﹣m=0，當m＜0時，﹣m＞0，當m＞0時，﹣m＜0，答案：D點撥： 此題主要考查了用字母表示數(shù)，關鍵是要分情況進行討論，注意不要漏解．變式練習1.把下列各數(shù)分別填在對應的橫線上：3，﹣0.01，0，﹣2，+3.333，﹣0.010010001…，+8，﹣101.1，+10，﹣100。其中：正數(shù)有：_________；負數(shù)有：_________．變式練習2.下列說法正確的是（）A、零是正數(shù)不是負數(shù)B、零既不是正數(shù)也不是負數(shù)C、零既是正數(shù)也是負數(shù)D、不是正數(shù)的數(shù)一定是負數(shù)，不是負數(shù)的數(shù)一定是正數(shù)變式練習3.我們用字母a表示一個有理數(shù)，試判斷下列說法是否正確，若不正確，請舉出反例．（1）a一定表示正數(shù)，-a一定表示負數(shù)；（2）如果a是零，那么-a就是負數(shù)；（3）若-a是正數(shù)，則a一定為非正數(shù)．知識點二用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量出題角度1用正數(shù)、負數(shù)表示相反意義的量例4.用正數(shù)和負數(shù)表示下列具有相反意義的量：（1）鐘表的指針逆時針方向旋轉20°記作，順時針方向旋轉30°記作；（2）孔子出生于公元前551年，如果用﹣551年表示，那么司馬遷出生于公元前145年可表示為，歐陽修出生于公元1007年可表示為年；（3）運進200箱記作，運出150箱記作．解析： （1）根據(jù)逆時針旋轉為負，順時針旋轉為正解答；鐘表的指針逆時針方向旋轉20°記作﹣20°，順時針方向旋轉30°記作+30°；（2）根據(jù)正數(shù)和負數(shù)的意義解答；∵孔子出生于公元前551年，用﹣551年表示，∴司馬遷出生于公元前145年可表示為﹣145，歐陽修出生于公元1007年可表示為+1007年；（3）根據(jù)運進為正數(shù)，運出為負數(shù)解答．運進200箱記作+200，運出150箱記作﹣150．答案：（1）﹣20°，+30°；（2）﹣145，+1007；（3）+200箱，﹣150箱．點撥： 此題主要考查了正負數(shù)的意義，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．變式練習4.孔子出生于公元前551年，如果用﹣551年表示，那么下列中國歷史名人的出生年代應表示為：（1）漢武帝出生于公元前156年：．（2）李白出生于公元701年：．（3）文天祥出生于1236年：．出題角度2正數(shù)和負數(shù)在實際生活中的應用例5.課桌的高度比標準高度高2毫米記作+2毫米，那么比標準高度低3毫米記作什么？現(xiàn)有5張課桌，量得它們的尺寸比標準尺寸長1毫米，﹣1毫米，0毫米，+3毫米，﹣1.5毫米，若規(guī)定課桌的高度最高不能高于標準高度2毫米，最低不能低于標準高度2毫米，才算合格，問上述5張課桌有幾張不合格？解析： 首先審清題意，明確“正”和“負”所表示的意義；再根據(jù)題意作答．解：（1）根據(jù)題意可得：比標準高度高為“+”，比標準高度低為“﹣”，所以比標準高度低3毫米記作：﹣3毫米；（2）根據(jù)題意得：合格的課桌的高度h范圍是﹣2≤h≤2．所以，不合格的課桌只有1張：+3毫米的．點撥：在同一個問題中，分別用正數(shù)和負數(shù)表示的量具有相反的意義，解決此類題目的關鍵是明確“一種意義”的量對應的是正數(shù)還是負數(shù)，這樣，我們就可以判斷“另一種意義”的量對應的是正數(shù)還是負數(shù)了。變式練習5.體育課上，對初三（1）的學生進行了仰臥起坐的測試，以能做24個為標準，超過次數(shù)用正數(shù)來表示，不足的次數(shù)用負數(shù)來表示，其中10名女學生成績如下：5﹣2﹣1301007﹣5﹣1（1）這10名女生的達標率為多少？（2）她們共做了多少個仰臥起坐？思維誤區(qū)診斷誤區(qū)一對正數(shù)、負數(shù)的概念理解不透徹，容易誤認為凡是帶負號的數(shù)就是負數(shù)，凡是帶正號的數(shù)都是正數(shù)例1：—4,0.5，—，，0，—a(a<0)中，負數(shù)的個數(shù)是（）。A.1B.2C.3D.4錯解：A或C或D正解：B（本題中的負數(shù)有—4，—，共2個。）錯因分析：判斷正數(shù)、負數(shù)時不要只根據(jù)符號來判斷，而應根據(jù)正數(shù)、負數(shù)的概念。本題造成錯解的原因是對概念理解不透徹，易誤認為帶負號的數(shù)一定是負數(shù)，從而認為—a(a<0)是一個負數(shù)。誤區(qū)二對相反意義的量的理解錯誤例2：下列各對量中，表示具有相反意義的量的是（）購進50斤蘋果與賣出—50斤蘋果高于海平面786m與低于海平面230m向東走—9m和向西走10m飛機上升100m與前進100m錯解：A或C或D正解：B錯因分析：購進50斤蘋果與賣出—50斤蘋果具有一樣的意義，表示相同的量，所以A錯；C與A同理，也是錯的；上升與前進不是相反的意義，所以D也錯。具有相反的意義的量，只要求意義相反，而不要求數(shù)量一定相等?！啊北旧砭褪且饬x相反的意思。誤區(qū)三寫相反意義的量時容易忽略了量的單位例3：（1）如果收入100元記作+100元，那么支出180元記作；（2）零上15度記作+15℃，那么零下20攝氏度記作；（3）如果電梯上升了兩層記作+2，那么—3表示電梯。錯解：（1）—180（2）—20（3）下降了三層。正解：（1）—180元（2）—20℃（3）下降了三層。錯因分析：在用正數(shù)、負數(shù)表示一對具有相反意義的量時，不要漏掉后面的單位。如（1）中若記作—180那就錯了，這是因為把一個量去掉后它后面的單位名稱，就是一個數(shù)，而不再是一個量了。誤區(qū)四不清楚“0”所具備的性質而導致錯誤對0的理解不深刻，只知道0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，不知道它還是非正數(shù)，非負數(shù)，非正整數(shù)、非負整數(shù)。例4：在數(shù)－2.4，，0,2007，－89,3.26中非負數(shù)的個數(shù)是（）A.3B.4C.5D.6錯解：A正解：B錯因分析：對非負數(shù)的概念理解不透徹，以為非負數(shù)就是正數(shù)，少算了0.綜合展示舞臺學霸筆記展示0的意義1．在小學，0表示“沒有”或者“空”，引入負數(shù)以后，0有了豐富的含義，例如在溫度計上，0C不是沒有溫度，而是表示冰點，它是一個確定的溫度。2．0可以表示數(shù)位，如20，0.04中的0都表示數(shù)位。3．在加減法中，一個數(shù)加，減0，得原數(shù)，等于不加不減。在乘除法中，0與任何數(shù)相乘，得到的積是0，0被任何非0數(shù)除，得到的商仍然是零。知識拓展：非負數(shù)指正數(shù)和0，非正數(shù)指負數(shù)和0；非負整數(shù)指正整數(shù)和0；非正整數(shù)指負整數(shù)和0。1．0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。2．0不再是我們認識中的“最小數(shù)”，而是變成了正數(shù)和負數(shù)的分界線。3．0是自然數(shù)，是偶數(shù)，是最小的自然數(shù)，0也是整數(shù)。能力拓展展示能力拓展一正數(shù)、負數(shù)和0的作用1.表示相反意義的量例1.蝸牛爬桿，第一天白天前進3米，晚上后退2米；第二天白天前進4米，晚上后退5米；第三天白天前進6米，晚上后退3米，請你將這個過程記錄在表中．第一天第二天第三天白天晚上白天晚上白天晚上______________________________________________________假如蝸牛每天前進4米，晚上后退2米，從12米深的井底沿井壁向上爬，想一想蝸牛幾天爬到井口？分析： 此題主要用正負數(shù)來表示具有意義相反的兩種量：蝸牛前進記為正，蝸牛后退就記為負，直接得出結論填表即可；蝸牛每天前進4米，記作+4米，晚上后退2米，記作﹣2米，4﹣2=2（米），每天前進了2米，從12米深的井底沿井壁向上爬，求蝸牛幾天爬到井口，因為最后的4米，蝸牛已經(jīng)爬到井口，不必再后退，所以用8除以2取得的天數(shù)加最后的1天，如下圖所示，即可得解．解：第一天第二天第三天白天晚上白天晚上白天晚上+3米﹣2米+4米﹣5米+6米﹣3米8÷（4﹣2）=4（天），4+1=5（天）；答：蝸牛5天爬到井口．答案：+3米，﹣2米，+4米，﹣5米，+6米，﹣3米．2.表示時間例2.根據(jù)北京時間與其他地方時間差填空．與北京時間比：悉尼時間早2小時，記為+2時；東京時間早小時，記為時；巴黎時間晚小時，記為時；倫敦時間晚小時，記為時．當北京時間為15：00時，悉尼時間為時．解析： 此題主要用正負數(shù)來表示具有意義相反的兩種量：選北京時間為標準，早的記為正，則晚的就記為負，直接得出結論即可．與北京時間比：悉尼時間早2小時，記為+2時；東京時間早1小時，記為+1時；巴黎時間晚7小時，記為﹣7時；倫敦時間晚8小時，記為﹣8時．當北京時間為15：00時，悉尼時間為17：00時；答案：1，+1，7，﹣7，8，﹣8，17：00．點撥： 此題主要考查正負數(shù)的意義，正數(shù)與負數(shù)表示意義相反的兩種量，看清規(guī)定哪一個為正，則和它意義相反的就為負．3.表示誤差例3.在一種零件的直徑在圖紙上是10±0.05（單位：㎜），表示這種零件的標準尺寸是_________㎜，加工要求最大不能超過_________㎜，最小不能超過_________㎜．解析： 根據(jù)題意先確定這種零件的標準尺寸是10mm，再根據(jù)這種零件的直徑在圖紙上是10±0.05（單位：㎜），從而判斷出加工要求最大不能超過10.05mm，最小不能超過10﹣0.05=9.95mm．∴本題應填10，10.05，9.95．點撥： 本題考查了正數(shù)和負數(shù)，解題的關鍵是先確定零件的標準尺寸，然后根據(jù)圖紙的要求去做即可．4．表示漲跌（盈虧）例4.下表記錄了某星期內股市的升跌情況，該股市星期一開盤時為4560點，請完成下表：時間升跌情況用正、負數(shù)表示星期一上升100點星期二下跌50點星期三上升40點星期四下跌30點星期五上升10點分析：上升和下跌是一對意義相反的量，上升用正數(shù)表示，則下跌用負數(shù)表示，表示中空白處用正、負數(shù)表示為：+100，—50，+40，—30，+10；股市每天收盤時的點數(shù)，上升則用開盤時的點數(shù)加上上升的點數(shù)，下跌則減去下跌的點數(shù)，所以股市星期五收盤時的點數(shù)為：4560+100—50+40—30+10=4630.解：表中分別填+100，—50，+40，—30，+10，星期五收盤時為4630點。點撥：在實際生活中常用正、負數(shù)表示相反意義的量。本題要理解“上升”與“下跌”的意義，以及每天收盤時“點數(shù)”之間的關系。5．表示測試成績例5.數(shù)學競賽成績80分以上為優(yōu)秀，以80分為基準，可簡記如下：85記作+5,74分記作-6。若某班八名學生參賽的成績簡記為：+10，+7，+3,0，-2，-3，-4，-6，則這八名學生的成績分別是多少？分析：這道題要求寫出八名學生的成績，由題意可知，當簡記的分數(shù)為正數(shù)時，表明成績比80分高；當簡記的分數(shù)為零時，表明成績成績剛好是80分；當簡記的分數(shù)為負數(shù)時，表明成績比80分低。所以只要用80分加上或減去正、負號后的相應數(shù)值，就可得到每個學生的成績。解：由題意知，這八名學生的成績依次是：90,87,83,80,78,77,76,74。6．表示生活中的距離例6.甲村旁有一條南北走向的柏油馬路，如果乙村在甲村南1km，丙村在甲村北2km，怎樣用正數(shù)、負數(shù)和0表示這三個村子的正確位置？解析：三個村子的位置如圖，為了用正數(shù)、負數(shù)和0表示這三個村子的正確位置，可模仿溫度計上表示氣溫的方法，先選一個村子作為起始點，再確定另兩個村子的位置。解：如果選甲村作為起始點，向南為正，向北為負，則甲村的位置為0km,乙村的位置為+1km，丙村的位置為—2km。如果選乙村作為起始點，向南為正，向北為負，則乙村的位置為0km,甲村的位置為—1km，丙村的位置為—3km。如果選丙村作為起始點，向南為正，向北為負，則丙村的位置為0km,甲村的位置為2km，丙村的位置為3km。點撥：答案不唯一，此類題一定要先確定起始點和正反方向，再表示各個建筑的位置。能力拓展二正數(shù)與負數(shù)中數(shù)字的變化規(guī)律探究例7.觀察下面的一列數(shù)：請你找出其中的規(guī)律，解答：（1）第9個數(shù)是多少？第14個數(shù)是多少？（2）第2010個數(shù)是多少？（3）如果這一組數(shù)據(jù)無限排列下去，與哪兩個數(shù)越來越接近？分析：（1）分母逐漸增加，分子第偶數(shù)個是負的，并且是偶數(shù)，第奇數(shù)個是1，并且為正，由此即可確定第9個數(shù)是和第14個數(shù)是多少；（2）利用（1）的規(guī)律即可求解；（3）根據(jù)變化的規(guī)律可以確定分別于0和﹣1越來越接近．解：（1）觀察下面的一列數(shù)：，∴第9個數(shù)是，第14個數(shù)是﹣；（2）第2010個數(shù)是﹣；（3）如果這一組數(shù)據(jù)無限排列下去，與0、﹣1越來越接近．點撥： 此題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，其中解題時通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應該具備的基本能力．中考真題展示1．如果溫度上升2℃記作℃，那么溫度下降3℃記作（

）A．℃ B．℃C．℃ D．℃【答案】D【解析】解：上升2℃記作℃，下降3℃記作℃；故選：D．【