6.基于模型的極值點(diǎn)偏移問題演進(jìn)例1.基本模型基本模型1函數(shù)，，，則：（1）；（2）；（3）；（4）.證明：（1）不妨設(shè).由得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，，，所以，.（2）令，，則.當(dāng)時(shí)，，得，于是在上單調(diào)遞減.所以.由得，即，故.由在上單調(diào)遞增得，所以.由得，于是.由不等式得，于是.所以.、（4）由得，于是.由對(duì)數(shù)平均不等式得，所以，.由得，.基本模型2函數(shù)，，，則（1）；（2）；（3）；（4）.證明：（1）不妨設(shè).由得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以.（3）由得，于是.由對(duì)數(shù)平均不等式，所以.由得，所以.由得.二．典例分析例1.已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，試證明：（1）；證明：由，若令，則可得：，故我們就將函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)統(tǒng)一表示了出來.（1）是容易證得！或者用對(duì)數(shù)均值不等式亦可（先證明）由，故由對(duì)均不等式可得：.則.（2）；證明：先證不等式左端：構(gòu)造函數(shù)，，所以，所以，，令，則，所以單調(diào)遞增，所以（1），所以，所以（1），即，，又，所以因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故原不等式得證．再證不等式右端，，，要證，，故構(gòu)造函數(shù)，，則，所以在單調(diào)遞減，．，，構(gòu)造函數(shù)，.下面證明，即證明，構(gòu)造函數(shù)，．在上恒成立，因此在遞增，從而，，在遞增，，，時(shí)，，單調(diào)遞增，，即．注：第二問就是含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題，此時(shí)，比值代換后對(duì)于參數(shù)似乎束手無策，但是利用偏差函數(shù)卻依然可以適用！若將上述偏移模型進(jìn)一步包裝，同時(shí)再考慮該模型中比值代換方法的優(yōu)勢(shì)，我們就可再衍生出下面一個(gè)問題：變式1.（2021?廣州一模）已知函數(shù)．（1）證明：曲線在點(diǎn)，（1）處的切線恒過定點(diǎn)；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，證明：．證明：（2），是的兩個(gè)零點(diǎn)，且，，可得，，令，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，令，則，則在上單調(diào)遞增，而（2），，則在上單調(diào)遞增，（2），可得，則，即，則．變式2．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最大值；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．解析：（1）函數(shù)定義域是，由題意，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，所以時(shí)，取得唯一的極大值也是最大值．（2）由（1），即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，（），則，，由，得，令，則，，，，顯然成立，要證，即證，只要證，即證，（），令，，，，令，則，，令，，，令，，時(shí)，是減函數(shù)，所以時(shí)，，所以是減函數(shù)，，即（），所以是減函數(shù)，，所以，在時(shí)是減函數(shù)，，即，所以在上是減函數(shù)，，所以，即，綜上，成立．變式2．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的圖象與的圖象交于，兩點(diǎn)，證明：.解析（2）由（1）不妨設(shè)由題知，兩式相減整理可得：所以要證明成立，只需證明因?yàn)?，所?/p>