數(shù)分考試試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的導數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)答案：A2.極限\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.不存在D.-1答案：B3.定積分\(\int_{0}^{1}xdx\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.0D.2答案：A4.函數(shù)\(y=x^{2}\)在點\((1,1)\)處的切線方程為（）A.\(y=2x-1\)B.\(y=2x+1\)C.\(y=x-1\)D.\(y=x+1\)答案：A5.下列函數(shù)中，在區(qū)間\((0,+\infty)\)上單調遞增的是（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=-x^{2}\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=\cosx\)答案：C6.若\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)，則\(f(x)\)的間斷點為（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=-1\)D.\(x=2\)答案：B7.設\(y=e^{x}\)，則\(y^{(n)}\)（\(n\)階導數(shù)）為（）A.\(e^{x}\)B.\(ne^{x}\)C.\(x^{n}e^{x}\)D.\(e^{nx}\)答案：A8.極限\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}\)的值為（）A.\(e\)B.1C.0D.\(\infty\)答案：A9.函數(shù)\(y=\sqrt{x}\)的定義域為（）A.\((-\infty,+\infty)\)B.\((0,+\infty)\)C.\([0,+\infty)\)D.\((-\infty,0)\)答案：C10.設\(f(x)=x^{3}+2x\)，則\(f'(1)\)的值為（）A.5B.4C.3D.2答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^{3}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=e^{x}\)答案：ABC2.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\rightarrow1}(x^{2}+1)\)C.\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\vertx\vert}{x}\)答案：BC3.下列關于函數(shù)連續(xù)性的說法正確的是（）A.若函數(shù)在某點極限存在，則函數(shù)在該點連續(xù)B.若函數(shù)在某點可導，則函數(shù)在該點連續(xù)C.連續(xù)函數(shù)一定可導D.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在其定義域內連續(xù)答案：B4.下列等式正確的有（）A.\((\sinx)'=\cosx\)B.\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)C.\((e^{x})'=e^{x}\)D.\((x^{n})'=nx^{n-1}\)答案：ABCD5.以下定積分值為0的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x^{3}dx\)B.\(\int_{-a}^{a}\cosxdx\)C.\(\int_{-2}^{2}\frac{1}{x}dx\)D.\(\int_{-\pi}^{\pi}\sinxdx\)答案：AD6.下列函數(shù)在\(x=0\)處可導的有（）A.\(y=\vertx\vert\)B.\(y=x^{2}\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=e^{x}\)答案：BCD7.函數(shù)\(y=f(x)\)的極值點可能出現(xiàn)在（）A.\(f'(x)=0\)的點B.\(f'(x)\)不存在的點C.區(qū)間端點D.函數(shù)值為0的點答案：AB8.若\(y=u(x)v(x)\)，則\(y'\)的求導公式正確的是（）A.\(y'=u'v+uv'\)B.\(y'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}\)C.\(y'=u'v-uv'\)D.\(y'=\frac{u'v+uv'}{v^{2}}\)答案：A9.以下關于導數(shù)的幾何意義說法正確的是（）A.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_{0}\)處的導數(shù)是曲線\(y=f(x)\)在點\((x_{0},f(x_{0}))\)處的切線斜率B.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_{0}\)處的導數(shù)是曲線\(y=f(x)\)在點\((x_{0},f(x_{0}))\)處的切線方程C.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_{0}\)處的導數(shù)的絕對值越大，曲線\(y=f(x)\)在點\((x_{0},f(x_{0}))\)處的切線越“陡”D.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_{0}\)處的導數(shù)的絕對值越小，曲線\(y=f(x)\)在點\((x_{0},f(x_{0}))\)處的切線越“陡”答案：AC10.設\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，在\((a,b)\)內可導，且\(f(a)=f(b)\)，則由羅爾定理可知（）A.在\((a,b)\)內至少存在一點\(\xi\)，使得\(f'(\xi)=0\)B.在\((a,b)\)內\(f(x)\)恒為常數(shù)C.\(f(x)\)在\((a,b)\)內單調遞增D.\(f(x)\)在\((a,b)\)內單調遞減答案：A三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上是單調遞減的。（）答案：正確2.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x=a\)處可導，則\(f(x)\)在\(x=a\)處連續(xù)。（）答案：正確3.定積分\(\int_{a}^f(x)dx=\int_^{a}f(x)dx\)。（）答案：錯誤4.函數(shù)\(y=\vertx\vert\)在\(x=0\)處可導。（）答案：錯誤5.極限\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\tanx}{x}=1\)。（）答案：正確6.函數(shù)\(y=x^{3}+1\)是奇函數(shù)。（）答案：錯誤7.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\int_{a}^f(x)dx\)一定存在。（）答案：正確8.函數(shù)\(y=\cosx\)的導數(shù)是\(\sinx\)。（）答案：錯誤9.極限\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x^{2}}=0\)。（）答案：正確10.若\(y=f(u)\)，\(u=g(x)\)，則\(y'=f'(u)g'(x)\)（復合函數(shù)求導法則）。（）答案：正確四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述函數(shù)極限的定義。答案：設函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_{0}\)的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數(shù)\(A\)，對于任意給定的正數(shù)\(\varepsilon\)（不論它多么?。偞嬖谡龜?shù)\(\delta\)，使得當\(x\)滿足不等式\(0<\vertx-x_{0}\vert<\delta\)時，對應的函數(shù)值\(f(x)\)都滿足不等式\(\vertf(x)-A\vert<\varepsilon\)，那么常數(shù)\(A\)就叫做函數(shù)\(y=f(x)\)當\(x\rightarrowx_{0}\)時的極限。2.求函數(shù)\(y=x^{2}\lnx\)的導數(shù)。答案：根據(jù)乘積法則\((uv)'=u'v+uv'\)，設\(u=x^{2}\)，\(v=\lnx\)，\(u'=2x\)，\(v'=\frac{1}{x}\)，則\(y'=2x\lnx+x^{2}\times\frac{1}{x}=2x\lnx+x\)。3.簡述定積分的幾何意義。答案：當函數(shù)\(y=f(x)\geqslant0\)時，定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)表示由曲線\(y=f(x)\)，直線\(x=a\)，\(x=b\)以及\(x\)軸所圍成的曲邊梯形的面積；當\(f(x)\leqslant0\)時，\(\int_{a}^f(x)dx\)表示所圍成曲邊梯形面積的相反數(shù)；當\(f(x)\)在\([a,b]\)上有正有負時，\(\int_{a}^f(x)dx\)表示\(x\)軸上方圖形面積減去\(x\)軸下方圖形面積。4.求函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的間斷點，并說明類型。答案：間斷點為\(x=1\)。當\(x\rightarrow1\)時，\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{1}{x-1}\)不存在（趨向于無窮），所以\(x=1\)是無窮間斷點。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^{3}-3x^{2}+2\)的單調性。答案：先求導\(y'=3x^{2}-6x=3x(x-2)\)。令\(y'=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x<0\)或\(x>2\)時，\(y'>0\)，函數(shù)單調遞增；當\(0<x<2\)時，\(y'<0\)，函數(shù)單調遞減。2.討論函數(shù)\(y=\sinx\)在\([0,2\pi]\)上的極值情況。答案：\(y'=\cosx\)，令\(y'=0\)，得\(x=\frac{\pi}{2}\)或\(x=\frac{3\pi}{2}\)。當\(x=\frac{\pi}{2}\)時，\(y=1\)為極大值；當\(x=\frac{3\pi}{2}\)時，\(y=-1\)為極小值。3.討論定積分\(\int_{0}^{1}e^{x}dx\)與\(\int_{0}^{1}x^{2}dx\)的大小關系。答案：\(\int_{0}^{1}e^{x}dx=e-