2025年注冊電氣工程師考試電磁場與電磁波沖刺押題試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項選擇題（共10題，每題2分，共20分。下列選項中，只有一項符合題意）1.在靜電場中，高斯定律的表達式∮_SD·dS=Q_enc關(guān)系到（）。A.電場強度E與電位移D的關(guān)系B.電位移D與自由電荷Q_enc的關(guān)系C.電位V與電場強度E的關(guān)系D.電通量密度ρ_v與電位移D的關(guān)系2.一無限大均勻介質(zhì)（介電常數(shù)為ε,磁導(dǎo)率μ）中，點電荷Q位于原點，則距離原點r處的電場強度E的大小為（）。A.E=Q/(4πεr2)B.E=Q/(4πμr2)C.E=Q/(4πεr3)D.E=Q/(4πμr3)3.在理想導(dǎo)電邊界面上，電場的切向分量E_t的情況是（）。A.必定為零B.必定不為零C.可以為零，也可以不為零D.總是與邊界面平行4.根據(jù)安培環(huán)路定律∮_LH·dl=I_enc，在通過無限長直導(dǎo)線（通有恒定電流I）的任意圓形安培環(huán)路上，磁場強度H的線積分值等于（）。A.0B.IC.2πID.I/μ?5.時變電磁場中，位移電流項I_d的表達式為（）。A.ε??E/?tB.κ?ρ/?tC.jD.μ?B/?t6.麥克斯韋方程組的積分形式中，∮_S(?×E)·dS等于（）。A.Q_enc/ε?B.-dΦ_B/dtC.∮_LE·dlD.07.在自由空間中傳播的均勻平面電磁波，其電場強度E、磁場強度H和波的傳播方向k之間的關(guān)系是（）。A.E//H//kB.E⊥H⊥kC.E//k⊥HD.E⊥k//H8.電磁波在從一種介質(zhì)進入另一種介質(zhì)時，如果頻率不變，則其（）。A.波長和波速不變B.波長和波速都改變C.波長不變，波速改變D.波長改變，波速不變9.無損耗均勻傳輸線處于匹配狀態(tài)時，其輸入阻抗Z_in等于（）。A.驅(qū)動源內(nèi)阻B.傳輸線特性阻抗Z?C.短路阻抗D.開路阻抗10.電偶極子在遠場區(qū)（r>>λ，λ為波長）產(chǎn)生的電場強度E的方向（以偶極矩p的方向為參考）在以偶極子為中心的球面上（）。A.處處平行于pB.處處垂直于pC.處處與徑向r相同D.處處與p垂直且與r相交成45°角二、填空題（共5題，每空2分，共20分）1.真空中，電場強度E矢量的旋度?×E總是________。2.磁場強度H矢量沿一個閉合路徑的線積分∮_LH·dl等于該路徑所包圍的________的代數(shù)和。3.電磁波在介質(zhì)中的傳播速度v與光在真空中的速度c的關(guān)系是v=________。4.斯涅爾定律描述了光線從一種介質(zhì)入射到另一種介質(zhì)界面時，反射光線和折射光線與法線之間的夾角關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達式為sin(θ?)/sin(θ?)=________，其中θ?和θ?分別為入射角和折射角。5.在直角坐標(biāo)系中，梯度算子?的表達式為________。三、簡答題（共3題，每題6分，共18分）1.簡述電位移矢量D的物理意義及其與電場強度E和自由電荷密度ρ_f的關(guān)系。2.寫出積分形式的麥克斯韋方程組，并簡要說明每個方程的物理意義。3.簡述電磁波在兩種不同介質(zhì)分界面處發(fā)生反射和折射的基本原理。四、計算題（共4題，共42分）1.(8分)半徑為a的無限長實心圓柱導(dǎo)線，通有沿z軸方向的均勻恒定電流I。求導(dǎo)線內(nèi)部（r<a）及外部（r>a）距離軸線r處的磁感應(yīng)強度B。假設(shè)導(dǎo)體的電導(dǎo)率足夠大，可視為理想導(dǎo)體（內(nèi)部電流密度均勻）。2.(10分)真空中，一平面電磁波的電場表達式為E(x,t)=E?cos(kx-ωt)a?，其中E?、k、ω為常數(shù)，a?為垂直于x軸的單位矢量。求：（1）該電磁波的傳播方向；（2）磁場強度表達式H(x,t)；（3）該電磁波的平均坡印廷矢量S_avg。3.(12分)一平面電磁波從空氣（ε?,μ?）斜入射到理想介質(zhì)界面（ε_r=2,μ_r=1，空氣為介質(zhì)1，介質(zhì)為介質(zhì)2）。入射角θ?=30°，頻率f=1MHz。求：（1）電磁波在介質(zhì)2中的波長λ?；（2）反射系數(shù)|Γ|和折射系數(shù)|T|（電場分量）；（3）介質(zhì)2中的折射角θ?。4.(12分)一電偶極子，其電偶極矩p=p?cos(ωt)a_x，其中p?為常數(shù)，ω為角頻率。求在距離偶極子r處（r>>λ，λ為波長）且與偶極子同軸的軸線上，遠離偶極子一端的電場強度E和磁場強度H的瞬時表達式。---試卷答案一、單項選擇題1.B2.A3.A4.C5.A6.B7.C8.B9.B10.B二、填空題1.零2.傳導(dǎo)電流3.c/√(ε_rμ_r)4.n?/n?5.?=a_x?/?x+a_y?/?y+a_z?/?z三、簡答題1.解析思路：電位移矢量D是一個輔助矢量，它主要用來描述電場中自由電荷產(chǎn)生的電場分布，特別是在介質(zhì)中。D滿足高斯定律的積分形式∮_SD·dS=Q_enc，即通過任意閉合曲面的D通量等于該曲面所包圍的自由電荷總量。D與電場強度E和介質(zhì)的介電常數(shù)ε的關(guān)系為D=εE。對于真空，ε=ε?，所以D=ε?E。2.解析思路：積分形式的麥克斯韋方程組包括四個方程：*高斯電場定律：∮_SE·dS=Q_enc/ε?。描述電場線起始于正電荷，終止于負電荷，電通量與自由電荷成正比。*高斯磁場定律：∮_SB·dS=0。描述不存在磁單極子，磁力線總是閉合的，通過任意閉合曲面的磁通量恒為零。*法拉第電磁感應(yīng)定律：∮_LE·dl=-dΦ_B/dt。描述變化的磁場產(chǎn)生感生電場（渦旋電場），感生電動勢的大小等于穿過回路磁通量變化率的負值。*安培-麥克斯韋定律：∮_LH·dl=I_enc+dΦ_D/dt。描述傳導(dǎo)電流和變化的電場（位移電流）共同產(chǎn)生磁場，磁場強度沿閉合路徑的線積分等于穿過路徑的傳導(dǎo)電流和位移電流之和。3.解析思路：當(dāng)電磁波從一種介質(zhì)入射到另一種介質(zhì)界面時，由于兩種介質(zhì)有不同的電磁特性（如介電常數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ），導(dǎo)致電磁波的波速、波長發(fā)生變化。在界面處，根據(jù)邊界條件，電磁波的電場切向分量和磁場切向分量在兩種介質(zhì)中必須連續(xù)。這種邊界條件的變化會導(dǎo)致一部分電磁能量被反射回第一種介質(zhì)，另一部分能量透射（折射）進入第二種介質(zhì)。反射和折射的強度由反射系數(shù)和折射系數(shù)決定，這些系數(shù)依賴于入射角以及兩種介質(zhì)的電磁參數(shù)。四、計算題1.解析思路：利用安培環(huán)路定律∮_LH·dl=I_enc。選擇以導(dǎo)線軸線為圓心的圓形安培環(huán)路。*r<a：環(huán)路內(nèi)電流I_enc=(πr2/πa2)*I=Ir2/a2。根據(jù)安培環(huán)路定律，H*2πr=Ir2/a2。得H=Ir2/(2πra2)。因為B=μ?H，且導(dǎo)線內(nèi)部B=μ?μ_rH（假設(shè)導(dǎo)線磁導(dǎo)率為μ_r），所以B(r<a)=μ?μ_r*Ir2/(2πra2)。*r>a：環(huán)路內(nèi)電流I_enc=I。根據(jù)安培環(huán)路定律，H*2πr=I。得H=I/(2πr)。因為B=μ?H，且自由空間磁導(dǎo)率μ=μ?，所以B(r>a)=μ?*I/(2πr)。*注意：題目假設(shè)理想導(dǎo)體內(nèi)部B=0，則導(dǎo)線內(nèi)部磁導(dǎo)率μ_r應(yīng)該非常?。ㄚ吔?），但計算中使用了μ_r，實際應(yīng)為B(r<a)=0。此處按題目給定的μ_r進行計算。修正后，B(r<a)=0。B(r>a)=μ?I/(2πr)。2.解析思路：*(1)電場表達式E(x,t)=E?cos(kx-ωt)a?。相位項kx-ωt為常數(shù)表示波沿x軸正方向傳播。*(2)電磁波滿足方程?×H=jεE。由于E只與x,t有關(guān)，且沿x方向變化，?×H=(?H_z/?y-?H_y/?z)a_x+(?H_x/?z-?H_z/?x)a_y+(?H_y/?x-?H_x/?y)a_z?？紤]到H具有與E相同的形式H(x,t)=H?cos(kx-ωt)a_h，其中a_h與a_v垂直。設(shè)H?=H?a_h。則?H_z/?y-?H_y/?z=H?kcos(kx-ωt)，?H_x/?z-?H_z/?x=0，?H_y/?x-?H_x/?y=0。所以?×H=H?kcos(kx-ωt)a_x=jωεH?cos(kx-ωt)a_x。比較系數(shù)得H?k=jωεH?，即H?=-jωεH?/k。由于H?是實數(shù)，則k/ωε=1，即k=ω√(εμ)。因為ε=ε?,μ=μ?，所以k=ω√(ε?μ?)=ω/c。故H?=-jωε?/ω=-jε?/c。所以H(x,t)=-jε?/c*cos(kx-ωt)a_h。因為a_h⊥a_v，且k=ω/c，設(shè)a_h=a_y，則H(x,t)=-jε?/c*cos(kx-ωt)a_y=(ε?/c)*sin(kx-ωt)a_y。*(3)平均坡印廷矢量S_avg=(1/T)∫_0^TRe(E×H*)dt/T=Re(?E×H*)。H*=(ε?/c)*sin(kx+ωt)a_y。E×H*=E?cos(kx-ωt)a_v×[(ε?/c)sin(kx+ωt)a_y]=E?(ε?/c)[cos(kx-ωt)a_v]×[sin(kx+ωt)a_y]=E?(ε?/c)cos(kx-ωt)sin(kx+ωt)(a_v×a_y)=E?(ε?/c)cos(kx-ωt)sin(kx+ωt)a_z。Re(E×H*)=E?(ε?/c)cos(kx-ωt)sin(kx+ωt)a_z。利用sin(A)cos(B)=?[sin(A+B)+sin(A-B)]，得Re(E×H*)=?E?(ε?/c)[sin(2kx)+sin(-2ωt)]a_z=?E?(ε?/c)sin(2kx)cos(2ωt)a_z。S_avg=?E?(ε?/c)sin(2kx)a_z。因為E?,ε?,c,k為常數(shù)，所以S_avg=(?E?2ε?/c)sin(2kx)a_z。利用E?/c=B?，得S_avg=(?ε?B?2/μ?)sin(2kx)a_z。利用ε?/μ?=c2，得S_avg=(?ε?B?2c2/μ?)sin(2kx)a_z=(?ε?c2B?2/μ?)sin(2kx)a_z。又因為B?=E?/c，所以S_avg=(?ε?c2(E?/c)2/μ?)sin(2kx)a_z=(?ε?E?2c/μ?)sin(2kx)a_z。利用?ε?E?2c/μ?=S_avg_max，得S_avg=S_avg_maxsin(2kx)a_z?；蛘咧苯佑肧_avg=(ε?/c)E?2/2*cos2(kx-ωt)a_z。取平均值，因為cos2項在一個周期內(nèi)的平均值為?，所以S_avg=(?ε?E?2/c)a_z。3.解析思路：*(1)電磁波在介質(zhì)2中的波速v?=c/√(ε_rμ_r)=c/√2。波長λ?=v?T=(c/√2)(λ/c)=λ/√2。因為空氣中的波長λ=c/f=3×10?/1×10?=300m。所以λ?=300/√2=212.13m。*(2)電場反射系數(shù)|Γ|=(η?-η?)/(η?+η?)，電場折射系數(shù)|T|=2η?/(η?+η?)。其中特性阻抗η=√(μ/ε)。介質(zhì)1為空氣，η?=√(μ?/ε?)=377Ω。介質(zhì)2，ε_r=2,μ_r=1，η?=√(μ?/(2ε?))=η?/√2=377/√2=265.3Ω。所以|Γ|=(265.3-377)/(265.3+377)=-111.7/642.3=-0.1745。|Γ|=0.1745。|T|=2*265.3/(265.3+377)=530.6/642.3=0.8255。|T|=0.8255。*(3)根據(jù)斯涅爾定律sin(θ?)/sin(θ?)=n?/n?。電場分量的折射系數(shù)與折射率成反比，即sin(θ?)/sin(θ?)=η?/η?=√2。sin(θ?)=sin(30°)=0.5。sin(θ?)=sin(θ?)/√2=0.5/√2=1/√2=√2/2。θ?=45°。4.解析思路：*電偶極子產(chǎn)生的電場在軸線上距離r處，方向沿軸線方向（+x方向），大小為E=(1/4πε?)*(p?cos(ωt)/r3)。*電磁波是橫波，電場和磁場互相垂直，且都垂直于傳播方向。根據(jù)麥克斯韋方程?×H=jεE，電場變化產(chǎn)生磁場。取x軸為傳播方向，電場E沿x軸，則磁場H必定在y-z平面內(nèi)，且與E垂直。因為E隨時間cos(ωt)變化，且相位為ωt，磁場H應(yīng)該具有相位ωt+π/2（導(dǎo)數(shù)關(guān)系）。設(shè)H=H_ya_y+H_za_z。?×H=(?H_z/?y-?H_y/?z)a_x+(?H_x/?z-?H_z/?x)a_y+(?H_y/?x-?H_x/?z)a_z。因為H無x分量，且E只在x方向有分量，所以?H_z/?y-?H_y/?z=jωεE=jωε(p?cos(ωt)/r3)。?H_x/?z-?H_z/?x=0。?H_y/?x-?H_x/?z=0。對于軸對稱問題，H_y和H_z只與r和ωt有關(guān)，不隨y,z變化。設(shè)H_y=H_y(r,ωt),H_z=H_z(r,ωt)。則?H_z/?y=0,?H_y/?z=0。所以0-0=jωε(p?cos(ωt)/r3)，即0=jωε(p?cos(ωt)/r3)。此式無法滿足。說明必須考慮x方向的依賴性，或假設(shè)H_z。考慮更簡單的標(biāo)準結(jié)果：對于軸上電偶極子，磁場H方向垂直于軸線，在軸上任意點r處，H的大小為H=(1/4πε?μ?)*(p?ω/r2)*sin(ωt-kr)/(r*cos(θ))。對于軸線上θ=0或θ=π，cos(θ)=1。當(dāng)r>>λ，kr>>1，sin(ωt-kr)/ωt-kr≈(ωt-kr)/ωt-kr=1。所以H≈(1/4πε?μ?)*(p?ω/r2)*(ωt-kr)/r=(1/4πε?μ?)*(p?ω2/r3)*t-(1/4πε?μ?)*(p?ω/r2)*k。其中k=ω/c=ω/(c√(ε?μ?))。代入c=1/√(ε?μ?)，得k=ω*√(ε?μ?)/(1/√(ε?μ?))=ω。所以H≈(1/4πε?μ?)*(p?ω2/r3)*t-(1/4πε?μ?)*(p?ω/r2)*ω=(1/4πε?μ?)*(p?ω2/r3)*t-(1/4πε?μ?)*(p?ω3/r2)?？紤]到計算中的近似和簡化，以及題目要求的瞬時表達式，更標(biāo)準的瞬時表達式形式為H=(1/4πε?μ?)*(p?ω/r2)*sin(ωt-kr)/r。在軸線上，sin(θ)=0，但需要用更精