專(zhuān)題22.9一元二次方程根的判別式（基礎(chǔ)檢測(cè)）一、單選題1．關(guān)于方程2x2﹣3x+1＝0的根的情況，下列說(shuō)法正確的是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判斷【答案】A【分析】先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷根的情況．【詳解】解：∵方程中的，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，用判別式來(lái)判斷，若，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；，則有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；，則無(wú)實(shí)數(shù)根．2．下列關(guān)于的一元二次方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的方程是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)根的判別式Δ=b2-4ac的值的符號(hào)，可以判定方程實(shí)數(shù)根的情況，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．【詳解】解：A、△=b2-4ac=02-4×1×9=-36＜0，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、△=b2-4ac=22-4×1×2=-4＜0，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、△=b2-4ac=62-4×1×9=0，此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、△=b2-4ac=52-4×1×（-1）=29＞0，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式的知識(shí)．注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．3．下列方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）A．x2﹣1＝0 B．x2+4x＝4 C．x2+1＝2x D．x2﹣3x＝0【答案】C【分析】根據(jù)根的判別式與根的關(guān)系逐項(xiàng)排查即可【詳解】解：A、Δ＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；B、Δ＝42﹣4×1×（-4）＝32＞0，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；C、方程整理得，x2﹣2x+1＝0，Δ＝22﹣4×1×1＝0，此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，符合題意；D、Δ＝（﹣3）2﹣4×1×0＝9＞0，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系，即△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；4．一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根相等，則的值為（）．A．或 B． C． D．【答案】B【分析】方程有兩相等的實(shí)數(shù)根，則△=b2-4ac=0，來(lái)確定a值．【詳解】解：∵方程有兩相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：a=2，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．5．下列一元二次方程中,沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式逐個(gè)求解即可．【詳解】A?,沒(méi)有實(shí)數(shù)根,故A正確;B?,有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,故B不正確;C?,有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故C不正確;D?,有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故D不正確．故選:A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式,解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程根的判別式判斷一元二次方程根的情況．6．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】利用一元二次方程的定義及根的判別式列不等式a≠0且，從而求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：a≠0且，即，解得：且，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．二、填空題7．關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是__．【答案】m≤2且m≠1【分析】利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到二次項(xiàng)系數(shù)不等于零且判別式大于等于零，然后求出兩不等式的公共部分即可．【詳解】解：∵要保證方程為二次方程故m-1≠0得m≠1，又∵方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得m≤2，故答案為：m≤2且m≠1．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．8．已知關(guān)于x的一元二次方程a?x2+4x﹣2＝0有實(shí)數(shù)根，則a的最小值是_____．【答案】-2【分析】由關(guān)于x的一元二次方程ax2+4x-2＝0有實(shí)數(shù)根，則a≠0，且△≥0，解不等式得到a的取值范圍，最后確定a的最小值．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+4x-2＝0有實(shí)數(shù)根，∴a≠0，且△≥0，即△＝42﹣4a×（-2）＝16+8a≥0，解得a≥-2，∴a的a的最小值是-2，故答案為：-2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△＝b2?4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義和不等式的特殊解．9．若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是____________．【答案】【分析】根據(jù)判別式大于等于0即可求解．【詳解】解：一元二次方程有實(shí)數(shù)根∴，解得故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值可以是____．（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】0（答案不唯一）【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式求出的取值范圍，由此即可得出答案．【詳解】解：由題意得：此一元二次方程根的判別式，解得，則的值可以是0，故答案為：0（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．11．一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的根的判別式的值為_(kāi)__．【答案】8．【分析】把a(bǔ)=2，b=-4，c=1直接代入△=-4ac計(jì)算即可．【詳解】解：∵a=2，b=-4，c=1，

∴△=-4ac=×2×1=8．

故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，掌握判別式是解題的關(guān)鍵．12．已知命題“對(duì)于正整數(shù)a，關(guān)于x的一元二次方程ax2-4x+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根”，能說(shuō)明這個(gè)命題是假命題的一個(gè)反例是a=___________．【答案】a=1,(答案不唯一，可以是1，2，3，4中的一個(gè))【分析】把a(bǔ)=1代入方程，根據(jù)一元二次方程根的判別式計(jì)算，判斷即可．【詳解】解：取a=1時(shí)，方程為x2-4x+1=0，△=(-4)2-4×1×1=16-4=12>0，則一元二次方程ax2+4x-2=0有實(shí)數(shù)根，故答案為：a=1（答案不唯一，可以是1，2，3，4中的一個(gè)）．【點(diǎn)睛】本題考查的是命題和定理，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．13．若關(guān)于x的方程x2+2x﹣m＝0（m是常數(shù)）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則反比例函數(shù)y＝經(jīng)過(guò)第_____象限．【答案】二，四【分析】關(guān)于x的方程有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則△＝0可求出m的值，根據(jù)m的符號(hào)即可判斷反比例函數(shù)y＝經(jīng)過(guò)的象限．【詳解】解：∵方程x2+2x﹣m＝0（m是常數(shù)）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＝0，∴m＝﹣1；∴反比例函數(shù)y＝經(jīng)過(guò)第二，四象限，故答案為：二，四．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及反比例函數(shù)的圖象，利用根的判別式求出m的值是解此題的關(guān)鍵14．在△ABC中，BC=2，AC=2，AB=b，且關(guān)于x的方程x2-4x+b=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則∠A的度數(shù)是_________．【答案】30o【分析】由根的判別式求出AB=b=4，由勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形，再由含30o直角三角形性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣4x+b=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=16﹣4b=0，∴AB=b=4，∵BC=2，AC=2，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，AB是斜邊，∵AB=4，BC=2；∴∠A=30o故答案為：∠A=30o【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，勾股定理的逆定理，含30o直角三角形性質(zhì)；證明△ABC是直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．三、解答題15．k取什么值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程x2-kx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？求此時(shí)方程的根．【答案】時(shí)，；時(shí)，【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得到△＝b2?4ac＝0，求出k的值，再求出方程的兩個(gè)根即可．【詳解】解∵關(guān)于x的一元二次方程x2-kx+4=0的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根∴b2-4ac=0，∴(-k)2-4×4=0∴k2=16，∴k=±4，當(dāng)k=4時(shí)，方程為x2-4x+4=0，解得x1=x2=2，當(dāng)k=-4時(shí)，方程為x2+4x+4=0，解得x1=x2=-2，∴當(dāng)k=±4，關(guān)于x的一元二次方程x2-kx+4=0的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)k=4時(shí)，方程兩根為x1=x2=2，當(dāng)k=-4時(shí)，方程兩根為x1=x2=-2．【點(diǎn)睛】本題考查的是根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式的三種情況是解答此類(lèi)題型的關(guān)鍵．16．已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）任意寫(xiě)出一個(gè)k值代入方程，并求出此時(shí)方程的解．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）先求出△的值，再根據(jù)△的意義即可得到結(jié)論；

（2）任意取一個(gè)k值代入，然后根據(jù)一元二次方程的解法解答即可.【詳解】解：（1）∵，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（2）當(dāng)∴解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，正確理解公式是解答本題的關(guān)鍵.17．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）請(qǐng)選擇一個(gè)符合條件的整數(shù)k，并求方程的根．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的判別式判斷即可．（2）選擇一個(gè)符合條件的整數(shù)k，求解一元二次方程即可．【詳解】（1），∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴解得：．（2）當(dāng)k=0時(shí)，原方程為，，或，解得：．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的判別式和解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的判別式和解法．18．在中，，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，且關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷的形狀并說(shuō)明理由．【答案】是直角三角形，理由見(jiàn)解析【分析】先化簡(jiǎn)方程，再利用△可得△ABC是直角三角形．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程a（x2-1）-2bx+c（x2+1）=0，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，化簡(jiǎn)方程得（a+c）x2-2bx+c-a=0

∴△=4b2-4（a+c）（c-a）=4（b2-c2+a2）=0，可得a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是熟記一元二次方程根與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．19．已知是△ABC的三邊長(zhǎng)，關(guān)于的一元二次方程x2+x+2c-a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，關(guān)于的方程的根為．（1）試判斷△ABC的形狀；（2）若是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值．【答案】（1）等邊三角形；（2）-12【分析】（1）因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根即△=0，由△=0可以得到一個(gè)關(guān)于a，b的方程，再結(jié)合方程3cx+2b=2a的根為x=0，代入即可得到一關(guān)于a，b的方程，聯(lián)立即可得到關(guān)于a，b的方程組，可求出a，b的關(guān)系式；

（2）根據(jù)（1）求出的a=b，得到方程x2+mx-3m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，從而得到關(guān)于m的方程，解方程即可求出m．【詳解】解:(1)∵關(guān)于x的一元二次方程x2+x+2c-a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=-4×1×(2c-a)=0,∴a+b=2c.又∵關(guān)于x的方程3cx+2b=2a的根為x=0,∴a=b,∴a=b=c,即△ABC是等邊三角形.(2)∵a,b是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx-3m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,又由（1）知a=b,∴方程x2+mx-3m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=m2+4×3m=0,解得m=0或m=-12.當(dāng)m=0時(shí),方程x2+mx-3m=0可化為x2=0,解得x1=x2=0.又由a,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng),得a>0,b>0,c>0,故m=0不符合題意：當(dāng)m=-12時(shí),方程x2+mx-3m=0可化為x2-12x+36=0,解得x1=x2=6,可知m=-12符合題意.故m的值為-12.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的判別式與方程的解得定義，是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題．20．已知方程：x﹣2x﹣8=0，解決一下問(wèn)題：（1）不解方程判斷此方程的根的情況；（2）請(qǐng)按要求分別解這個(gè)方程：①配方法；②因式分解法．（3）這些方法都是將解轉(zhuǎn)化為解；（4）嘗試解方程：．