江蘇省南京市期末押題卷-2026年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期

一'選擇題

1.（2025高二下?惠東期中）函數(shù)/（.v）=r-sin.v在［0,兀］上的平均變化率為（）

A.1B.2C.7iD.K?

2.（2025高二下?浙江期中）已知c:28且〃>2），則A?的值為（）

A.30B.42C.56D.72

3.（2025高二下滁州月考）記函數(shù)/（'）的導(dǎo)函數(shù)為/'（.江若/（6='+血*，則/'（0）=（）

A.-1B.0C.1D.2

4.（2025高二下.徐州月考）（A2）"的展開式中一的系數(shù)為（）

A.-80B.-40c.10D.40

5.（2025高二下.徐州月考）從3名男生與2名女生中選出2人擔(dān)任班委，則“恰有1名男生與1

名女生當(dāng)選”的概率是（）

32C32

10553

6.（2025高二下?鹽城月考）將邊長為、m的正方形4BCO沿對角線4。折成直二面角,4-BO-C，

則下列結(jié)論不正確的是（）

A.AC1BD

B.△力CO是等邊三角形

C?點8與平面/CO的距離為三回

3

D.與CO所成的角為30°

7.（2025高二下?鹽城月考）已知點C'（LO）,過點戶（一2,0）引直線1與曲線y=+2x+2相

交于A,B兩點，當(dāng)A,48C的面積取得最大值時，直線1的斜率等于（）

逐

AV2R42cV3D

2235

8.（2025高二下.南京月考）在平行六面體/Be?！?￡"中，/iRc4O=。，記向量方-力，

7）（'-h'函/，則向量由二（）

B.a+b+-c

2

n-?11-

C.—a-b~一cD.〃+—/>+一(?

2222

二、多項選擇題

9.（2025高二下?福田月考）已知數(shù)列；u；的前n項和為S“，S?=2^+1（/J€N，）,貝|J下

列選項中正確的是（）

A.qI

B.--32

C.數(shù)列El是等比數(shù)列

D.數(shù)列｛Sn-\｝的前n項和為

1

10.（2025高二下?福田月考）關(guān)于函數(shù)/（.V）（InA,下列說法正確的是（）

X

A.,/（1）是/（.v）的極小值；

B.函數(shù)y=f（x）-X有且只有1個零點

C.八I）在（一力,1）上單調(diào)遞減；

D.設(shè)g(.v)=A/(A)

11.（2025高二下.永州期中）在長方體/18€7）-44€；僅中，點M是棱AD的中點,

AA｝=AD-4.AB-5，點P在側(cè)面8CC.4的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動，則（）

A.直線MP與直線DD,所成角的最大值為90°

B.若/0,，1仍=60,則點P的軌跡為橢圓的一部分

C.不存在點P,使得.4。〃平面。，B

D.若平面RPW與平面ABCD和平面RPW與平面8CC圈所成的銳二面角相等，則點P

的軌跡長度為3"'

2

三'填空題

12.(2025高二下.鹽城月考)用排列數(shù)表示(55-〃)(56-〃)…(75-〃)(〃wN?且

n<55)=?

13.(2025高二下?鹽城月考)當(dāng)某種針劑藥注入人體后，血液中該藥的濃度C與時間/的關(guān)系式近

似滿足c(，)=二，其中/'0,則血液中該藥的濃度，在/=1時的瞬時變化率約是4時的瞬

e

時變化率的倍.

14.(2025高二下?鹽城月考)已知長方體僅中，⑺2114，點〃為側(cè)

面,4/。。內(nèi)任一點(含邊界)，且點〃到點4的距離與到面/4(刀的距離相等，點E./?'分別為

BC,CD的中點，則三棱錐尸-EFG的體積的最大值為.

四'解答題

15.(2025高二下?鹽城月考)設(shè)。為實數(shù)，函數(shù)/(x)=xlnx,g(.v)X33f+”.

(1)求/(X)的極值；

(2)對于Vx個-,e,3.r,e[1,3],都有〃xj=g(xj,試求實數(shù)。的取值范圍.

e

16.(2025高二下?牡丹月考)已知函數(shù)/(r)vliu-avc',t/(R.

(1)當(dāng)a=0時，直線]二AxU為常數(shù))與曲線/(、?)相切，求人的值；

(2)若XG(0,+X)J(X)N0恒成立，求。的取值范圍；

(3)若/(x)有兩個零點』求證：X1+.r：〉2.

17.(2025高二下?鹽城月考)已知空間中三點4(2,0,-2)、8(L-L3)、C(3.0.1),設(shè)]=需，

（1）若向量,-人力與人互相垂直，求A的值;

（2）若同=3,且）與而共線,求向量乙

18.（2024高二下?南京期末）已知橢圓。：5+二的左、右焦點分別為6，尸”上

47*b~

頂點為A,0.

（1）求C的離心率；

（2）若射線交橢圓（,于點8,且=求。的值.

19.（2024高二下滁州期末）如圖，在四棱錐P-.48C。中，底面,48（。為直角梯形，平面P/O1

平面ABCDX'DIIAB，ZABC=90"B=4,PA=PD=CD=BC=2.

（1）若點V為棱的中點，求二面角A-PDM的余弦值；

（2）若麗=入而“>0）,設(shè)直線8v與平面1BC。，平面P/O所成的角分別為a,0,求

sina?sinp的最大直

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】A,C,D

10.【答案】A,B,D

11.【答案】A,C,D

12.【答案】A

::

13.【答案】2

C3

14.【答案】

1T4

15.【答案】（1）極小值為1,無極大值.

e

16.【答案】（1）解：當(dāng)“0時，f（x）=x-\nx.

kx0=x0-\nx0,

設(shè)切點(.%,%一叫)，貝”/()=]__L=卜

*0

消太得h-’lxoTo-W,,解得x0=e,代入得A=i-

Ixj

(2)解：方法一：因為〃x)=xTnx_axer,

bz11-r(A-l)(ex+av)

所以r"=1-La二=1_￡1--------L,

xe,xe*

「當(dāng)4<0時，設(shè)g(x)=x-lnx,則耳=

所以當(dāng)xe(01)時，g'(x)<0.g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(l,+8)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

所以g(X)mm=g6=l>。'

又-axe1>0，故/(、)，0恒成立，所以</<0成立.

2?當(dāng)時，c'+ar>0,

所以當(dāng)xe(OJ)時，/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(l,+8)時，/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增.

故“幻.=/(1)=1一02。,解得"4c,又。20’所以0Sa4e,

e

綜上所述，。的取值范圍為(-七日.

方法二：因為/(、)Vlav-axe'20恒成立，

又K>0,所以上式等價于“4”「岡恒成立.

X

記g卜也四，則力，3=耳/+八一必卜=(—)(丁-1明、

xxyxJx

設(shè)〃(.v)=r+1-Inx,則I'''.

XX

當(dāng)xe(0,1)時，〃'⑴<O,w(.v)在(0,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(l,+a>)時，Mr(x)>0,i/(x)在上單調(diào)遞增.

所以〃(x)2"(1)=2>0.

所以當(dāng)x?0,l)時,H(x)<(U(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;

當(dāng).re(1,+8)時，//(V)>O./J(X)在(1,+力)上單調(diào)遞增.

所以/心),人⑴c.

故。的取值范圍為(

方法三：因為/(t)AluxaveIn'a，。恒成立，

xe,

又X>0,所以上式等價于aWfin￡恒成立.

XX

記〃(X)=J，則力0).°1),

XX

所以當(dāng)\€(0.1)時，力'(*)<0山\)在(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)xe(l.+8)時，〃(<)>0、酬》)在

(1.+0上單調(diào)遞增.所以%(x)2%(l)=e.

令/=土，貝1]/￡卜.卜4，貝!]。4411/(/*)恒成立.

X

記8(f)=rln“f2e),則夕'(,)=ln/-l?2>0,

所以中(f)在[e,+8)上單調(diào)遞增,所以期.=好)=6,所以a?e.

故。的取值范圍為(-8,e].

(3)證明：方法一：因為/(')有兩個零點「J,不妨設(shè)0,、?1、，

貝！J*-hi%]=-Inx、-a二=0，

eX1一*ex：

即a=—(x(-liW))=—(x2-Inx2),即a=(演-1叫)c-"=(x,-Inxje",",

X|x2

令/(r)-tlav,則r(x)=l_1=^~,

XX

所以當(dāng)xe(01)時，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(l,+s)時，/'(x)>0"x)單調(diào)遞增.

所以心)1nm=/(i)=i>o

令人(\)vcIv-I)，則”(、)c'+vc'>0,//(A)單調(diào)遞增，

又°=力(再-1叔』=力(均-hu,)，所以。?lnxi.x,-ku、，即丁^~~=1.

\??/\.-/111iln^-lar,

由/(.v)的單調(diào)性可知0<再<1<X,.

思路一：構(gòu)造函數(shù)7(6/(A)/(2v),.v€(0,l).

\./x，/'\X—I2——I—2(1—K)~

則13=?\)+仆2-*=——+——=-^；<0,

x2-xx(2-x)

故r(x)在(0.1)上單調(diào)遞減,

又7(1)=0,所以7(“>0,則7(xJ>0,即,

又/（芯）=/（占），所以/（工,

又0>1,2-A-,>在（L+z）上單調(diào)遞增，所以x?>2-x,

故.J+x,>2.

思路二：要證演+招>2,即證盧手一〈三上，即證上_.

I叫-hiq22+1S

x2

令〃=“e(0/)，即證"/一->ln".

X?〃+1

構(gòu)造函數(shù)伊(〃)=乂^——-Im/j/€(0,1).

〃+1

?、4I4〃一(“+1)2(w-l),n

故在(0.1)內(nèi)單調(diào)遞減，貝物(〃)>0⑴=0,即2("T)_|n“>0.

“+I

故.*+V,>2.

思路三：因為?-1,即''In-,

hUj-hir2x2

X)-x2=Inw,

令〃=工€(。，1),則'_X|_

X-t〃一,

要證?2,即證」—ln〃+*?>2,

w-l〃-1

即證---Inn>2,即證一i------->\nu,

〃-1〃+1

下同思路一，略.

方法二：因為/（I）有兩個零點,不妨設(shè)。?i?%,

則1-1嗎一°工=&_|鵬_"￥=0，

e11.ef,ex：.et：

即(i——*In—=—?In-

XX1X2X2

令/（x）=W,則r（x）=￡I^2）

所以當(dāng)（0,1）時，/'（'?）＜Oj（.t）單調(diào)遞減；當(dāng)x?l,+8）時，/'（x）＞0j（x）單調(diào)遞增.

所以

令力(x)=xlnr(x2e),貝附'(x)=lnx+1>0,力(、)單調(diào)遞增,

=/?[—!=/?[—,所以j=j,即&?=?’”

X

【X"\2)MX2X,

由?的單調(diào)性可知0<再<1<x,.

思路一：構(gòu)造函數(shù)/㈤3⑴-/。-%),"《。]).

貝…)=/'(,)+/'(27)=/幺誓艱

X(2-X)

=(1—x)「上」工，

I[(2-4X2

人,、e‘畫”、c'r-c'-2,ve1.t-2

令〃(r),，則"(A)-.--

X*xXT

所以當(dāng)工?0,2)時，"'(\)<0,“")單調(diào)遞減，

所以當(dāng)xe(0,l)時，0<x<2-x<2，則〃(2-x)<“(x),所以F(x)<0,

故7(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，又“1)=0,所以T(x)>0,則“毛)〉。，即f(xj>“2-xj,

又/（菁）=/（看），所以，（三）＞?2-司），

又，＞1,2-占在（L+力）上單調(diào)遞增，所以%＞2-玉.

故8+.v,>2.

er,e。el?

思路二:因為。=,所以L

rxxr

e2ieie2ia,I

即西+三=於左.&-*)=方y(tǒng)(x/xj-

令〃=居一N＞0,要證芭+居＞2,即證。”.“＞2

e"-I

即證二'—上＜0.

e"+l2

構(gòu)造函數(shù)3(")=一,〃￡(0,+力).

貝刖“廣西2e"廠1丁一(號e"-＜1)°,

故夕(“)在(0,+8)上單調(diào)遞減，則/(〃)＜力(0)=0.

故K[+.v?>2.

尸"-1?/2—u2—//

注：要證明?E^-1cO，即證6”.號<1,構(gòu)造函數(shù)中(〃)=6".號,〃€(0,+8).

2—〃?-(“+2)-(2-“)_-u2eu

則d(〃)=e"-----+d7<0,

〃+2(〃+2)(〃+2)

故伊(〃)在(0,+8)上單調(diào)遞減，則刎〃)＜尹(0)=1.故\「＞2.

*2=下

思路三：令〃A.A,0,則?

u=x2-xl

U1e"-1

要證%+占＞2,即證」f-+」H5C—*＞2,即證^--＜-1w.

12e--le"-le"+l2

下同思路二，略.

e1'er：

思路四：對一=一-兩邊取對數(shù)，得*-In*=占-hq,下面同方法一

X]x2

17.【答案】(1)A；

(2)5=(2,1,-2)或0=(-2,-1,2)

18.【答案】(1)皂；

(2)"1.

19?【答案】(1)連接DI/,因為,48=4，所以/時=時8=2,

又CDAB，CQ=8('=2，所以四邊形灰TH/為菱形,

又/，，道C90，故菱形8CDW為正方形，

故DM=2-由勾股定理得,4。=〃/+￡)”=242，

因為-2,所以PA2+PD:=AD2，

由勾股定理逆定理得PR1/7),故*尸.4。為等腰直角三角形，

取40的中點O,連接PO..MO,則PC),AD，

因為平面平面力BC。，交線為.4。，尸。匚平面尸力￡),

所以P。，平面,4灰7),

又4A/=DM=2，所以M014D,MO=DO=41>故P。,MO,4。兩兩垂直,

以O(shè)為坐標(biāo)原點，。”.。。.?！ㄋ谥本€分別為二,二軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

力(0,-萬0)網(wǎng)0,0,拉)必0,?0),M(萬0,0),

平面對,。的法向量為所=(1.0,0),

設(shè)平面PDA/的法向量為斤=(x.”二)，

rjPZ5=(x,y,z)(0,>/2,-72)=V2y->/2z=0

則」.