重難點(diǎn)突破02線性代數(shù)背景下新定義

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：行列式背景.............................................................2

題型二：矩陣背景...............................................................7

題型三：向量組背景............................................................15

題型四：特征向量背景..........................................................21

03過關(guān)測試....................................................................28

亡法牯自與.柒年

//\\

線性代數(shù)中處理新定義問題時(shí)，首要任務(wù)是準(zhǔn)確理解新定義的本質(zhì)。方法技巧上，可以采取以下步驟:

一、深入剖析新定義，明確其內(nèi)涵與外延，把握關(guān)鍵要素。

二、嘗試將新定義與已知概念、定理或性質(zhì)建立聯(lián)系，利用已有知識體系進(jìn)行推理。

三、在解題過程中，靈活運(yùn)用矩陣運(yùn)算、線性變換、特征值與特征向量等工具，以及適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)或幾

何方法。

四、注重驗(yàn)證結(jié)果的正確性，確保解題步驟和答案無誤。

總結(jié)時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)新定義在解題中的關(guān)鍵作用，回顧解題過程中用到的關(guān)鍵知識點(diǎn)和技巧。同時(shí)，總結(jié)

新定義問題的常見類型和解題思路，以便在遇到類似問題時(shí)能迅速找到解決方法。通過不斷練習(xí)和總結(jié)，

可以逐漸提高解決線性代數(shù)新定義問題的能力，加深對線性代數(shù)學(xué)科的理解和掌握。

題型一：行列式背景

【典例1-1】（2024?河北保定?三模）對于任意給定的四個(gè)實(shí)數(shù)知，牝，?21,%2,我們定義方陣

方陣A對應(yīng)的行列式記為det（A）,且（^（4）=%生2-生生1，方陣A與任意方陣

“22J

8=匕"的乘法運(yùn)算定義如下：AXB=C,其中方陣C"],且*=￡a“也（見"€{1,2}）.設(shè)

<”21。22）。22）?=1

M(coscr-sincrA(cos夕sin6]610

(sinacosaJ'(一sin尸cos夕/(01

⑴證明：det（MxN）=det（E）.

⑵若方陣A,與滿足Ax5=石，且det（A）,det（3）￡Z,證明：|det（A）+det（B）|=det（A/）+det（N）.

左]1

【解析】（1）設(shè)方陣K=MxN=

人21

貝|Jku=coscrcos/?+(-sina)(-sin0=cos(a-￡),

船=coscrsin/7+(-sincr)cos/?=sin(/?-cr),

k2l=sinacos夕+cosa(-sin/?)=sin(cr-/?),

k22=sinasin^+cosacos尸=cos(a一尸),

固K=k°s(a-0sin(6一0、

、卜in(a-Q)cos(a_p),，

所以det(MxN)=det(K)=cos2(a_/7)—sin(a_/?)sin(p_a)=cos2(cr-/?)+sin2(cr-/?)=1.

因?yàn)閐et(￡)=lxl—OxO=l,所以det(MxN)=det(E),證畢.

可得“1141+%2b21=1，①

+。12”22=。，②

。2向1+。22b21=°，③

Cl21bl2+42”22=1，④

由①X(J),得6]+%]偽]%2匕22+。12“21。2142+%2“21%2"22=1，⑤

由②X③，得011bl2a21bli+%b[2a22b21+q2b22。21bli+%力22a2力21=0,⑥

由⑤一⑥，可得4141。22b22+al2b2la2lbi2-011bl2a22b21-%2b22a21bli=1,

整理得(％i/2-%2%i)(4也一42b2i)=1,BPdet(A)xdet(B)=1.

案二;或：：￡二;:則阿AMt⑻=2.

由det（A）,det（3）￡Z,可得

又det（M）=cos2a+sin2a=1,det（N）=cos213+sin2/?=1,

所以辰4田+（1匕43）|二€1匕＜〃）+（1匕4"）,證畢.

【典例1-2】（2024.江蘇南通.模擬預(yù)測）解二元一次方程組是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備技能.設(shè)有滿足條件

fa.x.+dL9x9=b,

an%2的二元一次方程組｛*■,.

巴西+a22x2=b2

（1）用消元法解此方程組，直接寫出該方程組的兩個(gè)解；

（2）通過求解，不難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)解的分母是由方程組中占,多的系數(shù)為、出2、％2、%所唯一確定的一個(gè)數(shù)，按

照它們在方程組中的位置，把它們排成一個(gè)數(shù)表4%,由此可以看出勺%-牝％是這個(gè)數(shù)表中左上到

^^21^^22

右下對角線上兩個(gè)數(shù)的乘積減去右上到左下對角線上兩個(gè)數(shù)的乘積的差，稱勺的2-④％1為該數(shù)表的二階

行列式，記為加時(shí)，二元一次方程組有唯一一組解.同樣的，行列式

d?]a??^^21^^22

abcabc

Im

川稱為三階行列式，且Imn=amz+bnx+cly-cmx—biz-any.

zxyz

%自+%2%2=4

(i)用二階行列式表示方程組的兩個(gè)解;

〃21菁+〃22,2=b]

石+〃12“2+〃13*3=b]

(ii)對于三元一次方程組％心+%2々+%彳3=%,類比二階行列式，用三階行列式推導(dǎo)使得該三元一次

“31%+〃32%2+“33*3=03

方程組有唯一一組解的條件(結(jié)論不得使用行列式表達(dá))，并用三階行列式表示該方程組的解.

sin.x—rn

⑶若存在xe[O,兀],使得'>sin2x+2求優(yōu)的取值范圍.

cosxm

“1〃22一02412

【解析】(1)該方程組的兩個(gè)解為

Z?2ali-

_4〃22—b2a12

X1一

(2)(i)由(1)得?

X”2。11-"1〃21

%1〃22一42〃21

仇。12

Z?2〃22

勺-

2

“21"22

所以該方程組的兩個(gè)解為＜

?n4

a2ib2

4]]

(ii)類比二元一次方程組，將三元一次方程組中的系數(shù)排成一個(gè)數(shù)表%?22。23,則可以得到

。31。32。33

。1243

二階仃列式。21。22〃23.

“31^^32^^33

dy?23

令。=。21%2423,當(dāng)時(shí)，該三元一次方程組有唯---組解，

〃31。32。33

即得該三元一次方程組有唯一一組解的條件為

%出243+63。2142~~旬出3《2一42。2143-《3%2%，

用三階行列式表示該方程組的解為

b、Q]23“114tZj]〃]2b、

1^2^^22^^23

1^3^^32^^33

X

1，元2-，X3一

"12〃13"12”13"12”13

。21。22。23。21“22。23

sinx—m

(3)m(sinx+cosx)>2sinxcosx+2,

cosm

令sinx+cosx=1，貝!Jsinxcosx=----

其中/=sinx+cosx=V2sin

因?yàn)閤e[0,7t],所以x+;耳，f=0sin[x+；]e[-l,行],

故m(sinx+cosx)>2sinxcosx+2^mt>t2+1,

當(dāng)/=()時(shí)，0〉1無解，不合要求；

當(dāng)/￡倒,0］時(shí)，機(jī)〉/+；,

其中＞=/+：在，￡（0』上單調(diào)遞減，在，41,&］上單調(diào)遞增，

故當(dāng)方=1時(shí)，y=/取得最小值，最小值為2,故機(jī)＞2；

t

當(dāng)方￡［—1,0）時(shí),lTl＜t+—,

其中y=/+；在上單調(diào)遞減，

故當(dāng)/=-1時(shí)，y=Z+，取得最大值，最大值為-2,故機(jī)＜-2,

t

sinx—in

因?yàn)榇嬖邶埬?。，兀I，使得＞sin2x+2,所以機(jī)＞2或;〃＜一2,

cosxm

綜上所述，山的取值范圍為（-8,-2）“2,+8）.

【變式1-1］（2024.山東荷澤.模擬預(yù)測）行列式是代數(shù)學(xué)中線性代數(shù)的重要分支，是一個(gè)方陣所對應(yīng)的一

個(gè)標(biāo)量值.行列式具有簡潔、對稱、優(yōu)美的特點(diǎn),可以用來求直線方程，求三角形的面積，解線性方程組等.

利用行列式進(jìn)行求解，則可以簡化運(yùn)算步驟,提高做題速度.其中二階行列式定義為:

“11%2〃13

“22“23

〃

=＜2lla22-fl12a21；三階行列式定義為:“23anx+13X

〃31。32

12

例如:=lx5-2x3=-l.在平面直角坐標(biāo)系中，已知VABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為

35

%1

1

B（x,y）,C（x,y）,則VABC的面積公式可表示為：S&ABC—X%1

22332

%1

⑴已知0（0,0）,M（—3,—2）,N（l,-6）,求△。處的面積.

（2）已知點(diǎn)A（—2,0）I（0,2）,若點(diǎn)。是圓2x+y2=。上的動(dòng)點(diǎn)，求VA5C面積的最小值.

22

（3）已知橢圓,+方=1（〃＞人〉0）,它的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為卜2石,0）,右頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）,設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為

（2,1）,過原點(diǎn)。的直線交橢圓于點(diǎn)E,歹，求戶面積的最大值.

001

1-21-31-3-2

【解析】（1）由題意得Wow—x-3-21-xOx--xOx+-X1X

22-6121121-6

1-61

=；xlx[(—3)x(—6)—1x(—2)]=10；

設(shè)C(l+cose,sin夕),

-201

1一（-2）212

則—X02-ixO+l°

2sin<91221+cos0sin。

1+cos。sin。1

=；x(-2)x(2-sine)+：x(-2-2cos6)=|sin^-cos0-3|

=拒si:

4

所以當(dāng)si“Tj=l時(shí)，S,

因?yàn)閟in\ABC取得最小值,

4

最小值為|0-3卜3-&；

(3)由題意得a=4,c=2石，故62=〃—C?=]6—12=4,

22

故橢圓方程為工+匕=1,

164

過原點(diǎn)0的直線交橢圓于點(diǎn)瓦尸，設(shè)E（4cos，,2sin6）,

由對稱性可知F（-4cos^,-2sin夕）,

2sin。

-2sin0

=|4sin^-4cos0\]=4sin]8一：

故當(dāng)sin（（9-：J=±l時(shí)，ADEF面積取得最大值，最大值為4.

題型二：矩陣背景

【典例2-1】（2024?廣東?一模）數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計(jì)算，是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其主要研究對

象包括向量和矩陣.對于平面向量4=（x,y）,其模定義為|詞="77?類似地，對于〃行〃列的矩陣

(znn\\—2

,其?？捎上蛄磕Ｍ卣篂锳=（其中均為矩陣中第i行第/列的數(shù),

<i=lJ=1>

Z為求和符號），記作我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對于矩陣

（a,,%、，24、fnn>2______________

：J=Q5）其矩陣模=也?+42+32+52=3』?弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機(jī)器學(xué)

習(xí)等前沿領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.

’100...0"

0V20...0

(1)VneN*,n>3,矩陣紇〃=00^3??e0,求使%>34的”的最小值.

、ooo…G,

(2)VneN*,n>3,,矩陣C””=

n

>

3〃+9

因式分解得("一9)(w+10)>0.因?yàn)椤╡N*,所以">9.

所以使HBllF>3小的”的最小值是10.

(2)由題得第1對角線上的平方和為1+sin?6+sin"6+…+sin上國二

l-sin26>

第2對角線上的平方和為

cos20(\+sin20+??■+sin2n_46)=cos20'--；--=1-sin2"-20,

'7l-sin26>

L

第左對角線上的平方和為

i_左+2n

cos2e(1+sin2e+???+sin2%2左=os25,--=1-sin2"-2^20,

')Cl-sin26>

L

第n對角線上的平方和為cos?9,

2,,

l-sin6>224

所以IICll^+(l-sin"-6)+…+(1-sin2'5+26?)+...+(l-sin6?)+

l-sin26>

cos20=1+sin20+sin40-\-----Fsin2"-26+(〃-2)-sin2"-20sin2r+2e

sin40+cos20=1+(7?-2)+sin20+cos20=l+(n—2)+l=n.

所以HCllF=y/n.

n

(3)由題意知，證明

3H+9

等價(jià)于證明帝：+1!12金+…+時(shí)學(xué)>

23n+L3n+9

注意到左側(cè)求和式力2雪=帝|+Y+…+"1，

將右側(cè)含有”的表達(dá)式表示為求和式有

二+P---M

"占-曰…+后-〃+2)[〃+2〃+3)

11_n

3H+33〃+9

一~?2〃+21111*

故只需證In------>---------T>----------------=-------——-,Vn>l,neN成立,

〃+15+2產(chǎn)("+2)5+3)n+2n+3

即證In"二>---,\/〃之1,〃￡?4*成立，令％=1+^—,

〃+1n+2n+1

1(31

則需證In%>1—,xe1,—成立，

xv2

則小)—在向上恒成立,所以/⑺在向上單調(diào)遞

記/(x)=lnxd-----1,XG

增,

所以/(x)>/(D=lnl+l-l=O,

所以lnx>l-,在(1，!上恒成立，即歷9>—L,\/〃21,心z成立，

%I2」H+1n+2

所以原不等式成立.

【典例2-2】行列式是線性代數(shù)的一個(gè)重要研究對象，本質(zhì)上，行列式描述的是〃維空間中，一個(gè)線性變

換所形成的平行多面體的體積，它被廣泛應(yīng)用于解線性方程組，矩陣運(yùn)算，計(jì)算微積分等.在數(shù)學(xué)中，我

144-231

們把形如.，°一，?<:這樣的矩形數(shù)字(或字母)陣列稱作矩陣.我們將二階矩陣

32/33—3

「ab

兩邊的“［『改為"II”，得到二階行列式cd，它的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)值(或多項(xiàng)式)，記為

ab

-ad-be.

cd

35

(1)求二階行列式的值；

—2—1

1

(2)求不等式-J'3>1的解集;

cosxsmx

sinx—rn

⑶若存在無可。,兀I，使得>sin2x+2,求小的取值范圍.

cosxm

35

【解析】(1)c?=3x(—1)—(—2)x5=—3+10=7；

—2.—1

(2)=sinx+y/3cosx=2sin|x+—j>l,

cos尤sinxI3J

|71|1,,7171571_T-

故sin%+一>一，故一+2TE<%+—<一+2TE,左cZ,

V3J2636

jrIT

角犁得——+2hi<x<—+2hi,左￡Z,

62

不等式1一近>1的解集為1x]-3+2E<x<g+2E/ez]；

cosxsinxI62J

sinx—m,、

(3)=m(sinx+cosx)>2sinxcosx+2,

cosxm

令sinx+cosx=￡，貝Usinxcosx=------，

2

其中/=sinx+cosx=^2sin[%+：)，

因?yàn)閤e[0,7i],所以x+1e:耳，"虎sin[x+：[e[-l,@,

故Msinx+cosx)>2sinxcosx+2=>m/>/+l,

當(dāng)，=0時(shí)，0>1無解，不合要求，

當(dāng).w(0,后]時(shí)，m>t+^,

其中y+；在.w(0,1]上單調(diào)遞減，在/￡(1,上單調(diào)遞增，

故當(dāng)才=1時(shí)，,=/取得最小值，最小值為2,故機(jī)>2；

t

當(dāng)方?—1,0)時(shí)，m<t+^,

其中y=r+；在/4TO)上單調(diào)遞減，

故當(dāng)，=-1時(shí)，y=r+1取得最大值，最大值為-2,故加<-2,

t

sinx—TTI

因?yàn)榇嬖趚e[0,兀I，使得'>sin2x+2,所以加>2或加<一2,

cosxm

m的取值范圍為u（2,+oo）.

【變式2-1]（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系x0y中，利用公式①（其中b,

[y—ex+ay

c,d為常數(shù)），將點(diǎn)尸（x,y）變換為點(diǎn)尸的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式,

?（ab\（ab\

該變換公式①可由a,b,c,d組成的正方形數(shù)表/唯一確定，我們將,稱為二階矩陣，矩陣

a）a）

通常用大寫英文字母A,3,…表示.

（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X?！抵?，將點(diǎn)玖尤,y）繞原點(diǎn)0按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角得到點(diǎn)P（KV）（到原點(diǎn)距離

不變），求坐標(biāo)變換公式及對應(yīng)的二階矩陣A；

7T

⑵在平面直角坐標(biāo)系xoy中,求雙曲線沖=1繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)7（到原點(diǎn)距離不變）得到的雙曲線

方程C；

（3）已知由（2）得到的雙曲線C,上頂點(diǎn)為。，直線/與雙曲線C的兩支分別交于A,3兩點(diǎn)（8在第一象

限），與x軸交于點(diǎn)T.設(shè)直線ZM,的傾斜角分別為a,P，求證：a+6為定值.

【解析】(1)設(shè)OP=OP=r,ZPOx=0,則％=rcos。，y=rsin。，Z.POx=0+a,

故乂=rcos(9+a)=rcos^cosa-rsm3sma=xcosa-ysma,

y'=rsin(6+a)=rsin9coscr+rcos8sina=xsina+ycosa,

fy=xcosa-ysina

所以坐標(biāo)變換公式為

[y'=xsina+ycoscr

cosa-sma

該變換所對應(yīng)的二階矩陣為A=

sinacosa

（2）設(shè)曲線孫=1上任意一點(diǎn)（X,y）在旋轉(zhuǎn)角是?的旋轉(zhuǎn)變換下所得點(diǎn)坐標(biāo)為（X',y）.

71.兀

xr=xcos----ysin——

44

則V

.7171

y=xsin—+ycos—

44

w'2丫，222

得（行9-（/）9-=2孫=2,則，一”1,所求曲線方程為5_-3=1：

(3)

①直線43斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為y=4IX-3----J----

設(shè)4(/,%),B(,x2,y2)

由^一I'3),得3,2_i)f_2痘、+2/_6=0,

…孑=2''

2y/6k2_2k~—63

所以占+々=，占*2=3仇2_])，且A>o=>4K—3>0n《>],

當(dāng)士=0時(shí)，取A（0,-0）,T半,0,砧=石，所以直線7X方程為：y=6x-正,

直線TA方程與雙曲線C方程聯(lián)立可得V-=0,解得x=0或x=&,

所以網(wǎng)而2忘），D（0,V2）.

所以如8=走，所以尸=B，可得C+￡=M；

363

當(dāng)占#0時(shí)，設(shè)ZM,DB的斜率分別為心片,

所以tan(c+;?)==Y.

?LAvirv^

因?yàn)?在第一象限，所以0〈方<y]r,所以0<a+方〈三37r，所以&+/=寧27r.

②直線A3斜率不存在時(shí)，可得人［乎,-平］,^［乎，半

可得K=—2—6,k2=2—百，

所以tan(c+,)=M^=_6,同理可得々+￡=§.

］一/化23

綜上可得，a+夕為定值2奇兀，得證.

a\\42…a\n

【變式2-2］有"("I)個(gè)正數(shù)，排成“X”矩陣(〃行凡列的數(shù)表)：的":,劭表示位于第

、%%???

，行，第/列的數(shù).其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有的公比都相等，己知

,13

⑴求公比.

(2)用左表示

(3)求"11+。22+…+?！āǖ闹?

【解析】(1)由題可知第4行公差為d=々43-。42=7Z，由此可知。44=。43+2=J

16164

由第四列數(shù)據(jù)可知公比為：

(2)即=%.=」，時(shí)是首項(xiàng)為工公差為J的等差數(shù)列，故&L芻

(3)因?yàn)槊恳涣械臄?shù)成等比數(shù)列，并且所有的公比都相等，所以由(2)可知。欣內(nèi)，故

~=出皿

設(shè)〃｝的前幾項(xiàng)和為S”

Sn=61+〃22+...+%〃

3=唱）+2*直+3x0+.?.+"><出②

一一黨

【變式2-3](2024?山東泰安?模擬預(yù)測)在數(shù)學(xué)中，由小"個(gè)數(shù)為[=1,2,…,m;/=1,2,…川排列成的桃行

a\\ana\n

〃列的數(shù)表":"加稱為〃zx〃矩陣，其中均稱為矩陣A的第i行第j列的元素.矩陣乘法是指對于兩

atn\a2mamn

個(gè)矩陣A和反如果4的列數(shù)等于8的行數(shù)，則可以把A和8相乘，具體來說：若

/、

,,,C11...........................%

A…bu…九、

瓦1…b2P

A=ailai2…冊,B=貝|C=A5=ci\,,,cij,?Cin，其中

昌…4…b秋?

ac

ym\am2…amn/yCmli,??Cny?,,mn/

(1xVin;]=D，函數(shù)F(x)=

J=1,2,

3j=a也+%%+…+4〃.，九…,〃.已知i0-2JIaxq+c2.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

⑵若%,%(%<%2)是/(%)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：D%O￡(H%2)，〃%0)+/(%2)+6%+%lnl6Vo.

【解析】(1)由矩陣乘法定義知〃%)=111%+加-2雙，XG(0,+OO),

lax-lax+1

*.*=—+2ax-2a=

x

.?.當(dāng)。=0時(shí)，f'(x]=->0,〃x)單調(diào)遞增，

X

。片0時(shí)，方程2辦2-2辦+1=0的判另1」式4=4。(。一2),

當(dāng)0<aV2時(shí)，A<0,r(x)>0,單調(diào)遞增，

當(dāng)a<0或。>2時(shí)，△>(),令/'(x)=0,方程兩根記為a,P,

mria-cr-2a-ci+Ja"-2a

a=。B=------------,

則----------，

2a2a

當(dāng)a〈0時(shí)，a>0,P<0,

當(dāng)x?0,a)時(shí)，尸(x)>0,/(%)單調(diào)遞增，時(shí)，/f(x)<0,/(%)單調(diào)遞減,

當(dāng)〃〉2時(shí)，(3>a>Q,

當(dāng)xe(0,a)和(￡,+oo)時(shí),1(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(a,6)時(shí)，/(%)<0,〃x)單調(diào)遞減，

綜上，當(dāng)0VaV2時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)。<0時(shí)，在0,巴二-----上單調(diào)遞增，在幺二_-,+?上單調(diào)遞減，

2a2a

\7\7

?X，/""2-2”工(〃+J/-2a].1v,、卬、乂_1_1vt/.(a—d/—2aa+Ja2-2i).

當(dāng)a>2時(shí)，/(%)在0,一三-----和一士-----,+8上單調(diào)遞增，在一三------,一七------上

2a2a2a2a

\7\7\7

單調(diào)遞減.

(2)??,〃%)有兩個(gè)極值點(diǎn)，由(1)知a>2,

設(shè)尸(司=勺(0<.￡|,

.../XInx+ax2-2axlux_

?r(xj=-------------------=-----Fax-2〃，

XX

??.P(x)=="+a,

*.*0<x<—,a>2,

2

/.P'(x)>0,

.?.尸(x)單調(diào)遞增，

?..尸=—21n2—

由(1)知不￡[o,,〃>2,

/\3/(x)

P(x1)<-21n2一一a<—3—21n2,gp±_L_LZ<_3_2^2,

2X]

/./(^)<-3%-2百ln2,

又由(1)知“天)在(％,*2)上單調(diào)遞減且與?石,尤2)，

/./(^))+/(x,)+6jq+^lnl6<0.

題型三：向量組背景

【典例3-1】（2024?貴州黔東南?二模）一般地，〃個(gè)有序?qū)崝?shù)q，電，L,乙組成的數(shù)組，稱為"維向量,

記為萬…，見）.類似二維向量，對于"維向量，也可以定義向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、

數(shù)量積運(yùn)算、向量的長度（模）、兩點(diǎn)間的距離等，如花=（q,生,…,為），則同=也;+d+…+a；；若存在

不全為零的r個(gè)實(shí)數(shù)L，k2,L,心使得勺1+左2%+…則向量組%,%,L,7是線性相關(guān)

的向量組，否則，說向量組I，%,L,7是線性無關(guān)的.

⑴判斷向量組）=（L3,1）,Z=（-M，3），%=（—5,-7,3）是否線性相關(guān)？

⑵若2=（卬,。2,…,a“），+,當(dāng)“22且wwN*時(shí)，證明：./"<|a|<^^-.

kKJy2n+4113

【解析】（1）設(shè)存在不全為零的3個(gè)實(shí)數(shù)*k2,勺使得匕7+

kt-k2-5k3=0①

則區(qū)（1,3,1）+及（-1,1,3）+匕（-5,-7,3）=6,即<3匕+匕-7網(wǎng)=0②,

K+3k、+3k3=0③

由①+②消去k2得:《=3k3,由①-③消去&得:k2=-2k.,

則該方程有無數(shù)組解，所以不妨?。?1,則勺=3,%=-2,

二3用一2@+a=。，即向量組I，%,Z是線性相關(guān)的?

=ln

（2）證明：a”），akP4,左=1,2,3,…，〃，

.?.同=12+；[+后+；)+…+11211+J_

先證：141+小>貴，〃N"

則/'（x）=」T1x

設(shè)/(%)=如(％+1)--+>0,

x>0,(x+l)2(x+l)2

??40）在（0,+8）上單調(diào)遞增，，當(dāng)"eN*時(shí)，

即--^-=ln|1+-|--—>0,

In)1+1InJn+1

n

lnfl+—>]>-^―,〃￡N*.

InJn+1

同理可證：ln|1+-|<-,HGN\

1n)n

1111

------>------------=-----------

(〃+1)?++n+1〃+2'

/.ln2|1+-j+ln211+—|+---+ln2|1+—+——--萬

11JI2；In)2232(n+1)2

1]_1_1_n

n+2)2〃+22〃+4

n

/.\a\>

2n+4

.,.當(dāng)“22且“eN*時(shí)，

1，二」<3

2"+12n+lJ32〃+13

綜上可得，當(dāng)“22且〃N*時(shí)，水”

【典例3-2】對于一組向量入點(diǎn)點(diǎn)，L點(diǎn)(?eN+,且“23),令3“+化+i,+L+)“，如果存在

Z(%e{l,2,3,L川)，使得|6閆1-'|,那么稱％是該向量組的“〃向量”.

⑴設(shè)句=(x+",〃)(〃eN+),若瑪是向量組4也,《的向量”，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

rrjjrrjTriiii

⑵若a.=(cos萬,sinfX“eN+),向量組,如是否存在“"向量”？若存在求出所有的“"向量”，

若不存在說明理由；

⑶已知4,瑪,4均是向量組4,4,4的‘7/向量"，其中4=(sinx,cosx),a2=(3cosx,3sinx),設(shè)在平面直角

uuur

坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列匕2，A，L,%L(〃eN+)滿足片為坐標(biāo)原點(diǎn)，且與%關(guān)于點(diǎn)4對稱，

號+1與鳥口小?N)關(guān)于點(diǎn)八對稱，求-023取24的最小值.

【解析】⑴由題意可得：同2國-q=,+可，

因?yàn)?(%+〃,〃)，所以4+4=(%+1/)+(冗+2,2)=(2%+3,3),%=(Q+3,3),

則(X+3,3)242X+3,3)2=(X+3)2+9“2X+3)2+9=X(3X+6)W0,

解得：-2<x<0；

(2)假設(shè)存在“H向量”4"，因?yàn)橥?|coSf,snifbJcos-3+sm~3=1,

--->(〃+4.幾+4(n.幾)一

a

且n+4=cos----7i,sm----7i=cos—K,sin—71=an,

則由題意得：只需要使得瓦k同=1,

又因?yàn)?+Z+Z+Z=（o,i）+（-i,o）+（o,-i）+（1,o）=（o,o）,

所以S”=q+%+/■*---!■4］=%+%+%=（0,1）+（—1,0）+（0,—1）=（—1,0）,

2+2cos-^-<!<=>cos-^<--,又因?yàn)橄唷?%￡?4*|%011},

22211）

所以機(jī)=2,6,10滿足上式，故存在““向量”為踵；

（3）由題意得：同2,2+431Q匐2,2+q|=Q：2（〃2+〃3）0%2N42+2〃2.4+42，

I——qhe—p/日—?2—?2—?—?—?2—?2—?2—>—?—?2

I可埋口」將：a2>（\+2a1-a3+a39a3>a[+2a[-a2+a2,

上面三個(gè)式子相加得：02%+。2+。3+2q?%+2q?〃3+2〃2=（〃1+%+。3）V0，

工。，所以％+d2+a3=0,

u二一sinx—3cos九

設(shè)%=（〃,v）,貝！J由,+Z+Z=d得:

v=-cosx-3sinx

（&+i，%+i）=2（可，%）一（積，為J

設(shè)￡=(%,%)，則依題意得:

.（*2上+2,％&+2）=2（々，%A（丹+1,％+1）