第01講任意角和弧度制、三角函數(shù)

目錄

01考情解碼?命題預(yù)警..........................................................2

02體系構(gòu)建?思維可視............................................................3

03核心突破?靶向攻堅(jiān)............................................................3

知能解碼....................................................................3

知識點(diǎn)1任意角的概念...................................................3

知識點(diǎn)2弧度制........................................................5

知識點(diǎn)3三角函數(shù)定義...................................................5

知識點(diǎn)4三角函數(shù)在各象限的符號........................................6

知識點(diǎn)5特殊角的三角函數(shù)值............................................7

題型破譯.......................................................................7

題型1角的概念........................................................z

題型2終邊相同的角的表示...............................................9

題型3象限角的判定...................................................11

題型4區(qū)域角的表示...................................................13

題型5弧度制與角度制的互化...........................................16

重

重

題型8三角函數(shù)的定義.................................................26

題型9判斷三角函數(shù)值的符號...........................................29

題型10確定角所在象限.................................................31

33

04真題溯源?考向感知.........................................................37

05課本典例?高考素材.........................................................39

01

考情解碼-命題預(yù)警

考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年

(1)三角函數(shù)在各象限的符號

(2)特殊角的三角函數(shù)值口單選題天津卷，第2題，5天津卷，第16題，14

(3)弧度制口多選題分分

口填空題

(4)扇形的弧長及面積公式的國解答題

應(yīng)用

考情分析：

本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，單獨(dú)出題比較少，一般與三角函數(shù)、正余弦定理結(jié)合出題.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1.理解、掌握三角函數(shù)的定義，能夠求解特殊角的三角函數(shù)值

2.能掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會借助單位圓求解三角函數(shù)值

4.掌握三角函數(shù)的知一求二，齊次化等解題方法

02

體系構(gòu)建-思維可視u

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)

到另一個(gè)位置所成的圖形

03

核心突破?靶向攻堅(jiān)

PU

知識點(diǎn)i任意角的概念

i、角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.

正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.

負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.

零角：如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角.

2、終邊相同的角、象限角

終邊相同的角為6e{?|尸=2以?+(/,keZ)

角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與二軸的非負(fù)半軸重合.那么，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，我們就說這

個(gè)角是第幾象限角.

3、常用的象限角

角的終邊所在位置角的集合

元軸正半軸{a\a=kx360°,k^Z]

y軸正半軸{a|a=左x360°+90°,左￡Z}

X軸負(fù)半軸{a\a=kx360°+180°,keZ]

y軸負(fù)半軸{a|a=左x360。+270°,kwZ}

X軸[a|a=^xl80°,左sZ}

y軸{a\a=kx180°+90°,左￡Z}

坐標(biāo)軸{a\a=kx90°,左sZ}

。是第一象限角，所以《112左》<a<2左?+；?（左￡Z）

a是第二象限角，所以1cr12A7r+g<a<2k7i+7i^k￡Z）1

a是第三象限角，所以|2kji+/r<a<2kji+eZ）|

a是第四象限角，所以|2k兀+。兀<a<2左?+2萬（左GZ）1

自主檢測|設(shè)集合M=，x=45°+gxl80。,Z￡Z卜N=,dx=45°+：xl80o,k￡Z,f!口么（）

A.M=NB.NjM

C.MjND.McN=0

【答案】C

【詳解】由題意得Af=[xx=45°+gxl80o,kez}

={x[%=（2左+1）x45°,左￡Z},

即M是由45°的奇數(shù)倍構(gòu)成的集合，

又N=]x卜=45°+：xl80°,左ez1

={x|x=（A：+l）x45°,A:6Z},

即N是由45°的整數(shù)倍構(gòu)成的集合，

則M口N,

故選：C.

知識點(diǎn)2弧度制

1、弧度制的定義

長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角,記作1加d,或1弧度，或1(單位可以省略不寫).

2、角度與弧度的換算

弧度與角度互換公式：180°=7rrad

lra^=f—~57.30°=57°18,,1°=—~0.01745(rad)

(萬J180

3、弧長公式

l=\a\r(a是圓心角的弧度數(shù))

4.扇形面積公式：S=—lr=—\a\r2.

22

集合8=1%|%兀+：<%<左兀+],左EZ：,則Ar|5=()

自主檢測已知集合A=x|2左71H---<X<2左兀H-----,keZ\,

63

C7兀C7兀)771z兀

A.2EH—,2kji——|,kGZB.kitH—,ku-\—|,左￡Z

43)43)

C7兀C7兀)7兀7兀

C.2AJIH—,2kliH—|,kGZD.kitH—,KUH—.ksZ

63)63)

【答案】A

lie,兀z-xi兀7r-rIIIj5兀_.4兀jI

【詳解】依題意，B=<x2KTI+—<X<2KTI+—,化2KTIH-----<x<2KTIH---------GZ>,

I143J[143J

兀2兀i

｛x|2k7i+-<x<2k7i+—,A:GZ>,

_兀-T兀)

所以=2kli+；<x<2kn+方,左wZT,2^71IJ左wZ.

故選：A

知識點(diǎn)3三角函數(shù)定義

設(shè)1是一個(gè)任意角，它的終邊與半徑是一的圓交于點(diǎn)P(x,y),則丁=Jf+y2,那么:

(1))做a的正弦，記做sini,BPsincr=—；

rr

(2)日叫做a的余弦，記做cosa,BPcosa=—；

rr

(3)叫做儀的正切，記做tana，即v

—tana=—(xwO)

xx

百主檢測已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(2,—D,貝l]cosa=()

A.gBC..

--fD?-半

【答案】C

【詳解】因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(2,-1),

則r二衣+(-if=后,所以cosa=2=*=26

故選：C.

知識點(diǎn)4三角函數(shù)在各象限的符號

三角函數(shù)在各象限的符號

，八，八

++++

———

XXx

00+

smacosatana

在記憶上述三角函數(shù)值在各象限的符號時(shí)，有以下口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

自主檢測已知?！闧0,2])，關(guān)于上的不等式Insin?6-Ineos?^cos2夕在左＞。時(shí)怛成立，則6的取值范圍是(

A.

7171

B.n

3萬7萬

C.，冗U-TU子以

44

713幾5TT3乃,/3%7萬

D.

抬唱2三4u彳'EU天7

【答案】C

【詳解】由題設(shè)，Insin2-Incos23<A:cos23-ksin20,BPInsin2^+^sin23Mineos2+A;cos20,

二::設(shè):卜"落在坐標(biāo)軸上'

其中

令/(%)=ln%+日，xG(0,1),則尸(%)=1+%>0,

x

所以函數(shù)fM在(0,1)單調(diào)遞增.

若Insin26+左sin?ewincos?6+kcos?0，即f(sin2(cos20),

(rr3T冗I?/5萬??7%萬c)

所以sin20<cos2e,可得。的范圍為[0qu—，冗u

44

故選：c.

知識點(diǎn)5特殊角的三角函數(shù)值

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°

7171兀7127r37r5713兀

071

~6~4T~2TT~6~2

1走交j_

sina010-1

2~2222

走也j__72

cosa10-10

222~2^~2一下

B//

tana01-A/3-10

3一彳

自主檢測Icos120。=()

A.1B.也C.--D.-也

2222

【答案】C

【詳解】由題意得cosl2(T=cos(180。一60。)=一8$60。=-1,

故選：C

題型1角的概念

例1-11集合4=1司。=-2024。+上180。,丘Z｝中的最大負(fù)角a為()

A.-2024°B.-224°C.-44°D.-24°

【答案】C

【詳解】因?yàn)?2024°=-44°-11x180°,

所以集合A=｛1|/=-2024。+上180。,左€2｝中的最大負(fù)角。為田。.

故選：C.

例1-2|(2025?天津武清?模擬預(yù)測)給出下列命題：

(1)小于2TT的角是銳角

2

(2)第二象限角是鈍角

(3)終邊相同的角相等

(4)若a與「有相同的終邊，則必有a-夕=2碗*GZ),正確的個(gè)數(shù)是

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【詳解】(1)小于￡的角是銳角，錯(cuò)誤，如-但-g不是銳角；

2626

477

(2)第二象限角是鈍角，錯(cuò)誤，如一節(jié)是第二象限角，但不是鈍角；

(3)終邊相同的角相等，錯(cuò)誤，如力與-%；

(4)若a與a有相同的終邊，則必有a-4=2e(左GZ),正確.

故選：B.

------------------------------------------------------------------------------------------------《

方法技巧

理解與角的概念有關(guān)問題的關(guān)鍵

關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小.另外

需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個(gè)反例即可.

______________________________________________________________________________________________

【變式訓(xùn)練1-11(24-25高一下?天津?期中)將表的分針撥慢20分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度是.

2兀

【答案】y

【詳解】一個(gè)周角是2兀，因此分針撥慢20分鐘，

12兀

也即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)三乂2兀=臼.

33

2兀

故答案為：—

【變式訓(xùn)練1-2】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系X。》中，動(dòng)點(diǎn)尸、。從點(diǎn)A(l,0)出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)/＞按逆時(shí)針方

JT11JT

向每秒鐘轉(zhuǎn)三弧度，點(diǎn)。按順時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)段弧度，則P、。兩點(diǎn)在第1804次相遇時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)是.

故答案為:

[3F

【變式訓(xùn)練1-3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角￡均以。x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sina=；,則

COS（6Z-P）-

【答案】.7

【詳解】試題分析：因?yàn)閍和4關(guān)于y軸對稱，所以a+￡=7t+2E,左eZ,那么sin/=sina=；,cosa=-cos〃=逑

33

（或cos0二一cosa=2f）,

所以cos(a-/)=cosacos尸+sinasin0=-cos2a+sin2a=2sin2a-l=--.

題型2終邊相同的角的表示

例2-1|(24-25高一上?天津?yàn)I海新?期末)給出下列判斷：

①“VxeR,犬+尤+1>0”的否定為“HreR,^2+x+l<0，'

②函數(shù)y=J(X-3)2與函數(shù)y=x-3是同一個(gè)函數(shù)

③若角a與角夕的終邊在一條直線上，則a-#=E(笈eZ)

2兀?2兀1

?cos-----sm—=一

12122

其中，判斷正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【詳解】對于①：“VxsR,￡+尤+1>0”的否定為“HXGR,f+x+iwo"，故①錯(cuò)誤;

對于②：因?yàn)閥==|X-3|,

可知函數(shù)y=J(x-3)與函數(shù)。=彳-3的對應(yīng)關(guān)系不相同,不為同一函數(shù)，故②錯(cuò)誤；

對于③：若角a與角△的終邊在一條直線上，則a-乃=E(AeZ),故③正確;

對于④：cos2--sin2—=cos—=,故④錯(cuò)誤；

121262

所以正確的個(gè)數(shù)為1.

故選：A.

例2-21下列與角看的終邊一定相同的角是()

Su27r

A.—B.左?360。+—(k￡Z)

27r27r

C.2k7r+-^-(keZ)D.(2k+l)7r+-^-(kGZ)

【答案】c

【詳解】與角2年7r終邊相同角可以表示為｛&1。=$27r+2人萬#eZ｝

27rSTT

對A,由｛。|夕=望+2人心ZeZ｝找不到整數(shù)%讓夕=苓，所以A錯(cuò)誤

對B,表達(dá)有誤，角的表示不能同時(shí)在一個(gè)表達(dá)式中既有角度制又有弧度制，B錯(cuò)誤,

C項(xiàng)正確，

對D項(xiàng)，當(dāng)左=0時(shí)，角為三，當(dāng)左=—1時(shí)，角為-g,得不到角子，故D錯(cuò)誤，

故選：C.

方法技巧

在0。?360。范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法

(1)把任意角化為。+》360。(左eZ且0。4或＜360。)的形式，關(guān)鍵是確定k.可以用觀察法(a的絕對值較小)，

也可用除法.

(2)要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建

不等式求出發(fā)的值.

______________________________________________________________________________________________

【變式訓(xùn)練2-1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角￡均以。無為始邊，它們的終邊關(guān)于直線V=*對稱.若sine=g,

貝Usin(a-(3)=.

【答案】J7

【詳解】因在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角。與角尸均以3為始邊，它們的終邊關(guān)于直線,二%對稱，

JIJI]

則有a+，=2^+—,^eZ,即/?=2k7i+--a,k^Z,而sina=§,

所以，keZ,sin（a-/?）=sin（2a------2女》）=-cos2cr=-l+2sin2tz=——.

29

故答案為：-鼻7

【變式訓(xùn)練2-2】（2025?天津?二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角。與角/均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于>軸對稱.若

tana=2,貝（Jtan（a一尸）=.

4

【答案】

【詳解】因?yàn)榻恰Ｅc角夕均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于丁軸對稱，且tana=2,

所以/?=?一夕，

所以tan(a-J3)=tan(2cr-")=tan2a=-----------=——

1-tana3

4

故答案為：

（57ri

【變式訓(xùn)練2-3?變載體】（2025?天津?二模）已知「卜皿石,85不）是角a的終邊上一點(diǎn)，貝ljcosa=,角a的最

小正值是.

【答案】|y

.5兀

sin——

.5)5TT6.5兀1?十

【詳解】由于Psin—,cos—是角a的終邊上一點(diǎn)，所以cosa=/「廠=sin—=一.由于

661.25兀25兀62

sin-----FCOS——

66

sin^=l>0,cos—=-^<0,所以尸在第四象限，也即a是第四象限角，所以a=2析-當(dāng)左=1時(shí)，。取得最小

62623

正值為彳5兀

故答案為：（1）y;（2）

題型3象限角的判定

例3』（24-25高一上?天津?期末）已知角。頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x的非負(fù)半軸重合，若。=1050°,則6的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【詳解】=1050°=360°x2+330°,故0的終邊在第四象限.

故選：D.

例3-2|已知a是第一象限角，那么（不可能是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】D

7T

【詳解】由題意a是第一象限角，即2fat<a<2E+5/eZ,

故-<-kn+-,k?Z,

3336

ryTT(7

當(dāng)左二3〃,〃EZ時(shí)，2HTI<-<2HTI+-^?Z,a是第一象限角；

363

27r(75TTn

當(dāng)左=3〃+1,〃EZ時(shí)，2〃兀+臼<2〃兀+3,左？Z,巴是第二象限角；

3363

4Jia37rn

當(dāng)左=3〃+2,〃eZ時(shí)，2師+/<三〈2師+彳,左？Z,2是第三象限角;

故/不可能是第四象限角，

故選：D

方法技巧

判斷一個(gè)角?在第幾象限或哪條坐標(biāo)軸上的一般方法

(1)若a的絕對值比較大，可通過加上或減去360。的整數(shù)倍得到0°~360°內(nèi)或一360。7)。內(nèi)的一個(gè)角仇

(2)判斷力所在象限，則/?在第幾象限，。就在第幾象限.

【變式訓(xùn)練3-1】給出下列說法：①終邊相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若0。<4<90。，

則a是第一象限的角；④小于90。的角是銳角.其中錯(cuò)誤的序號是.

【答案】②④

【詳解】①終邊相同的角不一定相等，比如:，弓終邊相同，①正確；

②第二象限的角可能小于第一象限的角，比如弓,-與，^>-y,②錯(cuò)誤;

③若0。<。<90。，則a是第一象限的角，③正確；

④不妨考慮0°,小于90。，但0。不是銳角，④錯(cuò)誤.

故選：②④

【變式訓(xùn)練3-2】已知角c=2024。，則角a的終邊落在第象限.

【答案】三

【詳解】由題意得a=2024°=5x360°+224°,

由于224。的終邊在第三象限內(nèi)，故角a的終邊落在第三象限內(nèi)，

故答案為：三

【變式訓(xùn)練3-3】設(shè)凡是正整數(shù)，集合A=[x|x=cos也KCN].當(dāng)a=3,集合A有個(gè)元素；若集合A有100個(gè)元

素，貝||〃=.

【答案】2198或199

2ET==3

【詳解】由題意當(dāng)〃=3,x（Z:）=cos—,Z:eN,周期為2兀一°,

3T

Ojr47r1|I

所以=l,x（l）=cosy=x（2）=cosy=-1,經(jīng)過去重得此時(shí)A=jo,--k即此時(shí)集合A有2個(gè)元素；

原問題等價(jià)于單位圓盤〃等分后，相應(yīng)橫坐標(biāo)的所有可能數(shù)與〃的對應(yīng)關(guān)系，

由對稱性可知，只需考慮上半圓盤以及（±1,。），

所以如果集合A有100個(gè)元素，即相應(yīng)橫坐標(biāo)的所有可能數(shù)為100,

則可能是（1,0），和上半圓盤與下半圓盤各99個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)（它們關(guān)于x軸對稱），即此時(shí)“=1+99+99=199,

還有一種可能：即（1,0）和以及上半圓盤與下半圓盤各98個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)（它們關(guān)于無軸對稱），也就是

“=1+98+1+98=198,

綜上所述，若集合A有100個(gè)元素，則況=198或〃=199.

故答案為：2；198或199.

題型4區(qū)域角的表示

例4-1（2025?天津?調(diào)研）已知角。的終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），角1的終邊和。相同，則角a的集合為（

I71fal兀4兀，

B.〈儀1----<6Z<1-----，攵￡Z>

[6232J

7T71

C.<a—+kjt<a<—+kn,k^Z>

I63J

I7i3kn,,兀3fal

D.—I---------WaW—I-------,k7eZ\

[6232J

【答案】c

【詳解】終邊落在y="x上的角為F+E伍eZ）,終邊落在y=gx上的角為W+標(biāo)信eZ）,

363

故角a的集合為《a弓+?<(/<]+也,左eZ：.

故選：c

MeZ則角a的終邊落在陰影處(包括邊界)的區(qū)域是()

IT7T

【詳解】令人則廣腔5,故B選項(xiàng)符合.

故選：B

方法技巧

區(qū)域角的寫法

(1)按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；

(2)由小到大分別標(biāo)出起始、終止邊界對應(yīng)的一個(gè)角a,/3,寫出所有與口，力終邊相同的角;

(3)用不等式表示區(qū)域內(nèi)的角，組成集合.

【答案】C

【詳解】當(dāng)左=2w("eZ)時(shí)，2〃兀+兀++,此時(shí)a表示的范圍與;VaV*表示的范圍一致;

4242

3TTTT3TTIT

當(dāng)上=2〃-l(〃eZ)時(shí)，2mt-吧MaW2mt」,止匕時(shí)a表示的范圍與一把VaW-烏表示的范圍一致，

4242

TT7T

因此集合｛々|配+74&4析+；7,%eZ｝中角表示的范圍所對圖形是選項(xiàng)C反應(yīng)的.

42

故選：C.

【變式訓(xùn)練4-2】集合｛。照80。4。4內(nèi)180。+45。水"｝中角表示的范圍(用陰影表示)是圖中的(

【答案】B

【詳解】集合｛。出?180。4</=公180。+45。,8》2｝中,

當(dāng)上為偶數(shù)時(shí)，此集合與｛a1?！?lt;a<45。｝表示終邊相同的角，位于第一象限；

當(dāng)上為奇數(shù)時(shí)，此集合與｛0|180。<a4225。｝表示終邊相同的角，位于第三象限.

所以集合｛。1-180。三夕〈左.180。+45。,左?2｝中角表示的范圍為選項(xiàng)8中陰影所示.

故選：B.

【變式訓(xùn)練4-3?變載體】已知角a的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角六的取值范圍是

【詳解】終邊在30。角的終邊所在直線上的角的集合為岳=｛00=30。+h180。,左€2｝,

終邊在180°-75°=105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2={a\a=105°+k-180°,AeZ},

因此終邊在題圖中的陰影區(qū)域內(nèi)的角a的取值范圍是{330。+公180。＜。＜105。+6180。,左€2},

所以角羨的取值范圍是［葭15。+?90。＜￡＜52.5。+h90。/ez1,

故答案為：15°+左?90°4￡＜52.5°+k-90°,左ez1

題型5弧度制與角度制的互化

--------2兀

例5-1|（24-25高一上?天津河西?期末）將工■化成角度為（）

A.60°B.120°C.150°D.240°

【答案】B

2兀2

【詳解】y=-xl800=120\

故選：B

----------------7T

例5-2妝口圖,在扇形CMB中，ZAOB=~,OA=OB=2,則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）

O

27r

①ZAOB=30。；②A3的長等于可；

47r

③扇形（MB的周長為看+4；④扇形Q4B的面積為莖.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

TT

【詳解】因?yàn)?02=三，根據(jù)角度制與弧度制的互化，可得4408=60。，所以①不正確;

JT

由ZAOB=§,且。4=03=2,可得△OA3為等邊三角形，所以4?=2,所以②不正確；

jr9jr

由扇形的弧長公式，可得A8的長度為］x2=1，

兀

所以扇形的周長為/=927r+2+2=29+4,所以③正確；

33

1jr27r

由扇形的面積公式，可得扇形的面積為5=7乂彳乂22=丁，所以④不正確.

233

故選：A.

■

方法技巧

①在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，關(guān)鍵是抓住獷）=180。，1。=上rad這一關(guān)系.

180

②用弧度作為單位時(shí)，常出現(xiàn)萬，如果題目沒有特殊的要求，應(yīng)當(dāng)保留萬的形式，不要寫成小數(shù).

③角度制與弧度制不得混用，如。=2左萬+30。，左GZ；￡=屋360。+/萬，左GZ都是不正確的寫法.

______________________________________________________________________________________________

【變式訓(xùn)練5-1】（2024.天津.一模）英國著名數(shù)學(xué)家布魯克?泰勒（TaylorBrook）以微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)

的定理著稱于世泰勒提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級數(shù)，泰勒級數(shù)用無限連加式來表示一個(gè)函數(shù)，如：

r3r5Y7、?32527

sinx=x-----+-----------K..,其中〃!=lx2x3x….根據(jù)該展開式可知，與2-----+----------+…的值最接近的是（）

3!5!7!3!5!7!

A.sin2°B.sin24.6°

C.cos24.6°D.cos65.4°

【答案】c

【詳解】原式=sin2Qsin（2X57.3°）=sin（90°+24.6°）=cos24.6°,

故選：C.

【變式訓(xùn)練5-21時(shí)鐘的分針在8點(diǎn)到10點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為（）

1414c77

A.——7iB.------nC.-7iD.-----71

331818

【答案】B

【詳解】分針每分鐘轉(zhuǎn)6。，則分針在8點(diǎn)到10點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過度數(shù)為-6°x（2x60+20）=-840。,

jr14

/,-840°x—=,

18003

故選：B.

【變式訓(xùn)練5-3】將-315?；癁榛《戎疲_的是（）

5兀

T

【答案】B

【詳解】一315"=-315x二=一乂

1804

故選：B

重

例6-1如圖是杭州2022年第19屆亞運(yùn)會會徽，名為“潮涌”，錢塘江和錢江潮頭是會徽的形象核心，綠水青山展示了

浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表達(dá)了浙江兒女勇立潮頭的精神氣質(zhì)，整個(gè)會徽形象象征著新時(shí)代中國特色

社會主義大潮的涌動(dòng)和發(fā)展.如圖是會徽的幾何圖形,設(shè)弧AD長度是4，弧長度是3幾何圖形ABC。面積為M，

,S.

扇形3OC面積為S?,若各=2,則一（

“2

D.4

【答案】C

/.OA\

【詳解】解：設(shè)NAOD=6,貝||/|=004,/2=夕.08所以/=7范=2,即。A=2°B,

l2(Jb

-OAL--OBI,2OBI.--OBL

Zr\Z

2122

所以興==3,

-OB-1,OBI,

2222

故選：C

例6-2|（2023?天津河?xùn)|?一模）在面積為4的扇形中，其周長最小時(shí)半徑的值為（）

A.4B.2拒C.2D.1

【答案】C

【詳解】設(shè)扇形的半徑為R（R>0）,圓心角為。，

則^々玄二七所以a=

則扇形的周長為2R+aR=2R+?N2j2R§=8，

R\R

Q

當(dāng)且僅當(dāng)2R=百，即R=2時(shí)，取等號，止匕時(shí)a=2,

R

所以周長最小時(shí)半徑的值為2.

故選：C.

方法技巧

有關(guān)扇形的弧長/,圓心角口，面積S的題目，一般是知二求一的題目，解此類題目的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用/=|a|R,

S=L/R=ja|R2兩組公式.

22

【變式訓(xùn)練6-1】（2024.天津河北.一模）直線x-y-l=。將圓（尤-2y+4-3）2=8分成兩段圓弧，則較短圓弧與較長圓

弧的弧長之比為.

【答案】1:2

【詳解】設(shè)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為A、瓦圓心為C,ZACB=2a[O<a<7r）,

12-3-11

??,圓心到直線的距離d=1.——1=A/2,

V1+1

??coscc——產(chǎn)=一,

2V22

-,-0<a<7T,

71

3

Z.ACB=2a=—,

3

所以兩段圓弧的弧長之比等于兩段弧長所對的圓心角的弧度數(shù)之比為1:2.

故答案為：1:2.

7

【變式訓(xùn)練6-2】如圖，某處有一塊圓心角為§兀的扇形綠地495,扇形的半徑為20米，A3是一條原有的人行直路,

由于工程建設(shè)需要，現(xiàn)要在綠地中建一條直路OC,以便在圖中陰影部分區(qū)域分類堆放物料.為了盡量減少對綠地的破

壞（不計(jì)路寬），則原直路與新直路OC的交叉點(diǎn)。到。的距離為米.

【答案】1072

【詳解】過點(diǎn)。作垂足為可得0"=10,AB=2Q/,

vyiOB

設(shè)NBOD=a,BD=m,在△5。。中，由正弦定理得—

sma~sinZODB'

jrm—__2__0__s_i_n__a___

因?yàn)?111/0￡）3=5111（。+/。5。）=5111（。+—）,所以./71,,

6sm（6Z+-）

6

2

又由陰影部分的面積：S=S扇形OBC-S.OBD+SA0AD=1?X（20）-1mxl0+1（20后-zn）xl0=200a+100若-10m

=200a+100A/3-20°sm。00（?——Sma）+100A/3,無

sin（c+兀）=2sin（e+兀）,其中°N<￡町，