兩條直線的位置關(guān)系第二節(jié)課程內(nèi)容要求1.能根據(jù)斜率公式判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行線間的距離.CONTENTS目錄123基礎(chǔ)扎牢——基礎(chǔ)不牢·地動(dòng)山搖考法研透——方向不對(duì)·努力白費(fèi)思維激活——靈活不足·難得高分4課時(shí)跟蹤檢測(cè)基礎(chǔ)扎牢—基礎(chǔ)不牢·地動(dòng)山搖011.兩條直線平行與垂直的判定由教材回扣基礎(chǔ)兩條直線平行①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?________.②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2兩條直線垂直①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?_____________.②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2k1=k2k1·k2=-1

3.三種距離公式類型條件距離公式兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|=____________________點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax+By+C=0的距離d=_________________兩平行直線間的距離兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離d=__________

1.常用的2個(gè)結(jié)論.(1)2個(gè)充要條件.①兩直線平行的條件直線l1：A1x+B1y+C1=0與直線l2：A2x+B2y+C2=0平行的充要條件是：A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).澄清微點(diǎn)·熟記結(jié)論②兩直線垂直的條件直線l1：A1x+B1y+C1=0與直線l2：A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件是：A1A2+B1B2=0.(2)6種常見對(duì)稱.①點(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)(0，0)的對(duì)稱點(diǎn)為(-x，-y)；②點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，-y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-x，y)；③點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為(-y，-x)；④點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a-x，y)，關(guān)于直線y=b的對(duì)稱點(diǎn)為(x，2b-y)；⑤點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a-x，2b-y)；⑥點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x+y=k的對(duì)稱點(diǎn)為(k-y，k-x)，關(guān)于直線x-y=k的對(duì)稱點(diǎn)為(k+y，x-k).2.謹(jǐn)防4個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)(1)兩條直線平行時(shí)，不要忘記它們的斜率有可能不存在的情況.(2)兩條直線垂直時(shí)，不要忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況.(3)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先化直線方程為一般式.(4)求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.一、準(zhǔn)確理解概念(判斷正誤)(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時(shí)，一定有k1=k2?l1∥l2.(

)(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于-1.(

)(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交.(

)(4)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.(

)答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)√練小題鞏固基礎(chǔ)

√

√2.(忽視兩直線重合)若直線l1：x+y-1=0與直線l2：x+a2y+a=0平行，則實(shí)數(shù)a=

.

解析：因?yàn)橹本€l1的斜率k1=-1，l1∥l2，所以a2=1，且a≠-1，所以a=1.答案：1

考法研透—方向不對(duì)·努力白費(fèi)02命題視角一兩條直線的平行與垂直(自主練通)√

√

√

√

一“點(diǎn)”就過

兩直線位置關(guān)系的判斷方法已知兩直線的斜率存在①兩直線平行?兩直線的斜率相等且坐標(biāo)軸上的截距不相等；②兩直線垂直?兩直線的斜率之積為-1已知兩直線的斜率不存在當(dāng)兩直線在x軸上的截距不相等時(shí)，兩直線平行；否則兩直線重合已知兩直線的一般方程設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，則l1∥l2?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0；l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.該方法可避免對(duì)斜率是否存在進(jìn)行討論續(xù)表

提醒：當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況.同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.[典例]

(1)經(jīng)過兩條直線l1：x+y-4=0和l2：x-y+2=0的交點(diǎn)，且與直線2x-y-1=0垂直的直線方程為

.

命題視角二兩條直線的交點(diǎn)與距離問題

[答案]

x+2y-7=0

[答案]

x+3y-5=0或x=-11.求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.2.利用距離公式解題的注意點(diǎn)(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線x=a的距離d=|x0-a|，到直線y=b的距離d=|y0-b|；(2)應(yīng)用兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)分別化為相等.方法技巧

針對(duì)訓(xùn)練√

√

考法(一)

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱[例1]

過點(diǎn)P(0，1)作直線l使它被直線l1：2x+y-8=0和l2：x-3y+10=0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為

.

[解析]

設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，8-2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(-a，2a-6)在l2上，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0，解得a=4，即點(diǎn)A(4，0)在直線l上，所以由兩點(diǎn)式得直線l的方程為x+4y-4=0.[答案]

x+4y-4=0命題視角三對(duì)稱問題

方法技巧

方法技巧考法(三)

線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱[例3]

已知直線l：2x-3y+1=0，點(diǎn)A(-1，-2)，則直線l關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的直線l'的方程為

.

[解析]

在l：2x-3y+1=0上任取兩點(diǎn)，如P(1，1)，N(4，3)，則P，N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P'，N'均在直線l'上.易知P'(-3，-5)，N'(-6，-7)，由兩點(diǎn)式可得l'的方程為2x-3y-9=0.[答案]

2x-3y-9=0方法技巧1.線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩種求解方法(1)在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程.(2)求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程.2.線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的實(shí)質(zhì)“線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱”的實(shí)質(zhì)就是“點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱”，只要在直線上取兩個(gè)點(diǎn)，求出其對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)即可，可統(tǒng)稱為“中心對(duì)稱”.

方法技巧求直線l1關(guān)于直線l對(duì)稱的直線l2，有兩種處理方法(1)在直線l1上取兩點(diǎn)(一般取特殊點(diǎn))，利用求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法求出這兩點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，再用兩點(diǎn)式寫出直線l2的方程.(2)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是直線l2上任意一點(diǎn)，其關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P1(x1，y1)(P1在直線l1上)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱建立方程組，用x，y表示出x1，y1，再代入直線l1的方程，即得直線l2的方程.1.從點(diǎn)(2，3)射出的光線沿與向量a=(8，4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為

(

)A.x+2y-4=0 B.2x+y-1=0C.x+6y-16=0 D.6x+y-8=0針對(duì)訓(xùn)練√

2.已知直線y=2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(-4，2)，(3，1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

(

)A.(-2，4) B.(-2，-4)C.(2，4) D.(2，-4)√

3.若直線l1：y=k(x-4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2，1)對(duì)稱，則直線l2過定點(diǎn)

(

)A.(0，4) B.(0，2)C.(-2，4) D.(4，-2)解析：由題知直線l1過定點(diǎn)(4，0)，則由條件可知，直線l2所過定點(diǎn)關(guān)于(2，1)對(duì)稱的點(diǎn)為(4，0)，故可知直線l2所過定點(diǎn)為(0，2)，故選B.√思維激活—靈活不足·難得高分03

直線系方程是指具有某種共同性質(zhì)的所有直線的集合，其方程叫直線系方程.常見的直線系方程有平行直線系，垂直直線系和過直線交點(diǎn)的直線系.求解直線方程時(shí)，采用設(shè)直線系方程的方法可簡(jiǎn)化運(yùn)算.巧用性質(zhì)?練轉(zhuǎn)化思維——活用直線系方程1.(平行直線系方程)過點(diǎn)A(1，-4)且與直線2x+3y+5=0平行的直線方程為

.

解析：設(shè)所求直線方程為2x+3y+c=0(c≠5)，由題意知，2×1+3×(-4)+c=0，所以c=10，故所求直線方程為2x+3y+10=0.答案：2x+3y+10=02.(垂直直線系方程)經(jīng)過A(2，1)，且與直線2x+y-10=0垂直的直線l的方程為

.

解析：因?yàn)樗笾本€與直線2x+y-10=0垂直，所以設(shè)該直線方程為x-2y+c=0，又直線過點(diǎn)A(2，1)，所以有2-2×1+c=0，解得c=0，即所求直線方程為x-2y=0.答案：x-2y=03.(過直線交點(diǎn)的直線系方程)已知兩條直線l1：x-2y+4=0和l2：x+y-2=0的交點(diǎn)為P，求過點(diǎn)P且與直線l3：3x-4y+5=0垂直的直線l的方程為

.

解析：設(shè)所求直線l的方程為：x-2y+4+λ(x+y-2)=0，即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0，因?yàn)橹本€l與l3垂直，所以3(1+λ)-4(λ-2)=0，所以λ=11，所以直線l的方程為4x+3y-6=0.答案：4x+3y-6=0

融會(huì)貫通(1)求過直線交點(diǎn)的直線系方程可利用過兩直線交點(diǎn)的直線系方程求解，即過兩條已知直線l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程是A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R，但不包括l2)，恰當(dāng)使用直線系方程可簡(jiǎn)化運(yùn)算.(2)當(dāng)所求直線與已知直線Ax+By+C=0平行時(shí)，可設(shè)所求直線為Ax+By+λ=0(λ為參數(shù)，且λ≠C)，再結(jié)合其他條件求出λ，即得所求直線方程.(3)當(dāng)所求直線與已知直線Ax+By+C=0垂直時(shí)，可設(shè)所求直線為Bx-Ay+λ=0(λ為參數(shù))，再結(jié)合其他條件求出λ，即得所求直線方程.04課時(shí)跟蹤檢測(cè)一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1.若兩直線l1：(a-1)x-3y-2=0與l2：x-(a+1)y+2=0平行，則a的值為(

)A.±2 B.2C.-2 D.0解析：因?yàn)閘1：(a-1)x-3y-2=0與l2：x-(a+1)y+2=0平行，所以-(a+1)(a-1)-1×(-3)=0，解得a=±2.故選A.√2.若直線l1：2x-3y+4=0與l2互相平行，且l2過點(diǎn)(2，1)，則直線l2的方程為

(

)A.3x-2y-2=0 B.3x-2y+2=0C.2x-3y-1=0 D.2x-3y+1=0解析：∵直線l1：2x-3y+4=0與l2互相平行，∴設(shè)直線l2的方程為2x-3y+c=0，∵l2過點(diǎn)(2，1)，∴2×2-3×1+c=0，解得c=-1，∴直線l2的方程為2x-3y-1=0.故選C.√

√4.直線3x-4y+5=0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的方程是

(

)A.3x+4y+5=0 B.3x+4y-5=0C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0解析：在所求直線上任取一點(diǎn)P(x，y)，則點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P'(x，-y)在已知的直線3x-4y+5=0上，所以3x-4(-y)+5=0，即3x+4y+5=0，故選A.√

√

2.三條直線l1：x-y=0，l2：x+y-2=0，l3：5x-ky-15=0構(gòu)成一個(gè)三角形，則k的取值范圍是

(

)A.k∈R B.k∈R且k≠±1，k≠0C.k∈R且k≠±5，k≠-10 D.k∈R且k≠±5，k≠1√解析：由l1∥l3得k=5；由l2∥l3得k=-5；由x-y=0與x+y-2=0得x=1，y=1，若