高考數(shù)學(xué)卷考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\([0,+\infty)\)3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-1,1)\)，則\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow\)等于（）A.\((-1,4)\)B.\((-1,0)\)C.\((1,4)\)D.\((1,0)\)4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5\)等于（）A.9B.8C.7D.65.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)6.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值是（）A.2B.3C.4D.57.已知直線\(l\)過點(diǎn)\((1,0)\)且垂直于\(x\)軸，若\(l\)被拋物線\(y^2=4ax\)截得的線段長(zhǎng)為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.\((1,0)\)B.\((2,0)\)C.\((0,1)\)D.\((0,2)\)8.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\geq0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-2x\)，則\(f(-1)\)等于（）A.3B.1C.-1D.-39.圓\(x^2+y^2-2x-8y+13=0\)的圓心到直線\(ax+y-1=0\)的距離為1，則\(a\)等于（）A.\(-\frac{4}{3}\)B.\(-\frac{3}{4}\)C.\(\sqrt{3}\)D.210.若函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+a\)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍是（）A.\((-2,2)\)B.\([-2,2]\)C.\((-\infty,-2)\)D.\((2,+\infty)\)答案：1.B2.A3.A4.A5.A6.C7.A8.D9.A10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在區(qū)間\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的有（）A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=\lnx\)2.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)B.若\(ac^2\gtbc^2\)，則\(a\gtb\)C.若\(a\gtb\)，\(ab\gt0\)，則\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)D.若\(a\ltb\lt0\)，則\(a^2\gtab\gtb^2\)3.一個(gè)正方體的展開圖如圖所示，\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來的正方體中（）A.\(AB\parallelCD\)B.\(AB\)與\(CD\)相交C.\(AB\perpCD\)D.\(AB\)與\(CD\)所成的角為\(60^{\circ}\)4.已知函數(shù)\(f(x)=\sinx+\cosx\)，則下列說法正確的是（）A.\(f(x)\)的最小正周期為\(2\pi\)B.\(f(x)\)圖象的一條對(duì)稱軸方程為\(x=\frac{\pi}{4}\)C.\(f(x)\)的最大值為\(\sqrt{2}\)D.\(f(x)\)在\((\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4})\)上單調(diào)遞減5.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點(diǎn)分別為\(F_1,F_2\)，\(P\)為橢圓上一點(diǎn)，且\(\angleF_1PF_2=60^{\circ}\)，則（）A.當(dāng)\(a=\sqrt{2}b\)時(shí)，\(P\)點(diǎn)有2個(gè)B.當(dāng)\(a\gt\sqrt{2}b\)時(shí)，\(P\)點(diǎn)有4個(gè)C.\(\triangleF_1PF_2\)的面積為\(\frac{\sqrt{3}}{3}b^2\)D.\(\triangleF_1PF_2\)的周長(zhǎng)為\(2a+2c\)6.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象關(guān)于直線\(x=1\)對(duì)稱，且在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增，則（）A.\(f(0)\ltf(\frac{1}{2})\)B.\(f(-1)\gtf(3)\)C.\(f(-2)\gtf(2)\)D.\(f(2)\gtf(0)\)7.設(shè)\(z_1,z_2\)為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A.若\(\vertz_1-z_2\vert=0\)，則\(\overline{z_1}=\overline{z_2}\)B.若\(z_1=\overline{z_2}\)，則\(\overline{z_1}=z_2\)C.若\(\vertz_1\vert=\vertz_2\vert\)，則\(z_1\cdot\overline{z_1}=z_2\cdot\overline{z_2}\)D.若\(\vertz_1\vert=\vertz_2\vert\)，則\(z_1^2=z_2^2\)8.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2\)，則（）A.\(a_1=1\)B.\(a_n=2n-1\)C.\(a_4=7\)D.\(\{a_n\}\)是等差數(shù)列9.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，則（）A.\(z=x+2y\)的最大值為3B.\(z=x+2y\)的最小值為1C.\(z=2x-y\)的最大值為2D.\(z=2x-y\)的最小值為-110.已知函數(shù)\(f(x)=x\lnx\)，則（）A.\(f(x)\)在\((0,\frac{1}{e})\)上單調(diào)遞減B.\(f(x)\)在\((\frac{1}{e},+\infty)\)上單調(diào)遞增C.\(f(x)\)的最小值為\(-\frac{1}{e}\)D.\(f(x)\)的圖象在點(diǎn)\((1,0)\)處的切線方程為\(y=x-1\)答案：1.ABD2.BCD3.D4.ABCD5.ABC6.AC7.ABC8.ABCD9.BD10.ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函數(shù)\(y=2^x\)與\(y=\log_2x\)的圖象關(guān)于直線\(y=x\)對(duì)稱。（）3.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow=\overrightarrow{0}\)。（）4.若\(a\gtb\)，則\(a^3\gtb^3\)。（）5.直線\(x+\sqrt{3}y-1=0\)的傾斜角為\(120^{\circ}\)。（）6.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=2^n-1\)，則\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列。（）7.雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{4}{3}x\)。（）8.若\(f(x)\)是偶函數(shù)，則\(f(x+1)\)也是偶函數(shù)。（）9.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，則\(\alpha=\frac{\pi}{6}\)。（）10.已知球\(O\)的半徑為\(R\)，正方體的棱長(zhǎng)為\(a\)，若球\(O\)與正方體的各棱相切，則\(R=\frac{\sqrt{2}}{2}a\)。（）答案：1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.×9.×10.√四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_5=25\)，求\(a_n\)的通項(xiàng)公式。答案：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)。由\(a_3=5\)得\(a_1+2d=5\)，\(S_5=5a_1+\frac{5\times4}{2}d=25\)即\(a_1+2d=5\)。聯(lián)立解得\(a_1=1\)，\(d=2\)，所以\(a_n=1+2(n-1)=2n-1\)。2.求函數(shù)\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)，\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)的值域。答案：當(dāng)\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)時(shí)，\(2x+\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}]\)。\(\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)在\(2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\)時(shí)取最大值\(1\)，在\(2x+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\)時(shí)取最小值\(-\frac{1}{2}\)，所以函數(shù)值域?yàn)閈([-\frac{3}{2},3]\)。3.已知圓\(C\)的圓心在直線\(y=x\)上，且過點(diǎn)\((1,0)\)和\((0,1)\)，求圓\(C\)的方程。答案：設(shè)圓心坐標(biāo)為\((a,a)\)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\((x-a)^2+(y-a)^2=r^2\)。把\((1,0)\)和\((0,1)\)代入得\(\begin{cases}(1-a)^2+a^2=r^2\\a^2+(1-a)^2=r^2\end{cases}\)，解得\(a=\frac{1}{2}\)，\(r^2=\frac{1}{2}\)，圓\(C\)方程為\((x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}\)。4.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，求\(\frac{1}{a}+\frac{4}\)的最小值。答案：\(\frac{1}{a}+\frac{4}=(\frac{1}{a}+\frac{4})(a+b)=1+\frac{a}+\frac{4a}+4=5+\frac{a}+\frac{4a}\)。由基本不等式，\(\frac{a}+\frac{4a}\geq2\sqrt{\frac{a}\times\frac{4a}}=4\)，所以\(\frac{1}{a}+\frac{4}\)最小值為\(5+4=9\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.在解析幾何中，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有哪些判斷方法？請(qǐng)舉例說明。答案：判斷方法有聯(lián)立方程法。聯(lián)立直線與圓錐曲線方程消元得一元二次方程，根據(jù)判別式\(\Delta\)判斷。如直線\(y=x+1\)與橢圓\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)，聯(lián)立得\(5x^2+8x=0\)，\(\Delta\gt0\)，直線與橢圓相交。2.結(jié)合具體函數(shù)，談?wù)労瘮?shù)單調(diào)性在實(shí)際解題中的應(yīng)用。答案：比如函數(shù)\(f(x)=x^2\)在\((0,+\infty)\)單調(diào)遞增。若解不等式\(f(a)\gtf(b)\)（\(a,b\g