數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z滿足i2z=l_2i，其中i為虛數(shù)單位，貝也對應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.cos70°sin40°-sin70°cos40°=（）

A.一3B.--C.1D.也

2222

3.某校義工社團(tuán)共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分層抽樣的方式，抽取16人參加周末的馬

拉松比賽志愿者工作，則女生應(yīng)抽取的人數(shù)是（）

A.3B.5C.6D.10

4.已知小，”表示兩條不同的直線，夕表示兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若〃zua,n!la,則機(jī)〃“B.若〃zua,mHn,則〃//a

C.若機(jī)//a,aL/3,則機(jī)J_￡D.若m/la,mL/3,則

5.若將一個(gè)表面積為36兀cm?的鐵球熔鑄成一個(gè)高為9cm的實(shí)心圓錐（熔鑄過程中損耗忽略不計(jì)），則該圓

錐的底面半徑為（）

A.2cmB.25/3cmC.3cmD.30cm

6.在VA2C中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,S為VABC的面積.若2s"（acosB+bcosA）,則人=

（）

71”兀71-兀

A.-B.—C.—D.一

6432

7.已知正四棱錐尸-ABCD的底面邊長和側(cè)棱長相等，記異面直線與C。所成角為a,側(cè)棱R4與底面

A3CD所成角為夕，側(cè)面上鉆與底面ABCD所成的二面角為/,則（）

A.a>y>/3B.a>/3>yC.y>/3>aD./3>a>y

8.己知平面向量4，b,萬均為單位向量，若H與5的夾角為60。，則傳-汗）?k-2B）的最大值為（）

A.2+73B.4C.2+77D.5

二、多選題

9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù).若連續(xù)拋擲兩次，則（）

A.事件“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”為互斥事件

B.事件“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”互為對立事件

C.事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和大于6”與“兩次點(diǎn)數(shù)之和小于6”互為對立事件

D.事件“第一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”與“第二次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”相互獨(dú)立

10.在VABC中，A>B,則下列不等式中一定正確的是（）

A.sinA>sinBB.cosA<cosB

C.sin2A>sin25D.cos2A<cos2B

11.如圖，圓臺的上、下底面半徑分別為1和2,高為2夜，點(diǎn)A為下底面圓周上一點(diǎn)，S為上底面圓

周上一點(diǎn)，則（）

B.該圓臺的內(nèi)切球的半徑為啦

7T

C.直線&4與直線所成角的最大值為三

D.直線AQ與平面SO.所成角的正切值最大為形

三、填空題

12.若（l+i）z=4i,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的模為.

13.若cos[a+1J=_；,則$吊（2&+2的值為.

14.若正方體qG2的棱長為1,則以R為球心，巫為半徑的球面與底面ABCD的交線長

3

為.

四、解答題

15.已知四邊形ABC。是平行四邊形，且A（2,3）,5（—2,-1）,C（4,2）.

⑴求點(diǎn)。的坐標(biāo);

(2)求平行四邊形A5CD的面積.

16.在地平面上有一豎直的旗桿。尸(。在地平面上)，為了測得它的高度，在地平面上取一基線A8,測得

其長為20m.在A處測得P點(diǎn)的仰角為30。，在8處測得尸點(diǎn)的仰角為45。，又測得“08=30。.

(1)求旗桿的高度Q

⑵求點(diǎn)A到平面POB的距離.

17.某校為了了解高一新生的體質(zhì)健康狀況，在開學(xué)初進(jìn)行了一次體質(zhì)測試，共800人參加本次測試，得

到如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴求"的值;

(2)試估計(jì)本次測試的平均成績(用各組區(qū)間中點(diǎn)的數(shù)值即“組中值”近似的表示每組的成績);

(3)立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目每人有2次測試機(jī)會，若第一跳滿分，則不再進(jìn)行第二跳.假設(shè)小明同學(xué)每一跳獲得滿分的

概率均為0.8,求本次測試中，小明在立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目最終獲得滿分的概率.

18.在等腰直角三角形ABC中，斜邊AB=4,點(diǎn)、P,。均在線段A8上(不含端點(diǎn))，且NPCQ=45。.

(1)若CP=J^,求AP的長;

⑵求△PCQ的面積的最小值.

19.如圖1,在直角梯形尸BCD中，PB//CD,CDLBC,3C=PB=2CD,A是PB的中點(diǎn).現(xiàn)沿AD把△P4D

折起，使得上(如圖2所示)，E,尸分別為BC,A3的中點(diǎn)，G是線段上4上一點(diǎn).

R

⑴求證：平面PAE，平面PDE;

(2)若G是線段出的中點(diǎn)，求AG與平面必￡所成的角;

(3)若RG//平面PDE,求一的值.

題號12345678910

答案BBCDBDACBDABD

題號11

答案ABD

1.B

求出復(fù)數(shù)z,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定正確選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)閕2z=l—2in-z=l-2i=>z=—l+2i,

所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為(-1,2),位于第二象限.

故選：B

2.B

由兩角差的正弦公式逆用即可求解.

【詳解】COS70°sin400-sin70°cos40°=sin(40°-70°)=sin(-30°)=-1.

故選：B.

3.C

由分層抽樣的定義即可得解.

【詳解】女生應(yīng)抽取的人數(shù)是16x”h=6.

80

故選：C.

4.D

以正方體的線面關(guān)系為例，說明ABC是錯(cuò)誤的.

【詳解】如圖，在正方體ABCD-A片G2中:

G

因?yàn)?4〃平面ABC。，BCu平面ABC。，且A由與BC為異面直線，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)锳fiu平面ABCD,AB〃CD,但CDu平面ABCD,而非CD〃平面ABCD,故B錯(cuò)誤；

因?yàn)锳4〃平面A5CD,平面ABCD1平面C￡>￡?G,但其耳〃平面C￡>E>G,而非A4_L平面C￡?2￡,故C錯(cuò)

誤；

對D：若加〃a,"z_L尸，則tz_l_尸，故D正確.

故選：D

5.B

求出鐵球的半徑R,再結(jié)合等體積法即可求解.

【詳解】設(shè)所求為，鐵球的半徑為R,則4無斤=36兀，解得R=3,

所以4兀x3?=\/x9,解得廠=2j§cm.

33

故選：B.

6.D

由余弦定理、三角形面積公式得sinA=l,即可求解.

1(?2+r2_/,2Z,22_2>

【詳解】因?yàn)?S=2x5bcsinA=bcsinA,b^acosB+bcosA^=ba-------------\-b-----------be,

若2s=6(acosB+bcosA),貝!jbesinA=Z?c,而bc>0,Ae(0,7i),

jr

所以sinA=l,A=—.

2

故選：D.

7.A

根據(jù)異面直線所成角的概念，線面角，二面角的平面角的概念，構(gòu)造出a,P，Y,求出它們的三角函數(shù),

利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較它們的大小.

【詳解】如圖：

不妨設(shè)AB=2.取AC和的交點(diǎn)為H,A8中點(diǎn)E,連接PE,HE,PH.

則==PE=￡,HA=HP=叵.

因?yàn)锳B//CD,所以/皿為異面直線上4與CO所成的角，為a,所以cosa=2§=1,所以a=￡.

AP23

因?yàn)镻H,平面A3CD,所以ZPAH為直線PA與底面ABCD所成的角夕，所以cos6=也="，所以夕=；.

AP24

因?yàn)锳BJ.EP,所以NPEH為側(cè)面上鉆與底面A5CD所成的二面角7,所以

HE1V3

cosy=----==——.

PE03

因?yàn)椋。记遥甲?，且?34在上單調(diào)遞減.

232I2J

所以

故選：A

8.C

根據(jù)僅“).僅—23)=2-"2+2石)，把問題轉(zhuǎn)化為求~倒+2彼)的最小值，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求忖+2囚的值，利

用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則求解即可.

【詳解】由題意：忖=W=|4=1,a-S=lxlxcos600=1.

因?yàn)椴贰猘)(c—2可=c+2a-b—c-^a+2b^=2-c.(a+2萬).

Xj=|c|?|?+2^|?cosa+2b^=|tz+2^|?cos^c,a+2b^＞—|tz+2^|,

當(dāng)cosk,a+2石)=7i時(shí)取"=

又.+叫=伍+2?)=7+4%.石+宕=l+4x；+4=7,所以卜+20=近.

所以卜-。）.卜-2石）22+4.

故選：C

9.BD

利用互斥事件、對立事件、獨(dú)立事件的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對于A,因?yàn)椤爸辽儆幸淮吸c(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”包含恰有一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)和恰有兩次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，

故事件“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”可能同時(shí)發(fā)生，

所以事件“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”不為互斥事件，故A錯(cuò)誤；

對于B,因?yàn)椤爸辽儆幸淮吸c(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”包含恰有一次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)和恰有兩次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，

所以事件“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”不會同時(shí)發(fā)生，

因?yàn)樵谝淮螌?shí)驗(yàn)中“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”必然有一個(gè)事件會發(fā)生，

所以事件“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”互為對立事件，故B正確；

對于C,因?yàn)槭录皟纱吸c(diǎn)數(shù)之和等于6”發(fā)生時(shí)，事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和大于6”與“兩次點(diǎn)數(shù)之和小于6”均不會

發(fā)生，

所以事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和大于6”與“兩次點(diǎn)數(shù)之和小于6”不互為對立事件，故C錯(cuò)誤；

對于D,連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次共有6x6=36種不同的結(jié)果，

1Q1

記“第一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”為事件A,則事件A包含3x6=18種結(jié)果，故尸（A）=9=：,

362

1Q1

記“第二次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”為事件5,則事件B包含6x3=18種結(jié)果，故P（A）=9=；,

362

g111

事件同時(shí)發(fā)生包含3x3=9種不同的結(jié)果，feP（AB）=^=---x-=P（A）P（B）,

所以事件“第一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”與“第二次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”相互獨(dú)立，故D正確.

故選：BD.

10.ABD

利用邊角關(guān)系及正弦定理判斷A；利用余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷B；舉例說明判斷C；利用二倍角公式結(jié)合選項(xiàng)

A判斷D.

【詳解】對于A,在VABC中，A>Boa>b,由正弦定理得sinA>sin3,A正確；

對于B,顯然兀>A〉8>0,因此cosA<cos3,B正確；

對于C,取A=75。,3=60。，滿足A>3,而sin2A<3=sin22,C錯(cuò)誤；

22

對于D,由選項(xiàng)A知，sinA>smB>0,則cos2A=l-2sin2Avl-Zsin?8=cos2B,D正確.

故選：ABD

11.ABD

對于A,根據(jù)圓臺的體積公式，可得答案；對于B,研究圓臺的軸截面，結(jié)合等腰體形存在內(nèi)切圓的判定,

可得答案；對于C,根據(jù)異面直線夾角的定義，作圖，利用三角函數(shù)的定義，可得答案；對于D,根據(jù)線面

角的定義，作圖，利用線面垂直判定定理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.

【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)閳A臺。。2的上、下底面半徑分別為1和2,高為2后，

所以1/=[(12+1><2+22)?2后=竽無，則A選項(xiàng)正確.

對于B選項(xiàng)，設(shè)上底面半徑為與，下底面半徑為若圓臺存在內(nèi)切球，

則必有軸截面的等腰梯形存在內(nèi)切圓，如圖(1)所示，梯形的上底和下底分別為2,4,高為2&，

易得等腰梯形的腰為出+(應(yīng)『=3,假設(shè)等腰梯形有內(nèi)切圓，

則腰長=3=K+&,所以梯形S.SCB存在內(nèi)切圓，

故圓臺存在內(nèi)切球，且內(nèi)切球的半徑為則B選項(xiàng)正確;

圖⑴

對于C選項(xiàng)，如圖(2),過S作SD垂直于下底面于點(diǎn)。，則aQ//S。,

所以直線&4與直線所成角即為直線&4與直線SD所成角，即ZASD為所求,

ADAD

而tan/ASO=~^=5萬，由圓的性質(zhì)得，

LL…/fAOAD叵3萬

所以‘225。=正=逅e

44

圖⑵

對于D選項(xiàng)，如圖(3),平面S0。即平面SOQzC,

過點(diǎn)A做交3c于點(diǎn)因?yàn)镾D垂直于下底面，而在底面內(nèi),

所以SO_LA1/,又SDnBC=。，且5C,SOu平面SQQzC,所以河，平面SOOzC,

AH

所以直線與平面所成角即為且

A0,SO。2cNAQH,tan/AQH=--.

Uxri

設(shè)AH=xe[0,2],則02H=他-AH?=6-d,

2

所以="&+02H2=,8+4-無2=sjn-x,

AHX

所以3"人°"=而=尸,

當(dāng)x=0時(shí)，tan^AQW=0,當(dāng)%?0,2]時(shí),

X211

tan/AqH=],因?yàn)楹瘮?shù),一?亙「在（0,2]上單調(diào)遞增,

12-x212

X,

所以當(dāng)x=2時(shí)，tan/AO]H有最大值，最大值為等，所以D選項(xiàng)正確.

圖⑶

故選：ABD.

12.2&

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求得復(fù)數(shù)Z,進(jìn)而可求得|z|.

4i4i(l-i)_4+4i

【詳解】由（l+i）z=4i,可得z-------=2+2i,

-l+i-(l+i)(l-i)2

所以目=，2?+22=20.

故答案為：20.

31

利用誘導(dǎo)公式可得sin2q+6=_cos2a+j兀+]71,再結(jié)合二倍角的余弦公式即可求解.

62

【詳解】因?yàn)閏os[a+]J=￡

4,

所以一…s2c+g

sin12a+6)=cosf2a+^]^^=-cos2a+-

l3

=-2cos2f67+^j+l=-2xfj+1=(

故答案為：

o

14.—1—71

66

由題可得球面與底面的交線為以。為圓心，g為半徑的圓與正方形ABCD相交的一段弧，即可求出.

【詳解】正方體ABC。-4月62中，平面ABCD,

_1

所以平面ABC。與球的截面是以。為圓心的圓，且半徑為———,

3

所以球面與底面ABC。的交線為以。為圓心，g為半徑的圓與正方形A3c。相交的一段弧,

11TT

該交線長%x2%至

故答案為：—■

6

15.(1)(8,6)

(2)12

(1)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x,y),結(jié)合通=覺即可求解;

(2)根據(jù)題意，先求出通，蒞的夾角余弦值，進(jìn)而得到其正弦值，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.

【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x,y).

由題意得荏=(-4,-4),nC=(4-x,2-y).

__.[4-x=-4f%=8

因?yàn)辂?覺，所以c,,解得女,

[2-y=-4[y=6

所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為(8,6).

(2)由荏=(<-4),通=(6,3),

貝I麗.麗=-24-12=-36，畫=J16+16=4夜,西=136+9=3氐

3A/10

()AB-AD-36

則COSAB,AD=^

網(wǎng).由472x37510

所以sin(通,而)=^1-cos2(AB,AS)=等,

則平行四邊形ABCD的面積為

|x|AB|x|Ao|xsin^AB,AD^x2=1x4A/2x3V5x^x2=12.

16.⑴/z=20m

(2)10A/3m

(1)由題意AO=6/7,BO=/Z,結(jié)合余弦定理即可求解；

(2)過點(diǎn)A作ACLBO于點(diǎn)C,說明所求為線段AC的長度，解三角形即可得解.

【詳解】(1)由題意AO=6〃,30=6,而AS=20m,ZAOB=30°,

所以由余弦定理有400=3/？+//2-2/1?/x立，即層=400，解得〃=20m；

2

(2)如圖所示，過點(diǎn)A作ACL30于點(diǎn)C,

由題意POJ■平面ABO,又ACu平面A3O,所以AC_LP。，

又因?yàn)锳CLBO,80口尸。=。，80,「。＜=平面280,

所以AC_L平面P80,

故所求為線段AC的長度，

由(1)可知AO=6〃=20石m,

所以AC=AOsin30°=10/m.

17.(l)a=0.020；

⑵73；

(3)0.96.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算即可;

(2)由頻率分布直方圖結(jié)合平均數(shù)的計(jì)算，即可求解；

(3)小明在立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目最終獲得滿分的概率包括第一次滿分和第一次沒有滿分但第二次滿分兩種情況,

根據(jù)概率計(jì)算即可.

【詳解】(1)根據(jù)頻率分布直方圖，可得0.008x10+4x10+0.032x10+0.024x10+0.016x10=1,

解得a=0.020；

(2)設(shè)本次測試的平均成績?yōu)樵?，則根據(jù)頻率分布直方圖，可得

0.008x10x95+0.020x10x85+0.032x10x75+0.024x10x65+0.016x10x55=73,

即本次測試的平均成績?yōu)?3；

(3)設(shè)小明在立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目最終獲得滿分的概率為尸，貝U2=0.8+0.2x0.8=0.96,

即小明在立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目最終獲得滿分的概率為0.96.

18.(1)AP=3或AP=1；

⑵40-4

【詳解】(1)在等腰直角三角形ABC中，斜邊AB=4,點(diǎn)、P,。均在線段上(不含端點(diǎn))，

所以NC4P=45°,在AACP中，CP2=C42+AP2-2C4XAPXCOS45%

所以5=8+土-4AP,

所以AP=3或釬=1；

B

過。作交A5于T,貝!JCT=2,

設(shè)NPCT=a,NQCT=￡,a+/?=45。，

所以=tana,=tan△所以△尸CQ的面積為=gx(PT+QT)x2=2(tana+tan〃),

因?yàn)閠an(a+萬)二1=tana+tan',所以十-j.tancrxtan,,

1-tanaxtana

所以tanaxtan尸=1一(tana+tan￡)<(⑦。>:an⑶,所以(tana+tan^)2+4(tana+tan^)-4>0,

所以tana+tan/22五一2,當(dāng)且僅當(dāng)tana=tan尸=0-1時(shí)，tana+tan/取最小值20-2，

所以面積的最小值為40-4.

19.(1)證明見解析；

jr

(2)尸G與平面P4E所成的角為工；

6

cAG1

(3)=一

AP4

【詳解】(1)證明：直角梯