第第頁(yè)獲取更多資料，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派539期圓系列5——何謂隱圓？——隱圓5大定義及8大題型在直線與圓的綜合考查中，有時(shí)題設(shè)條件并沒(méi)有直接給出相關(guān)圓的信息，而是隱含在題目中，要通過(guò)分析和轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓的方程或圓的定義，從而可以利用圓的知識(shí)來(lái)求解，這類問(wèn)題常被稱為“隱圓”問(wèn)題．此類問(wèn)題在高考中出現(xiàn)的頻率比較高，通過(guò)對(duì)以往考題的分析與研究，可以總結(jié)為如下的幾種題型．【知識(shí)與典例精講】一、隱圓定義【【隱圓五定義】隱圓的第一定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)隱圓的第二定義：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值隱圓的第三定義：到兩定點(diǎn)的夾角為90°隱圓的第四定義：邊與對(duì)角為定值、對(duì)角互補(bǔ)、數(shù)量積定值隱圓的第五定義：到兩定點(diǎn)距離之比為定值二、隱圓八題型1．利用圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡）可確定隱圓【【隱圓判定】題目中若已知到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)或者能求出到定點(diǎn)的距離為定常數(shù)，則可以得到點(diǎn)的軌跡為圓．【例1】【例1】已知圓，圓．若圓M上存在點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．【解析】由題意得，圓心在直線上運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)圓M是圓心在直線上，半徑為1的圓．又因?yàn)閳AM上存在點(diǎn)P，使經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，使，所以，即點(diǎn)P也在上，記為圓E，則圓E與圓O一定有公共點(diǎn)．于是，即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．2．利用圓的性質(zhì)（動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的夾角為直角）可確定隱圓【【隱圓判定】題目中若動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的夾角為直角，則可以得到點(diǎn)的軌跡為圓．【例【例2】在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線相交于點(diǎn)P，則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離的最大值為_(kāi)______．【解析】解法1直線分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且，所以點(diǎn)P在以為直徑的圓C上．則圓C的圓心為，半徑．因?yàn)閳A心C到直線的距離為，所以，點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為．解法2當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為；當(dāng)時(shí)，解方程組得兩直線交點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以，點(diǎn)P到直線的距離為，顯然當(dāng)k為正數(shù)時(shí)取得最大值，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）則有，所以．綜上可知，點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為．3．已知兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足為定值可確定隱圓【【隱圓判定】已知兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足為定值的軌跡為圓．【例【例3】已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)M滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】設(shè)，因?yàn)樗?，即，表示圓．又因?yàn)辄c(diǎn)M在圓上，所以兩圓必有交點(diǎn)，，即，解得．4．已知兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足為定值可確定隱圓【【隱圓判定】已知兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足為定值的軌跡是圓．【例【例4】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓及點(diǎn)．在圓C上是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由．【解析】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，半徑為2．假設(shè)圓C上存在點(diǎn)P，設(shè)，則，又，即，是圓心為，半徑為2的圓．因?yàn)?，所以圓與圓相交，所以點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2．5．給定兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足的關(guān)系可確定隱圓【【隱圓判定】若給定兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足的關(guān)系，則P點(diǎn)的軌跡為隱圓，我們稱為阿波羅尼斯圓．【例【例5】已知O為原點(diǎn)，，若，則的最大值為_(kāi)______．【解析】設(shè)，由，得，即，記為圓C．所以M的軌跡的圓心為，半徑為的圓．又，所以．6．利用軌跡法確定圓【【隱圓判定】所謂軌跡法就是通過(guò)設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題目中所給的條件得到軌跡方程．常見(jiàn)求軌跡的方法有：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法．【例【例6】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若圓上存在唯一點(diǎn)P，使得直線在y軸上的截距之積為5，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______．【解析】設(shè)點(diǎn)，則直線方程為，它在y軸上的截距為，同理在y軸上的截距為，由截距之積為5，得，化簡(jiǎn)得，又滿足，所以點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，半徑為3的圓．由題意P的軌跡應(yīng)與圓M恰有一個(gè)適合題意的點(diǎn)，則：①若A，B不在圓M上，則兩圓相切，所以圓心距等于半徑之和或差，，解得；或，m無(wú)解；（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）②若A或B在圓M上，把點(diǎn)A代入圓M可知不合題意，把點(diǎn)B代入圓M，解得，經(jīng)檢驗(yàn)也成立．綜上可知，或?yàn)樗螅纠纠?】若實(shí)數(shù)x、y滿足，則x的取值范圍是________．【解析】令，其中，．則．方程可化為，即，如圖1，在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓在的部分，即圓弧與原點(diǎn)O的并集，其中，A、B分別為圓弧與x軸、y軸的交點(diǎn)，又因?yàn)榈膸缀我饬x是點(diǎn)與原點(diǎn)O兩點(diǎn)的距離的平方．易知，所以的取值范圍是．【例【例7】函數(shù)的值域是________．【解析】設(shè)函數(shù)，令，則點(diǎn)位于一個(gè)單位圓x軸的上半部分，如圖3所示．將函數(shù)改寫(xiě)為，它表示定點(diǎn)與點(diǎn)所連直線的斜率．直線與上半單位圓相切時(shí)，在直角三角形中，，所以．又，所以．即函數(shù)的值域?yàn)椋?.當(dāng)兩個(gè)定點(diǎn)到某直線的距離分別確定時(shí)【例【例7】若點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離依次為1和2，則這樣的直線有______條．【解析】如圖1，分別以A，B為圓心，1，2為半徑作圓依題意知，直線l是圓A的切線，A到l的距離為1，直線l也是圓B的切線，B到l的距離為2，所以直線l是兩圓的公切線，共3條（2條外公切線，1條內(nèi)公切線）．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）故滿足題意的直線有3條．評(píng)注：本題已知條件中雖然沒(méi)有直接出現(xiàn)圓，但由題意并數(shù)形結(jié)合，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題．8.“四點(diǎn)共圓”模型【【四點(diǎn)共圓】我們知道判定某一四邊形有外接圓的常見(jiàn)方法有兩個(gè)，一種方法是四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，另一方法是某一邊分別與其對(duì)邊的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的角大小相等，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的這兩個(gè)性質(zhì)，若題中出現(xiàn)的向量可以構(gòu)造出四邊形且符合這兩種情況，則構(gòu)造四點(diǎn)共圓．【例【例7】向量m，n，p滿足：，，，則最大值為（）A．2B．C．1D．4【解析】因?yàn)榧?，所以m，n的夾角為．因?yàn)?，所以與的夾角為．設(shè)，則，于是．發(fā)現(xiàn)，且，故構(gòu)造如圖4、圖5兩個(gè)圓，易知兩圓半徑長(zhǎng)均為2，點(diǎn)C均在優(yōu)弧上，結(jié)合圓的性質(zhì)知，所以的最大值為4．【提升訓(xùn)練】.1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A，B為圓C：（x＋4）2＋（y－a）2＝16上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AB＝，若直線l：y＝2x上存在唯一的一個(gè)點(diǎn)P，使得，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．【答案】2或－18【解析】由“圓C的弦AB長(zhǎng)度為定值A(chǔ)B＝”知，弦AB的中點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)C為圓心的圓，由“”得，可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡也在圓上，此時(shí)直線l上存在唯一的一個(gè)點(diǎn)P符合要求，故直線l和動(dòng)點(diǎn)P的軌跡（圓）相切．【詳解】設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x0，y0），P（x，y），則由AB＝得，CM＝，即點(diǎn)M的軌跡為（x0＋4）2＋（y0－a）2＝5.又因?yàn)椋裕矗▁0－x，y0－y）＝，從而，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為，又因?yàn)橹本€l上存在唯一的一個(gè)點(diǎn)P，所以直線l和動(dòng)點(diǎn)P的軌跡（圓）相切，則，解得，a＝2或a＝－18.故答案為：2或－18【點(diǎn)睛】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)分析點(diǎn)M的軌跡，轉(zhuǎn)化成直線與圓相切，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線相交于點(diǎn)，則當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最大值為_(kāi)_____.【答案】【詳解】由題意得，直線的斜率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn),直線的斜率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且直線所以點(diǎn)落在以為直徑的圓上，其中圓心坐標(biāo)，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的最大距離為．已知平面上兩定點(diǎn)A、B，且，動(dòng)點(diǎn)P滿足，若點(diǎn)P總不在以點(diǎn)B為圓心，為半徑的圓內(nèi)，則負(fù)數(shù)的最大值為_(kāi)______．【答案】##-0.75【分析】利用解析方法，以所在直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，得到動(dòng)點(diǎn)P點(diǎn)的軌跡方程，分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，利用兩圓的位置關(guān)系得到關(guān)于的不等式，進(jìn)而求解得到的取值范圍.【詳解】以所在直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）設(shè)，且動(dòng)點(diǎn)P滿足，即，則，當(dāng)時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，同時(shí)點(diǎn)P總不在以點(diǎn)B為圓心，為半徑的圓內(nèi)，即圓與圓相離或外切內(nèi)切或內(nèi)含，所以或，解得或（舍去），所以負(fù)數(shù)的最大值為．故答案為：.函數(shù)的最大值為_(kāi)_______．【答案】2【分析】令，則，原問(wèn)題可化為在條件下，求的最大值問(wèn)題，利用線性規(guī)劃思想求得最大值.【詳解】令，則，．原問(wèn)題可化為在條件下，求的最大值問(wèn)題.將目標(biāo)函數(shù)化為，其圖象是一條與平行的直線．當(dāng)直線與圓弧相切時(shí)，z取最大值，此時(shí)，由圓心到直線的距離等于半徑，易知，得（舍去負(fù)值），所以函數(shù)的最大值為2．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）故答案為：2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上，若圓C上存在點(diǎn)M，使，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．【答案】【分析】設(shè)，由得出點(diǎn)的軌跡方程，軌跡是圓，由此圓與圓有公共點(diǎn)可得．【詳解】因?yàn)閳A心C在直線．可設(shè)圓心，則圓C的方程為．設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)整理得，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）所以點(diǎn)M在以為圓心，2為半徑的圓上，由題意得點(diǎn)M也在圓C上，所以圓D和圓C有公共部分，即

，，解得，故圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．在平面直角坐標(biāo)系中，已知為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)的取值范圍是____________．【答案】【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，由已知，因此可設(shè)，求出點(diǎn)的軌跡方程知點(diǎn)軌跡是圓，從而易得的取值范圍．【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以的取值范圍是，從而的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡的求法以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系中的最值問(wèn)題，對(duì)于圓中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，注意通過(guò)弦心距進(jìn)行轉(zhuǎn)化，本題屬于中檔題.設(shè)，則的最小值是_______．【答案】【分析】的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的平方．利用參數(shù)方程思想分別考察的軌跡，得到在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)B在半徑的圓上．利用點(diǎn)到直線的距離公式和圓的性質(zhì)求得，然后平方即得所求.【詳解】的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的平方．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）設(shè)，則點(diǎn)A在直線上；設(shè)，則點(diǎn)B在半徑的圓上．如圖，在直角坐標(biāo)系中，圓心O到直線的距離，則．所以P的最小值為．故答案為：.8．已知向量，，為平面向量，，且使得與所成夾角為，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】先根據(jù)已知條件求出向量，的夾角，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)，，，根據(jù)線性運(yùn)算可得，，，結(jié)合正弦定理可求出點(diǎn)的軌跡，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)?，所以，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）如圖所示：在平面直角坐標(biāo)系中，，，不妨設(shè)，，延長(zhǎng)到使得，則，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，，則，，則滿足題意時(shí)，，結(jié)合點(diǎn)，為定點(diǎn)，且，由正弦定理可得：，可得，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的優(yōu)弧上，當(dāng)三點(diǎn)共線，即點(diǎn)位于圖中點(diǎn)位置時(shí)，取得最大值，其最大值為，故選：A.若，則的最大值是.【答案】【詳解】設(shè)，則，根據(jù)面積公式得，①根據(jù)余弦定理得，，將其代入①式得，，由三角形三邊關(guān)系有，解得，故當(dāng)時(shí)，取得最大值【綜合培優(yōu)】例1．（2022?和平區(qū)校級(jí)月考）平面內(nèi)，定點(diǎn)，，，滿足，且，動(dòng)點(diǎn)，滿足，，則的最大值為A． B． C． D．【解析】解：由題可知，則到，，三點(diǎn)的距離相等，所以是的外心，又，變形可得，所以，同理可得，，所以是的垂心，所以的外心與垂心重合，所以是正三角形，且是的中心；由，解得，所以的邊長(zhǎng)為；關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，，，，可設(shè)，其中，，而，即是的中點(diǎn)，則，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為．故選：．例2．（2022春?溫州期中）已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是A． B． C．， D．【解析】解：由是單位向量，且，則可設(shè)，，；向量滿足，，，即，它表示圓心為，半徑為的圓；又，，它表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，如圖所示：且，關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派；即的取值范圍是，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離大小關(guān)系，也考查了推理能力和計(jì)算能力，是綜合性題目．例3．（2022?延邊州一模）如果圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．，，【解析】解：?jiǎn)栴}可轉(zhuǎn)化為圓和圓相交，兩圓圓心距，由得，解得：，即，，故選：．例4．（2022?花山區(qū)校級(jí)期末）設(shè)點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，若在圓上存在點(diǎn)，使得，則的縱坐標(biāo)的取值范圍是A．， B． C． D．【解析】解：設(shè)，在中，由正弦定理可得，，，，，整理得，，由題意知，，，．當(dāng)時(shí)，取得最值，即直線為圓的切線時(shí)取得最值．．故選：．例5．（2022?廣元模擬）在平面內(nèi)，定點(diǎn)，，，滿足，，動(dòng)點(diǎn)，滿足，，則的最大值為．【解析】解：平面內(nèi)，，，，，，關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派可設(shè)，，，，動(dòng)點(diǎn)，滿足，，可設(shè)，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最大值為．故答案為：．例6．（2022?普陀區(qū)二模）如圖，是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，且為常數(shù)）．下列結(jié)論中，正確的是A．當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè) B．當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)有三個(gè) C．當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè) D．當(dāng)為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)是有限個(gè)【解析】解：以所在直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示則，，，，，設(shè)，可得，，關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派化簡(jiǎn)得：，即配方，得（1）當(dāng)時(shí)，方程（1）的右邊小于0，故不能表示任何圖形；當(dāng)時(shí)，方程（1）的右邊為0，表示點(diǎn)，恰好是正三角形的重心；當(dāng)時(shí)，方程（1）的右邊大于0，表示以為圓心，半徑為的圓由此對(duì)照各個(gè)選項(xiàng)，可得只有項(xiàng)符合題意故選：．例7．（2022?江蘇模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，圓，圓為實(shí)數(shù)）．若圓和圓上分別存在點(diǎn)，，使得，則的取值范圍為．【解析】解：由題意，圓為實(shí)數(shù)），圓心為圓上任意一點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，，所以與圓有交點(diǎn)，解得，故答案為：，例8．（2022?通州區(qū)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，，為兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值為．【解析】解：，在以為直徑的圓上，不妨設(shè)，，則，，，，關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派令，，則，．，令，，，在，上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，再令（a），，顯然（a）在，上單調(diào)遞增，故時(shí)，（a）取得最小值，綜上，當(dāng)，時(shí)，取得最小值25．故的最小值為5．故答案為：5．例9．（2022?鹽城三模）已知，，，四點(diǎn)共面，，，，則的最大值為．【解析】解：以為原點(diǎn)，以直線為軸建立平面坐標(biāo)系，設(shè)，，，，．，關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派，，點(diǎn)在以，以為半徑的圓上，的最大距離為．故答案為：10．例10．（2022?大武口區(qū)校級(jí)期末）已知圓，點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為，最小值為．【解析】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值74，當(dāng)時(shí)，即，取最小值34，故答案為：74，34．關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派例11．（2022?大觀區(qū)校級(jí)期中）正方形與點(diǎn)在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長(zhǎng)為1，且，求的取值范圍．【解析】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，設(shè)點(diǎn)，則由，得，整理得，即點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，圓心到點(diǎn)的距離為，所以，，所以的取值范圍是，．例12．已知，點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值74，此時(shí)，，關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，即，取最小值34，此時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)，．例13．（2022春?湖北期末）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是A． B． C． D．【解析】解：，，設(shè)，，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，，故在以為直徑的圓上，，在圓上，的最大值為圓的直徑．故選：．例14．（2022春?龍鳳區(qū)校級(jí)期末）已知圓和點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：由題意圓和點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)，，使得，可得，關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派，，故選：．例15．（2022?荊州區(qū)校級(jí)期末）已知，是圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，則的最小值為A． B． C． D．【解析】解：如圖所示：設(shè)是線段的中點(diǎn)，則，，，于是，在中，，，，由勾股定理得：關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派，整理得，故的軌跡是以，為圓心，為半徑的圓，故，故，故選：．例16．（2022?浙江期中）已知點(diǎn)，，若圓上存在一點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是A．4 B．5 C．6 D．7【解析】解：根據(jù)題意，圓，即；其圓心為，半徑，設(shè)的中點(diǎn)為，又由點(diǎn)，，則，，以為直徑的圓為，若圓上存在一點(diǎn)，使得，則圓與圓有公共點(diǎn)，又由，即有且，解可得：，即或，即實(shí)數(shù)的最大值是6；故選：．例17．（2022?彭州市校級(jí)月考）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是A．，2 B．，4 C．，4 D．，2【解析】解：由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線即，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線和動(dòng)直線始終垂直，又是兩條直線的交點(diǎn)，，．關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派由基本不等式可得，即，可得．故選：．例18．（2022?安徽校級(jí)月考）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線即，經(jīng)過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)，動(dòng)直線和動(dòng)直線的斜率之積為，始終垂直，又是兩條直線的交點(diǎn)，，．設(shè)，則，，由且，可得，，，，，，，，，，故選：．例19．（2022?北京模擬）已知，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線即，經(jīng)過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)，動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線滿足，兩直線始終垂直，又是兩條直線的交點(diǎn)，，．關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派設(shè)，則，，由且，可得，則，，，，，，故選：．例20．（2022春?大理市校級(jí)期末）已知圓和兩點(diǎn)，，．若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最小值為A．7 B．6 C．5 D．4【解析】解：，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，故點(diǎn)是圓與圓的交點(diǎn)，因此兩圓相切或相交，即，解得．的最小值為4．故選：．例21．（2022春?紅崗區(qū)校級(jí)期末）已知圓和兩點(diǎn)，，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值與最小值之差為A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：圓的圓心，半徑，設(shè)在圓上，則，，由，關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派可得，即，的最大值即為的最大值，等于．的最小值即為的最小值，等于．則的最大值與最小值之差為．故選：．例22．（2022?蘭州一模）已知圓和兩點(diǎn)，，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是A．， B．， C．， D．，【解析】解：圓，其圓心，，半徑為1，圓心到的距離為2，圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為3．再由，以為直徑的圓和圓有交點(diǎn)，可得，故有，，．圓心，，直線的斜率，直線的方程為聯(lián)立：解得：．故選：．例23．（2022?海淀區(qū)校級(jí)三模）過(guò)直線上的點(diǎn)作圓的切線，若在直線上存在一點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)的圓的切線，，為切點(diǎn)）滿足，則的取值范圍是A．， B．， C．，， D．，，【解析】解：圓，圓心為：，半徑為1，在直線上存在一點(diǎn)，使得過(guò)的圓的切線，，為切點(diǎn)）滿足，在直線上存在一點(diǎn)，使得到的距離等于，只需到直線的距離小于或等于，故，解得，故選：．例24．（2022春?東陽(yáng)市校級(jí)期中）如圖，四邊形中，，，，，則的長(zhǎng)度的取值范圍是．【解析】解：設(shè)，顯然，，關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派（其中，，，綜上的長(zhǎng)度的取值范圍是，．故答案為：，．例25．（2022春?淮安校級(jí)期中）若實(shí)數(shù)，，成等差數(shù)列，點(diǎn)在動(dòng)直線上的射影為，點(diǎn)坐標(biāo)為，則線段長(zhǎng)度的最小值是．【解析】解：實(shí)數(shù)，，成等差數(shù)列，，即，可得動(dòng)直線恒過(guò)，點(diǎn)在動(dòng)直線上的射影為，，則在以為直徑的圓上，此圓的圓心坐標(biāo)為，，即，半徑，又，，則點(diǎn)在圓外，則，故答案為：．例26．（2022?長(zhǎng)治模擬）已知，是平面向量，是單位向量，若非零向量與的夾角為，向量，滿足，則的最小值為．【解析】解：，，的終點(diǎn)在以和的終點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則圓心為的終點(diǎn)，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派其中，，的終點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，顯然當(dāng)交圓于點(diǎn)，交于點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)，．故答案為：．例27．（2022春?瑤海區(qū)月考）在平面四邊形中，連接對(duì)角線，已知，，，，則對(duì)角線的最大值為A．27 B．16 C．10 D．25【解析】解：根據(jù)題意，建立如圖的坐標(biāo)系，則，，，中點(diǎn)為，則，設(shè)三點(diǎn)都在圓上，其半徑為，在中，由正弦定理可得，即，即，，則，則的坐標(biāo)為，故點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，10為半徑的圓上，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，此時(shí)；故選：．例28．（2022秋?沈河區(qū)校級(jí)期中）設(shè)向量，，滿足：，，，，則的最大值為A．2 B． C． D．1【解析】解：由題意可得，，，，，，，．，，，設(shè)，，，則，，，．關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派，、、、四點(diǎn)共圓，，為該圓的半徑．中，由正弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)是的平分線時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)，，故選：．例29．（2022?閘北區(qū)一模）在平面內(nèi)，設(shè)，為兩個(gè)不同的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足：為實(shí)常數(shù)），則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．不確定【解析】解：設(shè)，，，．則，．滿足：為實(shí)常數(shù)），，，，化為，即故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓．故選：．例30．（2022?和平區(qū)校級(jí)一模）如圖，梯形中，，，，，和分別為與的中點(diǎn)，對(duì)于常數(shù)，在梯形的四條邊上恰好有8個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：以所在直線為軸，的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系則梯形的高為，，，，，，，，．當(dāng)在上時(shí)，設(shè)，，則，，，．于是，當(dāng)時(shí)，方程有一解，當(dāng)時(shí)，有兩解；（2）當(dāng)在上時(shí)，設(shè)，，則，，，．，關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派當(dāng)時(shí)，方程有一解，當(dāng)時(shí)，有兩解；（3）當(dāng)在上時(shí)，直線方程為，設(shè)，，則，，，．于是．當(dāng)或時(shí)，方程有一解，當(dāng)時(shí)，方程有兩解；（4）當(dāng)在上時(shí)，由對(duì)稱性可知當(dāng)或時(shí)，方程有一解，當(dāng)時(shí)，方程有兩解；綜上，若使梯形上有8個(gè)不同的點(diǎn)滿足成立，則的取值范圍是，，，，，．故選：．例31．（2022?寧城縣一模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)，分別在邊，上，且，．如果對(duì)于常數(shù)，在正方形的四條邊上，有且只有6個(gè)不同的點(diǎn)使得成立，那么的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：以為軸，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，．（1）若在上，設(shè)，．，．，，，．當(dāng)時(shí)有一解，當(dāng)時(shí)有兩解．關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派（2）若在上，設(shè)，．，．，，．當(dāng)或，有一解，當(dāng)時(shí)有兩解．（3）若在上，設(shè)，，．，．．當(dāng)或時(shí)有一解，當(dāng)時(shí)有兩解．（4）若在上，設(shè)，，，．，，．當(dāng)或時(shí)有一解，當(dāng)時(shí)有兩解．綜上，．故選：．例32．（2022?黃浦區(qū)校級(jí)三模）在邊長(zhǎng)為8的正方形中，是的中點(diǎn)，是邊上的一點(diǎn)，且，若對(duì)于常數(shù)，在正方形的邊上恰有6個(gè)不同的點(diǎn)滿足：，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解析】解：以所在直線為軸，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖：如圖，則，（1）若在上，設(shè)，，，，，，當(dāng)時(shí)有一解，當(dāng)時(shí)有兩解；（2）若在上，設(shè)，，，，當(dāng)或時(shí)有唯一解；當(dāng)時(shí)有兩解（3）若在上，設(shè)，，，，，，當(dāng)時(shí)有一解，當(dāng)時(shí)有兩解．（4）若在上，設(shè)，，，，，，當(dāng)或時(shí)有一解，當(dāng)時(shí)有兩解．綜上，在正方形的四條邊上有且只有6個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，那么的取值范圍是關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派故答案為例33．（2022·湖南·長(zhǎng)沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）古希臘三大數(shù)學(xué)家之一阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中指出：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（且的點(diǎn)的軌跡是圓，已知平面內(nèi)兩點(diǎn)A（，0），B（2，0），直線，曲線C上動(dòng)點(diǎn)P滿足，則曲線C與直線l相交于M、N兩點(diǎn)，則|MN|的最短長(zhǎng)度為（

）A． B． C．2 D．2【答案】C【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則，由得：化簡(jiǎn)后得：曲線C：，故P點(diǎn)軌跡為圓，又可化為直線l過(guò)定點(diǎn)A（1，2），則圓心到直線的距離的最大值為|OA|，此時(shí)|MN|的長(zhǎng)度最短．所以|MN|的最短長(zhǎng)度為．故選：C．例34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書(shū)，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一．指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，所以，由，所以，因?yàn)榍?，所以，整理可得，又?dòng)點(diǎn)M的軌跡是，所以，解得，所以，又，關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派所以，因?yàn)?，所以的最小值，?dāng)M在位置或時(shí)等號(hào)成立．故選：D例35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯（公元前262年~公元前190年），古希臘人，與阿基米德、歐幾里得一起被譽(yù)為古希臘三大數(shù)學(xué)家．阿波羅尼斯研究了眾多平面軌跡問(wèn)題，其中阿波羅尼斯圓是他的論著中的一個(gè)著名問(wèn)題：已知平面上兩點(diǎn)A，B，則所有滿足（，且）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓．已知平面內(nèi)的兩個(gè)相異定點(diǎn)P，Q，動(dòng)點(diǎn)M滿足，記M的軌跡為C，若與C無(wú)公共點(diǎn)的直線l上存在點(diǎn)R，使得的最小值為6，且最大值為10，則C的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，M的軌跡C是圓，設(shè)其圓心為點(diǎn)D，半徑為r，顯然直線l與圓C相離，令點(diǎn)D到直線l的距離為d，由圓的性質(zhì)得：，解得，，所以C的長(zhǎng)度為．故選：B例36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯約公元前年證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓．后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P與A，B距離之比滿足：，當(dāng)P、A、B三點(diǎn)不共線時(shí)，面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】依題意，以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)，因，則，化簡(jiǎn)整理得：，因此，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，與點(diǎn)A，B可構(gòu)成三角形，當(dāng)點(diǎn)P到直線（軸）的距離最大時(shí)，的面積最大，顯然，點(diǎn)P到軸的最大距離為，此時(shí)，，所以面積的最大值是．故選：C例37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)與?的距離之比（且），那么點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，若其方程為，則的值為（

）A． B． C．0 D．4【答案】B【解析】設(shè)，則，即，又，所以，即，整理得，所以，解得，所以，故選：B．例38．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為（，且），那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，間的距離為，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，設(shè)，，因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，因?yàn)?，其中可看作圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派所以，所以，即的最大值為，故選：A．例39．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．已經(jīng)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)軌跡與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．內(nèi)切 D．外切【答案】D【解析】由已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，得即動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓：，，兩圓外切．故選：D．例40．（2022·河南省杞縣高中高三階段練習(xí)（理））古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262~公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，已知點(diǎn)，，圓，在圓上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)，，，所以即，所以，可得圓心，半徑，由圓可得圓心，半徑，因?yàn)樵趫A上存在點(diǎn)滿足，所以圓與圓有公共點(diǎn)，所以，整理可得：，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D．例41．（2022·江蘇省江陰高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為_(kāi)__________________；若點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在軸上的射影為，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】

；

【解析】設(shè)點(diǎn)，，．拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)，由題意知，，，．故答案為：；．例42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）被譽(yù)為古希臘“數(shù)學(xué)三巨匠”之一的數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)不同定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓，簡(jiǎn)稱“阿氏圓”據(jù)此請(qǐng)回答如下問(wèn)題：已知中，A為一動(dòng)點(diǎn)，為兩定點(diǎn)，且，，面積記為，若時(shí)，則______若時(shí)，則取值范圍為_(kāi)_____．【答案】

3

【解析】以作為原點(diǎn)，所在的直線作為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，若，即，則不妨設(shè)在正半軸上，則，設(shè)的頂點(diǎn)，而，則，化簡(jiǎn)可得：，根據(jù)條件可知A不在直線上，則，即且，所以A點(diǎn)的軌跡為圓除去點(diǎn)與，可得，所以面積的最大值為，即，同樣的，當(dāng)，，則的頂點(diǎn)滿足，化簡(jiǎn)可得，可得，又，則，即，所以，解得，即取值范圍為．故答案為：；．例43．（2022·江蘇·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知與為單位向量，且⊥，向量滿足，則||的可能取值有（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由向量的坐標(biāo)計(jì)算公式可得，進(jìn)而由向量模的計(jì)算公式可得，分析可得在以為圓心，半徑為2的圓上，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S的正方向建立坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派若，則有，則在以為圓心，半徑為2的圓上，設(shè)為點(diǎn)，則，則有，即，則的取值范圍為；故選：D．例44．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以，，所以關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派，其中，，因?yàn)?，所以，即；故選：D

例45（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院三模）已知平面向量，，且非零向量滿足，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】設(shè)，由得，將轉(zhuǎn)化為和圓上點(diǎn)之間的距離，即可求出最大值.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派【詳解】設(shè)，則，，整理得，則點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則表示和圓上點(diǎn)之間的距離，又在圓上，故的最大值是.故選：B.例46．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，，滿足，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的夾角公式可得，設(shè)，，，，，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得點(diǎn)的軌跡為圓，由幾何意義可知：的最小值為減去半徑即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以不妨設(shè)，，，，，，則，，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)為：，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是以為圓心，半徑為的圓，所以的最小值為，故選：B.例47．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，，滿足，與的夾角為，且，則的最小值為（

）A． B．1C． D．

【答案】D【分析】由題意可得，將原等式化為，得出，設(shè)，進(jìn)而得出，表示以，半徑為1的圓；而表示圓心到定點(diǎn)B(-2，0)的距離減去半徑，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可解得答案.【詳解】由題意知，，則，由可得，即，設(shè)，則，所以，所以表示以，半徑為1的圓，表示圓C上的點(diǎn)到定點(diǎn)B(-2，0)的距離，而的最小值即為圓心到定點(diǎn)B(-2，0)的距離減去半徑，如圖所示，又，所以.故選：D例48．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是邊長(zhǎng)為2的正方形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可計(jì)算作答.【詳解】是邊長(zhǎng)為2的正方形，則以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB，AD分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派則，設(shè)點(diǎn)，，于是得：，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值是.故選：B例49．（2022·江西·新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知平面向量滿足，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可得，，，設(shè)，，，可得點(diǎn)的軌跡為圓，由圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，，，因?yàn)?，所以，設(shè)，，，，，所以，即，所以點(diǎn)在以為圓心，半徑的圓上，表示圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)的距離，所以的最小值為，故選：D.例50（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)向量，，滿足，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】建立坐標(biāo)系，以向量，的角平分線所在的直線為軸，使得，的坐標(biāo)分別為，，設(shè)的坐標(biāo)為，由已知可得，表示以為圓心，為半徑的圓，求出圓心到原點(diǎn)的距離，再減去半徑即為所求關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派【詳解】解：建立坐標(biāo)系，以向量，的角平分線所在的直線為軸，使得，的坐標(biāo)分別為，，設(shè)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，表示以為圓心，為半徑的圓，則的最小值表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值，因?yàn)閳A到原點(diǎn)的距離為，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是寫(xiě)出滿足條件的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題例51．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，滿足，在方向上的投影為2，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，向量的夾角為，可得，即可求出，不妨設(shè)，，設(shè)，由，整理可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，而，結(jié)合圓的性質(zhì)，可求出的最小值.【詳解】設(shè)，向量的夾角為，則，則，因?yàn)?，所?關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派不妨設(shè)，，設(shè)，則，整理得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，記圓心為，又，即，當(dāng)直線過(guò)圓心，且垂直于軸時(shí)，可取得最小值，即.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的模，考查向量的數(shù)量積及向量的投影，注意利用數(shù)形結(jié)合的方法，屬于難題.例52．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，其中心為O，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則的最小值是A． B． C． D．【答案】A【分析】作出圖像如下圖所示，取的中點(diǎn)為D，由，則P在以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓上，再由公式，可得選項(xiàng).【詳解】作出圖像如下圖所示，取的中點(diǎn)為D，則，因?yàn)?，則P在以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓上，則.又為圓O上的點(diǎn)P到D的距離，則，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派∴的最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的最值，轉(zhuǎn)化法是解決此類問(wèn)題的常用方法，屬于中檔題.例53．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知為單位向量，向量滿足：，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可設(shè)，，根據(jù)，可得的關(guān)系式，并得出的范圍，，將用表示，再根據(jù)函數(shù)的最值即可得解.【詳解】解：可設(shè)，，則，即，則，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為6，即的最大值為6.故選：C例54．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，為平面向量，，且使得與所成夾角為，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】先根據(jù)已知條件求出向量，的夾角，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)，，，根據(jù)線性運(yùn)算可得，，，結(jié)合正弦定理可求出點(diǎn)的軌跡，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)?，所以，如圖所示：在平面直角坐標(biāo)系中，，，不妨設(shè)，，延長(zhǎng)到使得，則，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，，則，，則滿足題意時(shí)，，結(jié)合點(diǎn)，為定點(diǎn)，且，由正弦定理可得：，可得，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的優(yōu)弧上，當(dāng)三點(diǎn)共線，即點(diǎn)位于圖中點(diǎn)位置時(shí)，取得最大值，其最大值為，故選：A.例55．（2022·北京市第十二中學(xué)三模）為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及余弦函數(shù)的有界性可求得的最小值.【詳解】因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，且，則為的中點(diǎn)，故，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)點(diǎn)，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派故答案為：.例56．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）平面向量滿足，與的夾角為，且則的最小值是___．【答案】##【分析】設(shè)，，設(shè)，根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算求得C的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓,利用的幾何意義可求得答案.【詳解】由題意不妨設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，令，，設(shè)，由于,關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派∴，∴，即，故C的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓,故，故答案為：例57．（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）平面向量滿足，則的最小值為_(kāi)________．【答案】【分析】設(shè)，利用平面向量的幾何意義及平面向量等和線定理進(jìn)行求解.【詳解】解析：幾何意義+等和線由題記，則由，得，且．作圖，如右圖所示：為正三角形，，由，得C在直線上，又∵，∴，即點(diǎn)D在以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓上，∴．故答案為：．例58．（2022·浙江金華·三模）已知平面向量，，滿足，當(dāng)取到最小值吋，對(duì)任意實(shí)數(shù)，的最小值是___________．【答案】##【分析】構(gòu)造單位圓，設(shè)出向量，，，由題設(shè)得到CA、CB是圓O的兩條切線，，從而由當(dāng)取到最小值時(shí)，求得，結(jié)合表示的是以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在AB上的向量，可求得答案.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派【詳解】如圖，設(shè)為單位圓O的兩條半徑，記，，，設(shè)，由題意，可知CA、CB是圓O的兩條切線，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“＝”，此時(shí)，因?yàn)楸硎镜氖且設(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在AB上的向量，故當(dāng)該向量垂直于向量時(shí)，其模最小，記，則，則，故答案為：例59．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足：與的夾角為，記是的最大值，則的最小值是__________．【答案】【分析】設(shè)為AB中點(diǎn)，令，結(jié)合圖形，利用向量的線性運(yùn)算求出，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最小值即可.【詳解】如圖，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派設(shè)為AB中點(diǎn)，令，則

①，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派因?yàn)?，故有?/p>

②，由①②得，從而，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)C在以AB為直徑的圓E上.，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在平面上分別作出向量對(duì)應(yīng)的有向線段，利用極化恒等式得出，聯(lián)立方程后可得，是解題的關(guān)鍵，再將向量模用表示出來(lái)，即可利用函數(shù)單調(diào)性求最值.例60．（2022·浙江·慈溪中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足，若，且，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)，，，，，，則，再根據(jù)題意得點(diǎn)是直線與的角平分線的交點(diǎn)，得到，進(jìn)而得到，求解計(jì)算即可.【詳解】如下圖所示，設(shè)，，，，，，因?yàn)?，所以，因此點(diǎn)在直線上，又由于，因此是的角平分線，因此點(diǎn)是直線與的角平分線的交點(diǎn).根據(jù)角平分線的性質(zhì)可.過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，則.因此點(diǎn)在以為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)由于，由此當(dāng)直線相切于時(shí)，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派有最大值，有最小值.設(shè)此時(shí)切點(diǎn)為，則，，故.綜合上述，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】與平面向量有關(guān)的最值問(wèn)題，常見(jiàn)處理方法有兩種：第一種：利用坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；第二種：利用點(diǎn)的幾何意義轉(zhuǎn)化成軌跡問(wèn)題求解.例61．（2022·遼寧·一模）已知向量、、，且，，，，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】##【分析】根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出、、坐標(biāo)，求出終點(diǎn)軌跡，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】不妨設(shè)，，，，則起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)軌跡為單位圓，∴當(dāng)與同向時(shí)，最小，為.故答案為：.例62．（2022·浙江·寧波市鄞州高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知平面向量，和單位向量，滿足，，當(dāng)變化時(shí)，的最小值為，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【分析】設(shè)，，由條件得出點(diǎn)的軌跡方程，又設(shè),即由條件可得三點(diǎn)共線，根據(jù)幾何關(guān)系可得答案.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派【詳解】設(shè)，則，由，則即即點(diǎn)在圓上.由，即設(shè),即由，則三點(diǎn)共線.當(dāng)時(shí)，取得最小值關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派故當(dāng)與圓相切時(shí),取得最大值.如圖設(shè)圓心為，由與相似則，即故答案為：例63．（2022·浙江·湖州中學(xué)高三階段練習(xí)）已知平面向量滿足：，，則的最小值為_(kāi)__________．【答案】##【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，求出B的軌跡方程，再根據(jù)的幾何意義求其最小值.【詳解】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，則A(1，0)，B(x，y)，則，，即的軌跡為拋物線：.關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派設(shè)，則，＝，設(shè)，∵，故C的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，∴，可看作拋物線上任意點(diǎn)到以為圓心，半徑為1的圓上任