2/30專題2.5對數與對數函數（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1指數式與對數式的互化】 2【題型2對數的運算】 2【題型3指數、對數函數模型的應用】 3【題型4對數函數圖象的識別及應用】 4【題型5比較對數式的大小】 5【題型6解對數不等式】 6【題型7對數（型）函數的單調性問題】 6【題型8對數（型）函數的綜合問題】 61、對數與對數函數考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)理解對數的概念及運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數

(2)通過實例，了解對數函數的概念，會畫對數函數的圖象，理解對數函數的單調性與特殊點(3)了解指數函數y=ax（a>0且a≠1）與對數函數y=logax（a>0且a≠1）互為反函數2023年北京卷：第4題，5分2024年新課標I卷：第6題，5分2024年北京卷：第7題，4分2025年全國一卷：第8題，5分2025年北京卷：第9題，4分對數函數是常見的重要函數，對數與對數函數是高考?？嫉臒狳c內容，從近幾年的高考形勢來看，對數函數往往與冪函數、指數函數結合考查，主要以基本函數的性質為依托，結合指、對數運算性質，運用冪函數與指、對數函數的圖象與性質解決具體的問題，包括比較指對冪的大小、解不等式等題型，主要以單選題的形式考察，難度不大.知識點1對數運算的解題策略1．對數運算的常用技巧(1)在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后用對數運算法則化簡合并.(2)先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算.(3)指對互化：(a>0,且a≠1)是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應注意互化.知識點2對數函數的常見問題及解題思路1．對數函數圖象的識別及應用(1)在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.2．對數（型）函數的值域和單調性問題的解題策略利用對數函數的性質，求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的.另外，解題時要注意數形結合、分類討論、轉化與化歸思想的應用.【題型1\t"/gzsx/zj145213/_blank"\o"指數式與對數式的互化"指數式與對數式的互化】【例1】（2025·四川樂山·三模）已知2lg2=m，10n=3，則103m?2nA．649 B．83 C．43【變式1-1】（2025·山東臨沂·二模）已知實數x,?y滿足log2log3A．11 B．12 C．16 D．17【變式1-2】（2025·全國·三模）若a>1，則alglgaA．零 B．正數 C．負數 D．以上皆有可能【變式1-3】（2025·吉林·模擬預測）滿足條件x1a=x2b=A．x1=4，x2=3，x3=2 C．x1=3，x2=9，x3=2 【題型2對數的運算】【例2】（2025·天津河北·模擬預測）已知a=lg2，b=lg3，則A．a2b B．2ab C．a+2b 【變式2-1】（2025·江蘇蘇州·模擬預測）對數log23的第一位小數的值為（A．4 B．5 C．6 D．7【變式2-2】（2025·山西臨汾·三模）已知2log2a=3，log55A．3 B．1 C．?1 D．?3【變式2-3】（2025·寧夏吳忠·一模）若abc≠0，且3a=4A．1c=1C．2c=2【題型3指數、對數函數模型的應用】【例3】（2025·北京·高考真題）一定條件下，某人工智能大語言模型訓練N個單位的數據量所需要的時間T=klog2N（單位：h），其中k為常數．在此條件下，已知訓練數據量N從106個單位增加到1.024×109個單位時，訓練時間增加20h；當訓練數據量N從A．2h B．4h C．20h D．40h【變式3-1】（2025·陜西咸陽·模擬預測）“喊泉”是一種地下水的毛細現象，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲音時，聲波傳入泉洞內的儲水池，進而產生“共鳴”等物理聲學作用，激起水波，形成涌泉.聲音越大，涌起的泉水越高.已知聽到的聲強m與標準聲強m0（m0約為10?12，單位：W/m2）之比的常用對數稱作聲強的聲強級，記作L（貝爾），即L=lgmm0，取貝爾的十倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲音響度y（分貝）與噴出的泉水高度x（米）滿足關系式A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米【變式3-2】（2025·甘肅平涼·模擬預測）我們曾學習過碳14的半衰期約為5730年（即碳14大約每過5730年衰減為原來的一半），即經過t年后，碳14的含量N=N0(12)kt（N0為碳14的初始含量，（參考數據：ln2≈0.7,A．2292年 B．2456年 C．2674年 D．2838年【變式3-3】（2025·浙江·二模）盡管目前人類還是無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解，例如，地震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系為：lgE=4.8+1.5M.若記2025年1月7日西藏日喀則發(fā)生里氏6.8級地震釋放出來的能量為E1，2022年5月20日四川雅安發(fā)生里氏4.8級地震釋放出來的能量為E2，則EA．100 B．200 C．1000 D．2000【題型4對數函數圖象的識別及應用】【例4】（2024·全國·模擬預測）已知函數fx=x?1A． B．C． D．【變式4-1】（2025·湖南長沙·一模）已知lga+lgb=0(a>0,b>0，且a≠1,b≠1)，則函數fx=A． B．C． D．【變式4-2】（2025·湖北·模擬預測）函數fx=eA． B． C． D．【變式4-3】（2025·甘肅隴南·一模）函數fx=xA．

B．

C．

D．

【題型5\t"/gzsx/zj145216/_blank"\o"比較對數式的大小"比較對數式的大小】【例5】（2025·天津南開·模擬預測）若2a=3=logb9，c=eln23A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．b>a>c【變式5-1】（2025·河南許昌·模擬預測）已知a=3log23.4，b=9A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b【變式5-2】（2025·全國一卷·高考真題）若實數x，y，z滿足2+log2x=3+log3y=5+log5zA．x>y>z B．x>z>yC．y>x>z D．y>z>x【變式5-3】（2025·天津武清·模擬預測）已知定義在R上的函數fx=x?ex，a=flog35，b=?flog312A．c>b>a B．b>c>a C．a>b>c D．c>a>b【題型6解對數不等式】【例6】（24-25高一下·四川南充·階段練習）“a<b+e”是“l(fā)na?b<1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【變式6-1】（2025·重慶·模擬預測）已知集合A=x∣x2?5x+6=0，A．3 B．2 C．? D．2,3【變式6-2】（2025·廣東汕頭·一模）“l(fā)og3a>log3bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【變式6-3】（2025·遼寧·模擬預測）已知函數fx=2x?1A．0,2 B．0,1 C．?∞,2 【題型7對數（型）函數的單調性問題】【例7】（2025·黑龍江哈爾濱·二模）函數fx=logA．2,+∞ B．1,+∞ C．?∞【變式7-1】（2025·天津·模擬預測）已知函數f(x)=logax+log(a+1)x(a>0且A．0,5?12∪(1,+∞) B．5【變式7-2】（2025·廣東·模擬預測）已知函數y=lnx2?2ax?3a2在區(qū)間A．?∞,13 B．?∞,1【變式7-3】（2025·吉林·三模）若函數fx=logaax?12（a>0且a≠1A．12,1 B．14,1 C．【題型8對數（型）函數的綜合問題】【例8】（2025·內蒙古呼和浩特·二模）已知函數f(x)=12x?1，x<02a(x+1)2，x≥0(a≠0)A．0<a≤1 B．0<a≤12 C．0<a≤2【變式8-1】（2025·重慶·三模）已知函數y=f(x+1)是R上的偶函數，對任意x1,x2∈1,+∞，且A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a【變式8-2】（2025·河北石家莊·一模）已知函數f(x)=x2+lneA．?5,?13 C．13,5 【變式8-3】（2025·陜西西安·一模）已知函數fx為偶函數，滿足fx+2=?1fx，且?2≤x≤0時，fx=3A．13,3 B．0,13∪3,+一、單選題1．（2025·北京大興·三模）已知2a=3,log25=bA．15 B．53 C．35 2．（2025·山東濰坊·一模）已知a>0且a≠1，ay與x成正比例關系，其圖象如圖所示，且y=logax+1，則A．1 B．2 C．3 D．43．（2025·陜西漢中·三模）聲音的強弱可以用聲波的能流密度來計算，叫做聲強.通常人耳能聽到聲音的最小聲強為I0=10?12（瓦/平方米）.在某特殊介質的實驗中對于一個聲音的聲強I，用聲強I與I0比值的常用對數來表示聲強I的“聲強級數nA．2倍 B．20倍 C．100倍 D．1000倍4．（2025·吉林長春·模擬預測）已知f(x)=log2x,x>04xA．?23 B．19 C．15．（2025·北京·三模）香農定理作為通信理論的基石，在現代通信中有著廣泛的應用，它給出了信道容量和信噪比及信道帶寬的關系，即C=Wlog21+SN其中C是信道容量，單位bps；W為信道帶寬，單位Hz；SN代表接收信號的信噪比，為無量綱單位.軍事戰(zhàn)術電臺采用跳頻擴頻（FHSS）技術，通過每秒切換數千次頻率將信道帶寬由5MHz擴展至100MHz，為了將敵方干擾效率降低90%以上，需將信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依據香農定理，則大約需將信號的信噪比提升至原來的（A．5 B．6 C．7 D．86．（2025·山東泰安·模擬預測）a=0.30.7,b=0.70.3A．c>b>a B．c>a>bC．a>b>c D．a>c>b7．（2025·山東泰安·模擬預測）已知函數f(x)=lgx2?ax?5在5,+∞A．?∞,4 C．4,+∞ D．8．（2025·廣東茂名·二模）已知函數fx=?x2?2ax+1,x<1logA．0,34 B．0,22 C．二、多選題9．（2025·江蘇蘇州·三模）若6a=2，6bA．a+b=1 B．a2+b2<110．（2025·河北保定·一模）下列不等式成立的有（

）A．log0.30.2>logC．log30.2<log11．（2025·貴州安順·模擬預測）已知函數f(x)=ln2?x2+xA．f(x)是奇函數 B．f(x)≥0C．f(x)在(?2,2)上單調遞減 D．f(x)在(2,+∞三、填空題12．（2025·江西萍鄉(xiāng)·三模）已知x0ex013．（2025·浙江·三模）已知函數fx=lnx+114．（2025·海南·模擬預測）已知函數fx=log17x2四、解答題15．（24-