23.3.3相似三角形的性質(zhì)（難點(diǎn)練）一、單選題1．（2021·山東濰坊市·）如圖，四邊形ABCD為菱形，BF∥AC，DF交AC的延長線于點(diǎn)E，交BF于點(diǎn)F，且CE：AC＝1：2．則下列結(jié)論不正確的有（）A．△ABE≌△ADE； B．∠CBE＝∠CDF；C．DE＝FE； D．S△BCE：S四邊形ABFD＝1：9【答案】D【分析】由四邊形ABCD為菱形，AB=AD，∠BAC=∠DAC，可證可判定A；由，可得∠ABE=∠ADE，由四邊形ABCD為菱形，可得∠ABC=∠ADC，利用等角之差∠CBE=∠CDE，可判定B；連結(jié)BD交AC于O，四邊形ABCD為菱形，可得BD=2OD，可證△DOE∽△DBF，可證，可判定C；根據(jù)OE為△DBF的中位線，△DOE∽△DBF，可得，由CE：AC＝1：2．可得S△BOA=S△BOC=S△BCE=S△ADO，S△DOE=2S△BCE，可求可判定D．【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，∴在△ABE和△ADE中，，∴故選項(xiàng)A正確；∵∴∠ABE=∠ADE，∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ABC=∠ADC，∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=∠ADE-∠ADC=∠CDE，故選項(xiàng)B正確；連結(jié)BD交AC于O，∵四邊形ABCD為菱形，∴DO=BO，OE⊥BD，∴BD=2OD，∵BF∥AE，∴∠DOE=∠DBF，∠DEO=∠F，∴△DOE∽△DBF，∴，∴，∴，∴，故選項(xiàng)C正確；∵DO=OB，DE=EF，∴OE為△DBF的中位線，∴BF=2OE，∵△DOE∽△DBF，∴∴∵CE：AC＝1：2．∴AC=2CE，∴AO=OC=CE，∴S△BOA=S△BOC=S△BCE=S△ADO，∴S△DOE=2S△BCE，∴故選項(xiàng)D不正確．故選擇D．【點(diǎn)睛】本題考查菱形性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，三角形面積與四邊形面積，掌握菱形性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，三角形面積與四邊形面積是解題關(guān)鍵．2．（2021·山東濱州·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)C為邊AB上一點(diǎn)，且．如果函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C，那么用下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)，在直線BC上的是（）A．（-2019，674） B．（-2020，675）C．（2021，-669） D．（2022，-670）【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫出BC解析式，再判斷點(diǎn)在BC上．【詳解】解：作，，，，設(shè)，，或（舍去），，，．，，，，，，，圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，設(shè)的解析式為，，解得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的性質(zhì)，能求出的解析式是解題的關(guān)鍵．3．（2021·廣東）如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，連接，作，交雙曲線于點(diǎn)B，連接．若，則k的值為（）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，設(shè)OA=3a，AB=5a，得到OB=4a，過點(diǎn)A作AC⊥x軸，過點(diǎn)B作BD⊥x軸，證明△ACO∽△ODB，得到，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，），求出，，得到A（-，），代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴,∵，∴設(shè)OA=3a，AB=5a，∴OB=4a，過點(diǎn)A作AC⊥x軸，過點(diǎn)B作BD⊥x軸，則，∵，，∴，∴△ACO∽△ODB，∴，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，），∴OD=x，BD=，∴，,∴A（-，），∵點(diǎn)A在雙曲線上，∴，故選：D．．【點(diǎn)睛】此題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，相似三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理的運(yùn)用，正確引出輔助線證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．4．（2021·黑龍江佳木斯市·）如圖，在正方形ABCD中，M是AB上一動(dòng)點(diǎn)，E是CM的中點(diǎn)，AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得EF，連接DE，DF，CF．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的序號是（）A．①②③ B．①③④C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】延長AE交DC的延長線于點(diǎn)H，由“AAS”可證△AME≌△HCE，可得AE=EH，由直角三角形的性質(zhì)可得AE=EF=EH，可判斷①；由四邊形內(nèi)角和定理可求2∠ADE+2∠EDF=270°，可得∠ADF=135°，可判斷②；M為AB上動(dòng)點(diǎn)，∠AEM為動(dòng)態(tài)變化的角，可判斷③；連接AC，證明△DCF∽△ACM，即可得到∠DCF=∠ACM，即可判斷④．【詳解】解：如圖，延長AE交DC的延長線于點(diǎn)H，∵點(diǎn)E是CM的中點(diǎn)，∴ME=EC，∵AB∥CD，∴∠MAE=∠H，∠AME=∠HCE，∴△AME≌△HCE（AAS），∴AE=EH，又∵∠ADH=90°，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知，∴DE=AE=EH，∵AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，∴AE=EF，∠AEF=90°，∴AE=DE=EF，故①正確；∵AE=DE=EF，∴∠DAE=∠ADE，∠EDF=∠EFD，∵∠AEF+∠DAE+∠ADE+∠EDF+∠EFD=360°，∴2∠ADE+2∠EDF=270°，∴∠ADF=135°，∴∠CDF=∠ADF-∠ADC=135°-90°=45°，故②正確；假如③正確，則∠AEM=∠FEC=(180°-∠AEF)÷2=45°，為確定的大小，由于M為AB上動(dòng)點(diǎn)，則∠AEM為一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的值，故③錯(cuò)誤；連接AC，過PE⊥AD，F(xiàn)N⊥PE交CD于Q點(diǎn)，如下圖所示：∵∠FEN+∠AEP=90°，∠EAP+∠AEP=90°，∴∠FEN=∠EAP，且∠APE=∠ENF=90°，EA=EF，∴△APE≌△ENF(AAS)，∴AP=NE，∵AM∥PE∥DC，且E是MC的中點(diǎn)，∴PE是梯形AMCD的中位線，∴，又PE=PN+NE，∴PN=AM，又PN=DQ，∠QDF=45°，∠DQF=90°，∴△DQF為等腰直角三角形，∴DF=DQ=PN=AM，∴，在等腰直角△ACD中，，∴，且∠CDF=∠MAC=45°，∴△CDF∽△，∴∠DCF=∠MCA，∴+∠MCA=∠BCM+∠DCF=∠BCA=45°，故④正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，矩形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，梯形中位線的定理等知識，綜合性較強(qiáng)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．5．（2021·四川宜賓·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E、F分別在矩形的邊AB、AD上，將矩形紙片沿CE、CF折疊，點(diǎn)B落在H處，點(diǎn)D落在G處，點(diǎn)C、H、G恰好在同一直線上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，則DF的長是（）A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】構(gòu)造如圖所示的正方形，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解直角三角形FNP即可．【詳解】如圖，延長CE，F(xiàn)G交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作，延長交于，∴∠CMN=∠DPN=90°，∴四邊形CMPD是矩形，根據(jù)折疊，∠MCN=∠GCN，CD=CG，，∵∠CMN=∠CGN=90°，CN=CN，∴，∴，四邊形為正方形，∴，∴，，，，設(shè),則，在中，由可得解得；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形，勾股定理等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，難度較大．作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2021·蘇州市金閶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校）如圖，正方形邊長為8，為中點(diǎn)，線段在邊上從左向右以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，，從點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)開始計(jì)時(shí)，到點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，連結(jié)，在運(yùn)動(dòng)過程中，下列4個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②只有當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)構(gòu)成的三角形與相似；③四邊形的周長最小等于；④四邊形的面積最大等于38．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)“SAS”即可判斷①；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式，即可判斷②，用含t的代數(shù)式表示出EP+BQ，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式以及對稱性，即可求出EP+BQ的最小值，進(jìn)而即可判斷③；用含t的代數(shù)式表示四邊形的面積，結(jié)合，即可判斷④．【詳解】解：由題意得：當(dāng)時(shí)，CQ=8-3-1=4，AE=AD=×8=4，∴AE=CQ，∵在正方形中，∠A=∠C=90°，AB=CB，∴，故①正確；∵∠D=∠C=90°，∴點(diǎn)構(gòu)成的三角形與相似時(shí)，或，∴或，解得：或無解，∴②正確；∵EP=，BQ=∴EP+BQ可以看作是點(diǎn)(t，0)到點(diǎn)(0，4)與點(diǎn)(5，8)的距離之和，∴EP+BQ的最小值=點(diǎn)(0，-4)與點(diǎn)(5，8)的距離=，∴四邊形的周長最小值=BE+PQ+13=+3+13=，故③正確；∵四邊形的面積===，又∵，∴四邊形的面積最大值=，故④正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)以及兩點(diǎn)間的距離公式，掌握兩點(diǎn)間的距離公式以及相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2021·江蘇蘇州草橋中學(xué)）如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別在軸、軸上．當(dāng)點(diǎn)到所在直線距離最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)M作MB⊥AP，垂足為B，分析得出當(dāng)AB最小時(shí)，MB最大，過點(diǎn)P作PN⊥x軸，垂足為N，證明△PAN∽△AMO，得到AN=4PN，設(shè)PN=x，表示出點(diǎn)P坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)表達(dá)式，求出x值即可．【詳解】解：過點(diǎn)M作MB⊥AP，垂足為B，可知△AMB為直角三角形，∵AM固定不變，則當(dāng)AB最小時(shí)，MB最大，此時(shí)點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，過點(diǎn)P作PN⊥x軸，垂足為N，∵∠MAP=90°，∴∠PAN+∠MAO=90°，又∠PAN+∠APN=90°，∴∠MAO=∠APN，又∠PNA=∠MOA=90°，∴△PAN∽△AMO，∴，即，∴AN=4PN，∴ON=AO+AN=2+4PN，設(shè)PN=x，∴P（-2-4x，x），代入中，得：，解得：x=1或x=（舍），∴P（-6，1），故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)綜合，相似三角形的判定和性質(zhì)，最短距離，解題的關(guān)鍵是分析出MB最小時(shí)的位置情況，從而構(gòu)造相似三角形得到線段的關(guān)系．8．（2021·全國九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，直角三角形中，，于，于，則下列說法中正確的有（）個(gè)．①圖中有4個(gè)三角形與相似；②；③；④；⑤若，，則；⑥．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)題意，對選項(xiàng)逐一分析，即可得出結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)?，，所?90°，=90°，所以=90°，可得，所以，所以，即，故選項(xiàng)②正確；由題意，于，于E，所以=90°，，，，由相似的判定可知圖中有4個(gè)三角形與相似，分別是、、、，故選項(xiàng)①正確；因?yàn)?，所以∠A與∠B互余，于，于，∠BCD與∠B互余，∠CDE與∠DCE互余，∠DCE與∠BCD互余，所以，故選項(xiàng)③正確；因?yàn)?，于，于，根?jù)③中結(jié)論，所以，，因?yàn)?，所以，兩式相乘即可得，故選項(xiàng)④正確；若，，由勾股定理可得AB=5，利用等面積可得，故選項(xiàng)⑤錯(cuò)誤；因?yàn)镈E∥BC，所以，故選項(xiàng)⑥正確；5個(gè)正確，故答案為：D.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，余角的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.二、填空題9．（2021·四川省南部中學(xué)）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，CE平分∠BCD交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，連接OE．下列結(jié)論：①EO⊥AC；②S△AOD＝S△OCF；③AC∶BD＝∶7；④FB2＝OF?DF其中正確的是______．（填序號）【答案】①③④【分析】①正確．只要證明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位線定理即可判斷．②錯(cuò)誤．想辦法證明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判斷．③正確．設(shè)BC=BE=EC=a，求出AC，BD即可判斷．④正確．求出BF，OF，DF（用a表示），通過計(jì)算證明即可．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，平分，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，故①正確，，，，，，故②錯(cuò)誤，設(shè)，則，，，，，故③正確，，，，，，故④正確，故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題．10．（2021·四川九年級期末）黃金分割是指把一條線段分割為兩部分，使較短線段與較長線段的比等于較長線段與原線段的比，其比值等于．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G為邊BC延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AG交對角線BD于點(diǎn)H，△ADH的面積記為S1，四邊形DHCG的面積記為S2．如果點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，則的值為___．【答案】或．【分析】由AD∥BC，得△DHG的面積＝△AHB的面積，再由△AHB≌△CHB（SAS），得出S2＝△GBH的面積，然后證△ADH∽△GBH，得＝，分兩種情況：①點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，BC＞CG，則BC＝；②點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，BC＜CG，則BC＝；分別求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB，AD∥BC，∠ABH＝∠CBH＝45°，∴△ABD的面積＝△AGD的面積，又∵BH＝BH，∴△AHB≌△CHB（SAS），∴△AHB的面積＝△DHG的面積，∴S2＝△GBH的面積，∵AD∥BC，∴△ADH∽△GBH，∴＝（）2，分兩種情況：①點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，BC＞CG，則AD＝BC＝BG，∴＝（）2＝（）2＝；②點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，BC＜CG，則AD＝BC＝BG，∴＝（）2＝（）2＝；綜上所述，如果點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，則的值為或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積等知識；熟練掌握黃金分割的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2021·重慶酉陽·）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)，連接PD并將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段PE，PE交邊BC于點(diǎn)F，連接BE、DF．如果AB=2，PF平分，則BF=_______．【答案】【分析】如下圖所示，過點(diǎn)P作DE的垂線交于點(diǎn)G，則，得到，再進(jìn)一步證明，得到，則點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，且AB=2，得到AP=PB=1，通過△PBF∽△DAP，即可得到結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)P作DE的垂線交于點(diǎn)G，∵PF平分，，,∴，，在和中，∴≌（AAS）∴，又∵PD繞點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段PE，∴，∴，由直角三角形中的互余關(guān)系可得，，在和中，∴≌（AAS）∴，則，∵AB=2，∴AP=PB=1，∵FB⊥AB，DA⊥AB，∴，又∵∴△PBF∽△DAP，∴，∵PB=AP=1，DA=2，∴BF=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利于互余關(guān)系推導(dǎo)出三角形全等與相似是解題的關(guān)鍵．12．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校）如圖在矩形ABCD中，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，且滿足5AE＝13BE，將AED沿ED所在直線翻折，點(diǎn)A恰好落在線段BC上點(diǎn)處，連接AC交線段于點(diǎn)M，若AB的長為9，則的面積為_______．【答案】【分析】根據(jù)5AE＝13BE，AB＝9，得，，在Rt△A'BE中，由勾股定理得A'B＝6，易證△BEA'∽△CA'D，得CA'＝，可求出S△A'CD，又△AMD∽△CMA'，則，從而有S△A'CM＝S△A'CD，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵5AE＝13BE，AB＝9，∴，，∵將△AED沿ED所在直線翻折得△A'ED，∴A'E＝AE＝，∠EA'D＝90°，在Rt△A'BE中，由勾股定理得：A'B＝，∵∠BA'E+∠DA'C＝90°，∠BA'E+∠BEA'＝90°，∴∠DA'C＝∠BEA'，∴△BEA'∽△CA'D，∴，∴，∴CA'＝，A'D＝AD＝，S△A'CD＝，∵AD∥A'C，∴△AMD∽△CMA'，∴，∴S△A'CM＝S△A'CD＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)、三角形相似得到判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，求出S△A'CD是解題的關(guān)鍵．13．（2021·福建省同安第一中學(xué)九年級）如圖，函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與過原點(diǎn)O的直線相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是第一象限內(nèi)雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)），直線AM分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)，連接BM分別交x軸、y軸于點(diǎn)E、F．若，則________．【答案】【分析】過A作AG⊥y軸于G，MH⊥y軸于H，過B作BN⊥y軸于N，由點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得OA=OB，AG=BN，可證，可求，可得，由，可求即可【詳解】解：過A作AG⊥y軸于G，MH⊥y軸于H，過B作BN⊥y軸于N，如下圖：∵∴由題意可得：點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴OA=OB，AG=BN，∵BN⊥y軸，MH⊥y軸，AG⊥y軸∴∴，∴，∴，∴，∴故答案為2．【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，涉及了相似三角形的判定以及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2021·珠海市九洲中學(xué)九年級）如圖，正方形中，，，分別交、于、，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有__________．【答案】①③④【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)及，，易證△ABF≌△BGC，進(jìn)而可證AF⊥BG；由△BFN∽△BGC，可證得；由全等三角形性質(zhì)可得，轉(zhuǎn)化為，；延長AD、BG交于點(diǎn)H，易知△HDG∽△HAB，△BEM∽△HAM，可證明結(jié)論④正確．【詳解】∵正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，∴AB=BC=CD，∠ABC=∠C=90°，∴BE=EF=FC=BC，BF=BC，CG=CD=BC∴BF=CG，在△ABF和△BCG中，∴△ABF≌△BCG(SAS)，∴∠AFB=∠BGC，∵∠BGC+∠CBG=90°，∴∠AFB+∠CBG=90°，∴∠BNF=90°，∴AF⊥BG，故結(jié)論①正確；∵∠BNF=∠C，∠FBN=∠GBC，∴△BFN∽△BGC，∴，∴，故結(jié)論②錯(cuò)誤；∵△ABF≌△BCG，∴S△ABF=S△BCG，即：S△ABN+S△BNF=S△BNF+S四邊形CGNF，∴S四邊形CGNF=S△ABN，故結(jié)論③正確；延長AD、BG交于點(diǎn)H，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，CG=2GD，BE=BC，∴△HDG∽△HAB，△BEM∽△HAM，∴，，∴，∴，∴，∴，∴MG=BH－BM－HG=，∴；故結(jié)論④正確．即正確的有①③④．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題，有一定的難度，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是正確添加輔助線構(gòu)造相似三角形．15．（2021·貴陽市第十九中學(xué)九年級月考）如圖，在矩形中，點(diǎn)為邊上不與、重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，以為對稱軸折疊矩形，點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)分別是、，連接、，若，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長為___________．【答案】或【分析】分別令不同的內(nèi)角為直角，畫出相應(yīng)圖形，根據(jù)折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】∵矩形ABCD，∴AB=CD=3，BC=4，∠BCD=90°，∴，由折疊得：BE=EF，BN=NF，∠EBF=∠EFB，∠BEN=∠FEN,當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí)：①當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，則∠BEN=∠FEN=45°，不合題意；②當(dāng)∠EFD=90°時(shí)，如圖所示，∵∠EFN+∠DFC=90°，∠DFC+∠CDF=90°，∴∠EFN=∠CDF=∠EBN，又∵∠DCB=∠DCB=90°，∴∽，∴，設(shè)CN=x，則BN=NF=4－x，CF=x－(4－x)=2x－4，∴，∴，即；③當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，如圖所示，∵∠BDC+∠FDC=90°，∠BDC+∠DBC=90°，∴∠FDC=∠DBC，又∵∠DCB=∠DCF=90°，∴∽，∴，設(shè)CN=x，則BN=NF=4－x，CF=(4－x)－x=4－2x，∴，∴，即，綜上所述，CN的長為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，分情況畫出圖形，熟練運(yùn)用性質(zhì)及判定定理進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．16．（2021·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校）如圖，在正方形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為對角線上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，則正方形的邊長為_______cm．【答案】【分析】如圖，過F作于I點(diǎn)，連接FE和FA，得到設(shè)求出FE，AH，AG，證明得到最后求值即可．【詳解】如圖，過F作于I點(diǎn)，連接FE和FA，，四邊形為正方形，為BC的三等分點(diǎn)，為BC的三等分點(diǎn)，設(shè)為等腰直角三角形，為AE的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，是填空題壓軸題，考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是CE=

2BE，BF=2DF的利用以及這些性質(zhì)的熟記．三、解答題17．（2021·武漢第三寄宿中學(xué)九年級月考）如圖1，在中，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．問題解決：（1）①當(dāng)時(shí)，__________；②當(dāng)時(shí)，__________；（2）試判斷：當(dāng)，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．問題再探：（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至、、三點(diǎn)共線時(shí)，求得線段的長為___________．【答案】（1）①；②；（2）不變，證明見解析；（3）或【分析】問題解決：（1）①根據(jù)三角形中位線定理可得：BD=CD=BC=6，AE=CE=AC=，即可求出的值；②先求出BD，AE的長，即可求出的值；（2）證明△ECA∽△DCB，可得；問題再探：（3）分兩種情況討論，由矩形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)可求BD的長．【詳解】解：（1）①當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，∵點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，∴，，，∴．故答案為：．②如圖1．當(dāng)時(shí)，∵將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，∴，，∴，，∴．故答案為：．（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，的大小沒有變化，∵，∴，又∵，∴，∴．問題再探：（3）①如圖3，∵，，，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴．②如圖4．∵，，，∴，∵點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，∴，∴，由（2）可得，∴，綜上所述，或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了三角形的中位線定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，正確作出輔助線，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．18．（2021·江蘇鹽城·景山中學(xué)九年級月考）（背景）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，過點(diǎn)A的直線MN∥BC，點(diǎn)D是直線MN上的一動(dòng)點(diǎn)，將射線DB繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交線段AC于點(diǎn)P，使∠BDP＝∠BAC，試說明：DB＝DP．小麗提出了自己的想法：如圖2在線段AB上取一點(diǎn)F，使DA＝DF，通過證明△BDF≌△PDA可以解決問題．（嘗試）①請你幫助小麗完成說理過程．②若AC＝6，BC＝4，AD＝3，求AP的長．（拓展）如圖3，過點(diǎn)A的直線MN∥BC，AB＝3cm，AC＝4cm，點(diǎn)D是直線MN上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的一點(diǎn)，連接DP，使得∠BDP＝∠BAC，求的值．【答案】嘗試：①見解析②4或8；拓展：【分析】嘗試：①先后證明∠BDF=∠PDA和∠DBF=∠DPA即可利用“AAS”證明兩個(gè)三角形全等；②過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過點(diǎn)B作BT⊥AD于T，過點(diǎn)D作DK⊥AB于K，先求出BT的長從而求出DK的長，即可得到AF和BF的長，即可得到答案；拓展：類似于嘗試①中證全等的方法證明△BDF∽△PDA得到，再證明△ADF∽△BAC，．【詳解】解：嘗試：①∵M(jìn)N∥BC，∴∠DAB=∠ABC，∵AB=AC，DA=DF，∴∠ABC=∠ACB，∠DAF=∠DFA，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠DAF+∠DFA+∠ADF=180°，∴∠ADF=∠BAC=∠BDP，∴∠BDF+∠FDP=∠PDA+∠FDP，∴∠BDF=∠PDA，∵∠DOB=∠AOP，∠BDO=∠PAO，∴∠DBF=∠DPA，∵DA=DF，∴△BDF≌△PDA（AAS），∴BD=PD；②如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過點(diǎn)B作BT⊥AD于T，過點(diǎn)D作DK⊥AB于K，∵AD∥BC，BT⊥AD，AH⊥BC∴∠BTA=∠AHB=∠TBH=90°，∴四邊形BTAH是矩形，∴BT=AH，BH=AT，∵AB=AC，∴BH=CH=，∴，∵，∴，∵DA=DF，DK⊥AF，∴，∴，∴,∵△BDF≌△PDA，∴AP=BF=4；拓展：如圖所示，在AB上取一點(diǎn)F，使得∠ADF=∠CAB，設(shè)DP于AB交于O，∵∠BDP＝∠BAC，∴∠BDP＝∠ADF，即∠BDF+∠FDP=∠PDA+∠FDP，∴∠BDF=∠PDA，∵∠DOB=∠AOP，∠BDO=∠PAO，∠DBF=∠DPA，∴△BDF∽△PDA∴，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠ABC，∵∠ADF=∠BAC，∴△ADF∽△BAC，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形額性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠正確的作出輔助線進(jìn)行求解．19．（2021·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）九年級）如圖，正方形中，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)，重合），連結(jié)，過點(diǎn)作，，過點(diǎn)作直線，為垂足，連結(jié)，與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值；（3）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．【答案】（1）見解析；（2）2；（3）【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠B＝90°，再由EF⊥EC，EF＝EC，即可證明△PEF≌△BCE，即可得出答案；（2）過點(diǎn)F作FH⊥AD于H，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，證明四邊形APFH是正方形，再證明△FGH∽△CGD，應(yīng)用相似三角形性質(zhì)即可求出答案；（3）設(shè)BE＝b，則AE＝bx，AB＝b＋bx，再由△FGH∽△CGD，得出，進(jìn)而求得GH＝，AG＝，DG＝，再根據(jù)y＝，即可求得答案．【詳解】解：（1）∵正方形ABCD，∴∠B＝90°，∴∠BEC＋∠BCE＝90°，∵EF⊥EC，∵∠PEF＋∠BEC＝90°，∴∠PEF＝∠BCE，∵FP⊥AB，∴∠EPF＝90°，∴∠EPF＝∠B，∵EF＝EC，∴△PEF≌△BCE（AAS），∴PF＝BE；（2）如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AD于H，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝AB＝a，由（1）知△PEF≌△BCE，∴PF＝BE＝AB＝a，PE＝BC＝a，∴PA＝PE?AE＝a?a＝a，∵∠PAD＝∠APF＝∠AHF＝90°，PA＝PF，∴四邊形APFH是正方形，∴AH＝PF＝a，F(xiàn)H＝PA＝a，∴DH＝a，∵∠FHG＝∠D＝90°，∠FGH＝∠CGD，∴△FGH∽△CGD，∴，∴，∴GD＝DH＝×a＝a，∴AG＝AD?DG＝a，∴；（3）設(shè)BE＝b，則AE＝bx，AB＝b＋bx，∴PE＝BC＝CD＝AB＝b＋bx，AP＝BE＝PF＝AH＝FH＝b，∴DH＝AE＝bx，∵△FGH∽△CGD，∴，∴DG＝（1＋x）GH，∵GH＋DG＝DH，∴GH＋（1＋x）GH＝bx，∴GH＝，∴AG＝AH＋GH＝b＋＝，DG＝（1＋x）GH＝，∴y＝＝，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識，合理添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形．20．（2021·遼寧大連市·九年級期末）在中，，E為AC上一點(diǎn)，連接BE．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)F落在BC延長線上，求證：；（2）過點(diǎn)C作，垂足為P，連接AP并延長交BC于點(diǎn)Q．①如圖2，若，求證：；②如圖3，若，，，求AP的長（用含a、k的式子表示）．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②【分析】（1）延長交于點(diǎn)，根據(jù)互余得出角的關(guān)系，再利用垂直的定義解答即可；（2）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：（1）如圖1，延長交于點(diǎn)，由題可得：，，，，，，；（2）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，如圖2，，，，，，，，在與中，，，，，，，；（3）過作于，，，，，，，，，，【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)解答．21．（2021·如皋市實(shí)驗(yàn)初中）類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．（1）如圖1，在四邊形中，平分，，請說明四邊形是“等鄰邊四邊形”；（2）如圖2，在中，，，，并將沿的平分線方向平移得到，連接，，要使平移后的四邊形是“等鄰邊四邊形”，應(yīng)平移多少距離？（即線段的長）？請直接寫出平移的距離；（3）如圖3，“等鄰邊四邊形”中，，，，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系（用含的等式表示）．【答案】（1）見解析；（2）2或或；（3）【分析】（1）如圖1中，作DF⊥BC于F，DE⊥BA交BA的延長線于E．證明△D