數(shù)據(jù)分析__列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

鏈教材夯基固本

p,n(ad-bc)2

附：x~-----------------------，"=a+6+c+d.

(a+6)(c+軟。+c)(6+t/)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

激活思維

1.為調(diào)查中學(xué)生近視情況，測(cè)得某校150名男生中有80名近視，140名女生中有70

名近視.在檢驗(yàn)這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)，下列方法最有說服力的是（）

A.回歸分析B.均值與方差

C.獨(dú)立性檢驗(yàn)D.概率

2.某科研機(jī)構(gòu)為了研究中年人禿發(fā)與心臟病是否有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查了一些中年人的情況,

具體數(shù)據(jù)如下表：

心臟病無心臟病

禿發(fā)20300

不禿發(fā)5450

根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到%2七15.968,因?yàn)榱?>i0.828,所以斷定禿發(fā)與心臟病有關(guān)系，則這種

判斷出錯(cuò)的可能性不大于.

3.（人A選必三P139復(fù)習(xí)參考題T3）根據(jù)分類變量x與y的觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算得到%2=2.974.

依據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（）

A.變量尤與y不獨(dú)立

B.變量x與歹不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05

C.變量x與y獨(dú)立

D.變量x與y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05

4.（人A選必三P134練習(xí)T4改）已知變量X,Y,由它們的樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到%2的觀測(cè)

值；<2n4.328,則最大有（填百分?jǐn)?shù)）的把握說變量X,￥有關(guān)系.

5.（人A選必三P135習(xí)題T8）調(diào)查某醫(yī)院一段時(shí)間內(nèi)嬰兒出生的時(shí)間和性別的關(guān)聯(lián)性,

得到如下的列聯(lián)表（單位：人）：

出生時(shí)間

性別合計(jì)

晚上白天

女243155

男82634

合計(jì)325789

依據(jù)a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，則在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下可

以認(rèn)為性別與出生時(shí)間有關(guān)聯(lián).

聚焦知識(shí)

1.2X2列聯(lián)表

一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和匕它們的取值分別為｛XI,X2｝和｛n，芹｝，其2義2

列聯(lián)表為

Y

X合計(jì)

Y=y\Y=yi

X=x\aba~\~b

X=X2cdc~\~d

合計(jì)a~\~cb+d

2.臨界值

”(ad—be?

X2.忽略%2的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后，對(duì)于任何小概

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

率值a,可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)Xa，使得尸（722Xa）=a成立.我們稱Xa為a的臨界值，這個(gè)臨

界值就可作為判斷力大小的標(biāo)準(zhǔn).

3.獨(dú)立性檢驗(yàn)

基于小概率值a的檢驗(yàn)規(guī)則是：

當(dāng)%2》我時(shí)，就推斷M不成立，即認(rèn)為X和y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過a；

當(dāng)%2<Xa時(shí)，沒有充分證據(jù)推斷Ho不成立，可以認(rèn)為X和y獨(dú)立.

這種利用/的取值推斷分類變量X和y是否獨(dú)立的方法稱為*獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作，，卡方

獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).

下表給出了%2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：

a0.100.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說法

目幀u列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

例1(2024?晉城三模節(jié)選)某興趣小組調(diào)查并統(tǒng)計(jì)了某班級(jí)學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成

績(jī)和建立個(gè)性化錯(cuò)題本的情況，用來研究這兩者是否有關(guān).若該班級(jí)共有36名學(xué)生，具體

見列聯(lián)表信息.

期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績(jī)

個(gè)性化錯(cuò)題本合計(jì)

及格不及格

建立20424

未建立4812

合計(jì)241236

(1)依據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績(jī)與建立個(gè)性

化錯(cuò)題本是否有關(guān)；

(2)為進(jìn)一步驗(yàn)證(1)中的判斷，該興趣小組準(zhǔn)備在其他班級(jí)中抽取一個(gè)容量為36后的樣

本(假設(shè)根據(jù)新樣本數(shù)據(jù)建立的列聯(lián)表中，所有的數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為(1)中列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的《倍，

且新列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)都為整數(shù)).若要使得依據(jù)a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)可以肯定(1)中的判斷,

試確定k的最小值.

，總結(jié)提煉A

獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法：

(1)構(gòu)造2X2列聯(lián)表；

(2)計(jì)算

(3)查表確定有多大的把握判定兩個(gè)變量有關(guān)聯(lián).

注意：查表時(shí)不是查最大允許值，而是先根據(jù)題目要求的百分比找到第一行對(duì)應(yīng)的數(shù)值，

再將該數(shù)值對(duì)應(yīng)的X。值與求得的*值相比較.另外，表中第一行數(shù)據(jù)表示兩個(gè)變量沒有關(guān)聯(lián)

的可能性P，所以其有關(guān)聯(lián)的可能性為1—0.

變式1(2024?全國(guó)甲卷)某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造.升級(jí)改造后，從該工廠甲、

乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)

甲車間2624050

乙車間70282100

總計(jì)96522150

(1)填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)

為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？

(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率為p=0.5.設(shè)P為升級(jí)改造后抽取的〃件

p(\~p)

產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果P>p+1.65，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.根

n

據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提

高了？(立50N12.247)

目幀自獨(dú)立性檢驗(yàn)與回歸分析的綜合

例2下表是某市一主干道路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個(gè)月內(nèi)駕駛員不“禮讓行人”違章

駕駛?cè)舜谓y(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).

月份12345

違章駕駛?cè)舜?251051009080

(1)由表中數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合違章駕駛?cè)舜蝭與月份x之間的關(guān)系，求

AAA

y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=6x+a,并預(yù)測(cè)該路口7月份不“禮讓行人”違章駕駛?cè)舜?

(2)交警從這5個(gè)月內(nèi)通過該路口的駕駛員中隨機(jī)抽查90人，調(diào)查駕駛員“禮讓行人”

行為與駕齡的關(guān)系，得到下表：

不“禮讓行人”“禮讓行人”

駕齡不超過2年2416

駕齡2年以上2624

依據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷“禮讓行人”行為與駕齡是否有關(guān)聯(lián)，并用一

句話談?wù)勀銓?duì)結(jié)論判斷的體會(huì).

變式2為了解某一地區(qū)電動(dòng)汽車銷售情況，一機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到

電動(dòng)汽車銷量y(單位：萬臺(tái))關(guān)于年份x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=4.7x—9459.2,且銷量y的方

差為年份x的方差為底=2.

(1)求y關(guān)于x的樣本相關(guān)系數(shù)r,并據(jù)此判斷電動(dòng)汽車銷量/與年份x的相關(guān)性強(qiáng)弱(若

|r|>0.9,則可判斷〉與x線性相關(guān)程度較強(qiáng))；

(2)該機(jī)構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位購(gòu)車車主的性別與購(gòu)車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表:

性別購(gòu)買非電動(dòng)汽車購(gòu)買電動(dòng)汽車總計(jì)

男性39645

女性301545

總計(jì)692190

依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購(gòu)買電動(dòng)汽車與車主性別有關(guān)?

參考數(shù)據(jù)：^5X127=^/635^25.

隨堂內(nèi)化

1.為了解某大學(xué)的學(xué)生是否愛好體育鍛煉，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法在校園內(nèi)調(diào)查了120

位學(xué)生，得到如下2X2列聯(lián)表：

男女合計(jì)

愛好ab73

不愛好C25

合計(jì)74

則a-6—c=()

A.7B.8C.9D.10

2.兩個(gè)分類變量X和匕值域分別為｛xi，洶｝和他,及｝,其樣本頻數(shù)分別是。=10,b

=21,c+d=35.若X與/有關(guān)系的可信程度不小于97.5%,則c的值可以為（）

（附:xo.o25=5.024）

A.3B.4

C.5D,6

3.（2025?蘇州期末）（多選）為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的

方法抽取88名學(xué)生.通過測(cè)驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學(xué)生中10名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀;

乙校45名學(xué)生中有7名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀.整理數(shù)據(jù)如下表：

數(shù)學(xué)成績(jī)

學(xué)校合計(jì)

不優(yōu)秀優(yōu)秀

甲校331043

乙校38745

合計(jì)711788

參考公式及數(shù)據(jù):

n(ad—bc)，

Z2〃=a+6+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0100.005

Xa2.7063.8416.6357.879

則下列說法正確的有（）

A.甲校的數(shù)學(xué)抽測(cè)成績(jī)優(yōu)秀率一定比乙校的數(shù)學(xué)抽測(cè)成績(jī)優(yōu)秀率高

B.甲校的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率一定比乙校的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率高

C.甲校的數(shù)學(xué)優(yōu)秀人數(shù)可能比乙校的數(shù)學(xué)優(yōu)秀人數(shù)多

D.對(duì)于小概率值a=0.1,可以認(rèn)為兩校的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率幾乎沒有差異

4.（多選）暑假結(jié)束后，為了解假期中學(xué)生鍛煉身體情況，學(xué)生處對(duì)所有在校學(xué)生做問卷

調(diào)查，并隨機(jī)抽取了180人的調(diào)查問卷，其中男生比女生少20人，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制得

到等高堆積條形圖.已知xo.oi=6.635,在被調(diào)查者中，下列說法正確的是（）

□不經(jīng)常鍛煉

口經(jīng)常鍛煉

A.男生中不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多

B.男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多8

C.經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率是不經(jīng)常鍛煉者中男生頻率的1.6倍左右

D.在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01的條件下，可以認(rèn)為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)

5.為了考察一種新疫苗預(yù)防某X疾病的效果，研究人員對(duì)一地區(qū)某種動(dòng)物進(jìn)行試驗(yàn)，

從該試驗(yàn)群中隨機(jī)進(jìn)行了抽查，已知抽查的接種疫苗的動(dòng)物數(shù)量是沒接種疫苗的2倍，接種

且發(fā)病占接種的J，沒接種且發(fā)病的占沒接種的;.若本次抽查得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過

63

0.05的前提下認(rèn)為接種該疫苗與預(yù)防某X疾病有關(guān)”的結(jié)論，則被抽查的沒接種疫苗的動(dòng)

物至少有（）

附：XO.O5=3.841.

A.35只B.36只

C.37只D.38只

配套精練

n(ad-bc)2

附：Z2,其中"=a+6+c+d

(?+Z>)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.7063.8415.0246.6357.87910.828

一、單項(xiàng)選擇題

1.下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的說法正確的是（）

A.獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一種檢驗(yàn)

B.獨(dú)立性檢驗(yàn)可以100%確定兩個(gè)變量之間是否具有某種關(guān)系

C.利用%2獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷吸煙與患肺病的關(guān)聯(lián)，若有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有

關(guān)系，則我們可以說在100個(gè)吸煙的人中，有99人患肺病

D.對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量好的值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越大

2.（2024?棗莊一模）某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡(jiǎn)單隨

機(jī)抽樣的方法對(duì)治療情況進(jìn)行檢查，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：

療效

療法合計(jì)

未治愈治愈

甲155267

乙66369

合計(jì)21115136

經(jīng)計(jì)算得到%2仁4,881,根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，則可以認(rèn)為（）

A.兩種療法的效果存在差異

B.兩種療法的效果存在差異，這種判斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005

C.兩種療法的效果沒有差異

D.兩種療法的效果沒有差異，這種判斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005

3.（2024?臨汾二模）人生因閱讀而氣象萬千，人生因閱讀而精彩紛呈.腹有詩(shī)書氣自華,

讀書有益于開闊眼界、提升格局；最是書香能致遠(yuǎn)，書海中深蘊(yùn)著灼熱的理想信仰、熾熱的

國(guó)家情懷.對(duì)某校高中學(xué)生的讀書情況進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果如下：

喜歡讀書不喜歡讀書合計(jì)

男生26060320

女生200m加+200

合計(jì)460冽+60加+520

根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷是否喜歡閱讀與性別有關(guān)，則加的值可以

為（）

A.10B.20

C.30D.40

be/

4.已知某獨(dú)立性檢驗(yàn)中，由%2=〃=o+b+c+a計(jì)算出#2=

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

油若將2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)a,b,c,d分別變成2Q,2b,2c,2d,計(jì)算出的貝（J（）

B.必=2必

C.月=2則D.修=4必

二、多項(xiàng)選擇題

5.某中學(xué)為了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，從本校所有學(xué)生

中隨機(jī)調(diào)查了50名男生和50名女生，得到如下列聯(lián)表：

經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉

男4010

女3020

經(jīng)計(jì)算%2-4.762,則可以推斷出（）

A.該學(xué)校男生中經(jīng)常體育鍛煉的概率的估計(jì)值為:

B.該學(xué)校男生比女生更經(jīng)常鍛煉

C.有95%的把握認(rèn)為男、女生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異

D.有99%的把握認(rèn)為男、女生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異

6.（2024?南昌二模）為了解中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)，甲、乙兩校的課題組分

別隨機(jī)抽取了本校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下兩個(gè)表格：

甲校樣本

喜愛足球運(yùn)動(dòng)不喜愛足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)

男性15520

女性81220

合計(jì)231740

乙校樣本

喜愛足球運(yùn)動(dòng)不喜愛足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)

男性7030100

女性4555100

合計(jì)11585200

則下列判斷中正確的是（）

A.樣本中，甲校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例高于乙校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例

B.樣本中，甲校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例高于乙校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例

C.根據(jù)甲校樣本有99%的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)

D.根據(jù)乙校樣本有99%的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)

7.（2024?湖北八市3月聯(lián)考）某校為了解周一新生對(duì)數(shù)學(xué)是否感興趣，從400名女生和

600名男生中通過分層隨機(jī)抽樣的方式隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果

得到如下等高堆積條形圖和列聯(lián)表，則（）

0

9

8

7□感興趣

6口不感興趣

5

4

3

2

1

0

男生

（第7題）

數(shù)學(xué)興趣

性別合計(jì)

感興趣不感興趣

女生aba+b

男生Cdc~\~d

合計(jì)a+cb~\~d100

參考數(shù)據(jù)：本題中,223.94.

A.表中a=12,c=30

B.可以估計(jì)該校高一新生中對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣的女生人數(shù)比男生多

C.根據(jù)小概率值a=0.05的好獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別與對(duì)數(shù)學(xué)的興趣有差異

D.根據(jù)小概率值a=0.01的%2獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別與對(duì)數(shù)學(xué)的興趣沒有差異

三、填空題

8.下表是對(duì)于“喜歡運(yùn)動(dòng)”與性別是否有關(guān)的2X2列聯(lián)表，依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到

泮（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后3位）.

喜歡運(yùn)動(dòng)不喜歡運(yùn)動(dòng)合計(jì)

男402868

女51217

合計(jì)454085

9.某高校有10000名學(xué)生，其中女生3000名，男生7000名.為調(diào)查愛好體育運(yùn)動(dòng)是

否與性別有關(guān)，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取120名學(xué)生，制成如下2X2列聯(lián)表，則a—6=

__________________.（用數(shù)字作答）

男女合計(jì)

愛好體育運(yùn)動(dòng)a9

不愛好體育運(yùn)動(dòng)28b

合計(jì)120

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