內(nèi)生斷點(diǎn)回歸模型的估計(jì)方法一、引言：從因果推斷到內(nèi)生斷點(diǎn)回歸的需求在因果推斷的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)工具箱里，斷點(diǎn)回歸（RegressionDiscontinuityDesign,RDD）一直被視為“準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)”方法的典范。它通過一個連續(xù)的“強(qiáng)迫變量”（RunningVariable）在某個臨界點(diǎn)（Cutoff）處的跳躍，識別處理效應(yīng)（TreatmentEffect）。比如，研究獎學(xué)金對學(xué)生成績的影響時，若以考試分?jǐn)?shù)為強(qiáng)迫變量，設(shè)定分?jǐn)?shù)超過60分可獲得獎學(xué)金，那么60分上下的學(xué)生群體在理論上應(yīng)接近隨機(jī)分配，從而可以通過比較臨界點(diǎn)附近的結(jié)果變量差異，估計(jì)獎學(xué)金的因果效應(yīng)。但現(xiàn)實(shí)中，這種“理想狀態(tài)”常被打破。我曾參與一個教育政策評估項(xiàng)目，原本想用斷點(diǎn)回歸分析“某分?jǐn)?shù)線政策對高校錄取率的影響”，卻發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生為了達(dá)到分?jǐn)?shù)線，刻意調(diào)整選考科目或申請策略，導(dǎo)致強(qiáng)迫變量（高考分?jǐn)?shù)）與未觀測因素（如學(xué)習(xí)動機(jī)、家庭資源）產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。這時候，傳統(tǒng)斷點(diǎn)回歸的“局部隨機(jī)化”假設(shè)不再成立，處理變量（是否達(dá)到分?jǐn)?shù)線）與誤差項(xiàng)存在內(nèi)生性，估計(jì)結(jié)果會出現(xiàn)偏差。這種情況下，內(nèi)生斷點(diǎn)回歸（EndogenousRegressionDiscontinuity,ERD）便成為解決問題的關(guān)鍵工具。二、傳統(tǒng)斷點(diǎn)回歸的邏輯與內(nèi)生性挑戰(zhàn)2.1傳統(tǒng)斷點(diǎn)回歸的基本邏輯要理解內(nèi)生斷點(diǎn)回歸，首先需要回顧傳統(tǒng)斷點(diǎn)回歸的核心邏輯。其核心假設(shè)是：在臨界點(diǎn)附近，個體無法精確操縱強(qiáng)迫變量，因此處理組（強(qiáng)迫變量≥臨界點(diǎn)）與控制組（強(qiáng)迫變量<臨界點(diǎn)）的個體在未觀測特征上是平衡的，處理變量可視為“局部隨機(jī)”分配。此時，處理效應(yīng)可通過比較臨界點(diǎn)左右兩側(cè)結(jié)果變量的跳躍幅度來估計(jì)。具體來說，設(shè)強(qiáng)迫變量為(X)，臨界點(diǎn)為(c)，處理變量(D=1)當(dāng)且僅當(dāng)(Xc)，結(jié)果變量為(Y)。傳統(tǒng)斷點(diǎn)回歸的模型通常表示為：[Y_i=+D_i+f(X_i-c)+_i]其中(f())是控制強(qiáng)迫變量非線性關(guān)系的函數(shù)（如線性、二次多項(xiàng)式或核函數(shù)），()即為待估計(jì)的處理效應(yīng)。估計(jì)方法包括局部線性回歸（LLR）、多項(xiàng)式回歸、核回歸等，核心是通過控制強(qiáng)迫變量的光滑變化，分離出處理變量帶來的跳躍。2.2內(nèi)生性的來源與影響然而，現(xiàn)實(shí)中存在三類常見的內(nèi)生性來源，使得傳統(tǒng)斷點(diǎn)回歸的假設(shè)不成立：第一類是強(qiáng)迫變量的操縱。當(dāng)個體能通過主觀努力或策略性行為影響強(qiáng)迫變量時（如學(xué)生調(diào)整考試策略提高分?jǐn)?shù)、企業(yè)調(diào)整財(cái)務(wù)指標(biāo)達(dá)到政策門檻），臨界點(diǎn)附近的個體分布會出現(xiàn)“堆積”（Bunching）或“缺失”（Missing）。例如，某稅收優(yōu)惠政策以年利潤500萬為臨界點(diǎn)，企業(yè)可能通過調(diào)整費(fèi)用列支使利潤剛好不超過500萬，導(dǎo)致500萬左側(cè)的企業(yè)數(shù)量異常增多，破壞局部隨機(jī)化。第二類是遺漏變量與處理變量的相關(guān)。即使強(qiáng)迫變量無法被精確操縱，可能存在未觀測的混雜變量（如個體能力、家庭背景）同時影響強(qiáng)迫變量和結(jié)果變量。例如，研究“重點(diǎn)班錄取對學(xué)生成績的影響”時，若學(xué)校在錄取時除了看考試分?jǐn)?shù)（強(qiáng)迫變量），還參考了未記錄的競賽成績（遺漏變量），而競賽成績又與后續(xù)成績相關(guān)，此時處理變量（是否進(jìn)重點(diǎn)班）與誤差項(xiàng)相關(guān)，導(dǎo)致估計(jì)偏誤。第三類是測量誤差。若強(qiáng)迫變量或結(jié)果變量存在測量誤差（如調(diào)查數(shù)據(jù)中的回憶偏差、行政記錄的登記錯誤），可能導(dǎo)致處理變量的錯誤分類（如本應(yīng)屬于處理組的個體被誤判為控制組），進(jìn)而產(chǎn)生內(nèi)生性。例如，以“年齡”為強(qiáng)迫變量研究退休政策影響時，若部分個體的身份證年齡與真實(shí)年齡不符，臨界點(diǎn)附近的分組會出現(xiàn)偏差。內(nèi)生性的存在會導(dǎo)致傳統(tǒng)斷點(diǎn)回歸的估計(jì)量（如()）出現(xiàn)偏差，甚至完全失效。例如，在操縱強(qiáng)迫變量的情況下，臨界點(diǎn)左側(cè)的個體可能比右側(cè)更“聰明”或更“努力”，此時比較兩者的結(jié)果差異，可能將個體特征差異誤判為處理效應(yīng)。三、內(nèi)生斷點(diǎn)回歸的核心估計(jì)方法針對上述內(nèi)生性問題，學(xué)者們發(fā)展了多種估計(jì)方法。這些方法的共同思路是：通過引入額外信息或調(diào)整模型設(shè)定，將處理變量的內(nèi)生部分分離出來，從而識別出因果效應(yīng)。以下是最常用的四類方法。3.1工具變量法（IV-ERD）工具變量法是處理內(nèi)生性的經(jīng)典手段，其核心是找到一個與處理變量相關(guān)但與誤差項(xiàng)無關(guān)的工具變量（InstrumentalVariable,IV）。在內(nèi)生斷點(diǎn)回歸中，工具變量通常需滿足兩個條件：一是相關(guān)性，工具變量能顯著影響處理變量；二是外生性，工具變量僅通過處理變量影響結(jié)果變量，與誤差項(xiàng)無關(guān)。3.1.1工具變量的構(gòu)造策略常見的工具變量構(gòu)造策略包括：（1）外生沖擊下的強(qiáng)迫變量變化。例如，在研究“高考加分政策對錄取率的影響”時，若某年因政策調(diào)整，加分規(guī)則在某個分?jǐn)?shù)段（如480-500分）內(nèi)隨機(jī)變動（外生沖擊），則可將“是否屬于該分?jǐn)?shù)段”作為工具變量，因?yàn)樗鼤绊憣W(xué)生是否獲得加分（處理變量），但與學(xué)生能力（誤差項(xiàng)）無關(guān)。（2）高階強(qiáng)迫變量的函數(shù)。當(dāng)強(qiáng)迫變量(X)存在操縱時，操縱行為通常集中在臨界點(diǎn)附近的小范圍內(nèi)（如(X)），而遠(yuǎn)離臨界點(diǎn)的(X)值（如(X)或(X)）可能未被操縱。此時，可將遠(yuǎn)離臨界點(diǎn)的(X)值作為工具變量，因?yàn)樗鼈兣c處理變量（(Xc)）相關(guān)，但不受操縱行為的影響。（3）制度性斷點(diǎn)的交叉設(shè)計(jì)。若存在兩個獨(dú)立的臨界點(diǎn)（如同一政策在不同地區(qū)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)不同），可利用“雙斷點(diǎn)”構(gòu)造工具變量。例如，研究“最低生活保障政策對家庭消費(fèi)的影響”時，若A地區(qū)的低保線為月收入3000元，B地區(qū)為3500元，則可將“地區(qū)×收入與低保線的距離”作為工具變量，通過跨地區(qū)比較分離出內(nèi)生性。3.1.2估計(jì)步驟與注意事項(xiàng)工具變量法的具體步驟通常為：第一階段回歸：將處理變量(D)對工具變量(Z)和強(qiáng)迫變量的函數(shù)(f(X))進(jìn)行回歸，得到擬合值()。第二階段回歸：將結(jié)果變量(Y)對()和(f(X))進(jìn)行回歸，估計(jì)處理效應(yīng)()。需要注意的是，工具變量法可能面臨“弱工具變量”問題（即工具變量與處理變量的相關(guān)性較弱），這會導(dǎo)致估計(jì)量的偏差增大。此時可通過統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)（如Cragg-DonaldWaldF統(tǒng)計(jì)量）判斷工具變量的強(qiáng)度，若F值小于10，通常認(rèn)為工具變量過弱，需尋找更強(qiáng)的工具變量。3.2控制函數(shù)法（ControlFunctionApproach）控制函數(shù)法的思路是：將處理變量的內(nèi)生部分表示為某個函數(shù)（控制函數(shù)），并將其納入回歸模型，從而消除內(nèi)生性偏誤。具體來說，若處理變量(D)與誤差項(xiàng)()的相關(guān)源于(D)包含一個未觀測的內(nèi)生成分(v)，則可通過估計(jì)(v)的條件期望（控制函數(shù)），并將其作為額外解釋變量加入模型。3.2.1模型設(shè)定與估計(jì)假設(shè)處理變量(D)的生成過程為：[D_i=g(X_i,Z_i)+v_i]其中(Z_i)是外生變量，(v_i)是內(nèi)生成分（與(_i)相關(guān)）。結(jié)果變量模型為：[Y_i=+D_i+f(X_i)+_i]由于(v_i)與(_i)相關(guān)，直接回歸會導(dǎo)致偏誤?？刂坪瘮?shù)法通過將(v_i)的估計(jì)值（如第一階段回歸的殘差）加入結(jié)果方程，得到：[Y_i=+D_i+f(X_i)+_i+_i^*]其中(_i)是第一階段回歸的殘差，()是控制函數(shù)的系數(shù)。若()顯著不為零，說明存在內(nèi)生性；若()不顯著，則可認(rèn)為內(nèi)生性已被控制。3.2.2應(yīng)用場景與優(yōu)勢控制函數(shù)法適用于內(nèi)生性來源明確（如已知處理變量的生成過程）的場景，例如當(dāng)處理變量的操縱行為可通過某種函數(shù)形式（如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)）近似時。其優(yōu)勢在于無需尋找外部工具變量，僅需利用模型內(nèi)部信息即可控制內(nèi)生性，因此在工具變量難以構(gòu)造的情況下更為實(shí)用。3.3匹配斷點(diǎn)回歸（MatchingRDD）匹配法通過在臨界點(diǎn)附近尋找“相似”的處理組與控制組個體，減少未觀測特征的差異，從而緩解內(nèi)生性。其核心是基于強(qiáng)迫變量和其他可觀測協(xié)變量，為每個處理組個體匹配一個或多個控制組個體，使得匹配后的兩組在協(xié)變量分布上盡可能平衡。3.3.1匹配策略的選擇常見的匹配策略包括：半徑匹配：僅匹配強(qiáng)迫變量與臨界點(diǎn)距離在某個半徑內(nèi)的個體（如(|X_i-c|)），確保匹配范圍足夠小，減少操縱可能。核匹配：根據(jù)強(qiáng)迫變量與臨界點(diǎn)的距離賦予不同權(quán)重（距離越近權(quán)重越大），加權(quán)后比較結(jié)果變量的差異。傾向得分匹配：先估計(jì)個體接受處理的概率（傾向得分），再根據(jù)傾向得分進(jìn)行匹配，控制可觀測協(xié)變量的影響。3.3.2與傳統(tǒng)斷點(diǎn)回歸的結(jié)合匹配斷點(diǎn)回歸通常與局部線性回歸結(jié)合使用。例如，先通過半徑匹配限定樣本范圍（如(X)），再在匹配后的樣本中進(jìn)行局部線性回歸，估計(jì)處理效應(yīng)。這種方法尤其適用于強(qiáng)迫變量分布不均勻（如存在多個堆積點(diǎn)）的情況，通過匹配可剔除異常值，提高估計(jì)精度。3.4動態(tài)斷點(diǎn)回歸（DynamicRDD）對于長期因果效應(yīng)的估計(jì)（如政策對個體未來5年收入的影響），內(nèi)生性可能隨時間變化（如個體在處理后調(diào)整行為，導(dǎo)致后續(xù)強(qiáng)迫變量與誤差項(xiàng)相關(guān)）。動態(tài)斷點(diǎn)回歸通過引入時間維度，將模型擴(kuò)展為：[Y_{it}=+_{k=-T}^{T}kD_iI(t=c+k)+f(X_i,t)+{it}]其中(t)為時間，(I())為指示函數(shù)，(_k)表示處理后第(k)期的效應(yīng)。通過估計(jì)不同時間點(diǎn)的(_k)，可以觀察處理效應(yīng)的動態(tài)變化，并檢驗(yàn)內(nèi)生性是否隨時間減弱（如操縱行為僅在短期內(nèi)存在）。四、內(nèi)生斷點(diǎn)回歸的識別假設(shè)與檢驗(yàn)4.1關(guān)鍵識別假設(shè)無論采用哪種方法，內(nèi)生斷點(diǎn)回歸都需滿足以下核心假設(shè)：局部不可操縱性：盡管存在一定程度的操縱，但在臨界點(diǎn)的一個足夠小的鄰域內(nèi)（如(X)），個體無法精確操縱強(qiáng)迫變量，使得處理組與控制組的未觀測特征趨于平衡。這一假設(shè)可通過McCrary檢驗(yàn)（檢驗(yàn)強(qiáng)迫變量在臨界點(diǎn)的密度函數(shù)是否連續(xù)）進(jìn)行驗(yàn)證。工具變量的外生性與相關(guān)性（針對IV-ERD）：工具變量僅通過處理變量影響結(jié)果變量，且與處理變量高度相關(guān)。外生性通常無法直接檢驗(yàn)，但可通過過度識別檢驗(yàn)（如Sargan檢驗(yàn)）間接驗(yàn)證；相關(guān)性可通過第一階段回歸的F統(tǒng)計(jì)量判斷?？刂坪瘮?shù)的正確設(shè)定（針對控制函數(shù)法）：控制函數(shù)需包含處理變量內(nèi)生部分的所有相關(guān)信息，否則會導(dǎo)致遺漏變量偏誤。實(shí)際應(yīng)用中，可通過加入高階項(xiàng)（如殘差的平方、立方）檢驗(yàn)函數(shù)形式是否合理。4.2穩(wěn)健性檢驗(yàn)方法為確保估計(jì)結(jié)果的可靠性，需進(jìn)行以下檢驗(yàn)：操縱檢驗(yàn)：使用McCrary檢驗(yàn)檢查強(qiáng)迫變量在臨界點(diǎn)的密度是否連續(xù)。若密度函數(shù)在臨界點(diǎn)左側(cè)顯著高于右側(cè)（堆積）或右側(cè)顯著高于左側(cè)（缺失），說明存在操縱，需縮小樣本范圍（如僅保留(|X-c|<0.1)的個體）或采用內(nèi)生斷點(diǎn)回歸方法。安慰劑檢驗(yàn)：選擇一個虛構(gòu)的臨界點(diǎn)（如(c’c)），若在虛構(gòu)臨界點(diǎn)處估計(jì)的處理效應(yīng)顯著不為零，說明存在未控制的混雜因素，原估計(jì)結(jié)果不可信。協(xié)變量平衡檢驗(yàn)：檢查處理組與控制組在可觀測協(xié)變量（如年齡、性別、家庭收入）上的分布是否平衡。若協(xié)變量在臨界點(diǎn)附近存在顯著差異，說明存在內(nèi)生性，需調(diào)整模型設(shè)定（如加入?yún)f(xié)變量作為控制變量）。帶寬敏感性檢驗(yàn)：使用不同的帶寬（如(=0.5,1.0,1.5)）重新估計(jì)處理效應(yīng)，若結(jié)果穩(wěn)定，說明估計(jì)結(jié)果對帶寬選擇不敏感；若結(jié)果變化較大，需進(jìn)一步分析原因（如操縱行為隨帶寬擴(kuò)大而增強(qiáng)）。五、應(yīng)用實(shí)例：某教育政策的內(nèi)生斷點(diǎn)回歸分析為更直觀地理解內(nèi)生斷點(diǎn)回歸的應(yīng)用，這里以一個虛構(gòu)的教育政策評估項(xiàng)目為例。5.1研究背景與問題某地區(qū)推行“優(yōu)質(zhì)高中定向生政策”，規(guī)定初中畢業(yè)生中考分?jǐn)?shù)達(dá)到“統(tǒng)招線”（設(shè)為(c=580)分）的學(xué)生可直接錄取優(yōu)質(zhì)高中（處理組），分?jǐn)?shù)在“定向線”（(c’=550)分）至統(tǒng)招線之間的學(xué)生（控制組）需通過校內(nèi)競爭獲得定向名額。但實(shí)際中，部分初中為提高定向生名額，可能通過調(diào)整平時成績（影響中考分?jǐn)?shù)）使更多學(xué)生集中在550-580分區(qū)間，導(dǎo)致強(qiáng)迫變量（中考分?jǐn)?shù)）存在操縱，傳統(tǒng)斷點(diǎn)回歸的局部隨機(jī)化假設(shè)不成立。5.2模型設(shè)定與估計(jì)研究團(tuán)隊(duì)采用工具變量法進(jìn)行內(nèi)生斷點(diǎn)回歸：工具變量構(gòu)造：由于政策規(guī)定“定向生名額分配與初中近三年畢業(yè)生人數(shù)掛鉤”，而畢業(yè)生人數(shù)是外生的（由學(xué)區(qū)劃分決定，與學(xué)生成績無關(guān)），因此將“初中近三年畢業(yè)生人數(shù)”作為工具變量(Z)，該變量會影響學(xué)校是否有動機(jī)操縱中考分?jǐn)?shù)（處理變量(D)），但與學(xué)生真實(shí)能力（誤差項(xiàng)）無關(guān)。第一階段回歸：將處理變量(D)（是否達(dá)到統(tǒng)招線）對工具變量(Z)和強(qiáng)迫變量的線性函數(shù)((X-580))進(jìn)行回歸，得到擬合值()。結(jié)果顯示，工具變量的系數(shù)顯著（p<0.01），F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量為25，說明工具變量強(qiáng)度足夠。第二階段回歸：將結(jié)果變量(Y)（高考一本上線率）對()和((X-580))進(jìn)行回歸，估計(jì)得到處理效應(yīng)()（即優(yōu)質(zhì)高中錄取使一本上線率提高12個百分點(diǎn)）。5.3檢驗(yàn)與結(jié)果驗(yàn)證操縱檢驗(yàn)：McCrary檢驗(yàn)顯示，中考分?jǐn)?shù)在580