大一高數(shù)競賽考試卷子及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)答案：C2.當(dāng)\(x\to0\)時，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價無窮小答案：A3.設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)等于（）A.\(f'(x_0)\)B.\(f'(h)\)C.\(f(x_0)\)D.\(f(h)\)答案：A4.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,-1)\)B.\((-1,1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)答案：D5.曲線\(y=\frac{1}{x}\)在點\((1,1)\)處的切線方程為（）A.\(y=x\)B.\(y=-x+2\)C.\(y=x+2\)D.\(y=-x\)答案：B6.\(\intx^2dx\)等于（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(2x+C\)答案：A7.設(shè)\(f(x)\)的一個原函數(shù)為\(x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^3\)C.\(\frac{1}{2}x^2\)D.\(x\)答案：A8.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}\)=（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(e\)D.\(\infty\)答案：C9.函數(shù)\(y=\sinx\)在區(qū)間\([0,\pi]\)上的最大值是（）A.\(-1\)B.\(0\)C.\(1\)D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)答案：C10.已知\(f(x)\)為奇函數(shù)，且\(\int_{-a}^{a}f(x)dx\)存在，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx\)=（）A.\(2\int_{0}^{a}f(x)dx\)B.\(0\)C.\(\int_{0}^{a}f(x)dx\)D.\(-2\int_{0}^{a}f(x)dx\)答案：B二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=|x|\)答案：ABD2.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}x\)答案：AB3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)的充分必要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)答案：ABC4.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.\(y=x\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=\sqrt{x}\)D.\(y=\lnx\)答案：ABCD5.下列積分中，值為\(0\)的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)B.\(\int_{-1}^{1}\sinxdx\)C.\(\int_{-1}^{1}x^2dx\)D.\(\int_{-1}^{1}e^xdx\)答案：AB6.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則（）A.\(\int_{a}^f(x)dx\)存在B.\(\int_{a}^f(x)dx\)是一個常數(shù)C.\(\int_{a}^f(x)dx\)的幾何意義是曲邊梯形面積D.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)答案：ABD7.下列函數(shù)中，是初等函數(shù)的有（）A.\(y=\sinx+e^x\)B.\(y=\sqrt{x^2+1}\)C.\(y=\begin{cases}x+1,x\geq0\\x-1,x<0\end{cases}\)D.\(y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})\)答案：ABD8.函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的駐點有（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=2\)D.\(x=3\)答案：AC9.下列說法正確的有（）A.可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù)B.連續(xù)函數(shù)一定可導(dǎo)C.可微函數(shù)一定可導(dǎo)D.可導(dǎo)函數(shù)一定可微答案：ACD10.設(shè)\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個原函數(shù)，則（）A.\((F(x))'=f(x)\)B.\(\intf(x)dx=F(x)+C\)C.\(F(x)\)是唯一的D.\(F(x)\)與\(f(x)\)相差一個常數(shù)答案：AB三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{-x^2-1}\)是一個實數(shù)函數(shù)。（×）2.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定有定義。（×）3.函數(shù)\(y=|x|\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)。（√）4.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)遞增，則\(f'(x)>0\)在\([a,b]\)上恒成立。（×）5.不定積分\(\intf(x)dx\)的結(jié)果是唯一的。（×）6.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)與積分變量的符號無關(guān)。（√）7.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在\(x=1\)處間斷，且是可去間斷點。（×）8.若\(f(x)\)是周期為\(T\)的函數(shù)，則\(\int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx\)。（√）9.函數(shù)\(y=x^2\)在\((-\infty,0)\)上是凸函數(shù)。（√）10.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定可微。（√）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)答案：根據(jù)重要極限\(\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1\)，令\(u=3x\)，當(dāng)\(x\to0\)時，\(u\to0\)，則\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}=3\)。2.求函數(shù)\(y=x^4-2x^2+5\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)'=nx^{n-1}\)，\(y'=(x^4-2x^2+5)'=4x^3-4x\)。3.計算定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)答案：由定積分基本公式\(\int_{a}^x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}\big|_{a}^\)，可得\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}x^3\big|_{0}^{1}=\frac{1}{3}(1^3-0^3)=\frac{1}{3}\)。4.簡述函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。答案：可導(dǎo)一定連續(xù)，即若\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)，則在該點一定連續(xù)；但連續(xù)不一定可導(dǎo)，比如\(y=|x|\)在\(x=0\)處連續(xù)卻不可導(dǎo)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的單調(diào)性與間斷點類型。答案：對\(y=\frac{1}{x-1}\)求導(dǎo)得\(y'=-\frac{1}{(x-1)^2}<0\)，在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)單調(diào)遞減。\(x=1\)時函數(shù)無定義，\(\lim\limits_{x\to1^+}y=+\infty\)，\(\lim\limits_{x\to1^-}y=-\infty\)，是無窮間斷點。2.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：不定積分是求原函數(shù)的全體，定積分是原函數(shù)在區(qū)間端點函數(shù)值的差，牛頓-萊布尼茨公式建立了兩者聯(lián)系。區(qū)別：不定積分結(jié)果是函數(shù)族，定積分結(jié)果是常數(shù)，定積分有積分上下限，不定積分無。3.討論函數(shù)極限存在的判定方法。答案：可以通過定義，即左右極限都存在且相等則函數(shù)極限存在；利用極限運