2/30專題1.4基本不等式及其應(yīng)用（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1基本不等式及其應(yīng)用】 3【題型2直接法求最值】 3【題型3配湊法求最值】 4【題型4常數(shù)代換法求最值】 4【題型5消元法求最值】 4【題型6齊次化求最值】 5【題型7多次使用基本不等式求最值】 5【題型8基本不等式的恒成立、有解問題】 6【題型9利用基本不等式解決實際問題】 6【題型10基本不等式與其他知識交匯】 71、基本不等式及其應(yīng)用考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解基本不等式的推導(dǎo)過程

(2)會用基本不等式解決最值問題

(3)理解基本不等式在實際問題中的應(yīng)用2022年I卷：第12題，5分2023年新高考I卷：第22題，12分2025年北京卷：第6題，4分2025年上海卷：第8題，5分基本不等式及其應(yīng)用是每年高考的重點、熱點內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，對基本不等式的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，應(yīng)適當(dāng)關(guān)注利用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題；同時要注意基本不等式在立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容中的運用.知識點基本不等式1.兩個不等式不等式內(nèi)容等號成立條件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時取“=”基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0,b>0)當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時取“=”eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．2．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．3．常見的求最值模型(1)模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(2)模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(3)模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(4)模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.4．利用基本不等式求最值的幾種方法(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值．(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值.(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.【題型1基本不等式及其應(yīng)用】【例1】（2025·北京·高考真題）已知a>0,b>0，則（

）A．a(chǎn)2+bC．a(chǎn)+b>ab D．【變式1-1】（2025·陜西寶雞·二模）設(shè)a，b∈R，則“a+b≥2”是“a2+A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2025·全國·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，則下列不等式不正確的是（

）A．a(chǎn)b≤14 C．1a+1【變式1-3】（2025·遼寧·二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形△ABC中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)AD=a，BD=b，用該圖形能證明的不等式為（

）．A．a(chǎn)+b2≥abC．a(chǎn)+b2≤a【題型2直接法求最值】【例2】（24-25高一上·重慶·期末）函數(shù)y=3x+1xx>0A．4 B．5 C．32 D．【變式2-1】（24-25高一上·廣東河源·階段練習(xí)）已知a>0，則a+1a的最小值是（A．?1 B．1 C．2 D．3【變式2-2】（24-25高二上·云南昭通·階段練習(xí)）若x>0，則y=(1?x)8?2xA．?2 B．0 C．1 D．2【變式2-3】（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零實數(shù)，則y2x2A．6 B．12 C．2 D．4【題型3配湊法求最值】【例3】（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）若a>1，則4a+1a?1的最小值為（A．4 B．6 C．8 D．無最小值【變式3-1】（2025·遼寧·模擬預(yù)測）已知x∈0,+∞，則y=x+1A．2 B．2 C．22 D．【變式3-2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)y=x3?2x的最大值為（

A．3 B．94 C．92 【變式3-3】（2025·河北石家莊·一模）已知x∈0,4，則fx=A．493 B．172 C．193【題型4常數(shù)代換法求最值】【例4】（2025·河南·三模）若a>0，b>0，且a+b=1，則?1a?A．?9 B．?7 C．?5 D．?3【變式4-1】（2025·山東·模擬預(yù)測）設(shè)正實數(shù)a,b滿足a+2b=1，則(a+1)2+bA．372 B．17 C．8+45【變式4-2】（2024·江蘇宿遷·一模）若a>0,b>0,a+2b=3，則3a+6A．9 B．18 C．24 D．27【變式4-3】（2025·福建泉州·二模）若x≥0，y≥0，且1x+1+12x+4y=1A．2 B．3 C．4 D．8【題型5消元法求最值】【例5】（2025·陜西寶雞·二模）已知正數(shù)x,y滿足x+1y=1，則1A．2+22 B．6 C．42 【變式5-1】（2024·山西·三模）已知正實數(shù)x，y滿足x2+3xy?2=0，則2x+y的最小值為（A．2103 B．103 C．2【變式5-2】（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)m，n滿足mn=2，則1m+2A．22 B．3 C．32 【變式5-3】（2025·河南·模擬預(yù)測）設(shè)正實數(shù)a，b，c滿足2c2?bc+2b2?1A．4 B．92 C．5 D．【題型6齊次化求最值】【例6】（24-25高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知正數(shù)x,y滿足x+2y=1，則x2+yxyA．122 B．22 C．1【變式6-1】（2024·江西新余·二模）已知x，y為正實數(shù)，且x+y=2，則x+6y+6xy的最小值為（

A．12 B．3+22 C．252 【變式6-2】（24-25高一上·安徽蕪湖·期末）已知x≥32，則2xA．7+63 B．C．7+43 D．【變式6-3】（24-25高三上·山西·期末）已知正實數(shù)x，y滿足x+2y=3，則x2+3yxyA．22+1 B．4 C．4【題型7多次使用基本不等式求最值】【例7】（2025·天津紅橋·一模）已知a>0,b>0，則1a+aA．42 B．22 C．4【變式7-1】（2025·河南·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)a，b，滿足a+b≥92a+2bA．5 B．52 C．52 【變式7-2】（2025·全國·模擬預(yù)測）已知a為非零實數(shù)，b，c均為正實數(shù)，則a2b+aA．12 B．24 C．22【變式7-3】（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知x>?1，y>0，z>0，2x+3y+z=2，則1x+1+1A．72+6 B．7+62 【題型8基本不等式的恒成立、有解問題】【例8】（2025·吉林延邊·一模）已知正實數(shù)x，y滿足x+y?12xy=0，且不等式x+y?a>0恒成立，則aA．a(chǎn)<2 B．a(chǎn)<8 C．a(chǎn)<6 D．a(chǎn)<4【變式8-1】（2024·浙江寧波·一模）不等式x2?ax?1x?b≥0對任意x>0恒成立，則A．22?2 B．2 C．22【變式8-2】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知x>0,y>0，且x+y=5，若4x+1+1y+2≥2m+1A．?∞,116 B．?∞,【變式8-3】（24-25高三上·浙江寧波·期末）設(shè)實數(shù)x,y滿足x>32，y>3，不等式k2x?3y?3≤8A．12 B．24 C．23 D．【題型9利用基本不等式解決實際問題】【例9】（2025·江西·模擬預(yù)測）在生物界中，部分昆蟲會通過向后跳躍的方式來躲避偷襲的天敵.已知某類昆蟲在水平方向上速度為v（單位：米/秒）時的跳躍高度H（單位：米）滿足v2=4HA．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米【變式9-1】（2025·廣西·一模）現(xiàn)使用一架兩臂不等長的天平稱中藥，操作方法如下：先將100g的砝碼放在天平左盤中，取出一些中藥放在天平右盤中，使得天平平衡；再將100g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些中藥放在天平左盤中，使得天平平衡.則兩次實際稱得的藥品總重量（

）A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能【變式9-2】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設(shè)第一周和第二周的該商品的單價分別為m元和n元(m≠n)，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買100元的該商品，乙每周購買20件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為a1,aA．a(chǎn)1=a2 B．a(chǎn)1<a【變式9-3】（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測）如圖所示的“大方圖”稱為趙爽弦圖，它是由中國數(shù)學(xué)家趙爽于公元3世紀(jì)在給《周髀算經(jīng)》“勾股網(wǎng)方圖”作注時給出的一種幾何平面圖，記載于趙爽“負(fù)薪余日，聊觀《周》”一書之中.他用數(shù)學(xué)符號語言將其表示為“若直角三角形兩直角邊為a，b斜邊為c（a、b、c均為正數(shù)）.則a+b2=4ab+b?a2，a+b2=2cA．9 B．18 C．27 D．36【題型10基本不等式與其他知識交匯】【例10】（24-25高二上·上海松江·期中）陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個圓柱和一個圓錐組合而成（如圖）.已知一木制陀螺模型內(nèi)接于一表面積為16πcm2的球，其中圓柱的兩個底面為球的兩個截面，圓錐的頂點

(1)若圓柱的高為2?cm(2)規(guī)定陀螺圓錐的頂點S到圓柱中離它遠(yuǎn)的底面DC距離為陀螺的高，要使陀螺的圓柱的側(cè)面積最大.此時陀螺的高是多少呢？【變式10-1】（2024·廣東珠?！ひ荒＃┮阎狝、B、C是ΔABC的內(nèi)角，a、b、c分別是其對邊長，向量m=a+b,c，n=（1）求角A的大??；（2）若a=2，求ΔABC面積的最大值.【變式10-2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）F1?,(1)若Р是該橢圓上的一個動點，求PF(2)設(shè)A2,0,B0,1是它的兩個頂點，直線y=kx(k≥0)與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F【變式10-3】（24-25高一下·江蘇無錫·階段練習(xí)）在△ABC中，a=ccos(1)若a+b=8，△ABC的面積為33，求c(2)若c=4，①求a+b+csin②求△ABC面積的最大值；③求△ABC周長的取值范圍.一、單選題1．（2025·安徽·三模）“xy≥1”是“x24A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2025·新疆省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）已知x∈(0,+∞)，則y=2x+4A．3 B．4 C．32 3．（2025·河南信陽·模擬預(yù)測）已知a+b=1ab>0，則1a+A．1 B．2 C．4 D．94．（2025·重慶·三模）已知x2+y2=2A．6 B．-6 C．8 D．-85．（2025·廣東揭陽·三模）“物競天擇，適者生存”是大自然環(huán)境下選擇的結(jié)果，森林中某些昆蟲會通過向后跳躍的方式來躲避偷襲的天敵.經(jīng)某生物小組研究表明某類昆蟲在水平速度為v（單位：分米/秒）時的跳躍高度H（單位：米）近似滿足v2=4HA．0.2米 B．0.25米 C．0.45米 D．0.7米6．（2025·山東濟寧·模擬預(yù)測）已知x>0，y>0，且xy+2y2?36=0，則xA．12 B．66 C．36 D．7．（2025·廣東汕頭·模擬預(yù)測）已知a>0，b>0，a+1b=1，則1A．1 B．2 C．4 D．88．（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）記max{a,b}表示實數(shù)a，b中的較大的數(shù)，已知x，y，z均為正數(shù)，則max{x,1y}+A．22 B．3 C．42二、多選題9．（2025·湖北恩施·模擬預(yù)測）若正實數(shù)a,b滿足2a+b=1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．2ab的最大值為14 B．a(chǎn)2C．2a+b的最大值為2 D．210．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y滿足x+2y=1，則（

）A．xy≤18 C．1x+111．（2025·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測）已知a,b為正實數(shù)，ab+a+2b=14，則下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)+b<21 B．a(chǎn)?6b+1C．a(chǎn)+4b的最小值為12 D．1a+2+三、填空題12．（2025·上海·高考真題）設(shè)a,b>0,a+1b=1，則b+1a13．（2025·山西呂梁·一模）正數(shù)x,y滿足x+y=xy，則x+9y的最小值是.14．（2025·四川眉山·模擬預(yù)測）已知a,b∈R+，4a+b=1，則a+bab的最小值是四、解答題15．（24-25高一下·廣西·開學(xué)考試）（1）已知x,y是正實數(shù)，且x+y=4，求1x（2）函數(shù)y=x16．（2025高三·全國·專題練習(xí)）若正數(shù)x,y滿足：x+y+8=xy，(1)求xy的取值范圍；(2)求x+y的取值范圍．17．（25-26高一上·全國·課