PAGE1試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages103103頁(yè)專題04一次函數(shù)考點(diǎn)一、平面直角坐標(biāo)系1．（2024·河北·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值稱為該點(diǎn)的“特征值”．如圖，矩形位于第一象限，其四條邊分別與坐標(biāo)軸平行，則該矩形四個(gè)頂點(diǎn)中“特征值”最小的是（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【答案】B【詳解】解：設(shè)，，，∵矩形，∴，，∴，，，∵，而，∴該矩形四個(gè)頂點(diǎn)中“特征值”最小的是點(diǎn)B；故選：B．2．（2024·河北·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，且橫、縱坐標(biāo)之和大于0的點(diǎn)稱為“和點(diǎn)”．將某“和點(diǎn)”平移，每次平移的方向取決于該點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)（當(dāng)余數(shù)為0時(shí)，向右平移；當(dāng)余數(shù)為1時(shí)，向上平移；當(dāng)余數(shù)為2時(shí)，向左平移），每次平移1個(gè)單位長(zhǎng)度．例：“和點(diǎn)”按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后，到達(dá)點(diǎn)，其平移過(guò)程如下：若“和點(diǎn)”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【詳解】解：由點(diǎn)可知橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，繼而向上平移1個(gè)單位得到，此時(shí)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為2，繼而向左平移1個(gè)單位得到，此時(shí)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，又要向上平移1個(gè)單位，因此發(fā)現(xiàn)規(guī)律為若“和點(diǎn)”橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0時(shí)，先向右平移1個(gè)單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復(fù)的規(guī)律平移，若“和點(diǎn)”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點(diǎn)，則按照“和點(diǎn)”反向運(yùn)動(dòng)16次求點(diǎn)Q坐標(biāo)理解，可以分為兩種情況：①先向右1個(gè)單位得到，此時(shí)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0，應(yīng)該是向右平移1個(gè)單位得到，故矛盾，不成立；②先向下1個(gè)單位得到，此時(shí)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，則應(yīng)該向上平移1個(gè)單位得到，故符合題意，那么點(diǎn)先向下平移，再向右平移，當(dāng)平移到第15次時(shí)，共計(jì)向下平移了8次，向右平移了7次，此時(shí)坐標(biāo)為，即，那么最后一次若向右平移則為，若向左平移則為，故選：D．考點(diǎn)二、一次函數(shù)圖象3．（2024·河北·中考真題）扇文化是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的組成部分，在我國(guó)有著深厚的底蘊(yùn)．如圖，某折扇張開(kāi)的角度為時(shí)，扇面面積為、該折扇張開(kāi)的角度為時(shí)，扇面面積為，若，則與關(guān)系的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：設(shè)該扇面所在圓的半徑為，，∴，∵該折扇張開(kāi)的角度為時(shí)，扇面面積為，∴，∴，∴是的正比例函數(shù)，∵，∴它的圖像是過(guò)原點(diǎn)的一條射線．故選：C．考點(diǎn)三、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象4．（2023·河北·中考真題）如圖是一種軌道示意圖，其中和均為半圓，點(diǎn)M，A，C，N依次在同一直線上，且．現(xiàn)有兩個(gè)機(jī)器人（看成點(diǎn)）分別從M，N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿著軌道以大小相同的速度勻速移動(dòng)，其路線分別為和．若移動(dòng)時(shí)間為x，兩個(gè)機(jī)器人之間距離為y，則y與x關(guān)系的圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【詳解】解：由題意可得：機(jī)器人（看成點(diǎn)）分別從M，N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)圓的半徑為R，∴兩個(gè)機(jī)器人最初的距離是，∵兩個(gè)人機(jī)器人速度相同，∴分別同時(shí)到達(dá)點(diǎn)A，C，∴兩個(gè)機(jī)器人之間的距離y越來(lái)越小，故排除A，C；當(dāng)兩個(gè)機(jī)器人分別沿和移動(dòng)時(shí)，此時(shí)兩個(gè)機(jī)器人之間的距離是直徑，保持不變，當(dāng)機(jī)器人分別沿和移動(dòng)時(shí)，此時(shí)兩個(gè)機(jī)器人之間的距離越來(lái)越大，故排除C，故選：D．考點(diǎn)四、一次函數(shù)圖象平移5．（2025·河北·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．如圖，正方形與正方形的頂點(diǎn)均為整點(diǎn)．若只將正方形平移，使其內(nèi)部（不含邊界）有且只有，，三個(gè)整點(diǎn)，則平移后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：設(shè)直線的解析式為，代入∴∴∴直線的解析式為∵，A.當(dāng)為時(shí)，平移方式為向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，∴直線平移后的解析式為，此時(shí)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的經(jīng)過(guò)整點(diǎn)，符合題意，B.當(dāng)為時(shí)，平移方式為向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，∴直線平移后的解析式為，此時(shí)原點(diǎn)在下方，對(duì)應(yīng)的在整點(diǎn)上方，不符合題意，C.當(dāng)為時(shí)，平移方式為向右平移個(gè)單位，，∴直線平移后的解析式為，此時(shí)點(diǎn)在正方形內(nèi)部，不符合題意，D.當(dāng)為時(shí)，平移方式為向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，∴直線平移后的解析式為，此時(shí)點(diǎn)和在正方形內(nèi)部，不符合題意，故選：A．考點(diǎn)五、一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題6．（2021·河北·中考真題）下圖是某機(jī)場(chǎng)監(jiān)控屏顯示兩飛機(jī)的飛行圖象，1號(hào)指揮機(jī)（看成點(diǎn)）始終以的速度在離地面高的上空勻速向右飛行，2號(hào)試飛機(jī)（看成點(diǎn)）一直保持在1號(hào)機(jī)的正下方，2號(hào)機(jī)從原點(diǎn)處沿仰角爬升，到高的處便立刻轉(zhuǎn)為水平飛行，再過(guò)到達(dá)處開(kāi)始沿直線降落，要求后到達(dá)處．（1）求的關(guān)于的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出2號(hào)機(jī)的爬升速度；（2）求的關(guān)于的函數(shù)解析式，并預(yù)計(jì)2號(hào)機(jī)著陸點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明兩機(jī)距離不超過(guò)的時(shí)長(zhǎng)是多少．【注：（1）及（2）中不必寫(xiě)的取值范圍】【答案】（1），（km/min）（2），（3）min【詳解】解：（1）設(shè)線段OA所在直線的函數(shù)解析式為:∵2號(hào)機(jī)從原點(diǎn)處沿仰角爬升∴又∵1號(hào)機(jī)飛到A點(diǎn)正上方的時(shí)候，飛行時(shí)間（min）∴2號(hào)機(jī)的飛行速度為：（km/min）（2）設(shè)線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式為：∵2號(hào)機(jī)水平飛行時(shí)間為1min,同時(shí)1號(hào)機(jī)的水平飛行為1min,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為：；點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為：4，即,將,代入中，得：解得：∴令,解得：∴2號(hào)機(jī)的著陸點(diǎn)坐標(biāo)為（3）當(dāng)點(diǎn)Ｑ在時(shí)，要保證，則：；當(dāng)點(diǎn)Q在上時(shí)，,此時(shí)，滿足題意,時(shí)長(zhǎng)為（min）；當(dāng)點(diǎn)Q在上時(shí)，令，解得：，此時(shí)（min），∴當(dāng)時(shí)，時(shí)長(zhǎng)為：（min）考點(diǎn)六、一次函數(shù)的純數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題7．（2023·河北·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)計(jì)了點(diǎn)的兩種移動(dòng)方式：從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)稱為一次甲方式：從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)稱為一次乙方式．例、點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)2次；若都按甲方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)；若都按乙方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)；若按1次甲方式和1次乙方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)．

(1)設(shè)直線經(jīng)過(guò)上例中的點(diǎn)，求的解析式；并直接寫(xiě)出將向上平移9個(gè)單位長(zhǎng)度得到的直線的解析式；(2)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)10次，每次移動(dòng)按甲方式或乙方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)．其中，按甲方式移動(dòng)了m次．①用含m的式子分別表示；②請(qǐng)說(shuō)明：無(wú)論m怎樣變化，點(diǎn)Q都在一條確定的直線上．設(shè)這條直線為，在圖中直接畫(huà)出的圖象；(3)在（1）和（2）中的直線上分別有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)依次為，若A，B，C三點(diǎn)始終在一條直線上，直接寫(xiě)出此時(shí)a，b，c之間的關(guān)系式．【答案】(1)的解析式為；的解析式為；(2)①；②的解析式為，圖象見(jiàn)解析；(3)【詳解】（1）設(shè)的解析式為，把、代入，得，解得：，∴的解析式為；將向上平移9個(gè)單位長(zhǎng)度得到的直線的解析式為；（2）①∵點(diǎn)P按照甲方式移動(dòng)了m次，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)10次，∴點(diǎn)P按照乙方式移動(dòng)了次，∴點(diǎn)P按照甲方式移動(dòng)m次后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為；∴點(diǎn)按照乙方式移動(dòng)次后得到的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，∴；②由于，∴直線的解析式為；函數(shù)圖象如圖所示：

（3）∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，且分別在直線上，∴，設(shè)直線的解析式為，把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得：，∴直線的解析式為，∵A，B，C三點(diǎn)始終在一條直線上，∴，整理得：；即a，b，c之間的關(guān)系式為：．8．（2022·河北·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的端點(diǎn)為，．(1)求AB所在直線的解析式；(2)某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)畫(huà)：在函數(shù)中，分別輸入m和n的值，使得到射線CD，其中．當(dāng)c＝2時(shí)，會(huì)從C處彈出一個(gè)光點(diǎn)P，并沿CD飛行；當(dāng)時(shí)，只發(fā)出射線而無(wú)光點(diǎn)彈出．①若有光點(diǎn)P彈出，試推算m，n應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系；②當(dāng)有光點(diǎn)P彈出，并擊中線段AB上的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)）時(shí)，線段AB就會(huì)發(fā)光，求此時(shí)整數(shù)m的個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)①，理由見(jiàn)解析②5【詳解】（1）解：設(shè)直線AB的解析式為，把點(diǎn)，代入得：，解得：，∴AB所在直線的解析式為；（2）解：，理由如下：若有光點(diǎn)P彈出，則c＝2，∴點(diǎn)C（2，0），把點(diǎn)C（2，0）代入得：；∴若有光點(diǎn)P彈出，m，n滿足的數(shù)量關(guān)系為；②由①得：，∴，∵點(diǎn)，，AB所在直線的解析式為，∴線段AB上的其它整點(diǎn)為，∵有光點(diǎn)P彈出，并擊中線段AB上的整點(diǎn)，∴直線CD過(guò)整數(shù)點(diǎn)，∴當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（-8，19）時(shí)，，即（不合題意，舍去），當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（-7，18）時(shí)，，即，當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（-6，17）時(shí)，17=（-6-2）m，即（不合題意，舍去），當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（-5，16）時(shí)，16=（-5-2）m，即（不合題意，舍去），當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（-4，15）時(shí)，15=（-4-2）m，即（不合題意，舍去），當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（-3，14）時(shí)，14=（-3-2）m，即（不合題意，舍去），當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（-2，13）時(shí)，13=（-2-2）m，即（不合題意，舍去），當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（-1，12）時(shí)，12=（-1-2）m，即m=-4，當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（0，11）時(shí)，11=（0-2）m，即（不合題意，舍去），當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（1，10）時(shí)，10=（1-2）m，即m=-10，當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（2，9）時(shí)，9=（2-2）m，不存在，當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（3，8）時(shí)，8=（3-2）m，即m=8，當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（4，7）時(shí)，7=（4-2）m，即（不合題意，舍去），當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（5，6）時(shí)，6=（5-2）m，即m=2，當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（6，5）時(shí)，5=（6-2）m，即（不合題意，舍去），綜上所述，此時(shí)整數(shù)m的個(gè)數(shù)為5個(gè)．專練一、平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用9．（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O是矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，如果點(diǎn)D的坐標(biāo)是，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【詳解】解：根據(jù)矩形的中心對(duì)稱性質(zhì)，可得點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)原點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)是橫坐標(biāo)變成相反數(shù)，縱坐標(biāo)也變成相反數(shù)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是．故選：B．10．（2025·河北·一模）長(zhǎng)征是中國(guó)共產(chǎn)黨和中國(guó)革命事業(yè)從挫折走向勝利的偉大轉(zhuǎn)折點(diǎn)．如圖，這是紅一方面軍的長(zhǎng)征路線圖，若表示吳起鎮(zhèn)會(huì)師的點(diǎn)的坐標(biāo)為，表示湘江戰(zhàn)役的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則表示會(huì)寧會(huì)師的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：表示會(huì)寧會(huì)師的點(diǎn)的坐標(biāo)為；故選：C11．（2025·河北唐山·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B．2 C．1 D．5【答案】D【詳解】解：由作法得平分，即點(diǎn)P在第一象限的角平分線上，所以，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，故選：D．12．（2025·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一個(gè)機(jī)器人從O點(diǎn)出發(fā)，向正東方向走，到達(dá)點(diǎn)，再向正北方向走到達(dá)點(diǎn)，再向正西方向走到達(dá)點(diǎn)，再向正南方向走，到達(dá)點(diǎn)，再向正東方向走到達(dá)點(diǎn)，按如此規(guī)律走下去，當(dāng)機(jī)器人走到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：根據(jù)題意，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可得，再向北走到達(dá)點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為∴當(dāng)機(jī)器人走到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選：A．13．（2025九年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A位于第一象限內(nèi)，，并且點(diǎn)A到x軸的距離為6，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為．若為鈍角三角形，則a的取值范圍是（

）A． B．C．且，或 D．且，或【答案】D【詳解】解：如圖1，當(dāng)垂直于x軸時(shí)，為直角，此時(shí)，，即．當(dāng)時(shí)，為鈍角，是鈍角三角形，當(dāng)時(shí)，為鈍角，也是鈍角三角形．當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)O重合時(shí)，圍不成三角形，所以．如圖2，當(dāng)為直角時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為H，已知，點(diǎn)到軸的距離為，則，則，∴，∴，當(dāng)時(shí)，為鈍角，為鈍角三角形．綜上所述，當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，且或，故選：D．14．（2025·河北唐山·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，有一點(diǎn)．P是第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，其坐標(biāo)為，連接，，．若，，我們把稱為點(diǎn)P的“角坐標(biāo)”．例如，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P的“角坐標(biāo)”為．結(jié)論Ⅰ：若點(diǎn)P的“角坐標(biāo)”為，無(wú)論m為何值，一定有；結(jié)論Ⅱ：若點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為9，則的最小值為150．對(duì)于結(jié)論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（

）A．Ⅰ和Ⅱ都對(duì) B．Ⅰ和Ⅱ都不對(duì) C．Ⅰ不對(duì)Ⅱ?qū)?D．Ⅰ對(duì)Ⅱ不對(duì)【答案】A【詳解】解：結(jié)論Ⅰ：若點(diǎn)P的“角坐標(biāo)”為，則點(diǎn)P在上，滿足，即；無(wú)論m為何值，一定有；故Ⅰ對(duì)；結(jié)論Ⅱ：若點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為9，則點(diǎn)在這條直線上并且在第一象限內(nèi)，以為圓心，為半徑畫(huà)圓，要使得取到最小值，則需要使得取到最大值，由圖可知，當(dāng)圓與的直線交于點(diǎn)時(shí)，隨著點(diǎn)再繼續(xù)向上移動(dòng)，逐漸減小，當(dāng)點(diǎn)再繼續(xù)向下逐漸靠近軸，增大的速度，大于減小的速度，逐漸接近，故當(dāng)圓與的直線交于點(diǎn)時(shí)，取到最小值，，即，，故，，取到最小值為，故Ⅱ?qū)?，故選：A．15．（23-24七年級(jí)下·北京豐臺(tái)·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)A第1次向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)，緊接著第2次向右跳動(dòng)2個(gè)單位至點(diǎn)，第3次向上跳動(dòng)1個(gè)單位，第4次向左跳動(dòng)3個(gè)單位，第5次又向上跳動(dòng)1個(gè)單位，第6次向右跳動(dòng)4個(gè)單位，…．依此規(guī)律跳動(dòng)下去，點(diǎn)的坐標(biāo)（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：設(shè)第次跳動(dòng)至點(diǎn)，觀察，發(fā)現(xiàn)：，，，，，，，，，，…，∴，，，（n為自然數(shù)）．∵，∴，即，故選：B．16．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，，，作折線關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形，再作出新的折線關(guān)于與x軸的下一個(gè)交點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形……以此類推，得到一個(gè)大的折線，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿著折線以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意得：，，點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到的路程，把點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到作為一個(gè)循環(huán)，，把點(diǎn)向右平移個(gè)單位，可得時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，與關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，，，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：．17．（2025·河北保定·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，嘉琪做走棋的游戲，其走法是：棋子從原點(diǎn)出發(fā)，第1步向右走1個(gè)單位，第2步向右走2個(gè)單位，第3步向上走1個(gè)單位，第4步向右走1個(gè)單位…．依此類推，第步的走法是：當(dāng)能被3整除時(shí)，則向上走1個(gè)單位；當(dāng)被3除，余數(shù)為1時(shí)，則向右走1個(gè)單位；當(dāng)被3除，余數(shù)為2時(shí)，則向右走2個(gè)單位，當(dāng)走完第50步時(shí)，棋子所處位置的坐標(biāo)是．【答案】【詳解】解：根據(jù)走法，每3步為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，且一個(gè)循環(huán)組內(nèi)向右3個(gè)單位，向上1個(gè)單位，，走完第50步時(shí)，棋子所處位置的橫坐標(biāo)是，走完第50步時(shí)，棋子所處位置的坐標(biāo)是，故答案為：．18．（24-25九年級(jí)下·河北秦皇島·階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)到軸的距離是．【答案】【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴點(diǎn)，∴點(diǎn)到軸的距離是，故答案為：．19．（2025·河北邯鄲·二模）如圖．已知點(diǎn)，為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，連接．(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)、為坐標(biāo)內(nèi)兩點(diǎn)，在（）的條件下，若線段始終在內(nèi)部（含邊界），求的取值范圍．【答案】(1)直線的函數(shù)解析式為；(2)；(3)．【詳解】（1）解：設(shè)直線的函數(shù)解析式為，將點(diǎn)，代入，得，解得，∴直線的函數(shù)解析式為；（2）解：當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，又為定值，∴最小即可，如解圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)的最小值，即為的長(zhǎng)，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，將點(diǎn)，代入，得，解得，∴直線的函數(shù)解析式為，令，則，∴；（3）解：∵線段始終在內(nèi)部（含邊界），且點(diǎn)在點(diǎn)上方，∴如解圖，點(diǎn)在線段上方，點(diǎn)在線段下方，（包含線段上）結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，∴，∴的取值范圍是．專練二、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象20．（2025·河北唐山·二模）如圖，用四根木條制作一個(gè)平行四邊形框架，雙手將它的兩個(gè)對(duì)角慢慢向兩邊拉動(dòng)，直至變?yōu)榫匦慰蚣芡Ｖ梗谶@個(gè)變化過(guò)程中，設(shè)平行四邊形的面積為y，高為x，則y與x之間的函數(shù)圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：∵平行四邊形的面積底高，底是一定的為常數(shù)，∴y與x之間的函數(shù)是成正比例關(guān)系，且隨著x增大而增大，故選：B．21．（2025·河北·一模）如圖，在矩形中，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著折線以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，關(guān)于的函數(shù)圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意得，當(dāng)點(diǎn)位于邊上時(shí)，的面積隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)勻速增加；當(dāng)點(diǎn)位于邊上時(shí)，的高保持不變，∴的值保持不變；當(dāng)點(diǎn)位于上時(shí)，的面積隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)勻速減小，故選：B．22．（2025·河北唐山·二模）如圖1，點(diǎn)P為等邊三角形的邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，設(shè)，，y與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．等邊三角形的邊長(zhǎng)為3C．當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小 D．y與x的函數(shù)關(guān)系為：【答案】B【詳解】解：觀察圖象得：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，∵，三角形是等邊三角形，∴此時(shí)點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，∴，，∴此時(shí)，∴此時(shí)，解得：（負(fù)值舍去），故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；∴等邊三角形的邊長(zhǎng)為，故B選項(xiàng)正確；在中，，，∴，在中，，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，的長(zhǎng)最小，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；∴，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B23．（2025·河北邢臺(tái)·二模）滄州市某天的氣溫隨時(shí)間t的變化情況如圖所示，設(shè)表示到，氣溫值的極差，則與t的函數(shù)圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵極差是該段時(shí)間內(nèi)的最大值與最小值的差．∴當(dāng)t從0時(shí)到5時(shí)，極差逐漸增大；當(dāng)t從5時(shí)到10時(shí)，極差不變；當(dāng)t從10時(shí)到14時(shí)，極差逐漸增大；當(dāng)t從14時(shí)到24時(shí)，極差不變，所以的變化規(guī)律是先變大，然后一段時(shí)間不變，隨后又變大，最后不發(fā)生變化，反映到函數(shù)圖象上是先上升，然后是一段平行于x軸的線段，再上升，最后是一段平行于x軸的線段．故選：A．24．（2025·河北邯鄲·一模）如圖1，是的半徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上從點(diǎn)開(kāi)始沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為，圖2是隨變化的關(guān)系圖象，則的值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【詳解】解：結(jié)合題圖可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的長(zhǎng)，由圖象知此時(shí)，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，即圓的半徑，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)時(shí)，設(shè)，將，代入可得：解得：，即此時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，∴，∴，在中，，，，∵，，則，在中，根據(jù)勾股定理，已知，，則，由圖象可知的最大值為，∴，故選：C．25．（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從三角形某點(diǎn)出發(fā)，沿三角形的邊按每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，線段長(zhǎng)度為，則與的函數(shù)圖象如圖所示．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)，連接∵在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)∴由圖象得，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，沿三角形的邊按每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，∵點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度∴此時(shí)點(diǎn)F和點(diǎn)重合∴∴由圖象得，點(diǎn)P表示的是點(diǎn)F和點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)N表示的是當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)重合時(shí)∵，，∴四邊形是矩形∴，∴∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選：B．26．（2025·河北保定·一模）如圖，在中，，，點(diǎn)在上，，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)．連接，．設(shè)，，圖是點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中與之間的函數(shù)圖象，為最低點(diǎn)．甲、乙、丙三名同學(xué)分別對(duì)點(diǎn)，，進(jìn)行了如下研究：甲：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；乙：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；丙：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．則下列判斷正確的為（

）A．甲錯(cuò)，乙、丙都對(duì) B．甲、丙都錯(cuò)，乙對(duì)C．甲、乙、丙都對(duì) D．甲、乙、丙都錯(cuò)【答案】A【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)位置時(shí)，，，，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故甲錯(cuò)；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)位置時(shí)，如下圖所示，，在中，，，，，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故乙對(duì)；如下圖所示，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，則，，，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故丙對(duì)．綜上所述，甲錯(cuò)，乙、丙對(duì)，故選：A．27．（2025·河北保定·二模）如圖1，四邊形為菱形，動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也恰好到達(dá)終點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為個(gè)平方單位，圖2為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系圖象．下面四個(gè)結(jié)論中：①點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度；②菱形的邊長(zhǎng)為6；③當(dāng)時(shí)，；④曲線段的函數(shù)解析式為，結(jié)論正確的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④【答案】A【詳解】解：∵動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)點(diǎn)D，∴點(diǎn)Q的速度是點(diǎn)P速度的3倍，∵點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，故①正確；由圖象可知，2秒后點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B，∴，即菱形的邊長(zhǎng)為6，故②正確；作于點(diǎn)H，由圖象可知，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，即時(shí)，的面積為5，此時(shí)，∴，∴，∴，作于點(diǎn)T，則，∴，∴，當(dāng)時(shí)，∴解得，∴故③正確；當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，作交的延長(zhǎng)線于E，此時(shí)，，．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的面積為，當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵，∴∴則，∴即曲線段的函數(shù)解析式為，故④正確．故選A．專練三、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)28．（2025·河北邯鄲·三模）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．(1)_____，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____．(2)求出直線的函數(shù)解析式．(3)若點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，分別與直線，交于點(diǎn)，．設(shè)的長(zhǎng)為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，求出與之間的函數(shù)解析式．（寫(xiě)出自變量的取值范圍）【答案】(1)1；(2)(3)【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入，得，∴，把代入，得，∴，故答案為：，；（2）解：∵，∴直線的函數(shù)解析式為，把代入，得，即，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，把點(diǎn)，代入得，，解得，∴直線的函數(shù)解析式為；（3）解：把代入，得，解得，∴，，由題可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，將分別代入直線，的解析式，得，，，．29．（2025·河北石家莊·二模）如圖，直線為常數(shù)，與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，兩直線交于點(diǎn)．(1)若點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值和點(diǎn)坐標(biāo)；(2)規(guī)定：橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，求為整點(diǎn)時(shí)的坐標(biāo)；(3)設(shè)在直線上，且落在內(nèi)部（不含邊界）整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)；(2)(3)或【詳解】（1）解：把點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，∴，，聯(lián)立，解得：，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）解：聯(lián)立，解得：，∴，∵為整點(diǎn)，∴為整數(shù)，為整數(shù)，又∵，為整數(shù)，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（3）解：把代入得：，把代入得：，∵，∴直線與直線和的兩個(gè)交點(diǎn)間距離為，且，當(dāng)直線與直線和的兩個(gè)交點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)是整點(diǎn)時(shí)；當(dāng)直線與直線和的兩個(gè)交點(diǎn)中都不是整點(diǎn)時(shí)；綜上分析可知：或．30．（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，線段的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．(1)求a與b之間的關(guān)系式；(2)當(dāng)直線恰好經(jīng)過(guò)線段三等分點(diǎn)時(shí)，求a的值；(3)對(duì)于直線，無(wú)論x取何值，始終有，求n的取值范圍．【答案】(1)；(2)或；(3)且．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入中得，即a與b之間的關(guān)系式為；（2）解：∵，．∴，∴三等分點(diǎn)為和，當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)，解得當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)，解得或；（3）解：，無(wú)論x取何值，始終有，且在上方，，，解得n的取值范圍是且31．（2025·河北邯鄲·一模）如圖，直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別與x，y軸交于A，B兩點(diǎn)，正比例函數(shù)的圖象與交于點(diǎn)．(1)求的值及的解析式；(2)求的值；(3)一次函數(shù)的圖象為，且不能?chē)扇切危苯訉?xiě)出的值．【答案】(1)，直線的解析式為(2)7(3)或或【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入一次函數(shù)得：，解得；∴，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為．（2）解：對(duì)于一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，解得，即，當(dāng)時(shí)，，即，由（1）已得：，∴的邊上的高為4，的邊上的高為6，∴．（3）解：∵一次函數(shù)的圖象為，且不能?chē)扇切?，∴①?dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，則，解得；②當(dāng)時(shí)，則；③當(dāng)時(shí)，則；綜上，的值為或或．32．（2025·河北石家莊·三模）如圖，直線分別與x軸、y軸交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線上一點(diǎn)，作于點(diǎn)D，點(diǎn)E在上點(diǎn)C的左側(cè)，．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．(1)求的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)連接，當(dāng)時(shí)，求的面積；(3)畫(huà)直線，若表示直線的函數(shù)值隨x的增大而減小，直接寫(xiě)出t的取值范圍．【答案】(1)，；(2)；(3)．【詳解】（1）解：由題意，得，解得，的解析式為：．把代入，得，解得．∴．（2）解：當(dāng)時(shí)，．的面積為．（3）解：．理由：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的正上方時(shí)，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為．此時(shí)，，即，．的取值范圍是．33．（2025·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x軸、y軸交于B，C兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)A，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為Q．設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，與重疊部分的面積為S．S關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖2所示，小明在做題的過(guò)程中用墨弄污了一部分，請(qǐng)據(jù)此回答下面的問(wèn)題：(1)利用圖中殘留的信息，推測(cè)的面積為_(kāi)____；(2)求直線的解析式；(3)若．①判斷點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)還是右側(cè)；②求此時(shí)t的值．【答案】(1)(2)(3)①點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)；②【詳解】（1）解：由圖可得當(dāng)時(shí)，，故答案為：；（2）解：由圖可得當(dāng)時(shí)，，∴，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為；又∵，即，解得，把代入得到，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把和代入得：，解得，∴直線的解析式為；（3）解：①過(guò)A點(diǎn)作軸于點(diǎn)D，則，∴，當(dāng)時(shí)，，由圖象可得S隨x的增大而減小，∴點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)；②當(dāng)時(shí)，∵軸，∴，又∵，∴，∴，即，解得（負(fù)值舍去）．34．（2025·河北唐山·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C．(1)求m的值及直線的解析式：(2)求的面積；(3)已知經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出該定點(diǎn)與點(diǎn)E的距離．【答案】(1)，(2)8(3)或【詳解】（1）解：把代入中，解得，∴，將，代入中，得解得，∴直線的解析式為；（2）令，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴；（3）∴當(dāng)時(shí)，，∴該定點(diǎn)為，∵∴當(dāng)時(shí)，該定點(diǎn)與點(diǎn)E的距離為：當(dāng)時(shí)，該定點(diǎn)與點(diǎn)E的距離為：綜上所述，該定點(diǎn)與點(diǎn)E的距離為或35．（2025·河北邢臺(tái)·三模）嘉嘉在幾何畫(huà)板軟件上做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，取，構(gòu)造直線．(1)求直線的解析式．(2)嘉嘉將直線在軸下方的部分沿軸翻折，得到射線，取，線段以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的初始位置時(shí)，用時(shí)______秒．②求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)的坐標(biāo)；③直接寫(xiě)出僅有一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)部（含角的兩邊）時(shí)的取值范圍．【答案】(1)(2)①2；②；③或【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為．，，解得，直線的解析式為．（2）解：①，，（秒）．故答案為：2；②，∴設(shè)直線的解析式為，∴，解得，，直線的解析式為，聯(lián)立直線和直線的解析式，得，解得，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)的坐標(biāo)為．③或．由②得，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)的坐標(biāo)為，∴秒后點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上，由①得點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的初始位置時(shí)，用時(shí)2秒，∴，即秒后點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上，∵直線在軸下方的部分沿軸翻折，得到射線，，∴當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)在上，又點(diǎn)在上，∴設(shè)直線的解析式為，∴，解得，，得直線，故聯(lián)立直線和直線的解析式，得，解得，直線與的交點(diǎn)為，，到秒，都在內(nèi)部，秒后點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上，再過(guò)2秒，即秒后點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上，或．36．（2025·河北唐山·二模）列表法、解析式法、圖象法是三種表示函數(shù)的方法，它們從不同的角度反映了自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．下表是函數(shù)與部分自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系．12102畫(huà)出的圖象如下．(1)求a和b的值．(2)______，并在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出的圖象．(3)設(shè)直線與直線和分別交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A，B關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)(2)，圖見(jiàn)詳解(3)【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，，解得：（2）解：當(dāng)時(shí)，，∴，畫(huà)圖如下：（3）解：令，則，，當(dāng)點(diǎn)A，B關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，，解得：．37．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)，點(diǎn)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)，直線的圖象與直線交于點(diǎn)．(1)畫(huà)出直線并求直線的解析式；(2)嘉嘉說(shuō)：有唯一值不可??；淇淇說(shuō)：無(wú)論為何值（唯一不可取的值除外），直線總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；請(qǐng)選擇其中一人的說(shuō)法進(jìn)行說(shuō)理．(3)當(dāng)直線與直線的交點(diǎn)到軸的距離恰為3時(shí)，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析，直線的解析式為(2)見(jiàn)解析(3)或【詳解】（1）解：由題意得，設(shè)直線的解析式為，解得直線的解析式為；（2）解：嘉嘉：直線與直線交于點(diǎn)直線與直線不平行，有唯一值不可取淇淇：直線無(wú)論為可取的任意值，時(shí)直線始終過(guò)；（3）解：由題意得：點(diǎn)在直線上且縱坐標(biāo)為3或，當(dāng)，過(guò)，，解得，當(dāng)，過(guò)，，解得，或．專練四、一次函數(shù)與幾何問(wèn)題的綜合38．（2025·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，將點(diǎn)B繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：直線，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解得，∴，．過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)H，則，∴，∵將點(diǎn)B繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，故選：B．39．（2025·河北邯鄲·二模）如圖，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)M作垂直于y軸的直線，分別交直線，，于點(diǎn)A，B，C．若一個(gè)等腰直角三角形的周長(zhǎng)為c，設(shè)它的直角邊長(zhǎng)為x，則點(diǎn)在（

）A．線段上 B．線段上 C．線段BC在此處鍵入公式。上 D．點(diǎn)C右側(cè)【答案】B【詳解】解：由題意得，．，∴點(diǎn)P在線段上．故選：B．40．（2025·河北唐山·三模）如圖，直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，在直線上，順次取點(diǎn)，，，，，，構(gòu)成的形如“”的圖形的陰影部分面積分別為，，；則．（用含的式子表示，要化簡(jiǎn)）．【答案】【詳解】解：∵；；；；；∴，故答案為：．41．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)A分別作軸于點(diǎn)B，軸于點(diǎn)C．已知直線．(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)__________；(2)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明一次函數(shù)的圖象一定過(guò)點(diǎn)P；(3)直線、直線、直線不能組成三角形時(shí)，求k的值；(4)當(dāng)直線與邊有交點(diǎn)，且將四邊形分成的兩部分面積比為時(shí)，直接寫(xiě)出k的值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)k的值為0，或(4)或【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）解：當(dāng)時(shí)，，∴一次函數(shù)的圖象一定過(guò)點(diǎn)P；（3）解：當(dāng)時(shí)，直線，符合題意；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，，解得，符合題意；設(shè)直線的函數(shù)解析式為．將，代入解析式，得，解得，當(dāng)直線與直線平行時(shí)，，符合題意．綜上，k的值為0，或；（4）解：四邊形的面積為，；如圖1，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，，∴符合題意；如圖2，當(dāng)直線與邊，交于M，N時(shí)，令，得，∴．令，得，∴．或，解得，或（舍），綜上所述，k的值為或．專練五、一次函數(shù)的平移問(wèn)題42．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，將的圖象記為G，平移l使得其與G只有一個(gè)交點(diǎn)，則平移的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：在中，當(dāng)時(shí)，設(shè)平移后的直線解析式為，當(dāng)直線恰好經(jīng)過(guò)時(shí)，則，∴，當(dāng)直線與只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴；設(shè)直線，，分別與y軸交于A、B、C，∴，∴；設(shè)直線與x軸交于F，則，∴，又∵，∴，如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作分別交直線，于D、E由平移的性質(zhì)可，∴，∴，∵，∴平移l使得其與G只有一個(gè)交點(diǎn)，則平移的最短路程為，故選：A．43．（24-25八年級(jí)下·江蘇常州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將放置在第一象限，且軸．直線從原點(diǎn)出發(fā)沿軸正方向平移，在平移過(guò)程中直線被平行四邊形截得的線段長(zhǎng)度與直線在軸上平移的距離的函數(shù)圖象如圖2所示，則的面積為（

）A． B． C． D．10【答案】B【詳解】解：由圖象可知，直線經(jīng)過(guò)時(shí)移動(dòng)距離為3，經(jīng)過(guò)時(shí)移動(dòng)距離為7，經(jīng)過(guò)時(shí)移動(dòng)距離為8，，如圖，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，交于點(diǎn)，作垂直于于點(diǎn)，由圖2可知，∵軸，直線∴直線與夾角為，，，∴面積為．故選：B．44．（2025·河北保定·二模）如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式．(2)將向左平移，當(dāng)邊的中點(diǎn)落在這個(gè)一次函數(shù)的圖象上時(shí)，求平移的距離．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：點(diǎn)在的圖象上，一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）解：，，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，∴平移后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，在，當(dāng)時(shí)，，解得，平移的距離為45．（2025·河北張家口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，有一動(dòng)直線：，點(diǎn)先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度再向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)．(1)求直線的解析式；(2)①的面積為_(kāi)_____；②判斷直線是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(3)設(shè)直線與的邊、分別交于點(diǎn)、，如果內(nèi)部只有5個(gè)整點(diǎn)（不包括邊界），直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】(1)(2)①20；②經(jīng)過(guò)(3)【詳解】（1）解：點(diǎn)先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度再向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，∴，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得，∴直線的解析式為；（2）解：如圖，記直線與軸的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，則，解得：，即，∴的面積為；故答案為：20；②∵直線：，當(dāng)時(shí)，，∴直線：過(guò)．（3）解：如圖，當(dāng)直線：過(guò)時(shí)，此時(shí)內(nèi)部4個(gè)整點(diǎn)，∴，解得：，如圖，當(dāng)直線：過(guò)時(shí)，此時(shí)內(nèi)部5個(gè)整點(diǎn)，∴，解得：，綜上：內(nèi)部只有5個(gè)整點(diǎn)（不包括邊界），的取值范圍為：．專練六、一次函數(shù)行程問(wèn)題46．（2025·黑龍江·二模）一輛巡邏車(chē)從地出發(fā)沿一條筆直的公路勻速駛向地，小時(shí)后，一輛貨車(chē)從地出發(fā)，沿同一路線以千米/時(shí)的速度勻速駛向地，貨車(chē)到達(dá)地裝貨耗時(shí)分鐘，然后立即以低于來(lái)時(shí)的速度按原路勻速返回地．巡邏車(chē)、貨車(chē)離地的距離（單位：千米）與貨車(chē)出發(fā)時(shí)間（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象解答下列問(wèn)題：(1)兩地之間的距離是_____千米，_____；(2)求巡邏車(chē)離地的距離與貨車(chē)出發(fā)時(shí)間之間的函數(shù)解析式；(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出貨車(chē)出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間與巡邏車(chē)相遇．【答案】(1)60，1(2)(3)，【詳解】（1）解：千米，∴A，B兩地之間的距離是60千米，∵貨車(chē)到達(dá)B地填裝貨物耗時(shí)15分鐘，∴，故答案為：60，1；（2）解：由題意得，巡邏車(chē)的速度為：，故則點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)巡邏車(chē)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，∴，解得，∴巡邏車(chē)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：；（3）解：由題意得，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)所在直線的函數(shù)解析式為故解得所以，貨車(chē)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：；綜上所述：巡邏車(chē)與貨車(chē)相遇時(shí)間為小時(shí)或小時(shí)．47．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）石家莊正定古城的大型無(wú)人機(jī)表演，是現(xiàn)代科技與千年古城底蘊(yùn)的完美交融．如圖是監(jiān)控屏顯示一臺(tái)無(wú)人機(jī)的飛行圖象，分為初始起飛、水平巡航和下降著陸三個(gè)階段．無(wú)人機(jī)（看成點(diǎn)）從原點(diǎn)起飛沿拋物線狀的初始起飛路線飛行，經(jīng)過(guò)拋物線最高點(diǎn)后下降到距地平線高的點(diǎn)便立刻轉(zhuǎn)為以速度勻速飛行的水平巡航狀態(tài)，飛行一段距離到達(dá)點(diǎn)處后進(jìn)入下降著陸階段，沿直線降落至地面上的著陸點(diǎn)處．已知初始起飛路線為拋物線的一部分，下降著陸路線為直線的一部分．(1)若點(diǎn)與點(diǎn)的水平距離為，求的值及無(wú)人機(jī)著陸點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在（1）的條件下，監(jiān)測(cè)到無(wú)人機(jī)水平巡航的時(shí)間為，求拋物線的解析式；(3)若點(diǎn)與拋物線的最高點(diǎn)的水平距離為．①求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②無(wú)人機(jī)從點(diǎn)開(kāi)始水平巡航了（單位：）后到達(dá)點(diǎn)，且，直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】(1)，(2)拋物線的解析式為(3)①；②【詳解】（1）解：點(diǎn)距地平線高，，點(diǎn)與點(diǎn)的水平距離為，∴，把點(diǎn)代入直線得，，解得，，∴一次函數(shù)解析式為：，當(dāng)時(shí)，，解得，，∴；（2）解：水平巡航狀態(tài)的速度為，水平巡航的時(shí)間為，∴，∴點(diǎn)與點(diǎn)的水平距離為，∴，把點(diǎn)代入拋物線得，，解得，，∴拋物線的解析式為；（3）解：①拋物線，∴頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，∴解得，，則，即拋物線對(duì)稱軸直線為，∴二次函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，整理得，，解得，（不符合題意，舍去），，∴，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；②∵，水平巡航狀態(tài)的速度為，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離為，∴，在中，，解得，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離為，∴，在中，，解得，；綜上所述，．48．（2025·河北保定·一模）媛媛在一段斜坡上進(jìn)行跑步訓(xùn)練．在訓(xùn)練過(guò)程中，始終有一架無(wú)人機(jī)在媛媛正上方隨他一起運(yùn)動(dòng)，無(wú)人機(jī)速度為，距水平地面的高度總為（在直線上運(yùn)動(dòng)）現(xiàn)就緩緩訓(xùn)練中部分路段作出如圖函數(shù)圖像：已知，斜坡的坡度，斜坡的坡角為．(1)求點(diǎn)坐標(biāo)，以及段關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)媛媛在斜坡上的跑步速度是多少；(3)若緩緩沿方向運(yùn)動(dòng)，求無(wú)人機(jī)與緩緩之間距離不超過(guò)的時(shí)長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，斜坡的坡度，∴，則，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)段y關(guān)于的函數(shù)解析式為，代入，解得：，段關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）解：在，，，，，在訓(xùn)練過(guò)程中，始終有一架無(wú)人機(jī)在媛媛正上方隨他一起運(yùn)動(dòng)，無(wú)人機(jī)速度為，媛媛在斜坡上跑步的時(shí)間為：，媛媛在斜坡上的跑步速度是：．（3）解：在段上無(wú)人機(jī)與媛媛之間的距離為時(shí)，則有：，解得：，無(wú)人機(jī)飛行的時(shí)間為，，，，設(shè)段關(guān)于的函數(shù)解析式為：，代入，，得：，解得：，段關(guān)于的函數(shù)解析式為，在段上，無(wú)人機(jī)與媛媛之間距離為時(shí)，則有：，解得：，無(wú)人機(jī)飛行的時(shí)間為，無(wú)人機(jī)與奴媛之間距離不超過(guò)的時(shí)長(zhǎng)為：．49．（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）某攝影團(tuán)隊(duì)利用兩架無(wú)人機(jī)進(jìn)行高空拍攝．1號(hào)、2號(hào)無(wú)人機(jī)從海拔高的A處同時(shí)出發(fā)，分別以、的速度勻速上升．上升了時(shí)，1號(hào)無(wú)人機(jī)不再繼續(xù)上升，懸停在空中，等2號(hào)無(wú)人機(jī)達(dá)到同一高度時(shí)，1號(hào)無(wú)人機(jī)開(kāi)始勻速降落，經(jīng)過(guò)了降落到出發(fā)點(diǎn)．1號(hào)無(wú)人機(jī)降落過(guò)程中，2號(hào)無(wú)人機(jī)繼續(xù)上升．設(shè)1號(hào)、2號(hào)無(wú)人機(jī)在飛行過(guò)程中的海拔高度分別為，，他們飛行的時(shí)間為x，y與x關(guān)系的圖象如圖所示．(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____；(2)求段的關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)在飛行的過(guò)程中，當(dāng)兩架無(wú)人機(jī)豎直方向上的高度差不超過(guò)時(shí)，遠(yuǎn)程遙控信號(hào)可能會(huì)相互干擾，則兩架無(wú)人機(jī)信號(hào)受到干擾的時(shí)長(zhǎng)是多少？【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：，∴，，∴，故答案為：；（2）解：由題意，，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，設(shè)段的關(guān)于x的函數(shù)解析式為，將，的坐標(biāo)代入，得，解得，段的關(guān)于x的函數(shù)解析式為；（3）解：由題意，段的關(guān)于x的函數(shù)解析式為，段的關(guān)于x的函數(shù)解析式為，分以下三種情況討論：在，當(dāng)時(shí)，即，解得，在，當(dāng)時(shí)，即，解得，在，當(dāng)時(shí)，即，解得，，兩架無(wú)人機(jī)信號(hào)受到干擾的時(shí)長(zhǎng)是．50．（2025·河北·一模）在距離水平地面高度為的平臺(tái)A(看作一點(diǎn))上放有兩架無(wú)人飛機(jī)，甲、乙兩人同時(shí)操控?zé)o人飛機(jī)，使其勻速飛行，飛行軌跡可視為直線，設(shè)無(wú)人飛機(jī)與地面的豎直高度為，飛行時(shí)間為，得到了如圖所示的圖象，若甲、乙兩人操控的無(wú)人飛機(jī)降落時(shí)的速度相同．(1)求段的h關(guān)于t的函數(shù)解析式；(2)求乙操控的無(wú)人飛機(jī)飛行的最大高度；(3)當(dāng)甲操控的無(wú)人飛機(jī)飛行達(dá)到最大高度時(shí)，求乙操控的無(wú)人飛機(jī)距離地面的豎直高度．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：設(shè)段的h關(guān)于t的函數(shù)解析式為，把，代入解析式可得，解得，段的h關(guān)于t的函數(shù)解析式為；（2）解：把代入解析式可得，甲無(wú)人機(jī)下落的速度為，甲、乙兩人操控的無(wú)人飛機(jī)降落時(shí)的速度相同，乙操控的無(wú)人飛機(jī)飛行的最大高度；（3）解：，當(dāng)甲操控的無(wú)人飛機(jī)飛行達(dá)到最大高度時(shí)，乙操控的無(wú)人飛機(jī)距離地面的豎直高度為．51．（2025·河北保定·一模）某條東西方向道路雙向共有三條車(chē)道，在早晚高峰經(jīng)常會(huì)擁堵，某數(shù)學(xué)小組對(duì)該路段的交通量（輛/分鐘）和時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)和分析，相應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示，并發(fā)現(xiàn)交通量和時(shí)間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)的特征，其中．時(shí)間8時(shí)11時(shí)14時(shí)17時(shí)20時(shí)自西向東交通量（輛/分鐘）1016222834自東向西交通量（輛/分鐘）2522191613(1)求與的函數(shù)解析式；(2)在13時(shí)：通過(guò)計(jì)算判斷與的大小關(guān)系；(3)如圖，該小組希望設(shè)置“可變車(chē)道”來(lái)改善擁堵?tīng)顩r，根據(jù)交通量情況改變可變車(chē)道的行車(chē)方向．單位時(shí)間內(nèi)雙向交通總量為，交通量較大的為，經(jīng)查閱資料得：當(dāng)時(shí)，是嚴(yán)重?fù)矶拢枋箍勺冘?chē)道行車(chē)方向與交通量較大的方向相同，以改善交通情況．該路段從8時(shí)至20時(shí)，通過(guò)計(jì)算判斷在嚴(yán)重?fù)矶聲r(shí)如何設(shè)置可變車(chē)道行車(chē)方向以緩解交通擁堵．【答案】(1)(2)(3)時(shí)到9時(shí)，可變車(chē)道的方向設(shè)置為自東向西；18時(shí)到20時(shí)，可變車(chē)道的方向設(shè)置為自西向東【詳解】（1）解：設(shè)與的函數(shù)解析式為．將代入，得解得與的函數(shù)解析式為；（2）解：當(dāng)時(shí)，，，與的大小關(guān)系為；（3）解：當(dāng)時(shí)，．再結(jié)合（2）中的結(jié)果，可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，時(shí)到9時(shí)，可變車(chē)道的方向設(shè)置為自東向西；18時(shí)到20時(shí)，可變車(chē)道的方向設(shè)置為自西向東．52．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）“低碳環(huán)保，綠色出行”的理念得到廣大群眾的接受，越來(lái)越多的人選擇自行車(chē)作為出行工具．小明和爸爸同時(shí)從家騎自行車(chē)去圖書(shū)館，爸爸先以150米/分的速度騎行一段時(shí)間，休息了5分鐘，再加速騎行到達(dá)圖書(shū)館，小明始終以同一速度騎行，兩人行駛的路程y（單位：米）與時(shí)間x（單位：分鐘）的關(guān)系如圖．(1)，；(2)求線段所在直線的函數(shù)解析式；(3)若小明的速度是120米/分，求爸爸自第二次出發(fā)開(kāi)始計(jì)時(shí)至到達(dá)圖書(shū)館前，與小明相距100米時(shí)的騎行時(shí)間；(4)若小明的行駛速度是v米/分，且在途中與爸爸恰好相遇兩次（不包括家、圖書(shū)館兩地），請(qǐng)直接寫(xiě)出v的取值范圍．【答案】(1)10；15(2)(3)爸爸自第二次出發(fā)至到達(dá)圖書(shū)館前，騎行2.5分鐘和5分鐘時(shí)與小明相距100米(4)【詳解】（1）解：（分鐘），（分鐘），故答案為：10；15．（2）解：設(shè)線段所在直線的函數(shù)解析式為，將和代入，得：，解得，，線段所在直線的函數(shù)解析式為；（3）解：∵小明的速度是120米/分，∴線段所在直線的函數(shù)解析式為，根據(jù)題意，得，解得，，（分），（分）．答：爸爸自第二次出發(fā)至到達(dá)圖書(shū)館前，騎行分鐘和5分鐘時(shí)與小明相距100米；（4）解：當(dāng)線段過(guò)點(diǎn)B時(shí)，小明的速度為（米/分）；當(dāng)線段過(guò)點(diǎn)C時(shí)，小明的速度為（米/分）．結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，小明在途中與爸爸恰好相遇兩次（不包括家、圖書(shū)館兩地）．專練七、一次函數(shù)的應(yīng)用53．（2025·河北邯鄲·二模）某車(chē)間接到一批總量為800個(gè)零件的加工任務(wù)，計(jì)劃安排20名工人一天完成，零件分為大、中、小三種型號(hào)，其中每名工人每天可以加工30個(gè)大型零件，或40個(gè)中型零件或50個(gè)小型零件，已知每名工人只能加工同一種型號(hào)的零件，在整個(gè)過(guò)程中，每個(gè)零件的平均成本如條形統(tǒng)計(jì)圖所示．設(shè)加工大型零件的工人為名，加工中型零件的工人為名，(1)求與的函數(shù)關(guān)系式；(2)若加工這批零件的總成本為9050元，求加工小型零件的工人人數(shù)．【答案】(1)(2)加工小型零件的工人人數(shù)為5【詳解】（1）解：由題意得，，即，與的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：由題意得，這批零件的總成本為，即，解得.加工小型零件的工人人數(shù)為54．（2025·河北邯鄲·二模）某公司生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每件甲種產(chǎn)品的成本為15元，每件乙種產(chǎn)品的成本包括材料成本和制造成本，其中材料成本固定不變，制造成本與生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量成反比；現(xiàn)計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品共200件，其中生產(chǎn)乙產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品每件成本為元，在生產(chǎn)過(guò)程中，可以得到如下數(shù)據(jù)：（件）2040（元）2015(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若生產(chǎn)甲產(chǎn)品的總成本不少于生產(chǎn)乙產(chǎn)品的總成本，求生產(chǎn)這200件產(chǎn)品的最小成本．【答案】(1)(2)最小成本2640元【詳解】（1）解：設(shè)，由題意得，解得，所以；（2）解：由題意得，，解得，設(shè)生產(chǎn)這200件產(chǎn)品的成本為，則因?yàn)?，所以隨的增大而減小；所以當(dāng)時(shí)，最小，最小值2640元．55．（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）目前，世界上有一少部分國(guó)家采用華氏溫度預(yù)報(bào)天氣，而我國(guó)和世界上絕大部分國(guó)家一樣，采用的是攝氏溫度預(yù)報(bào)天氣．小聰計(jì)劃在暑假期間去一個(gè)用華氏溫度預(yù)報(bào)天氣的國(guó)家旅游，了解那個(gè)國(guó)家的風(fēng)土人情．因此，想了解兩種溫度之間的關(guān)系，于是查閱資料，找到了如下表的一組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：攝氏溫度值x（）0510華氏溫度值y（F）51423324150(1)你能找到兩種溫度之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？如果能，請(qǐng)求出這種關(guān)系，并驗(yàn)證（用含x的式子表示y）；(2)小聰所在地的七月的平均氣溫是，請(qǐng)直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的華氏溫度；(3)小聰了解到，他想去的國(guó)家在暑假期間的天氣一般在華氏溫度的之間，那它對(duì)應(yīng)的攝氏溫度是多少？你給小聰?shù)某鲂刑岢鍪裁唇ㄗh？【答案】(1)能，，驗(yàn)證見(jiàn)解析(2)(3)，建議小聰準(zhǔn)備春秋季的衣服出行．【詳解】（1）解：能，兩種溫度之間存在著一次函數(shù)關(guān)系；∵表中每?jī)山M數(shù)據(jù)的差之比為定值，故其存在一次函數(shù)關(guān)系，∴設(shè)，把代入得：，解得，華氏溫度和攝氏溫度的關(guān)系是：．驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．∴正確．（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴小聰所在地的七月的平均氣溫是，對(duì)應(yīng)的華氏溫度為；（3）∵當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得即小聰要去的國(guó)家暑假期間平均氣溫在之間，建議小聰準(zhǔn)備春秋季的衣服出行．56．（2025·河北唐山·二模）如圖是8個(gè)臺(tái)階的示意圖（各拐角均為），每個(gè)臺(tái)階寬、高分別為2和1．為第一個(gè)臺(tái)階面，為第二個(gè)臺(tái)階面……以此類推，為第八個(gè)臺(tái)階面，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．(1)求直線的解析式，并判斷點(diǎn)是否在直線上；(2)點(diǎn)，，，，，________（填“在”或“不在”）直線上，點(diǎn)，，，，，，，在直線________上（填直線解析式）；(3)嘉琪同學(xué)拿著激光筆照射臺(tái)階，射出的光線都可以用直線表示，若使光線剛好照到所有臺(tái)階（包含點(diǎn)M，N），求m的取值范圍；【答案】(1)，在(2)在，(3)【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為：，每個(gè)臺(tái)階寬、高分別為2和1，，，將和代入解析式得：，解得，當(dāng)時(shí)，，在直線上；（2）解：由（1）問(wèn)可得，當(dāng)時(shí)，，在直線，同理可得均在直線上；∵，，∴由圖可知：將直線向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度可得：，點(diǎn)在直線，故答案為：在；；（3）解：把代入，，得，把代入，，得，．57．（2025·河北邢臺(tái)·三模）某商場(chǎng)為推廣新品，對(duì)商品采取分段折扣促銷策略，以下是相關(guān)信息：【基礎(chǔ)應(yīng)用】若某商品原價(jià)為400元，折扣后價(jià)格為320元，則該商品應(yīng)打幾折？【函數(shù)建模】設(shè)商品原價(jià)為元，折扣后價(jià)格為元，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，與滿足的關(guān)系為．當(dāng)時(shí)，與成一次函數(shù)關(guān)系，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．（1）求當(dāng)時(shí)，與的函數(shù)表達(dá)式；（2）若小麗在該商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)了一件商品，共花費(fèi)240元，求該商品的原價(jià)．【方案決策】為進(jìn)一步刺激消費(fèi)，商場(chǎng)推出兩種新方案：方案一：全店商品統(tǒng)一打折．方案二：所購(gòu)商品按原價(jià)每滿300元減元（，不滿300元部分不優(yōu)惠）．若某商品原價(jià)為600元，分別按方案一和方案二的優(yōu)惠后價(jià)格相同，直接寫(xiě)出與的關(guān)系．【答案】基礎(chǔ)應(yīng)用：該商品打8折；函數(shù)建模：（1）；（2）該商品的原價(jià)為元或350元；方案決策：【詳解】解：基礎(chǔ)應(yīng)用∴該商品打8折．函數(shù)建模：（1）設(shè)當(dāng)時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，解得．．（2）當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)小麗在該商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)了一件商品，共花費(fèi)240元，則該商品的原價(jià)為元或350元．方案決策：按照方案一：元；按照方案二：（）元；若某商品原價(jià)為600元，按方案一和方案二折扣后價(jià)格相同，．58．（2025·河北邯鄲·二模）一文具店購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種品牌的書(shū)包共80個(gè)，其進(jìn)價(jià)與售價(jià)情況如下表所示：甲品牌乙品牌進(jìn)價(jià)（元/件）6056售價(jià)（元/件）8072設(shè)購(gòu)進(jìn)甲品牌書(shū)包個(gè)，銷售完這80個(gè)書(shū)包所獲得的總利潤(rùn)是元．(1)求與的函數(shù)關(guān)系式；(2)該文具店是否會(huì)獲得利潤(rùn)1406元？說(shuō)明理由；(3)若該文具店購(gòu)進(jìn)甲品牌書(shū)包的數(shù)量不超過(guò)乙品牌書(shū)包數(shù)量的一半，如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)(2)該文具店不會(huì)獲得利潤(rùn)1406元(3)當(dāng)時(shí)，該文具店獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1384元【詳解】（1）解：，與的函數(shù)關(guān)系式為．（2）解：該文具店不會(huì)獲得利潤(rùn)1406元．理由如下：當(dāng)時(shí)，得，解得．為整數(shù)，該文具店不會(huì)獲得利潤(rùn)1406元．（3）解：該文具店購(gòu)進(jìn)甲品牌書(shū)包的數(shù)量不超過(guò)乙品牌書(shū)包數(shù)量的一半，．．在中，隨的增大而增大，為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，該文具店獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1384元．59．（2025·河北·一模）如圖1，光滑桌面的長(zhǎng)為，兩端豎直放置擋板和，小球P（看作一點(diǎn)）從擋板出發(fā)，勻速向擋板運(yùn)動(dòng)，撞擊擋板后反彈，以原速返回?fù)醢澹^(guò)程中小球和擋板的距離與時(shí)間的關(guān)系圖象如圖2所示．（注：小球和擋板的厚度忽略不計(jì)，撞擊和反彈時(shí)間忽略不計(jì)）(1)圖中______，______，小球的速度為_(kāi)_____．(2)求圖2中直線的函數(shù)解析式．(3)若小球從擋板向擋板運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，同時(shí)，擋板以的速度勻速向擋板運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中（小球與擋板撞擊前），當(dāng)小球恰好位于這兩個(gè)擋板中點(diǎn)處時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．【答案】(1)24，120，10；(2)(3)【詳解】（1）解：由函數(shù)圖象可知，小球到達(dá)時(shí)，∴小球的速度為．∵撞擊擋板后反彈，以原速返回?fù)醢澹啵蚀鸢笧椋?4，120，10；（2）解：直線的函數(shù)解析式為，把代入，得，解得，∴；（3）解：設(shè)擋板運(yùn)動(dòng)后的位置為，由題意，得，∵小球恰好位于這兩個(gè)擋板中點(diǎn)，∴，解得，∴t的值為．60．（2025·河北石家莊·一模）某物流公司推行環(huán)保運(yùn)輸政策，通過(guò)分段計(jì)價(jià)引導(dǎo)客戶集約化運(yùn)輸，并制定如下計(jì)價(jià)規(guī)則．計(jì)價(jià)規(guī)則貨物質(zhì)量不超過(guò)時(shí)，單價(jià)為6元；貨物質(zhì)量超過(guò)但不超過(guò)時(shí)，超過(guò)部分單價(jià)為5元；貨物質(zhì)量超出時(shí)，超出的部分單價(jià)為4元，并一次性額外收取30元的碳排放附加費(fèi)．設(shè)貨物質(zhì)量為，運(yùn)費(fèi)為y（元）．(1)若貨物A質(zhì)量為，貨物B質(zhì)量為，分別計(jì)算兩個(gè)貨物的運(yùn)費(fèi)；(2)當(dāng)時(shí)，求y與x的函數(shù)解析式；(3)若某貨物的運(yùn)費(fèi)為170元，求該貨物質(zhì)量為多少？【答案】(1)貨物A的運(yùn)費(fèi)為48元；貨物B的運(yùn)費(fèi)為85元(2)(3)27.5千克【詳解】（1）解：由題意可得：當(dāng)時(shí)，元；當(dāng)時(shí)，元；（2）解：由題意可得：當(dāng)時(shí)，；（3）解：∵當(dāng)時(shí)，；∴當(dāng)運(yùn)費(fèi)為170元時(shí)，，∴，解得．∴包裹質(zhì)量為27.5千克．61．（2025·河北唐山·二模）情境如圖，在蹺蹺板（自重忽略不計(jì)）的左端有一個(gè)固定質(zhì)量為千克的靠背，質(zhì)量為千克的小孩緊貼靠背而坐，選定木板中點(diǎn)偏右的位置作為蹺蹺板的支點(diǎn)，支點(diǎn)與靠背的距離為米，選定支點(diǎn)右側(cè)米處為零刻度線．質(zhì)量為千克的大人坐在零刻度線的右側(cè)，大人可以通過(guò)調(diào)整自己的位置使蹺蹺板兩端離地保持平衡．設(shè)大人與零刻度線的距離為米，根據(jù)物理學(xué)的杠桿原理可得：．已知，，零刻度線與末刻度線的距離定為米．操作（1）①當(dāng)蹺蹺板左端不坐小孩，且大人在零刻度線時(shí)，蹺蹺板兩端離地平衡，則與的關(guān)系式為：______；②當(dāng)蹺蹺板左端坐上質(zhì)量為千克的小孩，大人從零刻度線移動(dòng)至末刻度線時(shí)，蹺蹺板兩端離地平衡，則與的關(guān)系式為：______；（2）由（1）可得：______，______；探究（3）根據(jù)“操作”的結(jié)果，①要使蹺蹺板兩端離地保持平衡，寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫(xiě)的取值范圍）②從零刻度線開(kāi)始，蹺蹺板左端的質(zhì)量每增加千克，大人坐在木板上移動(dòng)一個(gè)刻度能使蹺蹺板兩端離地保持平衡，直接寫(xiě)出相鄰刻度線之間的距離．【答案】（1）①，②；（2），；（3），米【詳解】（1）①由題意可得：，，，，，，故答案為：；②由題意可得：，，，，，，故答案為：；（2）聯(lián)立，解得：，故答案為：，；（3）①，，，，，整理得：；②，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；相鄰刻度線之間的距離為米．專練八、一次函數(shù)背景下的臨界點(diǎn)問(wèn)題62．（2025·河北·一模）如圖，8個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形按照?qǐng)D中方式放置在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過(guò)小正方形的頂點(diǎn)P和Q，則直線的表達(dá)式為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】從圖示來(lái)看，點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)分別是、，設(shè)直線l的解析式為，將點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)代入直線l的解析式得：，∴．∴直線l的解析式為．故選：D．63．（2025·河北唐山·二模）如圖，直線交軸、軸于兩點(diǎn)，直線交軸、軸于兩點(diǎn)，點(diǎn)是內(nèi)部（不包括邊界）的一點(diǎn)，則整數(shù)可能是（

）A．3 B． C．2 D．0【答案】D【詳解】解：∵點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊上）的一點(diǎn)，故點(diǎn)P在直線上，如圖所示，當(dāng)P為直線與直線的交點(diǎn)時(shí)，m取最大值，當(dāng)P為直線與直線的交點(diǎn)時(shí)，m取最小值，由解得，即m的最大值為2；由解得，即m的最小值為．∴只有0符合題意，故選：D．64．（2025·河北邯鄲·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)