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文檔簡介

6.1數(shù)值積分基本概念（1）曲紹波1

2

6.1.1

數(shù)值積分基本概念【概率論與數(shù)理統(tǒng)計】獨立同分布的中心極限定理3

牛頓-萊布尼茲(Newton-Leibniz)公式4

能夠使用Newton-Leibniz公式的前提：

5使用Newton-Leibniz公式可能遇到的困難：（1）被積函數(shù)的原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示；（2）被積函數(shù)的原函數(shù)雖然可以用初等函數(shù)表示，但表達式非常復(fù)雜，不便于使用；

（3）被積函數(shù)是由測量或數(shù)值計算給出的一張數(shù)據(jù)表，沒有解析表達式。

6數(shù)值積分公式的構(gòu)造：

去掉

7為了計算定積分

構(gòu)造如下形式的數(shù)值積分公式（數(shù)值求積公式）

為求積余項。

8

在數(shù)值積分公式當(dāng)中

9定義1【代數(shù)精度】

（2）泰勒展開式

注意：代數(shù)精度越高，則求積公式越好。10

11（1）若要使求積公式

12例1

確定下述求積公式的求積系數(shù)，使其代數(shù)精度盡可能高，并指出所構(gòu)造的求積公式具有幾次代數(shù)精度。

13整理，得

解得

于是得求積公式該求積公式至少具有2次代數(shù)精度。14

因此，所構(gòu)造的求積公式具有3次代數(shù)精度。

15【收斂性】在求積公式中，若

其中，則稱求積公式是收斂的。

16

【穩(wěn)定性】

就有

則稱求積公式是穩(wěn)定的。6.1數(shù)值積分基本概念（2）曲紹波1718

思路：6.1.2

插值型求積公式

步驟：19

20

21插值型求積公式求積系數(shù)

（1）求積系數(shù)與節(jié)點有關(guān)，與被積函數(shù)無關(guān)。（2）求積系數(shù)之和

Lagrange插值基函數(shù)之和22求積余項：

23

證明：必要性

24

25例1給定求積公式如下，證明此求積公式是插值型求積公式。

證明：令方法一驗證求積系數(shù)是Lagrange插值基函數(shù)的積分

構(gòu)造Lagrange插值基函數(shù)

26例1給定求積公式如下，證明此求積公式是插值型求積公式。

證明：

27例1給定求積公式如下，證明此求積公式是插值型求積公式。

證明：于是有

所以此求積公式是插值型求積公式。28例1給定求積公式如下，證明此求積公式是插值型求積公式。

證明：

方法二驗證該求積公式至少具有2次代數(shù)精度

29例1給定求積公式如下，證明此求積公式是插值型求積公式。

證明：

這說明該3個節(jié)點的求積公式至少具有2次代數(shù)精度，因此是插值型求積公式。30插值型求積公式構(gòu)造步驟：

（2）利用確定求積系數(shù)。

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