■第5講一元二次方程,不等式

------------------------向知識點目錄/---------------------------

【知識點1】求解一元二次不等式....................................................2

【知識點2】一元二次方程根的分布..................................................3

【知識點3】三個二次之間的關(guān)系....................................................5

【知識點4】一元二次不等式恒成立問題..............................................6

向揄出知識/

1.二次函數(shù)y=ax?+bx+c：a>0)與一元二次方程2片+/)乂+。=09>0),不等式ax+bx+

c>0(a>0)的解的對應(yīng)關(guān)系

方程的判別式4=

4>04=04<0

b—4ac

J/(/

二次函數(shù)

&-2/_X)一

的圖象V7OKU攵

VX

有兩個相等的實數(shù)

有兩個不相等的實

方程的根b沒有實數(shù)根

數(shù)根X，x(x,<x)根X：=M=――

222a

不等式[b

Xx〈x或x>xj?xxW--*R

的解集2a

2.分式不等式與整式不等式

r(x)

(1)>0?0)<=>f(x)g(x)>0?0)：

g(x)

f(x)

(2)—20(W0)of(x)g(x)20(W0)「Lg(x)W0.

g(x)

3.簡單的絕對值不等式

|x|>a(a>0)的解集為(一8,—a)u(a,+8),|x|<a(a>0)的解集為(一a,

a).【常用結(jié)論

1.一元二次不等式恒成立問題

⑴不等式ax-+bx+c>0(aWO),xeR恒成立=3〉0且ZkO；

⑵不等式a昭+bx+c<0(aWO),xeR恒成立=a<0且水0；

⑶若a可以為0,需要分類討論，一般優(yōu)先考慮a=0的情形.

2.對于不等式ax，+bx+c〉O,求解時不要忘記a=0時的情形.

Q知識點1/

知識點

【知識點1]求解一元二次不等式

對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進行分類討論，常見的分類有

⑴根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類.

⑵根據(jù)判別式4與0的關(guān)系判斷根的個數(shù).

⑶有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論.

鯉例題

【例1】(2025?開遠市校級開學(xué))己知”0,則關(guān)于x的不等式4G-5加<0的解集是()

A.3工>5?；蚬?lt;-〃}B.{川工〈54或工>-。}

C.{x|-a<x<5。}D.{x15f?<x<-a]

【例2】(2025?廣東學(xué)業(yè)考試)不等式入<0的解集是()

A.(-a),2)B.(-oo,0)

C.(0,2)D.(-co,0)52,+8)

【例3】(2024秋?中山區(qū)校級期末)關(guān)于x的一元二次方程加+云+c=0mbc<0)的解集為{-2,

3},則不等式ex2+bx+a?0的解集為()

A.r11

B.[-2,3]

&S,」]u[l，+8)D.(-00,-2]U[3，+8)

23

【答案】A

【分析】由方程的解集和根與系數(shù)關(guān)系得a，人c的關(guān)系，并由。加<0得〃的正負，代入不等

式ex2+bx+a?0后即可求解.

【解答】解：Q關(guān)于X的一元二次方程+隊+c=o的解集為{—2,3},

1)=-2+3=1

....c"，艮|Jb=-a，c=-6a,abc=6a3<0,艮|1a<0.

_=_2X3=-6

ex2+bx+a=-6ax2-ax+a=-a(6x2+x-1)?0?

即6F+x-l”0,即(2x+l)(3x-l)”0,解得-LKXWL.

23

故選：A.

【例4】(2024秋?深圳校級期末)己知函數(shù)/(x)=&-(a+l)x+l(aeH).

(1)若/⑴在區(qū)間(-8,1]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

(2)求關(guān)于x的不等式/(x)>0的解集.

【例5】(2024秋?海淀區(qū)校級期中)解關(guān)于x的不等式：加一(a+2b+2...0("對?

@知識點2/

知識點

【知識點2]一元二次方程根的分布

【例10】（2024秋?青海期末）若二次方程N+（"6）x+2"4=0在（0,3）上有兩個不相等的實根,

則。的取值范圍是（）

1313

A.(10+4A+OO)B.(y,6)C.(-,10-4^D.(2,10+4^

5

Q知識點3

知識點

【知識點3]三個二次之間的關(guān)系

已知一元二次不等式的解集，就能夠得到相應(yīng)的一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，可

以求出相應(yīng)的系數(shù).注意結(jié)合不等式解集的形式判斷二次項系數(shù)的iF負

【例11】（2023秋?信陽期中）已知關(guān)于x的不等式a（x+l）（x-3）+l>0的解集是（X[,x2）（x]<x2）,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.%1+x2=2B.X1X2<-3C.—1<x）<xz<3D.x2—X|>4

【例12】（2024秋?吉林期末）已知不等式aF+瓜+。<0的解集為“|x<-1或工>3},則下列結(jié)

論正確的是（）

A.a>0

B.c<0

C.a+b+c<0

D.ex?一6+a<0的解集為{x|-1<x<1}

3

【例13】（2023秋?云南期末）已知關(guān)于x的不等式爐-姑+a0的解集為{汨2./3},則關(guān)于x

的不等式/一隊+。<0的解集為（)

A.{x12<x<3}B.{x11<x<3}C.{x12<x<5}D.{x|1<x<5}

【例14】（2024秋?集安市月考）已知關(guān)于x的不等式“+以+c>0的解集為（TO,-2）0（3,

+00）,則下列選項中正確的是（）

A.a<0

B.不等式6x+e>0的解集是{x|x>-6}

C.a+b+c>0

D.不等式以2_/）x+a<0的解集為（-00,-L）u（L”）

【例15】（2024秋?大理市期末）若關(guān)于實數(shù)x的不等式/+灰+c>（）的解集是{x|x<-5或x>2},

則關(guān)于X的不等式以2+6+1>0的解集是（）

B.(-00,-1)J(L,4-00)

氏(一勢

@知識點4/

知識點

【知識點4]一元二次不等式恒成立問題

恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略

⑴弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù).

⑵一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式4；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不

能用判別式4,一般分離參數(shù)求最值或分類討論.

雌例題

【例16】（2024秋?武強縣校級期末）丸時,不等式避一.也o成立，則，〃的取值

范圍是（)

A.{ni|m?2}B.2}C.{w|1<tn<2}D.{m\w...O）

【例17】（2024秋?中牟縣期末）設(shè)xeR,不等式辦2+2〃.3<（）恒成立的一個充分條件可以是

（）

A.-3<?<0B.-3?a<0C.-3<a<1D.-3?a<1

【例18】（2025?芒市校級開學(xué)）一元二次不等式收+3"+?>0對任意xe/?恒成立，則實數(shù)k

4

的取值范圍是（）

A.0<A<lB.0”kvlC.k<QD.0<^,1

【例19】（2024秋?寧波期末）若不等式3-2）（x-b）..O對任意的xwR恒成立，則a+2b的最小

值為（）

A.3B.2應(yīng)C.4D.3&

【例20】（2025?山東模擬）已知不等式2）x+4...O對任意的xc（（）,+8）恒成立，則實數(shù)a

的最小值_2-46—.

圖牛刀小試/

5講一元二次方程、不等式

一?選擇題（共10小題）

1.（2025春?臨泉縣月考）不等式*+3公2<0的解集為（）

A.{x［x<-2或x>-l}B.{x|x<l或x>2}

C.{x|l<x<2}D.{x|-2<x<-l)

2.（2024秋?鶴ft市期末）一元二次不等式-4必7+14...。的解集為（）

77

A.{x\-2<x<~}B.{x|x<>2}

44

77

C.{x|——<x<2}D.{.v|x<-2nJlr>_}

44

3.(2024秋?呂梁期末)己知關(guān)于x的一?元二次不等式-2式的解集為{x|_LKxK2},則

2

2的值為（）

n

5

A.2B.c.￡D.

5252

4.（2024秋?金ft區(qū)期末）當(dāng)0<”1時，關(guān)于，的不等式（》-3）［（1-3+3-3）］<0的解集為（）

A.(-00,--)II(3,-HC)B.(-00,3)11(--,+00)

a-1fl-1

C.(3,二D.(已3)

a-1a-1

5.（2024秋?大興區(qū)期末）關(guān)于x的不等式“K+bx+c...0（"0）的解集不可能是（）

A.RB.[-1,1]C.0D.[-1,+oo)

6.(2024秋?佛ft期末)若關(guān)于x的方程/-a”+4=0有兩相異實根x,x,且0<x<x<4,

12I2

則實數(shù)”的取值范圍是（

A.(一8,-4)54,+oo)B.(0,5)

C.(4,5)D.(4,8)

7.（2024秋?固鎮(zhèn)縣期末）關(guān)于x的不等式爐-3+1火+”0的解集中恰有1個整數(shù)，則實數(shù)°

的取值范圍是（）

A.(-1,0]U[2，3)B.1-2,-l)U(3,4J

C.[-1,0)52,3]D.(-2,一1)U(3,4)

8.（2024秋?屯溪區(qū)期末）若關(guān)于x的不等式/-（m+l）x+9,,0在［1,4］上有解,則實數(shù)用的最

小值為（

A.9B.5C.6D.—

4

9.（2024秋?宿遷期末）設(shè)0,b,C為實數(shù)，不等式加+bx+c>0的解集是｛x|x<l或x>3｝,

則方-的最大值為（）

A.-!B.!c.—乜D.史

3333

10.（2024秋?濟南期末）若去eR,mx2+2(/〃-3)x+4”0.則實數(shù)小的取值范圍為（）

A.(1,9)B.(-oo,0)

C.(-00,1)U(9,4-00)D.(-8,1]U[9，+00)

二?多選題（共4小題）

（多選）11.（2025?余姚市模擬）關(guān)于x的一元二次不等式〃/+以+1>。的解集為（_1,則下

1-）

2

列成立的是（）

A.a2+b2=5B.a+b=—3C.ab=-2D._=2

b

（多選）12.（2024秋?西峰區(qū)期末）關(guān)于x的不等式f+亦+3a>0的解集為R的充分不必要條

件有（）

A.Iga=1B.0<"12C.l<a<llD.-1<f/<15

（多選）13.（2024秋?南昌縣期末）已知關(guān)于x的不等式a/+bx+c...0的解集為｛.v\—3?x?45,

則下列說法正確的是（）

A.a<0

B,不等式ex2-隊+a<0的解集為1}

43

C.a+b+c<0

D.2+0的最小值為T

3b+42

（多選）14.（2024秋?日照期末）已知關(guān)于x的不等式”+上+以.0的解集為天|-30口4},則

（）

A.a<0

B.q+b+cvO

C,不等式ex?-隊+q<0的解集為L）

43

D.8+c的最小值為6

3/）+l2

三?填空題（共4小題）

15.（2025春?寶ft區(qū)月考）己知不等式—+2ax+b<0的解集為{x|-2<x<3},則實數(shù)a/）=.

16.（2025?南通模擬）已知二次不等式2b_3<0的解集為（x,x）,1+1<2,則6的

I2

XXl

取值范圍是.

17.（2024秋?許昌期末）若不等式7+2共*0對任意xe[0,2]都成立，則實數(shù)加的取值范

圍為.

18.（2024秋?廣東期末）當(dāng)關(guān)于x的不等式2代+京_?40對一切實數(shù)x都成立時，々的取值范

8

圍是?

四?解答題（共6小題）

19.（2024秋?朝陽期末）已知函數(shù)/（》）=*_“（/,_小-力.

（1）若關(guān)于X的不等式/（x）>0的解集為（-3,1）,求a,6的值；

（2）當(dāng)。=1時，若關(guān)于x的不等式八。,（）在H上恒成立，求的取值范圍.

20.（2024秋?普寧市期末）已知不等式魂-（q+2.+兒0的解集為{刈10匕2}.

（1）求實數(shù)a,力的值：

（2）解關(guān)于x的不等式：（x-c）（ox-2）>0（c為常數(shù)，且CM2）

21.（2024秋?西寧期末）已知關(guān)于x的不等式加一公-4<0.

（1）若不等式的解集為{x|T<x<2},求。的值；

（2）若不等式的解集為R,求。的取值范圍.

22.（2024秋?渭濱區(qū)期末）已知二次函數(shù)/（》）=加-2x-l.

（1）當(dāng)a取何值時，不等式〃x）<0對一切實數(shù)x都成立？

（2）若/⑴在區(qū)間（-2,1）內(nèi)恰有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

23.（2025春?遼寧月考）已知函數(shù)/（》）=工2一（〃?+2）%+4（〃?eR）.

（1）求關(guān)于X的一元二次不等式f（x）?0的解集；

（2）若天€（（）,3],使得〃力”0成立,求實數(shù)機的取值范圍.

24.（2025?開福區(qū)開學(xué)）已知函數(shù)y=a?+（l-川+。（。€幻.

（1）若冰2+（1_辦.+a..（）對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)0的取值范圍;

（2）解關(guān)于x的不等式弟+（1-a）x+a<3a+2.

■第5講一元二次方程,不等式

------------------------向知識點目錄/---------------------------

【知識點1】求解一元二次不等式....................................................2

【知識點2】一元二次方程根的分布..................................................6

【知識點3】三個二次之間的關(guān)系....................................................9

【知識點4】一元二次不等式恒成立問題.............................................12

向揄出知識/

1.二次函數(shù)y=ax?+bx+c：a>0)與一元二次方程2片+/)乂+。=09>0),不等式ax+bx+

c>0(a>0)的解的對應(yīng)關(guān)系

方程的判別式4=

4>04=04<0

b—4ac

J/(/

二次函數(shù)

&-2/_X)一

的圖象V7OKU攵

VX

有兩個相等的實數(shù)

有兩個不相等的實

方程的根b沒有實數(shù)根

數(shù)根X，x(x,<x)根X：=M=――

222a

不等式[b

Xx〈x或x>xj?xxW--*R

的解集2a

2.分式不等式與整式不等式

r(x)

(1)>0?0)<=>f(x)g(x)>0?0)：

g(x)

f(x)

(2)—20(W0)of(x)g(x)20(W0)「Lg(x)W0.

g(x)

第1頁共31頁

3.簡單的絕對值不等式

|x|>a(a>0)的解集為(一8,—a)u(a,+8),|x|<a(a>0)的解集為(-a,

a).【常用結(jié)論

1.一元二次不等式恒成立問題

⑴不等式ax+bx+c〉O(aWO),xeR恒成立=a>0且ZkO；

⑵不等式ax-+bx+c<0(aWO),xeR恒成立=水0且水0；

⑶若a可以為0,需要分類討論，一般優(yōu)先考慮a=0的情形.

2.對于不等式ax，+bx+c〉O,求解時不要忘記a=0時的情形.

Q知識點1/

知識點

【知識點1]求解一元二次不等式

對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進行分類討論，常見的分類有

⑴根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類.

⑵根據(jù)判別式4與0的關(guān)系判斷根的個數(shù).

⑶有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論.

鯉例題

【例1】(2025?開遠市校級開學(xué))己知”0,則關(guān)于x的不等式4公-5〃2<0的解集是()

A.3工>5?；蚬?lt;-〃}B.5|工<54或工>-4}

C.{x|-a<x<5a}D.{x15t?<x<-a]

【答案】。

【分析】直接根據(jù)一元二次不等式的解法解不等式即可.

【解答】解：因為/_4內(nèi)-5層<(),BP(x-5a)(x+d)<0,且a<0,

所以不等式X2-4ax-5a2<0的解集是{x\5a<x<-a}.

故選：D.

第2頁共31頁

【例2】(2025?廣東學(xué)業(yè)考試)不等式X?-2x<0的解集是()

A.(-00,2)B.(-oo,0)

C.(0,2)D.(-00,0)U(2,+?))

【答案】C

【分析】由二次不等式解法可得答案.

【解答】解：x2-2r<0=>x(x-2)<0=>0<x<2,

故不等式x2-2x<0的解集是(0,2).

力嫩：C.

【例3】(2024秋?中山區(qū)校級期末)關(guān)于x的一元二次方程序+芯+’=0(人.<0)的解集為{一2,

3},則不等式c%2+hx+a?0的解集為()

A.r11

B.[-2,3]

C?(y,-l]u[L+8)D.(-00,-2]U[3,+8)

23

【答案】A

【分析】由方程的解集和根與系數(shù)關(guān)系得a，b,。的關(guān)系，并由。加<0得〃的正負，代入不等

式+bx+a?0后即可求解.

【解答】解：Q關(guān)于x的一元二次方程+隊+c=0的解集為{-2,3},

1)=-2+3=1

二4c"，b=-a9c=-6a,abc=6?3<0>艮|Ja<0.

__-2X3--6

Ila

ex2+bx+a=-6ax2-ax+a=-a{6x2+x-1)?0,

即Sd+x-l”0,即(2x+l)(3x-l)”()，解得一LKXKL

23

故選：A.

第3頁共31頁

【例4】(2024秋?深圳校級期末)已知函數(shù)/(力=加-(4+1/+1(4€?.

(1)若/(X)在區(qū)間(-8,1］上單調(diào)遞減，求〃的取值范圍.

(2)求關(guān)于X的不等式〃x)>0的解集.

【答案】(1){a|0M^l}；

(2)當(dāng)a=0時,解集為(YO,1);

當(dāng)”0時，解集為(1」)；

a

當(dāng)。<4<1時，解集為(-8,1)U11,+8)；

a

當(dāng)《>I時，解集為(YO」)U。，也)；

a

當(dāng),7=1時，解集為(-8,1)5】，手)?

【分析】⑴討論當(dāng)"0和"0時，函數(shù)/㈤在(70,1］上單調(diào)遞減的情況即可得出結(jié)論;

(2)解/(x)>(),即解不等式(ax-l)(x-1)>(),分類討論當(dāng)〃=0和4A0的情況，在&工0的情況

下，再討論”0,0<^<1,tf>l,以及a=l時的解集，從而得出結(jié)論.

【解答】解：(1)當(dāng)a=0時，/(x)=r+l的單調(diào)遞減區(qū)間為(YO,+8),滿足題意，

當(dāng)”0時,因為/(X)="一g+］)x+1在(-8,1］上單調(diào)遞減,

［.%+八1

所以J丁，

［<7>0

解得0<%1,

綜上所述，a的取值范圍為{a|0"a”1};

(2)由/(x)>()可得，(ax-l)(x-l)>0,

①當(dāng)a=0時，由一口一1)>(),

解得"1;

②當(dāng)”00時，方程(以-1)(x7)=()的兩根為。，

a

當(dāng)"0時，］_<1?解不等式3-1)(.丫-1)>0得］_<彳<1,

第4頁共31頁

當(dāng)。<"1時，1，解不等式(or-l)(x-l)>0得x<l或x>[,

aa

當(dāng)心1時，L<1，解不等式3-l)(x-1)>0得x>1或x<J_,

aa

當(dāng)0=1時，由(x-1產(chǎn)>0得x工1,

綜上，當(dāng)〃=0時，解集為(-8,1);

當(dāng)”0時，解集為(9,1);

a

當(dāng)。<4<1時，解集為(-8,1)U(1，+8)；

a

當(dāng)"I時，解集為(roLuam)；

a

當(dāng),7=1時，解集為(-8,1)U(1,+co).

【例5】(2024秋?海淀區(qū)校級期中)解關(guān)于X的不等式:加-(a+2)x+2...0("R).

【答案】若”=0,則不等式為-2x+2...0,此時解集為(YO,1];

若*0,則不等式解集為e,I1；

a

若0<a<2,則不等式解集為(-8,l]u[3，+8)；

a

若,一2,則不等式解集為及；

若">2,則不等式解集為(YO,-][1?+<?).

a

【分析】關(guān)于°的大小進行分類討論，求出a取不同值時的解集.

【解答]解：若"0,則不等式為-2x+2…0,此時解集為(-8,1];

若XH0,不等式化為J(x-1)(tzx—2)...0，

若"<0,則不等式解集為1]；

a

若0<以<2,則不等式解集為y,l]ut￡+8)；

若,7=2,則不等式解集為H；

若0>2,則不等式解集為(-8,￡]|j[l,+OO).

第5頁共31頁

圖知識點2/

知識點

【知識點2]一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布

解決由一個一元二次方程根的分布情況，確定方程中系數(shù)的取值范圍問題，主要從以下三個方

面建立關(guān)于系數(shù)的不等式（組）進行求解.

⑴判別式△的符號.

⑵對稱軸x=-2與所給區(qū)間的位置關(guān)系.

2a

⑶區(qū)間端點處函數(shù)值的符號.

蟠例題

【例6】（2025?臺灣四模）己知x,x是關(guān)于x的一元二次方程，+辦+2分=0的兩個實數(shù)根，且

I2

X,€（0,1）,X2€（1,2）,則實數(shù)b的取值范圍為（）

]C.3

A.（0.+OO）B.（0,）.（0,1）D.（0,_）

22

【答案】C

【分析】根據(jù)一元二次函數(shù)的圖像和零點存在定理求解力的取值范圍.

【解答】解：因為x,、是關(guān)于x的一元二次方程於+2〃=0的兩個實數(shù)根，且xe（OJ）,

I2I

X2€（1,2）,

可得\,X,為函數(shù)/（幻=9+OT+26的兩個零點，

利用零點存在定理可得：“荊燈，即&，1<0,所以懈1.2人

/（2）>02a+2/?+4〉0a>-b-2

所匚匚以[、?《b>0,

-b-2<-\-2b

解得Ovbvl.

第6頁共31頁

雌：c.

【例7】（2025春?杭州期中）已知關(guān)于X的不等式/一4支+3/<0（"0）的解集為（x,X）,則

12

X+X+上的最大值是（）

12

—

A.越B._4^c遞D._4/

亍丁?~~

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件可得x+x=4〃，xx=3*,再利用基本不等式相關(guān)知識可解.

I2I2

【解答】解：已知關(guān)于\的不等式/一45+3。2<0（。<0）的解集為。，x）,

I2

則x+x=4a9xx=3a2，

I212

當(dāng)且僅當(dāng)_4。=一三時，即“=_費時，取等號,

—3a6

則x+x+%的最大值是-

I2.

x}x23

故選：B.

【例8】（2024秋?亳州期末）已知a>0,且乙是方程/+隊_8=0的一個根，則6+”勺最小值

aa

是1）

A.8也B.4C.2D.8

【答案】。

【分析】根據(jù)三是方程N+笈—8=（）的一個根得到a和力的關(guān)系，求出和根據(jù)基本不等式求出

a

力+9的最小值.

a

【解答】解：由3是方程》2+云-8=0的一個根可得上+2-8=0,

aa2a

第7頁共31頁

所以b+9=4a-三+9=4“+f22..2=8,

aaaaya

當(dāng)且僅當(dāng)4a=f,即a=2,8=1時等號成立,

a

故b+9的最小值是8.

a

故選：D.

【例9】(2025春?遼寧月考)若關(guān)于x的一元二次方程請一6?5=0的兩個實數(shù)根分別為%和

x，則1+1的值是()

X]x2

A.6B._6C.5D._5

5566

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用韋達定理列式計算得解.

【解答】解：關(guān)于》的一元二次方程”2-6.”5=0的兩個實數(shù)根分別為仁利—七+工=2招工=-5,

IzIzIz3

所以、1_6.

X(x2X]X25

雌：B.

【例10】(2024秋?青海期末)若二次方程r+(”6)工+2"4=0在(0,3)上有兩個不相等的實根,

則的取值范圍是()

A.(10+4Q+8)B.(y,6)C,(y,I0-4^D.(2,10+40

【答案】C

【分析】結(jié)合二次方程根的分布條件建立關(guān)于“的不等式組，解不等式組即可求解.

【解答】解:因為二次方程因+3-6)x+2a-4=0在(0,3)上有兩個不相等的實根,

fV=(a-6)2-4(2a-4)>0

a-6q

所以°<一丁，解得號<〃<10-46

2</-4>0

[9+3("6)+2a-4>0

C.

第8頁共31頁

圖知識點3/

知識點

【知識點3]三個二次之間的關(guān)系

已知一元二次不等式的解集，就能夠得到相應(yīng)的一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，可

以求出相應(yīng)的系數(shù).注意結(jié)合不等式解集的形式判斷二次項系數(shù)的正負

雌例題

【例11](2023秋?信陽期中)已知關(guān)于x的不等式a(x+l)(x-3)+l〉0的解集是(距，x2)(x)<x2),

則下列結(jié)論正確的是()

A..V]+x2=2B.X1X2<-3C.-1<xi<xz<3D.x2-xl>4

【答案】ABD

【分析】根據(jù)不等式a(x+l)(x-3)+l>0("0)的解集得出”0,且xi,.是對應(yīng)方程的解,由根

與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得出正確的判斷.

【解答】解：關(guān)于x的不等式a(x+l)(x-3)+l>0(aw0)的解集是｛%|距vxvx2｝,

所以“<0,且x,x是一b兀二次方程ax2-2ax+1-3a=0的兩個解；

I2

由根與系數(shù)的關(guān)系知，.+4=2,選項“正確；

又“2=-——=—~3<-3,選項B正確;

aa

且m區(qū)+工)2-4x/=「-4X7=2^7^>4，選項。正確.

由二次函數(shù)y=a(x+1)(x-3)+1>0的解集是｛x|x1<x<必｝，

且q<0,-1和3是方程a(x+1j(x-3)=()的兩解，如圖所示：

所以M<-1<3<》2，選項C錯誤.

故選：ABD.

第9頁共31頁

【例12】（2024秋?吉林期末）已知不等式ad+'x+cvO的解集為{x|x<-l或x>3},則下列結(jié)

論正確的是（）

A.a>0

B.c<o

C.q+b+cvO

D.ex?一心+°<0的解集為|一1<x<1}

3

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式加+^+c<（）的解集得出對應(yīng)方程的解，以及“<0,由此判斷選項中的命

題是否正確.

【解答】解:因為不等式ax2+6x+c<0的解集為或x>3},

所以-1和3是方程G+Ax+cuO的解，且a<0,選項力錯誤；

3+3=—1

所/",解得/>=-2a,c=-3a>0,選項3錯誤；

-1X3=￡

Ia

所以a+/>+c=a-2a-3。=-4a>0,選項C正確；

不等式c/_灰+白<o可化為一為/+2ax+a<0,即3/-2r-1<0,

解得，<X<1,所以不等式的解集為{x|-L<X<1},選項。正確.

33

故選：D.

【例13】（2023秋?云南期末）已知關(guān)于x的不等式/-”十60的解集為{x|2"x”3},則關(guān)于x

第10頁共31頁

的不等式x2-bx+a<0的解集為()

A.{x12<x<3}B.{x|i<x<3}C.{x12<x<5}D.{x|1<x<5}

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式《一爾+〃”0的解集求出八b,代入不等式/-反+。<0求解集即可.

【解答】解：因為關(guān)于x的不等式F-+及。的解集為口|2”$3},

所以2和3是方程/一級+/)=0的解，

由根與系數(shù)的關(guān)系得〃=2+3=5,Z)=2x3=6>

所以不等式r-6x+a<0為F-6工+5<0,解得l<x<5,

所以不等式的解集為{x|l<x<5},

故選：D.

【例14】(2024秋?集安市月考)已知關(guān)于x的不等式加+以+00的解集為(F,—2)53，

y),則下列選項中正確的是()

A.a<0

B.不等式bx+c>0的解集是{x|x>-6}

C.a+b+c>0

D.不等式ex?_/)x+a<0的解集為(-oo,-L)(j(L*o)

32

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式。/+云+。>0的解集得出方程d+故+c=0的解，判斷a>0,由此求解即

可.

【解答】解:因為不等式ox2+bx+c>0的解集為(-8,-2)U(3,+8),

所以-2和3是方程加+6x+c=0的解，且a>0,選項力錯誤；

、2+3=_)

由根與系數(shù)的關(guān)系知，?所以6=-0,c=-6a;

-2x3=3

Ia

所以不等式及+c>0,可化為-x-6〉0,解得％<-6,所以不等式的解集為任|、<-6},選項8錯

第II頁共31頁

誤；

因為a++c=a-a-6a=-6a<0,所以選項C錯誤；

不等式以2-方x+a<0可化為-謂+x+l<（）,即6N>0,

解得工<「或>>1，所以不等式的解集為（-8,-!）O（L，+8）,選項。正確.

3232

D.

【例15】（2024秋?大理市期末）若關(guān)于實數(shù)x的不等式x2+bx+c>0的解集是{x|x<-5或x>2},

則關(guān)于x的不等式#+麻+1>0的解集是（）

A.）|j（L,-K?）B.（^?,一1）u（L+8）

【答案】D

【分析】根據(jù)一元二次不等式與方程的關(guān)系，結(jié)合韋達定理求得6=3,c=-10,再代入不等式,

即可求解.

【解答】解：Q關(guān)于x的一元二次不等式x2+bx+c>0的解集是{x|xv-5或x>2},

二-5,2是一元二次方程/+6+。=0的兩個實數(shù)根，

h=5I2=3,c=5x2=10,即〃=3,c=10,

不等式c/+公+1>0化為-@2+3x+l>0,解得-!_<x<

52

不等式的解集為（-LL）.

5’2

故選：D.

由知識點4/

知識點

5

【知識點4】一元二次不等式恒成立問題

恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略

第12頁共31頁

⑴弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù).

⑵一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不

能用判別式4,一般分離參數(shù)求最值或分類討論.

【例16】(2024秋?武強縣校級期末)*c{x|l“x”2}時，不等式x2-x_〃“o成立，則〃的取值

范圍是()

A.{m|m?2}B.{m\m...2}C.{w|1<m<2}D.{m|w...0)

【答案】。

【分析】問題轉(zhuǎn)化為凡./一在［1,2］上有解,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：dxe{x11?x?2}時，不等式x2-X-m?0成立，

即用...x2-x在［1,2］上有解，

所以〃?...(F而，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)X=1時，X取得最小值0,

故附...0.

故選：D.

【例17】(2024秋?中牟縣期末)設(shè)XCR,不等式公+2依—3<o恒成立的一個充分條件可以是

()

A.-3<a<0B.-3”。<0C.—3<<7<1D.-3?u<\

【答案】A

【分析】由題干不等式對xcH恒成立，解出〃的取值范圍，根據(jù)充分條件結(jié)合選項得出與答案.

【解答】解：不等式ar2+2ar-3<0對xeR恒成立時，當(dāng)a=0時-3<0恒成立，

當(dāng)口工0時，a/+2ax-3Vo對/€R恒成立，只需,

\(2a)2+4<?x3<0

解得-3<￡7<0,

綜上有當(dāng)不等式加+2ax-3<0對xe/?恒成立，ae（-3,0],

而13,O）c（-3,0],故由。選項推出題中不等式對xeE恒成

立,故選：A.

【例18】（2025?芒市校級開學(xué)）一元二次不等式履2+3h+2>0對任意xwR恒成立，則實數(shù)左

4

的取值范圍是（）

A.0<k<\B.0”〃<1C.R<0D.0