重難點突破03高等背景下概率論新定義目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 3題型一：切比雪夫不等式 3題型二：馬爾科夫鏈 5題型三：卡特蘭數(shù) 7題型四：概率密度函數(shù) 9題型五：二維離散型隨機(jī)變量 11題型六：多項式擬合函數(shù) 13題型七：最大似然估算與大數(shù)定律 1403過關(guān)測試 18

在高等背景下，概率論的新定義涉及更復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型和理論框架。方法技巧上，需深入理解隨機(jī)變量及其分布、多維隨機(jī)變量及其相關(guān)性，以及大數(shù)定律和中心極限定理等核心概念。同時，掌握切比雪夫不等式、馬爾科夫鏈、卡特蘭數(shù)等高級概率工具也至關(guān)重要。技巧上，要善于運(yùn)用概率論知識簡化復(fù)雜問題的求解過程，如利用概率分布特性減少計算量，或通過構(gòu)建概率模型直觀理解問題。此外，結(jié)合實際問題背景，靈活運(yùn)用條件概率、貝葉斯公式等也是解題的關(guān)鍵?？偨Y(jié)來說，高等背景下概率論的新定義強(qiáng)調(diào)理論深度與應(yīng)用廣度，要求學(xué)習(xí)者不僅掌握基礎(chǔ)知識，還需具備靈活運(yùn)用高級概率工具解決復(fù)雜問題的能力。通過不斷學(xué)習(xí)與實踐，可以逐步深化對概率論的理解，提升解題技巧與效率。題型一：切比雪夫不等式【典例1-1】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）切比雪夫不等式是19世紀(jì)俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究統(tǒng)計規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的，其內(nèi)容是：對于任一隨機(jī)變量，若其數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對任意正實數(shù)，有.根據(jù)該不等式可以對事件的概率作出估計.在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列，現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號次，每次發(fā)射信號“0”和“1”是等可能的.記發(fā)射信號“1”的次數(shù)為隨機(jī)變量，為了至少有的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在區(qū)間內(nèi)，估計信號發(fā)射次數(shù)的值至少為.【典例1-2】19世紀(jì)俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫在研究統(tǒng)計的規(guī)律中，論證并用標(biāo)準(zhǔn)差表達(dá)了一個不等式，該不等式被稱為切比雪夫不等式，它可以使人們在隨機(jī)變量的分布未知的情況下，對事件做出估計.若隨機(jī)變量具有數(shù)學(xué)期望，方差，則切比雪夫定理可以概括為:對任意正數(shù)，不等式成立.已知在某通信設(shè)備中，信號是由密文“”和“”組成的序列，現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號次，記發(fā)射信號“”的次數(shù)為.(1)若每次發(fā)射信號“”和“”的可能性是相等的，①當(dāng)時，求；②為了至少有的把握使發(fā)射信號“”的頻率在與之間，試估計信號發(fā)射次數(shù)的最小值；(2)若每次發(fā)射信號“”和“”的可能性是，已知在2024次發(fā)射中，信號“”發(fā)射次的概率最大，求的值.【變式1-1】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個當(dāng)屬由兩位俄國數(shù)學(xué)家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：設(shè)為一個非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對任意，均有，馬爾科夫不等式給出了隨機(jī)變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機(jī)變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系．當(dāng)為非負(fù)離散型隨機(jī)變量時，馬爾科夫不等式的證明如下：設(shè)的分布列為其中，則對任意，，其中符號表示對所有滿足的指標(biāo)所對應(yīng)的求和．切比雪夫不等式的形式如下：設(shè)隨機(jī)變量的期望為，方差為，則對任意，均有(1)根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對離散型隨機(jī)變量成立．(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱對治療某種疾病的有效率為．現(xiàn)隨機(jī)選擇了100名患者，經(jīng)過使用該藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請結(jié)合切比雪夫不等式通過計算說明藥廠的宣傳內(nèi)容是否真實可信．【變式1-2】（2024·浙江·二模）某工廠生產(chǎn)某種元件，其質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為合格品，小于82為次品，現(xiàn)抽取這種元件100件進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下表：測試指標(biāo)元件數(shù)（件）121836304(1)現(xiàn)從這100件樣品中隨機(jī)抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概率；(2)關(guān)于隨機(jī)變量，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望，方差，則對任意正數(shù)，均有成立.（i）若，證明：；（ii）利用該結(jié)論表示即使分布未知，隨機(jī)變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內(nèi)的概率是有界的.若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%，那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，請結(jié)合“切比雪夫不等式”說明該工廠所提供的合格率是否可信？（注：當(dāng)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率小于0.05時，可稱事件A為小概率事件）題型二：馬爾科夫鏈【典例2-1】（2024·高三·廣東·開學(xué)考試）馬爾科夫鏈因俄國數(shù)學(xué)家安德烈?馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第次狀態(tài)無關(guān).馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)有兩個盒子，各裝有2個黑球和1個紅球，現(xiàn)從兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作后，記盒子中紅球的個數(shù)為，恰有1個紅球的概率為.(1)求的值；(2)求的值（用表示）；(3)求證：的數(shù)學(xué)期望為定值.【典例2-2】馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是……，…，那么時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即．現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．假如一名賭徒進(jìn)入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?，且賭輸就要輸?shù)?元．賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束賭博游戲：記賭徒的本金為一種是賭金達(dá)到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博；另一種是賭徒輸光本金后，賭徒可以向賭場借錢，最多借A元，再次輸光后賭場不再借錢給賭徒．賭博過程如圖的數(shù)軸所示．當(dāng)賭徒手中有n元時，最終欠債A元（可以記為該賭徒手中有元）概率為，請回答下列問題：(1)請直接寫出與的數(shù)值．(2)證明是一個等差數(shù)列，并寫出公差d．(3)當(dāng)時，分別計算時，的數(shù)值，論述當(dāng)B持續(xù)增大時，的統(tǒng)計含義．【變式2-1】馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過程．該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關(guān)．甲、乙兩口袋中各裝有1個黑球和2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作，記口袋甲中黑球的個數(shù)為，恰有1個黑球的概率為．(1)求的值；(2)求的值（用表示）；(3)求證：的數(shù)學(xué)期望為定值．【變式2-2】（2024·高三·江西·開學(xué)考試）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，即第n＋1次狀態(tài)的概率分布只與第n次的狀態(tài)有關(guān)，與第，…次的狀態(tài)無關(guān)，即．已知甲盒中裝有1個白球和2個黑球，乙盒中裝有2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒中各任取1個球交換放入對方的盒中，重復(fù)n次（）這樣的操作，記此時甲盒中白球的個數(shù)為，甲盒中恰有2個白球的概率為，恰有1個白球的概率為．(1)求和．(2)證明：為等比數(shù)列．(3)求的數(shù)學(xué)期望（用n表示）．題型三：卡特蘭數(shù)【典例3-1】清代數(shù)學(xué)家明安圖所著《割圓密率捷法》中比西方更早提到了“卡特蘭數(shù)”（以比利時數(shù)學(xué)家歐仁?查理?卡特蘭的名字命名）.有如下問題：在的格子中，從左下角出發(fā)走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的過程中只能在左下角與右上角的連線的右下方（不能穿過，但可以到達(dá)該連線），則共有多少種不同的走法？此問題的結(jié)果即卡特蘭數(shù).如圖，現(xiàn)有的格子，每一步只能往上或往右走一格，則從左下角走到右上角共有種不同的走法；若要求從左下角走到右上角的過程中只能在直線的右下方，但可以到達(dá)直線，則有種不同的走法.

【典例3-2】（2024·湖北·二模）五一小長假到來，多地迎來旅游高峰期，各大旅游景點都推出了種種新奇活動以吸引游客，小明去成都某熊貓基地游玩時，發(fā)現(xiàn)了一個趣味游戲，游戲規(guī)則為：在一個足夠長的直線軌道的中心處有一個會走路的機(jī)器人，游客可以設(shè)定機(jī)器人總共行走的步數(shù)，機(jī)器人每一步會隨機(jī)選擇向前行走或向后行走，且每一步的距離均相等，若機(jī)器人走完這些步數(shù)后，恰好回到初始位置，則視為勝利.(1)若小明設(shè)定機(jī)器人一共行走4步，記機(jī)器人的最終位置與初始位置的距離為步，求的分布列和期望；(2)記為設(shè)定機(jī)器人一共行走步時游戲勝利的概率，求，并判斷當(dāng)為何值時，游戲勝利的概率最大；(3)該基地臨時修改了游戲規(guī)則，要求機(jī)器人走完設(shè)定的步數(shù)后，恰好第一次回到初始位置，才視為勝利.小明發(fā)現(xiàn)，利用現(xiàn)有的知識無法推斷設(shè)定多少步時獲得勝利的概率最大，于是求助正在讀大學(xué)的哥哥，哥哥告訴他，“卡特蘭數(shù)”可以幫助他解決上面的疑惑：將個0和個1排成一排，若對任意的，在前個數(shù)中，0的個數(shù)都不少于1的個數(shù)，則滿足條件的排列方式共有種，其中，的結(jié)果被稱為卡特蘭數(shù).若記為設(shè)定機(jī)器人行走步時恰好第一次回到初始位置的概率，證明：對（2）中的，有【變式3-1】Catalan數(shù)列（卡特蘭數(shù)列）最早由我國清代數(shù)學(xué)家明安圖（1692-1765）在研究三角函數(shù)冪級數(shù)的推導(dǎo)過程中發(fā)現(xiàn)，成果發(fā)表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利時數(shù)學(xué)家卡特蘭（Catalan，1814-1894）的名字來命名，該數(shù)列的通項被稱為第個Catalan數(shù)，其通項公式為.在組合數(shù)學(xué)中，有如下結(jié)論：由個和個構(gòu)成的所有數(shù)列，中，滿足“對任意，都有”的數(shù)列的個數(shù)等于.已知在數(shù)軸上，有一個粒子從原點出發(fā)，每秒向左或向右移動一個單位，且向左移動和向右移動的概率均為.(1)設(shè)粒子第3秒末所處的位置為隨機(jī)變量（若粒子第一秒末向左移一個單位，則位置為；若粒子第一秒末向右移一個單位，則位置為1），求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)記第秒末粒子回到原點的概率為.（i）求及；（ii）設(shè)粒子在第秒末第一次回到原點的概率為，求.【變式3-2】（2024·遼寧大連·二模）大連育明高級中學(xué)高三學(xué)生在交流2016年全國新課標(biāo)Ⅲ卷單選壓軸題時，各抒己見展示各自的解法.題干：定義“規(guī)范01數(shù)列”an如下：an共有項，其中項為0，項為1，且對任意，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有[14]個.A同學(xué)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)較少，可以列出所有情況，得到14個；B同學(xué)在組合數(shù)學(xué)中學(xué)過卡特蘭數(shù)，，所以此題是的情況，.在一次活動課上，甲、乙倆人設(shè)計了一個游戲，拋硬幣一次，若正面向上加一分，反面向上減一分.若起始分為零分，出現(xiàn)負(fù)分游戲立刻停止.(1)求在一次游戲中，恰好在第十一次后結(jié)束，中途只出現(xiàn)過兩次零分的概率；(2)如果一個人在一次游戲中，連續(xù)拋了十次硬幣，求此時積分的分布列和期望；(3)參與一次游戲，記總共拋硬幣次數(shù)為，的期望為，求滿足的最小正整數(shù).題型四：概率密度函數(shù)【典例4-1】設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為（當(dāng)為離散型隨機(jī)變量時，為的概率），其中為未知參數(shù)，極大似然法是求未知參數(shù)的一種方法.在次隨機(jī)試驗中，隨機(jī)變量的觀測值分別為，，…，，定義為似然函數(shù).若時，取得最大值，則稱為參數(shù)的極大似然估計值.(1)若隨機(jī)變量的分布列為123其中.在3次隨機(jī)試驗中，的觀測值分別為1，2，1，求的極大似然估計值.(2)某魚池中有魚尾，從中撈取50尾，做好記號后放回魚塘.現(xiàn)從中隨機(jī)撈取20尾，觀測到做記號的有5尾，求的極大似然估計值.(3)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，.若，，…，是的一組觀測值，證明：參數(shù)的極大似然估計值為.【典例4-2】李明上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間（樣本數(shù)據(jù)），經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到如下結(jié)果：坐公交車：平均用時30min，方差為36騎自行車：平均用時34min，方差為4(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，李明平時選擇哪種交通方式更穩(wěn)妥？試說明理由.(2)分別用X和Y表示坐公交車和騎自行車上學(xué)所用的時間，X和Y的概率密度曲線如圖（a）所示，如果某天有38min可用，你應(yīng)選擇哪種交通方式？如果僅有34min可用，又應(yīng)該選擇哪種交通方式？試說明理由.（提示：（2）中X和Y的概率密度曲線分別反映的是X和Y的取值落在某個區(qū)間的隨機(jī)事件的概率，例如，圖（b）中陰影部分的面積表示的就是X取值不大于38min時的概率.）【變式4-1】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為，則，若對X的進(jìn)行三次獨(dú)立的觀測，事件至少發(fā)生一次的概率為；（1）對X做n次獨(dú)立重復(fù)的觀測，若使得事件A至少發(fā)生一次的概率超過95%，求n的最小值．（，）（2）為滿足廣大人民群眾對接種疫苗的需求，某地區(qū)衛(wèi)生防疫部門為所轄的甲、乙、丙三區(qū)提供了批號分別為1、2、3、4、5的五批次新冠疫苗以供選擇，要求每個區(qū)只能從中選擇一個批號的疫苗接種．由于某些原因甲區(qū)不能選擇1、2、4號疫苗，且這三區(qū)所選批號互不影響．記“甲區(qū)選擇3號疫苗”為事件B，且；①求三個區(qū)選擇的疫苗批號互不相同的概率；②記甲、乙、丙三個區(qū)選擇的疫苗批號最大數(shù)為K，求K的分布列．題型五：二維離散型隨機(jī)變量【典例5-1】（2024·江蘇常州·一模）設(shè)是一個二維離散型隨機(jī)變量，它們的一切可能取的值為，其中，令，稱是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列，與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式；現(xiàn)有個球等可能的放入編號為的三個盒子中，記落入第1號盒子中的球的個數(shù)為，落入第2號盒子中的球的個數(shù)為．(1)當(dāng)時，求的聯(lián)合分布列，并寫成分布表的形式；(2)設(shè)且，求的值．（參考公式：若，則）【典例5-2】（2024·高三·河北保定·開學(xué)考試）如果離散型隨機(jī)變量的取值為，離散型隨機(jī)變量的取值為，，則稱為二維離散型隨機(jī)變量.稱取，的概率為的聯(lián)合分布律.記分別稱為關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律.用表格形式表示如下：邊緣分布律邊緣分布律1(1)現(xiàn)袋中有質(zhì)地大小均相同的2只白球，3只黑球，現(xiàn)先后隨機(jī)摸球兩次，定義分別求有放回和不放回取球下的聯(lián)合分布律和邊緣分布律（表格形式表示）；(2)若二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律與邊緣分布律滿足則稱隨機(jī)變量與相互獨(dú)立.（i）那么（1）中有放回和不放回取球下的（）是否相互獨(dú)立并說明理由；（ii）證明：若與相互獨(dú)立，則分布律中任意兩行（或任意兩列）對應(yīng)成比例.【變式5-1】（2024·重慶·三模）已知是二維離散型隨機(jī)變量，其中X、Y是兩個相互獨(dú)立的離散型隨機(jī)變量，的分布列用表格表示如下：X03605(1)求和；(2)“”表示在條件下的的取值，求“”的分布列；(3)為的數(shù)學(xué)期望，為“”的分布的期望，證明：.題型六：多項式擬合函數(shù)【典例6-1】（2024·甘肅·一模）下表是2017年至2021年連續(xù)5年全國研究生在學(xué)人數(shù)的統(tǒng)計表：年份序號12345人數(shù)（萬人）263273286314334(1)現(xiàn)用模型作為回歸方程對變量與的關(guān)系進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)該模型的擬合度很高.請計算該模型所表示的回歸方程（與精確到0.01）；(2)已知2021年全國碩士研究生在學(xué)人數(shù)約為267.2萬人，某地區(qū)在學(xué)碩士研究生人數(shù)占該地在學(xué)研究生的頻率值與全國的數(shù)據(jù)近似.當(dāng)年該地區(qū)要在本地區(qū)在學(xué)研究生中進(jìn)行一項網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位在學(xué)研究生均可進(jìn)行問卷填寫.某天某時段內(nèi)有4名在學(xué)研究生填寫了問卷，X表示填寫問卷的這4人中碩士研究生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)：對于回歸方程【典例6-2】（2024·安徽·一模）碳中和，是指企業(yè)、團(tuán)體或個人測算在一定時間內(nèi)，直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放，實現(xiàn)二氧化碳的“零排放”.碳達(dá)峰，是指碳排放進(jìn)入平臺期后，進(jìn)入平穩(wěn)下降階段.簡單地說就是讓二氧化碳排放量“收支相抵”.中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會上提出：“中國將提高國家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和.”減少碳排放，實現(xiàn)碳中和，人人都可出一份力．某中學(xué)數(shù)學(xué)教師組織開展了題為“家庭燃?xì)庠钚o的最佳角度”的數(shù)學(xué)建?；顒?實驗假設(shè)：①燒開一壺水有諸多因素，本建模的變量設(shè)定為燃?xì)庥昧颗c旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度，其他因素假設(shè)一樣；②由生活常識知，旋轉(zhuǎn)角度很小或很大，一壺水甚至不能燒開或造成燃?xì)饫速M(fèi)，因此旋轉(zhuǎn)角度設(shè)定在10°到90°間，建模實驗中選取5個代表性數(shù)據(jù)：18°，36°，54°，72°，90°．某支數(shù)學(xué)建模隊收集了“燒開一壺水”的實驗數(shù)據(jù)，如下表：項目旋轉(zhuǎn)角度開始燒水時燃?xì)獗碛嫈?shù)/dm3水燒開時燃?xì)獗碛嫈?shù)/dm318°9080921036°8958908054°8819895872°8670881990°84988670以x表示旋轉(zhuǎn)角度，y表示燃?xì)庥昧?(1)用列表法整理數(shù)據(jù)（x，y）；x（旋轉(zhuǎn)角度：度）1836547290y（燃?xì)庥昧浚篸m3）(2)假定x，y線性相關(guān)，試求回歸直線方程（注：計算結(jié)果精確到小數(shù)點后三位）(3)有隊員用二次函數(shù)進(jìn)行模擬，得到的函數(shù)關(guān)系為．求在該模型中，燒開一壺水燃?xì)庥昧孔钌贂r的旋轉(zhuǎn)角度．請用相關(guān)指數(shù)R2分析二次函數(shù)模型與線性回歸模型哪種擬合效果更好？（注：計算結(jié)果精確到小數(shù)點后一位）參考數(shù)據(jù)：，，，，線性回歸模型，二次函數(shù)模型．參考公式：，，．題型七：最大似然估算與大數(shù)定律【典例7-1】（2024·河北張家口·三模）在某項投資過程中，本金為，進(jìn)行了次投資后，資金為，每次投資的比例均為x（投入資金與該次投入前資金比值），投資利潤率為r（所得利潤與當(dāng)次投入資金的比值，盈利為正，虧損為負(fù)）的概率為P，在實際問題中會有多種盈利可能（設(shè)有n種可能），記利潤率為的概率為（其中），其中，由大數(shù)定律可知，當(dāng)N足夠大時，利潤率是的次數(shù)為．(1)假設(shè)第1次投資后的利潤率為，投資后的資金記為，求與的關(guān)系式；(2)當(dāng)N足夠大時，證明：（其中）；(3)將該理論運(yùn)用到非贏即輸?shù)挠螒蛑校涄A了的概率為，其利潤率為；輸了的概率為，其利潤率為，求最大時x的值（用含有的代數(shù)式表達(dá)，其中）．【典例7-2】（2024·湖北孝感·模擬預(yù)測）為落實食品安全的“兩個責(zé)任”，某市的食品藥品監(jiān)督管理部門和衛(wèi)生監(jiān)督管理部門在市人民代表大會召開之際特別邀請相關(guān)代表建言獻(xiàn)策.為保證政策制定的公平合理性，兩個部門將首先征求相關(guān)專家的意見和建議，已知專家?guī)熘泄灿?位成員，兩個部門分別獨(dú)立地發(fā)出批建邀請的名單從專家?guī)熘须S機(jī)產(chǎn)生，兩個部門均邀請2位專家，收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請后，專家如約參加會議.(1)設(shè)參加會議的專家代表共X名，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.(2)為增強(qiáng)政策的普適性及可行性，在征求專家建議后，這兩個部門從網(wǎng)絡(luò)評選出的100位熱心市民中抽取部分市民作為群眾代表開展座談會，以便為政策提供支持和補(bǔ)充意見.已知這兩個部門的邀請相互獨(dú)立，邀請的名單從這100名熱心市民中隨機(jī)產(chǎn)生，食品藥品監(jiān)督管理部門邀請了名代表，衛(wèi)生監(jiān)督管理部門邀請了名代表，假設(shè)收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請后，群眾代表如約參加座談會，且，請利用最大似然估計法估計參加會議的群眾代表的人數(shù).（備注:最大似然估計即最大概率估計，即當(dāng)P（X=k）取值最大時，X的估計值為k）【變式7-1】（2024·浙江杭州·二模）在概率統(tǒng)計中，常常用頻率估計概率．已知袋中有若干個紅球和白球，有放回地隨機(jī)摸球次，紅球出現(xiàn)次．假設(shè)每次摸出紅球的概率為，根據(jù)頻率估計概率的思想，則每次摸出紅球的概率的估計值為．(1)若袋中這兩種顏色球的個數(shù)之比為，不知道哪種顏色的球多．有放回地隨機(jī)摸取3個球，設(shè)摸出的球為紅球的次數(shù)為，則．（注：表示當(dāng)每次摸出紅球的概率為時，摸出紅球次數(shù)為的概率）（?。┩瓿上卤恚懗鲇嬎氵^程；0123（ⅱ）在統(tǒng)計理論中，把使得的取值達(dá)到最大時的，作為的估計值，記為，請寫出的值．(2)把（1）中“使得的取值達(dá)到最大時的作為的估計值”的思想稱為最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然參數(shù)估計方法稱為最大似然估計．具體步驟：先對參數(shù)構(gòu)建對數(shù)似然函數(shù)，再對其關(guān)于參數(shù)求導(dǎo)，得到似然方程，最后求解參數(shù)的估計值．已知的參數(shù)的對數(shù)似然函數(shù)為，其中．求參數(shù)的估計值，并且說明頻率估計概率的合理性．【變式7-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）為落實食品安全的“兩個責(zé)任”，某市的食品藥品監(jiān)督管理部門和衛(wèi)生監(jiān)督管理部門在市人民代表大會召開之際特別邀請相關(guān)代表建言獻(xiàn)策．為保證政策制定的公平合理性，兩個部門將首先征求相關(guān)專家的意見和建議，已知專家?guī)熘泄灿?位成員，兩個部門分別獨(dú)立地發(fā)出邀請，邀請的名單從專家?guī)熘须S機(jī)產(chǎn)生，兩個部門均邀請2位專家，收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請后，專家如約參加會議．(1)用1，2，3，4代表專家?guī)熘械?位專家，甲、乙分別代表食品藥品監(jiān)督管理部門和衛(wèi)生監(jiān)督管理部門，將兩個部門邀請的專家及參會的專家人數(shù)的所有情況繪制成一個表格，請完成如下表格．

(2)最大似然估計即最大概率估計，即當(dāng)時，概率取得最大值，則X的估計值為k（，，，…，），其中為X所有可能取值的最大值．請用最大似然估計法估計參加會議的專家人數(shù)．【變式7-3】統(tǒng)計與概率主要研究現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機(jī)現(xiàn)象，通過對數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、描述及對事件發(fā)生的可能性刻畫，來幫助人們作出合理的決策.(1)現(xiàn)有池塘甲，已知池塘甲里有50條魚，其中A種魚7條，若從池塘甲中捉了2條魚.用表示其中A種魚的條數(shù)，請寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望;(2)另有池塘乙，為估計池塘乙中的魚數(shù)，某同學(xué)先從中捉了50條魚，做好記號后放回池塘，再從中捉了20條魚，發(fā)現(xiàn)有記號的有5條.（?。┱垙姆謱映闃拥慕嵌裙烙嫵靥烈抑械聂~數(shù).（ⅱ）統(tǒng)計學(xué)中有一種重要而普遍的求估計量的方法─最大似然估計，其原理是使用概率模型尋找能夠以較高概率產(chǎn)生觀察數(shù)據(jù)的系統(tǒng)發(fā)生樹，即在什么情況下最有可能發(fā)生已知的事件.請從條件概率的角度，采用最大似然估計法估計池塘乙中的魚數(shù).1．在概率論中，馬爾可夫不等式給出了隨機(jī)變量的函數(shù)不小于某正數(shù)的概率的上界，它以俄國數(shù)學(xué)家安德雷·馬爾可夫命名，由馬爾可夫不等式知，若是只取非負(fù)值的隨機(jī)變量，則對，都有.某市去年的人均年收入為10萬元，記“從該市任意選取3名市民，則恰有1名市民去年的年收入超過100萬元”為事件A，其概率為.則的最大值為（

）A． B． C． D．2．在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲個點，則落入由曲線（曲線為正態(tài)分布的概率密度曲線）與直線、及所圍成的封閉區(qū)域內(nèi)的點的個數(shù)的估計值為（

）（附：若，則，，A． B．C． D．3．把一正態(tài)曲線C1沿著橫軸方向向右移動2個單位，得到一條新的曲線C2，下列說法不正確的是（

）A．曲線C2仍是正態(tài)曲線B．曲線C1、C2的最高點的縱坐標(biāo)相等C．以曲線C2為概率密度曲線的總體的方差比以曲線C1為概率密度曲線的總體的方差大2D．以曲線C2為概率密度曲線的總體的期望比以曲線C1為概率密度曲線的總體的期望大24．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）某大型電子商務(wù)平臺每年都會舉行“雙11”商業(yè)促銷狂歡活動，現(xiàn)統(tǒng)計了該平臺從2010年到2018年共9年“雙11”當(dāng)天的銷售額（單位：億元）并作出散點圖，將銷售額y看成以年份序號x（2010年作為第1年）的函數(shù).運(yùn)用excel軟件，分別選擇回歸直線和三次多項式回歸曲線進(jìn)行擬合，效果如下圖，則下列說法錯誤的是（

）A．銷售額y與年份序號x呈正相關(guān)關(guān)系B．根據(jù)三次多項式函數(shù)可以預(yù)測2019年“雙11”當(dāng)天的銷售額約為2684.54億元C．三次多項式回歸曲線的擬合效果好于回歸直線的擬合效果D．銷售額y與年份序號x線性相關(guān)不顯著5．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過程，該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關(guān).甲口袋中各裝有1個黑球和2個白球，乙口袋中裝有2個黑球和1個白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)進(jìn)行n（）次這樣的操作，記口袋甲中黑球的個數(shù)為，恰有1個黑球的概率為，則的值是；的數(shù)學(xué)期望是.6．馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過程.該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關(guān).甲乙兩個口袋中各裝有1個黑球和2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為，恰有1個黑球的概率為，則；．7．馬爾科夫鏈?zhǔn)菣C(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，其數(shù)學(xué)定義為:假設(shè)序列狀態(tài)是...，，那么時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即.著名的賭徒模型就應(yīng)用了馬爾科夫鏈：假如一名賭徒進(jìn)入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率都為50%，每局賭贏可以贏得1金幣，賭輸就要輸?shù)?金幣.賭徒自以為理智地決定，遇到如下兩種情況就會結(jié)束賭博游戲：一是輸光了手中金幣;二是手中金幣達(dá)到預(yù)期的1000金幣，出現(xiàn)這兩種情況賭徒都會停止賭博.記賭徒的本金為70金幣，求賭徒輸光所有金幣的概率.8．隨機(jī)變量的概念是俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫在十九世紀(jì)中葉建立和提倡使用的.切比雪夫在數(shù)論?概率論?函數(shù)逼近論?積分學(xué)等方面均有所建樹，他證明了如下以他名字命名的離散型切比雪夫不等式：設(shè)為離散型隨機(jī)變量，則，其中為任意大于0的實數(shù).切比雪夫不等式可以使人們在隨機(jī)變量的分布未知的情況下，對事件的概率作出估計.(1)證明離散型切比雪夫不等式；(2)應(yīng)用以上結(jié)論，回答下面問題：已知正整數(shù).在一次抽獎游戲中，有個不透明的箱子依次編號為，編號為的箱子中裝有編號為的個大小?質(zhì)地均相同的小球.主持人邀請位嘉賓從每個箱子中隨機(jī)抽取一個球，記從編號為的箱子中抽取的小球號碼為，并記.對任意的，是否總能保證（假設(shè)嘉賓和箱子數(shù)能任意多）？并證明你的結(jié)論.附：可能用到的公式（數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)）：對于離散型隨機(jī)變量滿足，則有.9．（2024·廣東茂名·二模）馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲鴶?shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第次狀態(tài)是“沒有任何關(guān)系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換，重復(fù)進(jìn)行次操作后，記甲盒子中黑球個數(shù)為，甲盒中恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為.(1)求的分布列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)求的期望.10．（2024·全國·模擬預(yù)測）卡特蘭數(shù)是組合數(shù)學(xué)中一個常在各種計數(shù)問題中出現(xiàn)的數(shù)列．以比利時的數(shù)學(xué)家歐仁·查理·卡特蘭（1814-1894）命名．歷史上，清代數(shù)學(xué)家明安圖（1692年-1763年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特蘭數(shù)”，遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于卡塔蘭．有中國學(xué)者建議將此數(shù)命名為“明安圖數(shù)”或“明安圖-卡特蘭數(shù)”．卡特蘭數(shù)是符合以下公式的一個數(shù)列：且．如果能把公式化成上面這種形式的數(shù)，就是卡特蘭數(shù)．卡特蘭數(shù)是一個十分常見的數(shù)學(xué)規(guī)律，于是我們常常用各種例子來理解卡特蘭數(shù)．比如：在一個無窮網(wǎng)格上，你最開始在上，你每個單位時間可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一個時刻，你往右走的次數(shù)都不能少于往上走的次數(shù)，問走到，0≤n有多少種不同的合法路徑．記合法路徑的總數(shù)為(1)證明是卡特蘭數(shù)；(2)求的通項公式．11．馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過程.該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關(guān).甲?乙兩口袋中各裝有1個黑球和2個白球，現(xiàn)從甲?乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作，記口袋甲中黑球的個數(shù)為，恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為，恰有0個黑球的概率為.(1)求的值；(2)根據(jù)馬爾科夫鏈的知識知道，其中為常數(shù)，同時，請求出；(3)求證：的數(shù)學(xué)期望為定值.12．（2024·云南·模擬預(yù)測）材料一：英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計理論，對于統(tǒng)計決策函數(shù)?統(tǒng)計推斷等做出了重要貢獻(xiàn).貝葉斯公式就是他的重大發(fā)現(xiàn)，它用來描述兩個條件概率之間的關(guān)系.該公式為：設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對任意的事件，有，.材料二：馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)?自然語言處理?金融領(lǐng)域