2025年復(fù)數(shù)典型題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.復(fù)數(shù)\(z=3+4i\)（\(i\)為虛數(shù)單位）的模\(\vertz\vert\)是（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(7\)答案：C2.已知復(fù)數(shù)\(z_1=1+2i\)，\(z_2=3-i\)，則\(z_1+z_2\)等于（）A.\(4+i\)B.\(2+3i\)C.\(4+3i\)D.\(2+i\)答案：A3.復(fù)數(shù)\(z=\frac{2}{1-i}\)（\(i\)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)\(\overline{z}\)是（）A.\(1+i\)B.\(1-i\)C.\(-1+i\)D.\(-1-i\)答案：B4.若復(fù)數(shù)\(z\)滿足\(z(1+i)=2\)，則\(z\)的實(shí)部為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(2\)D.\(-2\)答案：A5.復(fù)數(shù)\(i(2-i)\)等于（）A.\(1+2i\)B.\(1-2i\)C.\(-1+2i\)D.\(-1-2i\)答案：A6.已知復(fù)數(shù)\(z\)滿足\(\vertz\vert=1\)，則\(z\)不可能是（）A.\(i\)B.\(1\)C.\(1+i\)D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\)答案：C7.復(fù)數(shù)\(z=\frac{1+i}{1-i}\)的虛部是（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(i\)答案：B8.若復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），且\(z^2=-3+4i\)，則\(z\)等于（）A.\(1+2i\)B.\(1-2i\)C.\(-1+2i\)D.\(-1-2i\)答案：A9.復(fù)數(shù)\(z=2-3i\)對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案：D10.已知復(fù)數(shù)\(z_1=2+3i\)，\(z_2=1-2i\)，則\(z_1z_2\)等于（）A.\(8-i\)B.\(8+i\)C.\(4-i\)D.\(4+i\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.以下關(guān)于復(fù)數(shù)的說法，正確的是（）A.復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），當(dāng)\(a=0\)時，\(z\)為純虛數(shù)B.若\(z_1,z_2\)為復(fù)數(shù)，且\(z_1^2+z_2^2=0\)，則\(z_1=z_2=0\)C.復(fù)數(shù)的模一定是非負(fù)實(shí)數(shù)D.兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實(shí)部和虛部分別相等答案：CD2.已知復(fù)數(shù)\(z=1+i\)，則（）A.\(z^2=2i\)B.\(\vertz\vert=\sqrt{2}\)C.\(z\)的共軛復(fù)數(shù)\(\overline{z}=1-i\)D.\(z\)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限答案：ABCD3.設(shè)復(fù)數(shù)\(z_1=a+bi\)，\(z_2=c+di\)（\(a,b,c,d\inR\)），則下列結(jié)論正確的是（）A.\(z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i\)B.\(z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i\)C.\(z_1z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i\)D.\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i\)（\(z_2\neq0\)）答案：ABCD4.下列復(fù)數(shù)中，滿足方程\(x^2+2=0\)的是（）A.\(x=\sqrt{2}i\)B.\(x=-\sqrt{2}i\)C.\(x=\sqrt{2}\)D.\(x=-\sqrt{2}\)答案：AB5.對于復(fù)數(shù)\(z\)，下列命題正確的是（）A.若\(z\)是實(shí)數(shù)，則\(z\)的虛部為\(0\)B.若\(z\)的虛部為非零實(shí)數(shù)，則\(z\)一定是虛數(shù)C.若\(z\)是純虛數(shù)，則其實(shí)部為\(0\)D.若\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），且\(a\gt0,b\gt0\)，則\(z\)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限答案：ABCD6.已知復(fù)數(shù)\(z\)滿足\(\vertz-1-i\vert=1\)，則\(z\)可能是（）A.\(1+i\)B.\(2+i\)C.\(1+2i\)D.\(i\)答案：AC7.以下復(fù)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A.\((1+i)^2=2i\)B.\((1-i)^2=-2i\)C.\(i^3=-i\)D.\(i^4=1\)答案：ABCD8.若復(fù)數(shù)\(z\)滿足\(z(1-i)=2\)，則（）A.\(z=1+i\)B.\(\vertz\vert=\sqrt{2}\)C.\(z\)的共軛復(fù)數(shù)\(\overline{z}=1-i\)D.\(z\)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限答案：ABCD9.設(shè)復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），則（）A.\(z\)為實(shí)數(shù)的充要條件是\(b=0\)B.\(z\)為純虛數(shù)的充要條件是\(a=0\)C.\(z\)的模\(\vertz\vert=\sqrt{a^2+b^2}\)D.\(z\)對應(yīng)的點(diǎn)\((a,b)\)在復(fù)平面內(nèi)答案：ACD10.已知復(fù)數(shù)\(z_1=3+4i\)，\(z_2=5-12i\)，則（）A.\(z_1+z_2=8-8i\)B.\(z_1-z_2=-2+16i\)C.\(z_1z_2=15+20i-36i-48i^2=63-16i\)D.\(\vertz_1\vert=5\)，\(\vertz_2\vert=13\)答案：ABCD三、判斷題1.復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），當(dāng)\(b=0\)時，\(z\)是實(shí)數(shù)。（）答案：對2.若\(z_1,z_2\)為復(fù)數(shù)，且\(\vertz_1\vert=\vertz_2\vert\)，則\(z_1=z_2\)。（）答案：錯3.復(fù)數(shù)\(i\)的平方等于\(-1\)。（）答案：對4.兩個共軛復(fù)數(shù)的和一定是實(shí)數(shù)。（）答案：對5.復(fù)數(shù)\(z\)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為\((a,b)\)，則\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）。（）答案：對6.若復(fù)數(shù)\(z\)滿足\(z^2\lt0\)，則\(z\)一定是純虛數(shù)。（）答案：對7.復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律。（）答案：對8.復(fù)數(shù)\(z=0\)的實(shí)部和虛部都為\(0\)。（）答案：對9.若\(z\)是復(fù)數(shù)，則\(\vertz\vert^2=z\overline{z}\)。（）答案：對10.復(fù)數(shù)\(z_1=1+2i\)，\(z_2=2+i\)，則\(z_1\gtz_2\)。（）答案：錯四、簡答題1.已知復(fù)數(shù)\(z=\frac{2i}{1-i}\)，將其化簡并求出\(\vertz\vert\)。答案：先化簡\(z\)，\(z=\frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i+2i^2}{2}=\frac{2i-2}{2}=-1+i\)。然后求模，\(\vertz\vert=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}\)。2.設(shè)復(fù)數(shù)\(z_1=3+4i\)，\(z_2=1-2i\)，求\(z_1z_2\)。答案：根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則，\(z_1z_2=(3+4i)(1-2i)=3-6i+4i-8i^2\)。因?yàn)閈(i^2=-1\)，所以\(z_1z_2=3-6i+4i+8=11-2i\)。3.已知復(fù)數(shù)\(z\)滿足\((1+2i)z=4+3i\)，求\(z\)。答案：由\((1+2i)z=4+3i\)，可得\(z=\frac{4+3i}{1+2i}\)。分子分母同時乘以\(1-2i\)進(jìn)行化簡，\(z=\frac{(4+3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{4-8i+3i-6i^2}{5}=\frac{4-5i+6}{5}=2-i\)。4.復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），若\(z+\overline{z}=4\)，\(z-\overline{z}=2i\)，求\(z\)。答案：已知\(z=a+bi\)，\(\overline{z}=a-bi\)。\(z+\overline{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a\)，由\(z+\overline{z}=4\)，得\(2a=4\)，即\(a=2\)。\(z-\overline{z}=(a+bi)-(a-bi)=2bi\)，由\(z-\overline{z}=2i\)，得\(2b=2\)，即\(b=1\)。所以\(z=2+i\)。五、討論題1.討論復(fù)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，舉例說明。答案：復(fù)數(shù)在實(shí)際生活中有廣泛應(yīng)用。在交流電中，電流、電壓等物理量常用復(fù)數(shù)表示。例如，交流電路中的阻抗，電阻、電感和電容對電流的阻礙作用可以用復(fù)數(shù)形式來準(zhǔn)確描述。通過復(fù)數(shù)運(yùn)算能方便地分析電路中電流、電壓的關(guān)系。在信號處理領(lǐng)域，如傅里葉變換中也會用到復(fù)數(shù)，將時域信號轉(zhuǎn)換到頻域，便于分析信號的頻率特性等，幫助工程師設(shè)計(jì)更好的通信系統(tǒng)等。2.探討共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)及其在復(fù)數(shù)運(yùn)算中的作用。答案：共軛復(fù)數(shù)有諸多性質(zhì)。若\(z=a+bi\)，\(\overline{z}=a-bi\)，則\(z+\overline{z}=2a\)為實(shí)數(shù)，\(z\overline{z}=a^2+b^2=\vertz\vert^2\)。在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，利用共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)可簡化運(yùn)算。比如在除法運(yùn)算中，將分母實(shí)數(shù)化，分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)。在求解一些復(fù)數(shù)方程時，共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)也能幫助我們找到解題思路，確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部關(guān)系。3.分析復(fù)數(shù)的模的幾何意義，并舉例說明其應(yīng)用。答案：復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)的模\(\vertz\vert=\sqrt{a^2+b^2}\)，其幾何意義是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)\(z\)的點(diǎn)\(Z(a,b)\)到原點(diǎn)的距離。例如在解決平面上兩點(diǎn)間距離問題時，若把兩點(diǎn)坐標(biāo)看成兩個復(fù)數(shù)，兩點(diǎn)間距離就等于這兩個復(fù)數(shù)差的模。在物理中，向量也可用復(fù)數(shù)表示，向量的模就對應(yīng)復(fù)數(shù)的模，可用于計(jì)算力、速度等向量的大小。4.研究復(fù)數(shù)相等的條件在解決復(fù)數(shù)方程問題中的重要性。答案：復(fù)數(shù)相等的條件是