人教九上數(shù)學情境課堂教學課件第二十一章

一元二次方程21.1一元二次方程主題情境·公園景觀化改造在設計人體雕像時，使雕像的上部

(腰以上)與下部

(腰以下)的高度比，等于下部與全部(全身)的高度比，可以增加視覺美感.按此比例，如果雕像的高為2m，那么它的下部應該設計為多高?ACB2

mACB

如圖，雕像的上部高度AC與下部高度

BC應有如下關系：AC∶BC=BC∶2，即BC2

=2AC.

設雕像下部高xm，可得方程

x2

=2(2

-x)，整理得：

x2+2x-4＝0.

這個方程與我們學過的一元一次方

程不同，其中未知數(shù)x的最高次數(shù)是2.如何解這類方程？如何用這類方程解決一些實際問題？這就是本章要學習的主要內容.2

m還記得方程的學習過程嗎？實際情境數(shù)學問題已知量、未知量、等量關系方程方程的解解的合理性建立模型分析抽象解方程檢驗是否符合實際那一元二次方程也是一樣嗎？實際問題一元二次方程ax2+bx+c=0實際問題的答案解決實際問題解方程設未知數(shù)，列方程檢驗配方法公式法因式分解法方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根降次人教七上人教九上

一元一次方程作為基礎，為一元二次方程提供了必要的解題技巧，而一元二次方程則是在此基礎上的擴展和應用，兩者體現(xiàn)了從簡單到復雜、循序漸進的學習過程.人教七上人教八上人教九上①在解一元二次方程時，經常需要進行移項、合并同類項等操作，這些操作依據(jù)源自整式的加減中所學的內容；②通過因式分解，可以將一元二次方程降次轉化為兩個一元一次方程來求解，從而簡化求解過程；綜上：整式的加減和乘法為一元二次方程的學習提供了必要的代數(shù)基礎和運算工具，而因式分解則是解一元二次方程的重要方法之一.人教九上人教九上①一元二次方程的概念、解法等知識為二次函數(shù)的學習奠定了基礎，而二次函數(shù)的圖象和性質可以幫助我們直觀地理解一元二次方程的解的情況.②一元二次方程和二次函數(shù)的關系，與一元一次方程和一次函數(shù)的關系類似；可以類比后者之間的關系理解、學習前者.1.已知一元二次方程的一個解，求字母或代數(shù)式的值；2.直接考查解一元二次方程；3.一元二次方程根的判別式：利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況，或已知含參一元二次根的情況，求參數(shù)的值或取值范圍；或結合特殊圖形(如菱形、等邊三角形等)考查一元二次方程根的情況；4.一元二次方程的根與系數(shù)的關系：直接利用根與系數(shù)的關系求代數(shù)式的值；或已知代數(shù)式的值，利用根與系數(shù)的關系求參數(shù)的值；5.考查一元二次方程的實際應用(包括圖形面積、變化率、利潤問題等).1.理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式并能確定項和系數(shù).2.根據(jù)實際問題，建立一元二次方程的數(shù)學模型.3.理解一元二次方程根的概念，并能解決有關問題.某社區(qū)秉持著“崇尚自然、接近自然、回歸自然”的原則，要打造獨具特色的“幸福林”，現(xiàn)準備對社區(qū)公園進行景觀化改造.解：設剪去的正方形邊長為xm，則矩形塑料薄膜的長為(10-2x)m，寬為(6-2x)m.根據(jù)花圃的面積為32m2，得公園花匠打算用一張長10m，寬6m的矩形塑料薄膜為公園花圃剛種下的花制作暖棚，若把暖棚看做一個長方體，花圃面積為32m2，將塑料薄膜的四個角各剪去一個同樣的正方形，將四周向下折疊即可(損耗不計)剛好能夠完全覆蓋花圃，那么薄膜各角應剪去多大的正方形？(10-2x)(6-2x)＝32任務一

制作暖棚(10-2x)(6-2x)＝

32整理，得4x2-32x+28＝0化簡，得

x2-8x+7＝

0①由方程①可以得出所剪正方形的具體尺寸.方程①中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？任務二

建造人行觀賞道為了方便居民欣賞園林風景，在公園內一片長度為20m，寬度為10m的矩形花圃內計劃修建三條寬度相等的小道，每條道路的兩邊互相平行(圖中黃色區(qū)域)，剩余部分為花圃.若要使花圃的面積為120m2，則小道的寬度應為多少米？解：設小道的寬度為

xm，則剩余種花的長為(20-2x)m，寬為(10-x)m，根據(jù)花圃的面積為120m2，得(20-2x)(10-x)＝120.(20-2x)(10-x)＝120整理，得2x2-40x+80＝

0.化簡，得

x2-20x+40＝

0.②由方程②可以得出小道的寬度.方程②中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？任務三

建造花圃現(xiàn)打算建造一個矩形花圃種植兩種不同的花卉.用長為24m的籬笆將花圃圍起來并有一面靠著墻(墻的最大可用長度是10m)，且用籬笆將兩種不同的花卉隔離開.如果要圍成面積為40m2的花圃，AB的長是多少米？解：設花圃的寬

AB為

xm，則花圃的長BC為(24-3x)m，

根據(jù)花圃面積為40m2，得

x(24-3x)＝40.整理得-3x2+24x＝40.③由方程

③

可以得出

AB的長.10m思考1

方程①②③有什么共同特點？

x2

-

8x+7＝

0①

x2

-

20x+40＝

0②1.等號的兩邊都是整式；2.只含有一個未知數(shù)；3.未知數(shù)的最高次數(shù)是2.歸納總結等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.-3x2+24x＝40③一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)試著說一說以上我們列出的方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項！ax2稱為二次項，

a

稱為二次項系數(shù)；bx

稱為一次項，

b

稱為一次項系數(shù)；c

稱為常數(shù)項.思考2為什么一般形式

ax2+bx+c=0中要限制

a

≠

0？b，c可以為0嗎？當

a=0時bx＋c=0當

a≠0，b=0時

，ax2＋c=0當

a≠0，c

=0時

，ax2＋bx=0當

a≠0，b

=c

=0時

，ax2

=0總結：只要滿足a≠0，b，c

可以為任意實數(shù).不是一元二次方程三種形式例

將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.解：去括號，得

3x2

-3x=5x+10.移項，合并同類項，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為-8，常數(shù)項為-10.

方法總結判別一個方程是否為一元二次方程的步驟：①先判斷等號兩邊是否都為整式；②化：化簡，去括號；③移：將所有項移到等號左邊，等號右邊為0；④合：合并同類項；⑤看：看是否只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是否為2.思考3

結合一元一次方程的學習，你知道什么是一元二次方程的解嗎？歸納總結使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.一元一次方程的解：一般地，使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解.1.下列方程中是關于x的一元二次方程的是(@3@)BA.3x2-2xy-5y2

=0B.(x-1)(x+2)=1C.ax2+bx+c=0D.2.(2024深圳)一元二次方程

x2-4x+a=0的一個解為

x=1，則a=______.

33.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．方程一般形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項2x2=4xx2=23x(x-1)=5(x-1)(x+3)=52x2-4x=02-40x2-2=010-23x2-3x-5=03-3-5x2+2x-8=012-8(1)若公園綠化帶被劃為四個同等矩形，長比寬多2，面積為100，求矩形的寬

x；4.根據(jù)問題列出方程，判斷是否為一元二次方程，若是一元二次方程請指出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項.解：根據(jù)題意列方程為4x(x+2)=100，去括號化為一般式為

x2+2x-25=0.該方程是一元二次方程.二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為2，常數(shù)項為-25.(2)若一塊矩形公園的長比寬多2，周長為100，求公園的寬

x；解：根據(jù)題意列方程為2x+2(x+2)=100，去括號得4x-96=0.該方程不是一元二次方程.(3)若一塊矩形公園的面積為64平方米，它的長與寬共12米，求它的長

x．解：根據(jù)題意列方程為x(12-x)=64，去括