2025年高考真題PAGEPAGE12025年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷回憶版）數(shù)學本試卷分第1卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.第1卷1至3頁第Ⅱ卷4至6頁.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.在天津考生獲取更多學習資料祝各位考生考試順利！第I卷（選擇題）注意事項：1．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.2．本卷共9小題，每小題5分，共45分.參考公式：·如果事件互斥，那么·如果事件相互獨立，那么·棱柱的體積公式，其中S表示棱柱的底面面積，h表示棱柱的高．·圓錐的體積公式，其中S表示圓錐的底面面積，h表示圓錐的高．一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】〖祥解〗由集合的并集、補集的運算即可求解.詳析】由，則，集合，故故選：D.2.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】〖祥解〗通過判斷是否能相互推出，由充分條件與必要條件的定義可得.【詳析】由，則“”是“”的充分條件；又當時，，可知，故“”不是“”的必要條件，綜上可知，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知函數(shù)的圖象如下，則的解析式可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】〖祥解〗先由函數(shù)奇偶性排除AB，再由時函數(shù)值正負情況可得解.【詳析】由圖可知函數(shù)為偶函數(shù)，而函數(shù)和函數(shù)為奇函數(shù)，故排除選項AB；又當時，此時，由圖可知當時，，故C不符合，D符合.故選：D4.若m為直線，為兩個平面，則下列結論中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】〖祥解〗根據(jù)線面平行的定義可判斷A的正誤，根據(jù)空間中垂直關系的轉化可判斷BCD的正誤.【詳析】對于A，若，則可平行或異面，故A錯誤；對于B，若，則，故B錯誤；對于C，若，則存直線，，所以由可得，故，故C正確；對于D，，則與可平行或相交或，故D錯誤；故選：C.5.下列說法中錯誤的是（）A.若，則B.若，，則C.越接近1，相關性越強D.越接近0，相關性越弱【答案】B【解析】〖祥解〗根據(jù)正態(tài)分布以及相關系數(shù)的概念直接判斷即可.【詳析】對于A，根據(jù)正態(tài)分布對稱性可知，，A說法正確；對于B，根據(jù)正態(tài)分布對稱性可知，，B說法錯誤；對于C和D，相關系數(shù)越接近0，相關性越弱，越接近1，相關性越強，故C和D說法正確.故選：B6.，則數(shù)列的前項和為（）A.112 B.48 C.80 D.64【答案】C【解析】〖祥解〗先由題設結合求出數(shù)列的通項公式，再結合數(shù)列各項正負情況即可求解.【詳析】因為，所以當時，，當時，，經(jīng)檢驗，滿足上式，所以，令，，設數(shù)列的前n項和為，則數(shù)列的前項和為數(shù)列的前項和為.故選：C7.函數(shù)的零點所在區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】〖祥解〗利用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調性結合零點存在性定理計算即可.【詳析】由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性可知：在上單調遞減，在單調遞增，所以在定義域上單調遞減，顯然，所以根據(jù)零點存在性定理可知的零點位于.故選：B8.，在上單調遞增，且為它的一條對稱軸，是它的一個對稱中心，當時，的最小值為（）A. B. C.1 D.0【答案】A【解析】〖祥解〗利用正弦函數(shù)的對稱性得出，根據(jù)單調性得出，從而確定，結合對稱軸與對稱中心再求出，得出函數(shù)解析式，利用整體思想及正弦函數(shù)的性質即可得解.【詳析】因為函數(shù)在上單調遞增，且為它的一條對稱軸，所以時函數(shù)取最大值，又因為是它的一個對稱中心，所以，，設的最小正周期為，由正弦函數(shù)的對稱性可知，即，又在上單調遞增，則，∴，則，，∵，∴時，，∴，當時，，由正弦函數(shù)的單調性可知.故選：A9.雙曲線的左、右焦點分別為，以右焦點為焦點的拋物線與雙曲線交于第一象限的點P，若，則雙曲線的離心率（）A.2 B.5 C. D.【答案】A【解析】〖祥解〗利用拋物線與雙曲線的定義與性質得出，根據(jù)勾股定理從而確定P的坐標，利用點在雙曲線上構造齊次方程計算即可.【詳析】根據(jù)題意可設，雙曲線的半焦距為，，則，過作軸的垂線l，過作l的垂線，垂足為A，顯然直線為拋物線的準線，則，由雙曲線的定義及已知條件可知，則，由勾股定理可知，易知，即，整理得，∴，即離心率為2.故選：第Ⅱ卷（非選擇題）注意事項：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分．10.已知i是虛數(shù)單位，則________．【答案】【解析】〖祥解〗先由復數(shù)除法運算化簡，再由復數(shù)模長公式即可計算求解.【詳析】先由題得，所以.故答案為：11.在的展開式中，項的系數(shù)為________．【答案】【解析】〖祥解〗根據(jù)二項式定理相關知識直接計算即可.【詳析】展開式的通項公式為，當時，，即展開式中的系數(shù)為.故答案為：12.，與x軸交于點A，與y軸交于點B，與交于C、D兩點，，則_________．【答案】2【解析】〖祥解〗先根據(jù)兩點間距離公式得出，再計算出圓心到直線的距離，根據(jù)弦長公式列等式求解即可.【詳析】因為直線與軸交于，與軸交于，所以，所以，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，故，解得；故答案為：2.13.小桐操場跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0．5，若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0．4，6圈的概率為0．6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈的概率為0．6，6圈的概率為0．4．小桐一周跑11圈的概率為________；若一周至少跑11圈為動量達標，則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X，則期望_______【答案】①.②.【解析】〖祥解〗先根據(jù)全概率公式計算求解空一，再求出概率根據(jù)二項分布數(shù)學期望公式計算求解.【詳析】設小桐一周跑11圈為事件A，設第一次跑5圈為事件，設第二次跑5圈為事件，則；若至少跑11圈為運動量達標為事件，，所以，；故答案為：；14.中，D為AB邊中點，，則______（用，表示），若，，則_______【答案】①.；②.【解析】〖祥解〗根據(jù)向量的線性運算求解即可空一，應用數(shù)量積運算律計算求解空二.【詳析】如圖，因為，所以，所以．因為D為線段的中點，所以；又因為，所以，，所以所以，所以．故答案為：；.15.若，對，均有恒成立，則的最小值為_______【答案】【解析】〖祥解〗先設，根據(jù)不等式的形式，為了消可以取，得到，驗證時，是否可以取到，進而判斷該最小值是否可取即可得到答案.【詳析】設，原題轉化為求的最小值，原不等式可化為對任意的，，不妨代入，得，得，當時，原不等式可化為，即，觀察可知，當時，對一定成立，當且僅當取等號，此時，，說明時，均可取到，滿足題意，故的最小值為.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.在中，角的對邊分別為．已知，，．（1）求A的值；（2）求c值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】〖祥解〗（1）由正弦定理化邊為角再化簡可求；（2）由余弦定理，結合（1）結論與已知代入可得關于的方程，求解可得，進而求得；（3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分別求，由兩角和的正弦可得.【小問1詳析】已知，由正弦定理，得，顯然，得，由，故；【小問2詳析】由（1）知，且，，由余弦定理，則，解得（舍去），故；【小問3詳析】由正弦定理，且，得，且，則為銳角，故，故，且；故.17.正方體的棱長為4，分別為中點，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】〖祥解〗（1）法一、利用正方形的性質先證明，再結合正方體的性質得出平面，利用線面垂直的性質與判定定理證明即可；法二、建立空間直角坐標系，利用空間向量證明線面垂直即可；（2）利用空間向量計算面面夾角即可；（3）利用空間向量計算點面距離，再利用錐體的體積公式計算即可.【小問1詳析】法一、在正方形中，由條件易知，所以，則，故，即，在正方體中，易知平面，且，所以平面，又平面，∴，∵平面，∴平面；法二、如圖以D為中心建立空間直角坐標系，則，所以，設是平面的一個法向量，則，令，則，所以，易知，則也是平面的一個法向量，∴平面；【小問2詳析】同上法二建立的空間直角坐標系，所以，由（1）知是平面的一個法向量，設平面的一個法向量為，所以，令，則，即，設平面與平面的夾角為，則；【小問3詳析】由（1）知平面，平面，∴，易知，又，則D到平面的距離為，由棱錐的體積公式知：.18.已知橢圓的左焦點為F，右頂點為A，P為上一點，且直線的斜率為，的面積為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點P的直線與橢圓有唯一交點B（異于點A），求證：PF平分.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】〖祥解〗（1）根據(jù)題意，利用橢圓的離心率得到，再由直線的斜率得到，從而利用三角形的面積公式得到關于的方程，解之即可得解；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用其位置關系求得，進而得到直線的方程與點的坐標，法一：利用向量的夾角公式即可得證；法二：利用兩直線的夾角公式即可得證；法三利用正切的倍角公式即可得證；法四：利用角平分線的性質與點線距離公式即可得證.【小問1詳析】依題意，設橢圓的半焦距為，則左焦點，右頂點，離心率，即，因為為上一點，設，又直線的斜率為，則，即，所以，解得，則，即，因為的面積為，，高為，所以，解得，則，，所以橢圓的方程為..【小問2詳析】由（1）可知，，，易知直線的斜率存在，設其方程為，則，即，聯(lián)立，消去得，，因直線與橢圓有唯一交點，所以，即，則，解得，則，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，以下分別用四種方法證明結論：法一：則，所以，，則，又，所以，即平分.法二：所以，，，由兩直線夾角公式，得，，則，又，所以，即平分.法三：則，，故，又，所以，即平分.法四：則，所以直線的方程為，即，則點到直線的距離為，又點到直線的距離也為，所以平分.19.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，．（1）求，的通項公式；（2），，有，（i）求證：對任意實數(shù)，均有;（ii）求所有元素之和．【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】〖祥解〗（1）設數(shù)列的公差為d，數(shù)列公比為，由題設列出關于d和的方程求解，再結合等差和等比數(shù)列通項公式即可得解；（2）（i）由題意結合（1）求出和的最大值，再作差比較兩者大小即可證明；（ii）法一：根據(jù)中全為1、一個為0其余為1、2個為0其余為、…、全為0幾個情況將中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后將所有系列所得的和加起來即可得解；法二：根據(jù)元素的特征得到中的所有元素的和中各項出現(xiàn)的次數(shù)均為次即可求解.【小問1詳析】設數(shù)列的公差為d，數(shù)列公比為，則由題得，所以；【小問2詳析】（i）證明：由（1）或，，當時，設，所以，所以，所以，為中的最大元素，此時恒成立，所以對，均有.（ii）法一：由（i）得對任意實數(shù)，均有，所以，，所以取值隨著的取值不同各不相同，又為中的最大元素，由題意可得中的所有元素由以下系列中所有元素組成：當均為1時：此時該系列元素只有即個；當中只有一個為0，其余均為1時：此時該系列的元素有共有個，則這個元素的和為；當中只有2個為0，其余均為1時：此時該系列的元素為共有個，則這個元素的和為；當中有個為0，其余均為1時：此時該系列的元素為共有個，則這個元素的和為；…當中有個為0，1個為1時：此時該系列的元素為共有個，則這個元素的和為；當均為0時：此時該系列的元素為即個，綜上所述，中的所有元素之和為；法二：由（i）得，為中的最大元素，由題意可得，所以的所有的元素的和中各項出現(xiàn)的次數(shù)均為次，所以中的所有元素之和為.20.已知函數(shù)（1）時，求在點處的切線方程；（2）有3個零點，且（i）求a的取值范圍；（ii）證明．【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析.【解析】〖祥解〗（1）利用導數(shù)的幾何意義，求導數(shù)值得斜率，由點斜式方程可得；（2）（i）令，分離參數(shù)得，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結合可得范圍；（ii）由（2）結合圖象，可得范圍，整體換元，轉化為，結合由可得，兩式作差，利用對數(shù)平均不等式可得，再由得，結合減元處理，再構造函數(shù)求最值，放縮法可證明不等式.【小問1詳析】當時，，，則，則，且，則切點，且切線的斜率為，故函數(shù)在點處的切線方程為；【小問2詳析】（i）令，，得，設，則，由解得或，其中，；當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減；且當時，；當時，；如圖作出函數(shù)的圖象，要使函數(shù)有3個零點，則方程在內有個根，即直線與函數(shù)的圖象有個交點.結合圖象可知，.故的取值范圍為；（ii）由圖象可知，，設，則，滿足，由可得，兩式作差可得，則由對數(shù)均值不等式可得，則，故要證，即證，只需證，即證，又因為，則，所以，故只需證，設函數(shù)，則，當時，，則在上單調遞增；當時，，則在上單調遞減；故，即.而由，可知成立，故命題得證.

2025年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷回憶版）數(shù)學本試卷分第1卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.第1卷1至3頁第Ⅱ卷4至6頁.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.在天津考生獲取更多學習資料祝各位考生考試順利！第I卷（選擇題）注意事項：1．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.2．本卷共9小題，每小題5分，共45分.參考公式：·如果事件互斥，那么·如果事件相互獨立，那么·棱柱的體積公式，其中S表示棱柱的底面面積，h表示棱柱的高．·圓錐的體積公式，其中S表示圓錐的底面面積，h表示圓錐的高．一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】〖祥解〗由集合的并集、補集的運算即可求解.詳析】由，則，集合，故故選：D.2.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】〖祥解〗通過判斷是否能相互推出，由充分條件與必要條件的定義可得.【詳析】由，則“”是“”的充分條件；又當時，，可知，故“”不是“”的必要條件，綜上可知，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知函數(shù)的圖象如下，則的解析式可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】〖祥解〗先由函數(shù)奇偶性排除AB，再由時函數(shù)值正負情況可得解.【詳析】由圖可知函數(shù)為偶函數(shù)，而函數(shù)和函數(shù)為奇函數(shù)，故排除選項AB；又當時，此時，由圖可知當時，，故C不符合，D符合.故選：D4.若m為直線，為兩個平面，則下列結論中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】〖祥解〗根據(jù)線面平行的定義可判斷A的正誤，根據(jù)空間中垂直關系的轉化可判斷BCD的正誤.【詳析】對于A，若，則可平行或異面，故A錯誤；對于B，若，則，故B錯誤；對于C，若，則存直線，，所以由可得，故，故C正確；對于D，，則與可平行或相交或，故D錯誤；故選：C.5.下列說法中錯誤的是（）A.若，則B.若，，則C.越接近1，相關性越強D.越接近0，相關性越弱【答案】B【解析】〖祥解〗根據(jù)正態(tài)分布以及相關系數(shù)的概念直接判斷即可.【詳析】對于A，根據(jù)正態(tài)分布對稱性可知，，A說法正確；對于B，根據(jù)正態(tài)分布對稱性可知，，B說法錯誤；對于C和D，相關系數(shù)越接近0，相關性越弱，越接近1，相關性越強，故C和D說法正確.故選：B6.，則數(shù)列的前項和為（）A.112 B.48 C.80 D.64【答案】C【解析】〖祥解〗先由題設結合求出數(shù)列的通項公式，再結合數(shù)列各項正負情況即可求解.【詳析】因為，所以當時，，當時，，經(jīng)檢驗，滿足上式，所以，令，，設數(shù)列的前n項和為，則數(shù)列的前項和為數(shù)列的前項和為.故選：C7.函數(shù)的零點所在區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】〖祥解〗利用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調性結合零點存在性定理計算即可.【詳析】由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性可知：在上單調遞減，在單調遞增，所以在定義域上單調遞減，顯然，所以根據(jù)零點存在性定理可知的零點位于.故選：B8.，在上單調遞增，且為它的一條對稱軸，是它的一個對稱中心，當時，的最小值為（）A. B. C.1 D.0【答案】A【解析】〖祥解〗利用正弦函數(shù)的對稱性得出，根據(jù)單調性得出，從而確定，結合對稱軸與對稱中心再求出，得出函數(shù)解析式，利用整體思想及正弦函數(shù)的性質即可得解.【詳析】因為函數(shù)在上單調遞增，且為它的一條對稱軸，所以時函數(shù)取最大值，又因為是它的一個對稱中心，所以，，設的最小正周期為，由正弦函數(shù)的對稱性可知，即，又在上單調遞增，則，∴，則，，∵，∴時，，∴，當時，，由正弦函數(shù)的單調性可知.故選：A9.雙曲線的左、右焦點分別為，以右焦點為焦點的拋物線與雙曲線交于第一象限的點P，若，則雙曲線的離心率（）A.2 B.5 C. D.【答案】A【解析】〖祥解〗利用拋物線與雙曲線的定義與性質得出，根據(jù)勾股定理從而確定P的坐標，利用點在雙曲線上構造齊次方程計算即可.【詳析】根據(jù)題意可設，雙曲線的半焦距為，，則，過作軸的垂線l，過作l的垂線，垂足為A，顯然直線為拋物線的準線，則，由雙曲線的定義及已知條件可知，則，由勾股定理可知，易知，即，整理得，∴，即離心率為2.故選：第Ⅱ卷（非選擇題）注意事項：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分．10.已知i是虛數(shù)單位，則________．【答案】【解析】〖祥解〗先由復數(shù)除法運算化簡，再由復數(shù)模長公式即可計算求解.【詳析】先由題得，所以.故答案為：11.在的展開式中，項的系數(shù)為________．【答案】【解析】〖祥解〗根據(jù)二項式定理相關知識直接計算即可.【詳析】展開式的通項公式為，當時，，即展開式中的系數(shù)為.故答案為：12.，與x軸交于點A，與y軸交于點B，與交于C、D兩點，，則_________．【答案】2【解析】〖祥解〗先根據(jù)兩點間距離公式得出，再計算出圓心到直線的距離，根據(jù)弦長公式列等式求解即可.【詳析】因為直線與軸交于，與軸交于，所以，所以，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，故，解得；故答案為：2.13.小桐操場跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0．5，若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0．4，6圈的概率為0．6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈的概率為0．6，6圈的概率為0．4．小桐一周跑11圈的概率為________；若一周至少跑11圈為動量達標，則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X，則期望_______【答案】①.②.【解析】〖祥解〗先根據(jù)全概率公式計算求解空一，再求出概率根據(jù)二項分布數(shù)學期望公式計算求解.【詳析】設小桐一周跑11圈為事件A，設第一次跑5圈為事件，設第二次跑5圈為事件，則；若至少跑11圈為運動量達標為事件，，所以，；故答案為：；14.中，D為AB邊中點，，則______（用，表示），若，，則_______【答案】①.；②.【解析】〖祥解〗根據(jù)向量的線性運算求解即可空一，應用數(shù)量積運算律計算求解空二.【詳析】如圖，因為，所以，所以．因為D為線段的中點，所以；又因為，所以，，所以所以，所以．故答案為：；.15.若，對，均有恒成立，則的最小值為_______【答案】【解析】〖祥解〗先設，根據(jù)不等式的形式，為了消可以取，得到，驗證時，是否可以取到，進而判斷該最小值是否可取即可得到答案.【詳析】設，原題轉化為求的最小值，原不等式可化為對任意的，，不妨代入，得，得，當時，原不等式可化為，即，觀察可知，當時，對一定成立，當且僅當取等號，此時，，說明時，均可取到，滿足題意，故的最小值為.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.在中，角的對邊分別為．已知，，．（1）求A的值；（2）求c值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】〖祥解〗（1）由正弦定理化邊為角再化簡可求；（2）由余弦定理，結合（1）結論與已知代入可得關于的方程，求解可得，進而求得；（3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分別求，由兩角和的正弦可得.【小問1詳析】已知，由正弦定理，得，顯然，得，由，故；【小問2詳析】由（1）知，且，，由余弦定理，則，解得（舍去），故；【小問3詳析】由正弦定理，且，得，且，則為銳角，故，故，且；故.17.正方體的棱長為4，分別為中點，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】〖祥解〗（1）法一、利用正方形的性質先證明，再結合正方體的性質得出平面，利用線面垂直的性質與判定定理證明即可；法二、建立空間直角坐標系，利用空間向量證明線面垂直即可；（2）利用空間向量計算面面夾角即可；（3）利用空間向量計算點面距離，再利用錐體的體積公式計算即可.【小問1詳析】法一、在正方形中，由條件易知，所以，則，故，即，在正方體中，易知平面，且，所以平面，又平面，∴，∵平面，∴平面；法二、如圖以D為中心建立空間直角坐標系，則，所以，設是平面的一個法向量，則，令，則，所以，易知，則也是平面的一個法向量，∴平面；【小問2詳析】同上法二建立的空間直角坐標系，所以，由（1）知是平面的一個法向量，設平面的一個法向量為，所以，令，則，即，設平面與平面的夾角為，則；【小問3詳析】由（1）知平面，平面，∴，易知，又，則D到平面的距離為，由棱錐的體積公式知：.18.已知橢圓的左焦點為F，右頂點為A，P為上一點，且直線的斜率為，的面積為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點P的直線與橢圓有唯一交點B（異于點A），求證：PF平分.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】〖祥解〗（1）根據(jù)題意，利用橢圓的離心率得到，再由直線的斜率得到，從而利用三角形的面積公式得到關于的方程，解之即可得解；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用其位置關系求得，進而得到直線的方程與點的坐標，法一：利用向量的夾角公式即可得證；法二：利用兩直線的夾角公式即可得證；法三利用正切的倍角公式即可得證；法四：利用角平分線的性質與點線距離公式即可得證.【小問1詳析】依題意，設橢圓的半焦距為，則左焦點，右頂點，離心率，即，因為為上一點，設，又直線的斜率為，則，即，所以，解得，則，即，因為的面積為，，高為，所以，解得，則，，所以橢圓的方程為..【小問2詳析】由（1）可知，，，易知直線的斜率存在，設其方程為，則，即，聯(lián)立，消去得，，因直線與橢圓有唯一交點，所以，即，則，解得，則，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，以下分別用四種方法證明結論：法一：則，所以，，則，又，所以，即平分.法二：所以，，，由兩直線夾角公式，得，，則，又，所以，即平分.法三：則，，故，又，所以，即平分.法四：則，所以直線的方程為，即，則點到直線的距離為，又點到直線的距離也為，所以平分.19.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，．（1）求，的通項公式；（2），，有，（i）求證：對任意實數(shù)，均有;（ii）求所有元素之和．【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】〖祥解〗（1）設數(shù)列的公差為d，數(shù)列公比