直線與橢圓

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說法

目暢1直線與橢圓的位置關(guān)系

例1設(shè)Q，6分別是橢圓?+丁=1的左、右焦點，設(shè)過定點M（0,2）的直線/與橢圓

交于不同的兩點A,B,且/AOB為銳角（其中。為坐標(biāo)原點），則直線/的斜率上的取值范

圍為一室

【解析】顯然犬=0不滿足題意，則設(shè)直線/的方程為了=履+2,A（xi,yi）,B（X2,yi）,

住+戶1,

聯(lián)立j4-得（1+4標(biāo)>?+16&+12=0,則/=（16?2—4（4妤+1）義12>0,解得妤>

=kx+2,

1，可得11+冗2=—X1X2=4^+1,貝IyiN2=（辰1+2）（丘2+2）=&1元2+2女（為+%2）+4.

因為NA05為銳角，則cosZAOB>0,即OAO5=%i%2+yiy2>0,所以為%2+%丁2=（1+斤）處%2

+2?X1+X2）+4=1|魯盍音+4=騎中>0,解得產(chǎn)<4,所以一2<k<一坐或坐

<k<2,即實數(shù)上的取值范圍為1—2,一堂口償，2）.

變式1（2024?池州二模）已知實數(shù)尤，y滿足7/+2產(chǎn)=4（機>0）,若|x+2y|的最大值為

4,則m=（D）

A.*B.|

egD.1

[x+2y=t,

【解析】令x+2y="貝UPW16,則m>0時，由消去x并整理得（4加

【切七十2V=4,

+2）y2—^Zy+mZ2—4=0,顯然4根+2W0,貝!JA=（4m^）2—4（4m+2）（m/2—4）0,整理得

0-4+8機,4+8m1

則M丁丁=16,解付加=了

目情后橢圓的中點弦問題

22

例2（2024?邵陽二聯(lián)）已知直線/：x~2y~2=0與橢圓C：，+5=l（a>6>0）相交于

A,8兩點.若弦A8被直線機：x+2y=0平分，則橢圓C的離心率為（C）

A.|B.乎

C亞D亞

J2'4

【解析】設(shè)A（%1,%）,3（%2,N2）,因為弦A8被直線機：x+2y=0平分，設(shè)中點坐標(biāo)為

（xo,刈），所以為:.+2X"："=,+2,0=。①.因為點A,5在直線/：x~2y-2=0±,所

fxi=2yi+2,

以,兩式相減可得必=2什1—㈤②.又點A,B在橢圓上，所以

1元2=2y2十2,

1兩式相減可得左遨+反薩=0,代入①②可得當(dāng)+猾=0今4=4戶又在

卷j

橢圓中，a2=/?2+c2,所以離心率e=5=\Jl—

，總結(jié)提煉〉

解決圓錐曲線“中點弦”問題的思路

（1）根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程得到方程組，消元得到一元二次方

程后，由根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標(biāo)公式求解.

（2）點差法：設(shè)直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）的坐標(biāo)為A（尤I,弘），BMyi）,將這兩

點的坐標(biāo)分別代入圓錐曲線的方程，并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點和直線

斜率有關(guān)的式子，可以大大減少計算量.

72

變式2若橢圓方+/=1上存在不同的兩點A,B關(guān)于直線＞=3尤+相對稱，則實數(shù)機

的取值范圍是（B）

【解析】橢圓點+玲=1,即5x?+9y2—45=0.設(shè)A（xi,%）,B（xi,y2）,AB中點為M（x0,

yo）,則5靖+9y彳-45=0,5送+9貨-45=0,兩式相減得5（即+X2）（即一元2）+9。1+丁2）。1一p2）

=0,所以;_；：=-所以州=|^0,代入直線方程尸3%+機，得出=一孚，yo=

—乎，即，一苧，一苧）.因為（.，刃）在橢圓內(nèi)部，所以5X誓+9義等＜45,解得一半

＜相＜24，即根的取值范圍是（一2小，斗耳.

目巾幣巨橢圓中的弦長、面積問題

例3-1（2025?湛江期中）己知橢圓E：

（1）求橢圓E的方程；

【解答】依題意得]濘解得』〃=3,故橢圓E的方程為?+”

G+/=1，

(2)已知過點M(—1,1)的直線/與E交于4B兩點,若|加4卜|皿3|=7，求直線/的方

程.

【解答】當(dāng)直線/的斜率不存在時,/：x=—1,代入橢圓方程得A(—1,D，3(T，-f),

313510,

此時=5—1=5,|A/B|=2+1=2>不合題思，舍去；當(dāng)直線/的斜率存

y—1=/(無+1),

在時，設(shè)/的方程為y~\=k(x-\-1),A(xi,yi),B(x””)，聯(lián)立得(3+

8評+8,4斤+8左一8

4產(chǎn))f+(8妤+8?x+4R+8左一8=0,則/>0,X1+x2~3+4F'龍1尤2=3+4/，I"川二

\1+的xi+1|,\MB\=?1+在咫+1|,則\MA\-\MB\=(l+^)kix2+xi+愈+=與

解得左=±1,故直線/的方程為y=x+2或>=一尤.

<總結(jié)提煉》

斜率為左的直線/與橢圓或雙曲線相交于A(xi,yi),B(X2,力)兩個不同的點，則弦長|A8|

=,1+=ki—X2I=N(1+R)[(X1+X2)2—4x1X2]或\AB\=寸1+"-\yi—y2\=

+顆(yi+>2)2—4yly2](4W0).

例3-2(2025?漳州期初)已知橢圓C：5+%=1(。>6>0)的兩個焦點分別為B,F2,離

心率為半，點尸為C上一點，△PRB的周長為2吸+2,其中。為坐標(biāo)原點.

(1)求橢圓C的方程.

￡=華，曾=/

2

【解答】依題意，得a解得，=丫又〃2=從+/,所以從=。2

、2a+2c=2g+2,10—L

—，=1,所以橢圓C的方程為f+y2=l.

(2)直線/：y=x+??與C交于A,B兩點.

①求△OA8面積的最大值；

22

【解答】①設(shè)A(xi,yi),8(x2,m),得3x+4mx+2m—2=0,則

j=x+m,

21Tpi—2r~

222

A=16m-4X3X(2m-2)>0,解得m<3,所以xi+x2=--,xi>2=——,\AB\=yj2

xd(%i+%2)2—4xiX2=^X*\/24—8源m.又點o到直線/：x~y+m=0的距離d—

噌，所以△OA8的面積S=”手乂峭專后而號『廠席當(dāng)

y]22n72nvjzz

當(dāng)且僅當(dāng)3—川=蘇，即加=±半時取等號，故△QW面積的最大值為坐.

②設(shè)為=晶+無，試證明點。在定直線上，并求出定直線方程.

———[x=X\~\~X2f

【解答】設(shè)。(％,y),由。。=。4+。5,得(％,y)=(xi+x2,川+”)，即彳,

[y=yi+y2.

4m

x=—^-,

{一件2m,D于是有y=1-所

以點Q在定直線y=一5上.

隨堂內(nèi)化

Y24、歷

1.已知橢圓會+丁=1與直線尸工+相交于A/兩點，且|四=苧，則實數(shù)加=(D)

A.-1B.一也C.1D.-1或1

「X2

y+y2=l,

【解析】聯(lián)立消去y并整理，得3爐+4加%+2相2—2=0./=(4機)2—

j=x+m,

—2

4X3X(2m2—2)>0,m2<3,設(shè)A(%i,yi),B(x?,>2),則％i+x2=—xiX2=.由題

意得|AB|=后，XK(xi+超)2—4X1X2=畢,即陋(-判—4X普二=華,解得m

=±1.

2.設(shè)直線/：>=履+3與橢圓C：/+：=1相交于4,8兩點,且48的中點為4一1,；),

則%=_/_?

【解析】設(shè)A(xi,%),8(x2,>2),故有年'+々=1,軟+號=1，兩式作差得上9君十.4yl

=0,即------3------+------------=°，所以k=-----=—,v因為AB的中點為

9A4X2~xi9(ji+y2)

八彳一1,g),所以XI+X2=-2,州+丫2=|,所以J=：_；=_4X(z2)：*

3.（2023?新高考II卷）已知橢圓C：弓+尸=1的左、右焦點分別為尸2，直線尸x+

機與C交于A,B兩點，若面積是△/2AB面積的2倍，則根=（C）

A.|B.當(dāng)

y=x-\-m,

【解析】聯(lián)立〈A2消去y可得4—+6蛆+3W-3=0,貝|/=36刃2—4義4（3療

仃+戶1,

-3）＞0,解得一2＜相＜2.易知B（一鏡，0）,F2他,0）,設(shè)入到A3的距離為4,巳到A8

|一也十刑

的距離為心則心福_能+詞SAFiAB_di_也_|一啦+

A/2S叢F[ABdo|7'+〃z||^/2+；M|

解得〃z=—3或〃z=—3陋（舍去）.

配套精練

A組夯基精練

一、單項選擇題

72

1.若直線iwc+ny=9和圓x2+/=9沒有交點，則過點（相，〃）的直線與橢圓，+第=1

的交點個數(shù)為（C）

A.1個B.至多一個

C.2個D.0個

2.已知直線y=—$+2與橢圓C：，十方=1（。＞6＞0）交于A,3兩點，線段AB的中

點為尸（2,1）,則橢圓C的離心率是（A）

A.坐

B.2

C.ID.1

1'II,yi-yii'-yi~y2

【解析】設(shè)斐）,則

AQi,yi）,8（x2,從而一^+一^=3故"二石

1,

。2（即+%2）由題意可得…會音―4b2

=4,…=2,則

22a2從而

a（yi+y2yi*4

GW

故橢圓C的離心率

22

3.（2024?張家口調(diào)研）已知橢圓，+g=l（a>b>0）的一條弦所在直線的方程是無一y+5

=0,弦的中點坐標(biāo)是M（—4,1）,則橢圓的離心率是（C）

A.1B.（

【解析】設(shè)直線％—y+5=0與橢圓”+%=1相交于A（M%）,5a2,>2）兩點.因為

”的中點為M（—4,1）,所以為+Q=—8,y+『2,易知直線回的斜率k?=1.

兩式相減得魚二平母+他二件過=。所以9Z?2X1+X2

a。x\—X2W丁1+》2’

所以占所以橢圓的離心率6=,='/1—1=孚?

vrICr\/Vr/

4.（2024?汕頭一模）如圖，設(shè)尸1，尸2分別是橢圓的左、右焦點，點尸是以尸1尸2為直徑的

圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，延長尸后與橢圓交于點Q,若|PB|=4|QF2|,則直線尸尸2

的斜率為（C）

1

A.

2

C.-2D.-3

【解析】如圖，連接PB,QFi,由點尸在以尸為直徑的圓上，故尸尸」尸尸2.又點尸，

Q在橢圓上，所以|尸胤+|尸尸2l=2a,|Q尸1|+|。局=2m設(shè)|。局=二貝||尸川=4|。刈=4w，

則有|尸。|=2。-4m+根=2。一3m，|BQ|=2。一1;n,則可得（4加p+Qa—3小）2=（2。一根門，解得

a=3m9故|「尸2|=2。-4加=2根，則tanNPF2F1==2,故左PF2=tan（兀一/尸/2月。=一

tanZPF2FI=—2.

（第4題答）

二、多項選擇題

5.已知橢圓總+]=1上不同的三點A(xi,yi),8(4,號，C(xi,")與焦點廠(4,0)的距

離成等差數(shù)列，若線段AC的垂直平分線與無軸的交點為T,則(AC)

A.%1+%2=8B.無I+X2=16

C.直線BT的斜率左=,4

D.直線87的斜率％=一5

由題意知|A/=、（xi—4）2+4=\/王一8xi+16+9—舞Y嘿^—8汨+25=

【解析】

,同理|CF|=4(|X2—5).因為山忌5,咫忌5,所以,一5<0,$2—5<0.又|AF|

44/9、418

+|CF|=2|BF|,所以5—尹i+5—尹2=2X（J—01所以10一下>1+兀2）=5，所以用+超=8,

故A正確，B錯誤.因為制+洶=8,所以設(shè)線段AC的中點為。(4,比).又A,C在橢圓上,

所以其+[=1①,裊百n②.由①一②得譬一章,所以兄9（?+冗2）

258+及）

黑!-=一惡，即以c=一惡，所以直線。T的斜率而r=一4=鬃，從而直線DT的

25X2yo23yoMC3O

方程為y—yo=(^(x—4).令y=0,得x=H，即蜴，0),所以直線BT的斜率左=點故C

正確，D錯誤.

6.(2025?嘉興期初)已知橢圓C：捻+%=1(46>0)的左、右焦點分別是人(一c,0),

F2(C,0),以FIF2為直徑的圓與C在第一象限交于點P,延長線段PF2交C于點。.若|尸人|

=2\QF.\,貝1」(ACD)

4/

A.|。/2|十|尸為1=1。尸i|B.SAPQF^—

C.橢圓C的離心率為由D.kQFi=一4

【解析】對于A,由橢圓的定義可得，|PB|+|PB|=2a,|Q碎+|QB|=2a.又|PEI=2|Q尸2|,

所以I。碼+IPRIT。尸11，故A正確；對于B,如圖，設(shè)|。尸2|=尤(尤>0),貝」『。2|=2乂因為1PBi

+\PF2\=2a,\QFt\+\QF2\=2a,所以|PR|=2a—2x,|QR|=2a—x.因為f內(nèi)為圓的直徑，所

以NQPQ=90。.在RtAPQ。中，|PBF+|PQ|2=|。尸if,即(2a—2t)2+(3x)2=(2a—尤產(chǎn),整理

112

2

得a=3無，所以S/\PQF^-\PQ\\PFl\^3x\2a-2x)^a,故B錯誤；對于C,在RtAPFiF2

中，|尸尸i|=2a—2x=,,|尸牙|=爭,所以|P尸iF+|P尸2『=|尸1/2巴即停)+停)=(24，解得

2a

即e=9，故C正確；對于D,在RtAPFiF2中，tanNPM凡在

T

RtAPFiQ中，tanNP尸1。=鼠=含號，所以tanN6/iQ=tan（NPRQ—/尸尸畫=

T

3_1

tanZPFiQ—tanZPF1F2422”…―八、,,川?、,

==,

1+tanZPFiQ-tanZPFIF21?31TT所以直線的斜率為'=tan（180。一/&“。）

1+4X2

2

=—tanNB/iQ=一五，故D正確.

三、填空題

7.（2024?婁底一模）已知橢圓C：/+%=1（。>6>0）的右焦點為P,下頂點為A,過A,

Q

方的直線/與橢圓。交于另一點8,若直線/的斜率為1,且|48|=?則橢圓。的標(biāo)準方程

22

為x與片V工

【解析】設(shè)尸（。，0）,由題意知，b=c,a=y[2c9直線/的方程為y=x—c,與橢圓C

4l4、歷8

的方程聯(lián)立化簡得3%2—4cx=0,所以%=0,切=下，故43|=也?陶一加=-c=g,解得

72

c=y[29所以b=巾,a=2,橢圓。的方程為彳+]=1.

（第7題答）

8.（2022.新高考I卷）已知橢圓C：務(wù)徐=l（a>b>0）,C的上頂點為A,兩個焦點分別

為R,F2,離心率為去過B且垂直于AB的直線與C交于。，E兩點，|D￡|=6,貝必&。￡

的周長是13.

p1

【解析】因為橢圓的離心率為e=；/,所以。=2c,所以62=°2—廿=3，，所以橢圓

72

的方程為公+玄=1,即3f+4y2—12,2=0.不妨設(shè)左焦點為西，右焦點為尸2,如圖，因為

-7T

\AF2\=a,\OF2\=C,a=2c,所以NABO=Q,所以為正三角形.因為過bi且垂直于

AB的直線與C交于O,E兩點，OE為線段A&的垂直平分線，所以直線QE的斜率為￥，

斜率倒數(shù)為小，直線DE的方程為x=，§y—c,代入橢圓方程3『十4V一12/=0,整理化簡

得13/-6^3cj-9^=0,判別式J=（6V3C）2+4X13X9C2=62X16XC2,所以|?！陓=

?\/1+（市）2|力—"|=2X興=2X6X4X==6,所以c=*得a=2c=呈因為DE為線段

的垂直平分線，根據(jù)對稱性，得|4。|=|。尸2|,|4月=|￡7囹，所以△ADE的周長等于

的周長，利用橢圓的定義得△BQE的周長為DF2I+EEI+1。￡|=DF2I+lEEl+|。肌I+\EFr\

=|DFi|+|DF2l+|E『il+|EF2l=2a+2a=4a=13.

四、解答題

9.己知4（—2,0）是橢圓M：胃十》=l（a>b>0）的左頂點，且M經(jīng)過點

（1）求橢圓M的方程；

。=2,,

【解答】依題意可得《7」27解得。=2,〃=3,所以橢圓M的方程為5+

國十荷-L

q=1

3L

（2）若直線/：y=A<x—1）與M交于A（xi，yi）,8（x2，刃）兩點，且；+J=—1,求弦AB

AlA2

的長.

定+q=]

【解答】聯(lián)立<43'消去y得（3+4產(chǎn)）/—8七+4（乃-3）=0,則無1+愈=

j=k（x-l）,

8爛4（^—3）

3+以2'為丁=3+4,?因為「=%（%—1）經(jīng)過定點（1，0），且點（1，0）在M的內(nèi)部，所以/>0

恒成立.由、+『二：：=4（滑3）=一1，解得％2=1,所以X1+X2=*X1X2=—?所以|AB|

(第9題答)

10.(2024?新高考I卷)已知A(0,3)和尸(3,|)為橢圓C：，+奈=l(a>b>0)上兩點.

(1)求C的離心率；

b=3,[/=9,/~p/—9

【解答】由題意得<9,9解得，\所以離心率2=1/1一卷

技=1，層=12,\laU

1

2-

(2)若過點尸的直線/交C于另一點3,且△ABP的面積為9,求/的方程.

3211

【解答】方法一：kAP=-=-^,則直線”的方程為尸一條+3,即x+2y—6=

(0-3)2+(3-2=號5由(1)知C：為+]=1，設(shè)點B到直線人尸的距離為d,

0,\AP\=

則d=1^=.,則將直線AP沿著與A尸垂直的方向平移萼個單位長度即可，此時該

2

\c+6\12-\/5

平行線與橢圓的交點即為點8,設(shè)該平行線的方程為x+2y+c=0,則,解得

小一5c

各*匕解得x=~3,

%=0,

=6或c=-18.當(dāng)c=6時，聯(lián)立〈L3或3即5(0,-

、x+2y+6=0,尸—》

，3、33

3)或(一3,一2.當(dāng)6(0,—3)時，此時左/=],直線/的方程為3,即3%—2廠6=0,

當(dāng)《一3,-I)時，此時吊=今1直線/的方程為

即x—2y=0；當(dāng)c=—18時，聯(lián)立

2

JJ,

<129'得2丁一27丫+117=0,/=272—4X2X117=-207<0,此時該直線與橢圓

x+2y-18=0

無交點.綜上，直線/的方程為3x—2y—6=0或x—2y=0.

方法二：同方法一得到直線AP的方程為x+2y-6=0,點B到直線AP的距離d=電后

(|xo+2yo-6|12小

-

5xo=3,

小=