旋轉(zhuǎn)壓軸精選題特訓(xùn)-2025年中考數(shù)學(xué)二輪專題

1.已知：線段AB.將線段A3繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)。，得到線段AC.再將線段AC繞點C逆時針旋

轉(zhuǎn)夕，得到線段CD.連接AD、BC.分別取線段AD,BC的中點E,F,直線歷分別交AB,CD

圖2

⑴如圖1所示，。=80。，￡=34。時，ZBGF=5T.求證：BG=CH.

1QAO_n

(2)當(dāng)月<2時，(1)中結(jié)論是否仍然成立，若成立補全圖2,并證明你的結(jié)論；若不成立說明

理由.

2.［感知】在矩形ABCD中，=8,AD=6.將.DAB繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為。(0°<?<360°)

得到FEB,點A、D的對應(yīng)點分別為E、F.若點E落在3。上，如圖①，則止=.

【探究】當(dāng)點E落在線段。P上時，CD與8E交于點G.其它條件不變，如圖②.

(2)CG的長為

【拓展】連接CF,在54D的旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)△CEF的面積為S,直接寫出S的取值范圍.

3.在矩形A3CD中，AB=3,BC=2,以點A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)矩形ABCD,旋轉(zhuǎn)角為。

(0°<?<180°),得到矩形但‘G,點8、點C、點。的對應(yīng)點分別為點E、點R點G.

圖①圖②

(1)如圖①，當(dāng)點E落在。C邊上時，求線段EC的長度;

(2)如圖②，當(dāng)點E落在線段CF上時，AE與DC相交于點H,連接AC.

①求證：AACC^AG4E；

②求線段?！钡拈L度.

⑶如圖③設(shè)點尸為邊FG的中點，連接尸3,PE,在矩形ABCD旋轉(zhuǎn)過程中，ABE尸的面積是否存在

最大值？若存在，請直接寫出這個最大值；若不存在，請說明理由.

4.小軒家有一個如圖1所示的正方體家用醫(yī)藥箱，其側(cè)面是如圖2所示的正方形ABCD,在打開醫(yī)

藥箱的過程中，矩形AEFD(箱蓋)可以繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)，落在的位置，且AD=40cm,

CF=30cm.

圖1

⑴如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60。時，求點。與點M之間的距離.

(2)若矩形AETO在旋轉(zhuǎn)過程中，可旋轉(zhuǎn)的最大角度是70。,求點尸'到2C的最大距離.(參考數(shù)據(jù):

sin70°?0.94,cos70°?0.34，tan70°?2.75)

5.如圖1,在中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=8,CEJ.AB于點、E,。為A8上一動點,

連接CD,將線段C。繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CF,連接3尸.

(1)如圖2,當(dāng)點。為線段A3的中點時，點/與點B重合，則線段3A和3E之間的數(shù)量關(guān)系是

(2)如圖1,當(dāng)BD>AD時，寫出線段2萬，BE1和BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

6.問題背景：如圖1,設(shè)尸是等邊VABC內(nèi)一點，PA=6,PB=8,PC=10,求NAP8的度數(shù).小

君研究這個問題的思路是：將△ACP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ABP,易證：.APP'是等邊三角

形，P3P是直角三角形，所以NAP3=NAPP+NBPP=150。.

簡單應(yīng)用:

(1)如圖2,在等腰直角VA5c中，ZACB=90°,P為VABC內(nèi)一點，且PA=5,PB=3,PC=2也，

貝U/3PC='

(2)如圖3,在等邊VABC中，P為VABC內(nèi)一點，且PA=5,PB=12,ZAPS=150°,求PC長.

(3)拓展延伸：若圖4中的等腰直角VABC,/45。=90。與口14>7,ZADC=90°,在AC的同側(cè),

若A￡)=2,Z)C=4,求的長度.

7.已知VABC與V">E均為等邊三角形，且頂點A重合，現(xiàn)將等邊VADE繞頂點A轉(zhuǎn)動得到下列圖

(1)初步探究：如圖1,連接8。、CE,當(dāng)C、E、。三點在同一直線上時，猜想N3DC=60。，

請證明這一結(jié)論是正確的；

⑵大膽嘗試：如圖2,連接3。、CE,當(dāng)B、DE三點在同一直線上時，作S_L8E于X,猜想“￡、

AD與BE的數(shù)量關(guān)系并證明你猜想的結(jié)論.

(3)拓展延伸：如圖3,連接3。、CE,當(dāng)")3=90。時，延長ED交3C于點過點。作D尸，

于P,DP=4,AACE的面積為20,求CF的長.

8.【問題情境】

數(shù)學(xué)活動課上，老師和同學(xué)們一起玩旋轉(zhuǎn)，如圖1，四邊形A5CD是正方形，V4)E繞點A順時針旋

轉(zhuǎn)后與AWF重合.

圖1圖2

【解決問題】

(1)連接砂，若BC=2K，BF=2,求ER的長;

【類比遷移】

(2)用上述思想或其他方法證明：如圖2,在正方形ABC。中，點E、B分別在DC、2c上，且

NEAF=45°.求證：EF=BE+DF.

9.如圖，在正方形A5CD中,點、E,尸分別在邊2C和C。上，且ZE4F=45。，連接3。，分別交AE,

EF,EG.

備用圖

(1)若正方形旗CD的邊長為4cm,則△CEF的周長為.cm.

⑵求證：ACE^ADG；

(3)AF與EG存在怎樣的位置關(guān)系？請說明理由;

⑷求證:器箸為定值?

10.如圖1,是大家非常熟悉的“一線三直角模型”，受到這模型的啟發(fā)，我們研究如下問題：如圖2,

在VABC中，ZA=9O°,將線段BC繞點2順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段3￡>,作。ElAB交A5的延長線

于點E,連接CD并延長交的延長線于點E

⑴若AB=2,AC=6,求線段EF的長；

BN

⑵在(1)的條件下，連接CE交5。于點N,求二;的值;

3

(3)在(1)的條件下，在直線A3上找點尸，使sinZBCP=y,直接寫出線段3P的長度.

11.如圖，在平行四邊形ABCD中，。為AC的中點，直線/與邊BC重合，將直線/繞點8旋轉(zhuǎn)，旋

轉(zhuǎn)角為a,直線/于點CNL直線/于點N,連接OM、ON.

⑴如圖①，當(dāng)直線/繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)a(0。＜。＜30。)時，請直接寫出OM、ON的數(shù)量關(guān)系是二

(2)如圖②，當(dāng)直線/繞點B順時針旋轉(zhuǎn)a(0。＜夕＜30。)時，請判斷(1)中的結(jié)論是否成立，并說

明理由；

(3)若旋轉(zhuǎn)角《=15。，當(dāng)平行四邊形ABCD為正方形，且邊長為2后時，請直接寫出線段的長.

12.如圖1,在矩形中，AB=8A/3,NABD=30。，點E是邊AB的中點，過點E作交

于點F.

⑴在一次數(shù)學(xué)活動中，小王同學(xué)將圖1中的砂繞點2按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。如圖2所示，得到結(jié)

論:

①嚷的值為

DF

②直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為.

(2)小王同學(xué)繼續(xù)將△班尸繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置，AE與3D交于點O,

AE與。下交于點請問探究(1)中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由:

(3)在以上探究中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至。、E、E三點共線時，直接寫出VAOE的面積.

《旋轉(zhuǎn)壓軸精選題特訓(xùn)-2025年中考數(shù)學(xué)二輪專題》參考答案

1.(1)證明見解答

(2)見解析

【分析】(1)在下方作ZBCK=ZACD=34。，點K在直線跖上，先證得NGBF=ZHCK,再證得

ZBGF=ZCHK,利用AAS證得BGF—CHK,即可證得結(jié)論；

(2)延長陽至點使EM=EH,連接AM,延長G歹至點N,使得FN=GF,連接CN,先證

得，A￡M&OEH(SAS),得出ZM=ZDHE,再證得.BFG烏CFN(SAS),得出〃=NBGF,BG=CN,

推出當(dāng)且僅當(dāng)NBGF=；(a+0時，(1)的結(jié)論才成立，否則不成立.

【詳解】(1)證明：在5c下方作ZBCK=ZACD=34。，點K在直線￡1方上，如圖1,

AB=AC,ZBAC=80°,

ZABC=ZACB=1(180°-ABAC)=50°,

ZABC=NHCK,即NGBF=ZHCK,

CA=CD,ZACD=34°f

:.ZCAD=ZD=73°,

ZE4G=ZBAC-ACAD=80°-73°=7°,

ZBGF=5T,

ZDEH=ZAEG=ZBGF-ZEAG=57°-7°=50°,

Z.CHK=ZDHE=180°-ZD-ZDEH=57°,

.\ZBGF=ZCHK,

方是5C的中點,

:.BF=CF,

：.BGFWCHK(AAS),

:.BG=CH；

(2)解：延長用至點M,使EM=EH,連接AM,延長G產(chǎn)至點N,使得FN=GF,連接CN,

NC4Z)=ND=；(180?！?)=90?！?；尸,

N5AO=N5AC—NDAC="(90?！?a+—90。,

E、尸是A。、3C的中點，

:.AE=DE,BF=CF,

在A4EM和△￡>石”中,

EM=EH

<NAEM=NDEH,

AE=DE

AEM^OEH(SAS),

:.ZM=ZDHE,

.?.NM4E=ZD=90。—g/,

/.NM4G=NM40—NBAO=90。一；夕一+；萬—90。］=180。一a—4，

ooo

:.ZM=lS0-ZMAG-ZAGM=lS0-(lS0-a-/3)-ZBGF=a^-fi-ZBGFf

:./M+/BGF=a+0,

在一哥G和CFN中,

BF=CF

<ZBFG=ZCFN,

FG=FN

二.BFG^CFN(SAS),

:.ZN=ZBGF,BG=CN,

ZCHN=ZDHE=ZM=a+/3-ZBGF,

/./CHN+ZN=a+(3,

要使BG=CH,即。V=CH,

.\ZCHN=ZN,

又Z.CHN+ZN=a+p,

???當(dāng)且僅當(dāng)Naw=NN=g3+0時，結(jié)論成立，

即當(dāng)且僅當(dāng)NBGF=；（a+0時，（1）的結(jié)論才成立，否則不成立.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)及三角形內(nèi)角和

定理，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

7

2.感知：2；探究：（1）見解析；（2）-；拓展：6Ks＜42

4

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等角對等邊，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判

定，三角形三邊關(guān)系的意義，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

感知：先由矩形的性質(zhì)和勾股定理求出應(yīng)＞的長，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE的長，據(jù)此根據(jù)線段的和

差關(guān)系可得答案；

探究：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得=ZBEF=ZA=90°,貝血＞=90°,再利用HL證明

一ADBZ—EDB即可；

（2）證明/GD3=NG3D,得到DG=BG,設(shè)CG=x,貝!JDG=BG=8-x,再利用勾股定理建立方

程求解即可；

（3）根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可得2VCEW14,設(shè)點C到跖的距離為/z,則CE2/Z,據(jù)此可確定〃

的最大值和最小值，進而求出S的最大值和最小值即可得到答案.

【詳解】解；感知：二?四邊形ABCD是矩形，

ZA=90°,

*.*AB=8,AD=6,

BD=VAB2+AD2=10，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得8E=AB=8,

，DE=BD-BE=2；

探究：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得=NBEF=NA=90°,

..?點E落在線段。尸上，

ABED=180°-NBEF=90°,

又：BD=BD,

/.RtAD的RtEDB（HL）；

（2）V_ADB^EDB,

/.ZABD=ZEBD,

;在矩形ABC。中，AB//CD,

：.ZABD=ZCDB,CD=AB=8,

ZGDB=ZGBD,

，DG=BG,

設(shè)CG=x,貝l]DG=8G=8-x,

在RtBCG中，由勾股定理得BG?=3C2+CG"

：.X2+62=(8-X)2,

7

解得x

4

7

：.CG=~；

4

拓展：VBE-BC<CE<BE+BC,

/.2<C￡<14,

設(shè)點。到跖的距離為九則CE*,

/.當(dāng)CE取得最小值時,且當(dāng)CE，￡F時,/?有最小值2,即此時SACEF有最小值,最小值為；x2x6=6；

當(dāng)CE取得最大值時，且當(dāng)CE，防時,人有最大值14,即此時有最大值,最大值為：x14x6=42；

圍②:

3.(1)3-75

⑵①見解析；②J

0

27

(3)存在，—

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的

三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)如圖①，在RtADE中，利用勾股定理即可解決問題；

(2)①利用HL進行判定即可；

②設(shè)AH=HC=利，根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程進行計算即可；

12

(3)存在，連接PA,作于點當(dāng)AM與A3共線時，△5EP的面積最大，求出40=可,

即可求出答案.

【詳解】(1)解：四邊形ABCD是矩形，

.\AB=CD=3,BC=AD=ZZD=90°f

由于逆時針旋轉(zhuǎn)矩形ABC。，旋轉(zhuǎn)角為a(00<a<180°),得到矩形的G,

,\AE=AB=3,

在Rt.ADE中，DE=^AE2-AD2=732-22^45，

/.CE=3—^/5;

(2)①證明：當(dāng)點E落在線段”上，

,\ZAEC=ZADC=90°,

在RtADC和RtzXCAE中，

jAC=CA

[CD=AE9

Rt_AC0gRjC4E(HL)；

②解：RtAC。9RtCAE(HL),

.\ZACD=ZCAEf

:.AH=HC,

設(shè)AH=HC=m，

在RtAD"中，AZ)2+Z)H2

/.22+(3—m)2=m2,

13

/.m=—,

6

.-.DH=3--=-；

66

(3)解：存在，理由如下:

連接R4,作于點M,

當(dāng)AAf與A3共線，且⑻W=時，-3PE面積最大,

3

由題意得：PF=PG=~,

2

AG=EF=2,ZG=ZF=90°,

,\PA=PE=-

2f

SAPE=3S矩形AGFE二萬PE,AM,AB=3,BC=2,

,\-x-xAM=-x3x2,

222

1151227

.\S=-PE-BM=-X-X(3+—)=—,

BPEF22254

27

””的面積的最大值為下

4.7cm

(2)67.6cm

【分析】(1)根據(jù)矩形和正方形的性質(zhì)可得：AD=EF=CD=40cm,NEED=90。，進而得到

DF=10cm,根據(jù)勾股定理求出。E,由旋轉(zhuǎn)可得：ED=E餅,ZDED'=60°,

可推出ADED是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解；

(2)過點/作尸舊_L8C于點，交阱于G點，推出四邊形CFG"是矩形，得到GH=b=30cm,

F'GIEF,由題意可知，ZFEF'=70。,EF=EF'=40cm,根據(jù)尸'G=sinNFEF'.跖'求出F'G,最

后根據(jù)F'到BC的最大距離為F'G+GH,即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，連接￡?、ED、DD',

四邊形ABCD是正方形，四邊形AEED是矩形，

AD=EF^CD=40cm,NEFD=90。,

CF-30cm,

/=CD—b=40—30=10cm,

■■■DE=^EF2+DF2=A/402+102=105/17cm，

由旋轉(zhuǎn)可得：ED=EMZ.DED'=60°,

△￡>&?'是等邊三角形，

DD'=DE=10yfncm,

即點。與點儀之間的距離為10而cm;

(2)過點/作尸HJ_8C于點，交跖于G點，

四邊形ABC。是正方形，四邊形AEED是矩形，

AD=EF=CD=40cm,NC=NCFE=90°,

，四邊形CFG"是矩形，

GH=CF=30cm,F'G1EF,

由旋轉(zhuǎn)可得：EF=EF'=40cm,矩形AEFD在旋轉(zhuǎn)過程中，可旋轉(zhuǎn)的最大角度是70。，

NFEF'=70°,

F'G=sinNFEF'IEF=0.94x40=37.6cm,

尸到BC的最大距離為AG+G”=37.6+30=67.6cm.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三

角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識.

5.⑴BD=2BE證明見解析；

⑵2BE+段'=SD理由見解析；

【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)及判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，

解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，能熟練應(yīng)用全等三角形判定定理和相似三角形的判定定理.

(1)證明△BCD是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)在E4上截取￡H=BE,連接C”，證明，3C尸均aCD(SAS),可得BF二HD,從而

BD=BH+HD=2BE+BF從而可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖2,

5(F)

/＞、Q?ACB90靶A=30?,3c8,

圖2/

\AB=2BC=16,?ABC90?30?60?,

。為AB的中點,

\CD=BD=-AB=S,

2

.?.△5CD是等邊三角形，

QCE±AB,

\BE=DE=-BD,

2

^BD=2BE.

故答案為：BD=2BE.

(2)BF+2BE=BD,理由如下：在EA上截取=連接C”,如圖:

ZCBH=90°-30°=60°,

又CELBH,

:.BC=2BE=BH,

：.BCH是等邊三角形,

:./BCH=60。,BC=HC.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得CF=CD,ZFCD=60°,

:.ZBCH=ZFCD,

ZBCH-ZFCH=ZFCD-ZFCH,即NBCF=/HCD.

在/BCF和一"CD中，

BC=HC

<NBCF=ZHCD

CF=CD

.?.&BCF—HCD(SAS),

:.BF=HD,

又BD>AD,BH=BC=-AB,

2

:.BD=BH+HD=2BE+BF.

BP2BE+BF=BD.

6.(1)135

(2)13

⑶0

【分析】（1）先利用旋轉(zhuǎn)得出BP=AP=5,4CP=90。,CP=CP=2應(yīng)，再根據(jù)勾股定理得出

PP=0CP=4,最后用勾股定理的逆定理得出3PP是以為斜邊的直角三角形，即可得出結(jié)論；

（2）同（1）的方法得出N4PP=60。，進而得出NBPP=NAP3-NAPP=90。，最后用勾股定理即可

得出結(jié)論；

（3）先利用旋轉(zhuǎn)得出BD'=BD,CD=AD',=90°,ZBCD=ZBAI>,再判斷出點以在AD

的延長線上，最后用勾股定理即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖2,將△ACP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到.CBP',連接尸P,

AZACB=90°,AC=BC,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：BP'=AP=5,/PCP=90°,CP'=CP=2亞,

：.NCPP'=ZCP'P=L90。=45°,

2

根據(jù)勾股定理得，PP'=J(20『+(20)，=4,

；BP=5,BP=3,

PP-+BP2=BP?，

?二BP尸是以BP'為斜邊的直角三角形，

：.ZBPP'=90°,

：.Z.BPC=NBPF+NCPP=90°+45°=135°,

故答案為：135；

(2)解：如圖3,將△ACP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△/",連接PP,

CB

圖3

YVABC是等邊三角形,

ZBAC=60°,AC=AB,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：BP=CP,AP'=AP=5,44P=60。，

???APP'是等邊三角形，

APP'=AP=5,ZAPP'=60°,

,：ZAPS=150°,

，NBPP=ZAPB-ZAPP'=90°,

根據(jù)勾股定理得，BP=?尸+PF?=Ji2?+5。=13，

CP=13；

(3)解：如圖4,連接3。，將△CBD繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABD,A3與CD的交點記作G,

圖4

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：BD'=BD,CD=AD',ZDBD'=90°,NBCD=NBAD',

,：ZADC=ZABC=90°,

：.ZDAB+ZAGD=NBCD+NBGC=90°,

?/ZAGD=NBGC,

：./BAD=/BCD,

/.NBAD=NBAI>,

點DC在AD的延長線上，

DD'=AD'-AD=CD-AD=4-2=2,

根據(jù)勾股定理得：BD2+BD'2=DD'-，

---2BD1=22，

BD=y/2，負值舍去.

【點睛】本題主要考查了三角形的旋轉(zhuǎn)變換，涉及了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰直

角三角形的性質(zhì)、勾股定理，靈活的利用三角形的旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.⑴見解析

(2)2HE+AD=BE,見解析

(3)5

【分析】本題考查三角形綜合應(yīng)用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，三角形面積，勾股定理及應(yīng)用，解

題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

(1)由VABC和VADE均為等邊三角形，可證一B4D空C4E(SAS),知NAZM=/AEC,而

ZADE=ZAED=60°,故"?B=60。，Z.BDC=180°-60°-60°=60°；

(2)同(1)得ABD^.ACE(SAS),有ZADB=ZAEC,BD=CE,可推得NEC"=90°-60°=30°,

故CE=2EH,又AD=DE,BD=CE,BD+DE=BE,故2HE+AD=3E;

(3)作于Af,CNLEF千N,證明ABD^ACE(SAS),得BD=CE,可得

BDM^CEN(AAS),BA/nCN,即可得BFM^CFN(AAS),班'=CF,根據(jù)"CE的面積為20,

知工A3?DP=20,由AB=10=BC,^CF=-BC=5；

22

【詳解】(1)證明：ABC和VADE均為等邊三角形，

:.AB=AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE=60°,

ABAC+ACAD=ADAE+ACAD,

:.ZBAD=ZCAE,

:..BAD^C4￡(SAS),

:.ZADB=ZAEC,

ZADE=ZAED=6O°,

:.ZADB=60°,

C、D、E在同一直線上，

ZCDE=180°,

ZBDC=180°-60°-60°=60°；

(2)2HE+AD=BE,

理由：ABD^,ACE,

:.ZADB=ZAEC,BD=CE,

ZADE=ZAED=6O°,

ZADB=ZAEC=120°,

:.ZBEC=60°,

CHA.BE,

:.ZCHE=90°,

/.ZECH=90°-60°=30°,

:.CE=2EH,

AD=DE,BD=CE,

BD+DE=BE,

:.2HE+AD=BE；

(3)解：作于CN工EF于N，

.\ZBMF=90°ZCNE=ZCNF=90°,

M

:.ZBMF=ZCNEf

ZADB=ZAEC=90°fZADE=ZAED=60°,

ZBDF=/DEC=30。

BD=CE,

:.BDM沿,.CEN(AAS),

:.BM=CN,

ZBFM=ZCFN,

:.BFM，CFN,

:.BF=CF,

QVACE的面積為20,

.?.AASD的面積為20,

/.-ABDP=20,

2

DP=4

/.AB=10,

CF=-AB^5-

2

8.(1)EF=g(2)證明見解析.

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握相關(guān)知識是

解題的關(guān)鍵.

(1)由正方形的性質(zhì)得到BC=2A/LCD=BC=2y/3,NC=90。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到DE=BF=2,

FC=BC+BF=2-j3+2,再根據(jù)勾股定理即可求解；

(2)運用旋轉(zhuǎn)變換，將&ABE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△加￡*,再判定咨△ENF,進

而得到EF=E'F,再根據(jù)=OF+DE',ED=BE,得出EF=BE+DF.

【詳解】(1)解：：四邊形ABC。是正方形，BC=2y/3,

CD=BC=2>/3,ZC=90°,

?/VADE繞點、A順時針旋轉(zhuǎn)后與AABF重合，BF=2,

：.DE=BF=2,FC=BC+BF=26+2,

：.CE=CD+DE=26-2,

在Rt.ECF中，EF=4FC?+CE2=J(26+2『+(2』一2『=472;

(2)證明：如圖，將_45￡繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到八位因，

??ZE4F=45°,

ZBAE+ZDAF=45°

■/ZBAE=ZDAE',

：.ZFAE'=45°,

：.ZFAE'=ZFAE,

,：ZADE'=ZADF=90°

:.E、D、尸三點共線，

在△E4F和zEAR中，

AF=AF

<ZFAE'=ZFAE,

AE=AE'

：.EAF^E'AF(SAS),

，EF=E'F,

*/E'F=DF+DE',E'D=BE,

EF=BE+DF.

9.(1)8

(2)見解析

O)AFIEG,理由見解析

(4)見解析

【分析】(1)將△3繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到根據(jù)旋轉(zhuǎn)及正方形的性質(zhì)可證明

△EAF出AEAK,得EF=KE=KB+BE=DF+BE,進而可得答案；

(2)結(jié)合題意，由正方形的性質(zhì)可知=—ZGAD=ZDAC-Z.CAF,得

NEAC=NGAD,進而可證明結(jié)論；

(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)可知4MC=ZE4F=45。，由(2)可知，ACE^ADG,得——=——，

AGAD

可證得,從而得NAGE=NADC=90。，即可得結(jié)論；

(4)根據(jù)正方形的性質(zhì)可知=尸=45。，由(2)可知，AC￡sADG,得ZAEC=ZAGD,

即NA班=NOG尸，證得△BHEsaDFG,得BE-FD=HB-DG,由(2)可知qACEsADG,得

CE=?G.同理可得△AB"sAAb'得仃=&8",由瓦,孑=在下=耳而二萬而即

可證明結(jié)論.

【詳解】(1)解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD=4cm,ZABC=90°,

將AADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到一,

則Z4￡)f=ZABK=90。，ZFAK=90°,AK=AF,BK=DF,

??ZABC=90°,

...點K、B、C在同一直線上,

Z￡AF=45°,

/E4K=45。,

又：AE=AE,

AFAF空AFAK,

，EF=KE=KB+BE=DF+BE,

則ACEF的周長=EF+CE+FC=DF+BE+CE+=3C+CD=8cm,

故答案為：8；

(2)證明：四邊形ABC。為正方形，ZE4F=45°,ZDAC=ZACE=ZADG=ZEAF=45°.

ZEAC=ZEAF-ZCAF,ZGAD=ZDAC-ZCAF,

:.AEAC=Z.GAD,

:.^ACE^Z\ADG.

(3)AFLEG,理由如下：

四邊形ABC。為正方形，

ZDAC=ZEAF=45°.

由(2)可知，^ACE^ADG,

.AEAC

,?而一罰’

:./\AGE^/\ADC.

■.ZAGE=ZADC=90°,即Ab_LRJ.

(4)證明：四邊形A5CD為正方形，

.\ZHBE=ZGDF=45°,

由(2)可知，,ACEs一ADG,

.\ZAEC=ZAGDf

:.ZAEB=NDGF,

.△BHEs八DFG,

.HB_BE

…而一而‘

:.BEFD=HBDG.

由(2)可知ACE^ADG,

CEACr-

.?——=——=。2,即CE"=yflDG.

DLrAL)

同理可得AABH^AACF,

ACCFnr_r—

:F=~^=<2,即nCF=&B"-

ADDtl

BEDFHB-DGHB-DG_1

"~CE~CF~CECF~亞DGQBH~2'

【點睛】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì),

證明—ACEs—ADG,利用相似三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化邊之間的關(guān)系是解決的關(guān)鍵.

10.(1)EF=4

>BN9

⑵法F

⑶4或g

【分析】(1)先證明ABC"EDB(AAS),再證明DEB^CAF,進而即可求得線段EF的長；

(2)過點"作初0_14/于點證明ABCs,肱ye得出=再證明㈤”NS_EC4得出

一MF二一MN,設(shè)9=%則腔=3石-切1=6-%,代入比例式得出％二S二4，進而即可求解；

AEAC13

(3)當(dāng)尸在5點的左側(cè)時，過點尸作?于點Q；當(dāng)尸在5點的右側(cè)時，過點尸作尸丁，5。交

CB的延長線于點T,分別解直角三角形，即可求解.

【詳解】(1)解：NCBD=90。

\?ABC?DBE90?

NA=90。

:.ZABC+ZACB=90°

.\ZDBE=ZACB

又ZA=ZDEB=90°,CB=BD

.\.ABC^EDB(AAS)

.\DE=AB,BE=AC

AB=2,AC=6

DE—2,BE=6

.\AE=AB+BE=2+6=8

Z￡>EB+ZA=180°

:.DE//AC

:.」DEFsCAF

.DEEF

"AC-E4

2EF

.%―EF+8

解得EF=4；

(2)如圖，過點N作于點M,

c

ZA=ZBMN=9Q°,ZACB=900-ZABC=ZNBM

圖2

ABCsMNB

BNBMMN

BNBMMN

即pn——=---=，

BC62

3

又-MN//AC

:「EMNS-EAC

ME_MN

"^E~~AC

BM=x,則幀=5石_9=6_%

1

6r二丁

8-6

54

解得戶內(nèi)

54

BNBM石_9；

（3）如圖所示，當(dāng)尸在5點的左側(cè)時，過點尸作5c于點Q,

圖2

.經(jīng)=3

"CP"5

設(shè)PQ=3〃，則CP=5a,CQ=［序丫—刈）?=4〃

又AC=6,AB=2,ZBAC=90°

6/---------i—

tanZABC=—=—=3,BC=A/22+62=2^/10

AB2

tanZPBQ=—=3

BQ

BQ=—PQ=a

BC=CQ+BQ=4〃+a=5a

即5a=2M

解得°=馬叵

5

在RJP3。中，PQ3a,BQ=a

:.PB=y/PQ2+BQ2=Ma=V10x^^=4;

如圖所示，當(dāng)尸在8點的右側(cè)時，過點P作;T，8C交CB的延長線于點T,

設(shè)BT=b,則PT=34BP=s/10b

3

sinZBCP=-

5

3PT

二.tan/BC尸=—=——

4CT

3b3

即nn2M+廠。

解得6=亞

3

BP=Vioz?=Viox^^=—,

33

綜上所述：3尸的長度為4或年20.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵

11.(1)OM=EO=ON

(2)成立，理由見解析

(3)2或2后

【分析】(1)如圖，延長NO,交A〃于點E,通過證明..AOE冬NOC7V,再根據(jù)直角三角形中位線

性質(zhì)，進而證出=ON；

(2)如圖，延長NO、MA,交于點E,通過證明&AOE絲NOOV,再根據(jù)直角三角形中位線性

質(zhì)，進而證出OM=ON；

(3)情況1：如圖，逆時針旋轉(zhuǎn)15。，先證出NM4E=NNCE=30。，再根據(jù)直角三角形性質(zhì)及勾股

定理可求出MN長；情況2：如圖，順時針旋轉(zhuǎn)15。，延長ON、交于點連接。8,并過。

點作OP，/,通過證明一AC月經(jīng)NOCN推出OM=ON,再通過證明JWAB絲NBC(A4S),推出

_OAW為等腰直角三角形，再通過RtOBP得出MP=OP=NP=5最后可求出A/N.

【詳解】(1)延長NO,交AM于點E,

'：AM±1,CNLI,

：.AMCN,

：.ZOAE=ZOCN,

：O為AC中點，

/.AO=OC,

.,.在AOE與NOCN中

ZOAE=ZOCN

<AO=OC,

ZEOA=ZNOC

：.AOE之。CON(ASA),

/.OE=ON,

一硒比為直角三角形，

圖①

(2)解：成立，理由為：

延長NO、MA,交于點E,

*：AM±1,CNLI,

：.AMCN,

：.ZMEN=ZCNE,

???。為AC中點，

???AO=OC,

又,：/EOA=ZNOC,

：..AOE^AOCN{AAS),

???OE=ON,

???工硒M為直角三角形，

OM=EO=ON；

圖②

(3)情況1：如圖，逆時針旋轉(zhuǎn)15。，

???AC為正方形的對角線，

???NAC3=45。，

ZNCB=180°-ZBNC-ZNBC=75°,

???ZNCE=ZNCB-ZACB=3Q0,

AMLl.CNLI,

:.ANNC,

.\ZMAE=ZNCE=30,

???在Rt4WE中，ME=-AE,

2

同理NE二^CE,

2

.MN=ME+NE=；AC=AB?+BC?=*42血『+(2gj=2;

情況2：如圖，順時針旋轉(zhuǎn)15。，延長NO、M4交于點H,連接05,并過。點作0尸，/

AM上l,CN工I,

:.AMCN,ZAMB=ZBNC=90°,

：.ZMHN=ACNH,

TO為AC中點，

:.AO=OC,

又丁ZHOA=ZNOC,

：.AOH^ZCON(AAS),

：?OH=ON,AH=CN,

?/HW為直角三角形，

???OM=OH=ON,

??,四邊形ABC。為正方形，

ZABC=90°,AB=CB,

：.ZABM+ZBAM=ZABM+NCBN,

：.ZBAM=/CBN,

：..M4B^_A?C(ASA),

：.AM=