§2.7指數(shù)運算與對數(shù)運算課標要求1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).2.理解對數(shù)的概念及運算性質(zhì)，能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).3.掌握指數(shù)、對數(shù)運算在實際問題中的應(yīng)用.1.根式(1)一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子na叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)(3)(na)n=當(dāng)n為奇數(shù)時，nan=當(dāng)n為偶數(shù)時，nan=|a2.分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪：amn=(a>0，m，n∈N*，n正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪：a-mn==1nam(a>0，m，n∈0的正分數(shù)指數(shù)冪等于，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.

3.指數(shù)冪的運算性質(zhì)aras=；(ar)s=；(ab)r=(a>0，b>0，r，s∈R).

4.對數(shù)的概念一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù).

以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記作.

以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記作.

5.對數(shù)的性質(zhì)與運算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：loga1=，logaa=，alogaN=(a>0，且a≠1(2)對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)=；

②logaMN=；③logaMn=(n∈R).

(3)對數(shù)換底公式：logab=logcblogca(a>0，且a≠1；b>0；1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)4(-4)4=4.(2)若M=N，則logaM=logaN.()(3)2a·2b=2ab.()(4)lg2+lg5=1.()2.(多選)下列運算正確的有()A.lg2+lg3=lg5B.log3100=10log310C.=4loD.log34·log43=13.若a25=425(a>0且a≠1)，則loga25A.254 B.2 C.15 D4.2723+4log1.靈活應(yīng)用化簡指數(shù)冪常用的技巧(1)ba-p=ab(2)a=(a1m)m，anm=(a1m(3)1的代換，如1=a1a(a>0)，1=a-12a(4)乘法公式的常見變形，如(a12+b12)(a12b12)=(a12±b12)2=a±2a12b1(a13+b13)(a23?a13b13+2.謹防兩個失誤點(1)凡涉及對數(shù)，其真數(shù)與底數(shù)的取值范圍一定不能忽略.(2)在使用運算公式時，注意指數(shù)和對數(shù)中的和積之間的轉(zhuǎn)化.題型一指數(shù)運算例1(1)(多選)下列各式正確的是(式中字母均是正數(shù))()A.=a4B.=a4C.=(6D.=a-(2)(多選)下列運算正確的是(式中字母均是正數(shù))()A.0.2512+(5B.278-234990.5+(0.008)C.(23a2·b)(6a·3b)÷(36D.若x12+x-12=思維升華(1)指數(shù)冪的運算首先將根式、分數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為整數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加.②運算的先后順序.(2)運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).跟蹤訓(xùn)練1計算下列各式(式中字母均是正數(shù))：(1)14-1(2)0.125-1398題型二對數(shù)運算例2(1)(多選)下列運算中正確的是()A.=loglog3B.=827C.x=lnexD.12(2)(多選)(2025·焦作模擬)下列等式成立的是()A.=lg2+lg5-lg8lg50-lg40B.=lg4+lg5-12lg0.5+lg8C.lg142lg73+lg7D.(lg2)2+lg2·lg5+lg5=2思維升華解決對數(shù)運算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進行化簡.(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并.(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)設(shè)a，b，c均為不等于1的正實數(shù)，則下列等式中不成立的是()A.logab·logca=logcbB.logab·logcb=logcaC.loga(b+c)=logab=logacD.loga(bc)=logab·logac(2)(2025·八省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ax(a>0，a≠1)，若f(ln2)f(ln4)=8，則a=.

題型三指對運算的應(yīng)用例3(1)(2024·重慶模擬)在經(jīng)濟學(xué)中，常用Logistic回歸模型來分析還款信度評價問題.某銀行統(tǒng)計得到如下Logistic模型：P(x)=e-0.97+0.127x1+e-0.97+0.127x，其中x是客戶年收入(單位：萬元)，P(x)是按時還款概率的預(yù)測值，如果某人年收入是10萬元，那么他按時還款概率的預(yù)測值大約為(參考數(shù)據(jù)：ln1A.0.35 B.0.46 C.0.57 D.0.68(2)(2024·貴陽模擬)電動汽車逐漸成為當(dāng)今世界的乘用車的發(fā)展方向.1898年P(guān)eukert提出鉛酸電池的容量C(單位：Ah)、放電時間t(單位：h)和放電電流I(單位：A)之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：C=Iλt，其中λ為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)(稱為Peukert常數(shù))，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流為7.5A時，放電時間為60h；當(dāng)放電電流為25A時，放電時間為15h，則該蓄電池的Peukert常數(shù)λ約為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477)()A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15思維升華利用指數(shù)、對數(shù)運算解決實際問題時認清所給函數(shù)模型、變量、參數(shù)，利用待定系數(shù)法確定參數(shù)的值，然后解決問題.跟蹤訓(xùn)練3(1)蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化其中的大數(shù)之間的計算而發(fā)明了對數(shù).利用對數(shù)運算可以求大數(shù)的位數(shù).已知lg5≈0.699，則231是()A.9位數(shù) B.10位數(shù)C.11位數(shù) D.12位數(shù)(2)(2024·恩施模擬)區(qū)塊鏈作為一種革新技術(shù)，已經(jīng)應(yīng)用于許多領(lǐng)域，在區(qū)塊鏈技術(shù)中，若密碼的長度設(shè)定為256比特，則密碼一共有2256種可能，因此為了破解密碼，最壞情況需要進行2256次運算.現(xiàn)在有一臺機器，每秒能進行2.5×1011次運算，假設(shè)機器一直正常運轉(zhuǎn)，那么在最壞情況下這臺機器破譯密碼所需的時間大約為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，100.658≈4.5)()A.4.5×1065秒 B.4.5×1083秒C.4.5×1017秒 D.4.5×107秒答案精析落實主干知識1.(3)aa2.nam13.ar+sarsarbr4.logaNaNlgNlnN5.(1)01N(2)①logaM+logaN②logaMlogaN③nlogaM自主診斷1.(1)×(2)×(3)×(4)√2.CD3.C4.11探究核心題型例1(1)ABC[對于A，a46=a23=對于B，4a4=|a|=a，故對于C，(62)2=62×對于D，a-23=1a23=(2)BD[對于A，0.2512+(5π)021=0對于B，278-234990.5+(0.008)-23×125+(π1)0=32-273+15-2對于C，原式=(2a23b12)(6a12b13)÷(3a16b56)=[2×(6)÷對于D，當(dāng)x12+x-12=6時，(x12+x-12)2=x+2+x1=6，得x+x1=4，由(x+x-1)2=x2+2+跟蹤訓(xùn)練1解(1)14-=412·(4ab-1)(2)0.125-139=123-1=2+1+8×9=75.例2(1)BCD[對于A，log37log3對于B，827-13=32對于C，x=lnex，故C正確；對于D，12-log26+ln(lne)=2log2(2)AC[lg2+lg5-lg8lg50-lg40=lg108lglg4+lg5-12lg0.5+lg8==1+lg2-1lg2=1，Blg142lg73+lg7lg18=(lg7+lg2)(2lg72lg3)+lg7(2lg3+lg2)=0，C(lg2)2+lg2·lg5+lg5=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2+lg5=1，D不成立.]跟蹤訓(xùn)練2(1)BCD[對于A，logab·logca=lgblga·lgalgc=lg對于B，logab·logcb=lgblga·lgblgc，而logc對于C，若loga(b+c)=logab=logac，則b+c=b=c，故b=c=0，顯然不符合要求，故C錯誤；對于D，loga(bc)=logab+logac，故D錯誤.](2)e解析f(ln2)f(ln4)=aln2aln4=aln2+ln4=a3ln2=aln∴aln2=2,∴a=e.例3(1)C[由題意得ln1.35≈0.3，所以e0.3≈1.35，所以P(10)=e-0.97+1.271+e-0.97+1.27=e0.31+e(2)D[由題意知C=7.5λ×60=25λ×15，所以257.5λ=103λ兩邊取以10為底的對數(shù)，得λlg103=2lg2所以λ=2lg21-lg3≈2×0.3011-0.477≈