第05講完全平方公式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①完全平方公式②添括號(hào)法則掌握完全平方公式以及完全平方公式的特點(diǎn)，完全平方公式的幾何意義并能夠熟練應(yīng)用其解決問(wèn)題。掌握添加括號(hào)的法則，能夠熟練的運(yùn)用。知識(shí)點(diǎn)01完全平方公式完全平方公式：①完全平方和公式：兩個(gè)數(shù)的和的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的的和這兩個(gè)數(shù)乘積的兩倍。即：?？梢允莾蓚€(gè)數(shù)，也可以是兩個(gè)式子。②完全平方差公式：兩個(gè)數(shù)的差的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的的和這兩個(gè)數(shù)的乘積的兩倍。即：?？梢允莾蓚€(gè)數(shù)，也可以是兩個(gè)式子。完全平方公式的式子特點(diǎn)：：一個(gè)二項(xiàng)式的平方，等于這個(gè)二項(xiàng)式的兩項(xiàng)的加上這兩項(xiàng)的。注意每一項(xiàng)都包含前面的符號(hào)。巧記：首平方加尾平方，首位兩倍放中央。完全平方公式的幾何背景：圖1中面積的整體表示為：用各部分面積之和表示為：所以用同樣的方法表示圖2的面積即可得到：。完全平方和公式與完全平方差公式的轉(zhuǎn)化：，∵∴【即學(xué)即練1】1．運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：（1）（4m+n）2；（2）；（3）（﹣a﹣b）2；（4）（﹣a+b）2．【即學(xué)即練2】2．運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：（1）632；（2）982；（3）700.12；（4）499.92．【即學(xué)即練3】3．已知x2+y2＝26，xy＝3，求（x+y）2和（x﹣y）2的值．【即學(xué)即練4】4．若要使4x2+mx+16成為完全平方式，則常數(shù)m的值為（）A．﹣8 B．±8 C．﹣16 D．±16【即學(xué)即練5】5．若x2+6x+m2是一個(gè)完全平方式，則m的值為（）A．3 B．9 C．±3 D．±9【即學(xué)即練6】6．如圖所示分割正方形，各圖形面積之間的關(guān)系，驗(yàn)證了一個(gè)等式，這個(gè)等式是（）A．（y+x）2＝y(tǒng)2+xy+x2 B．（y+x）2＝y(tǒng)2+2xy+x2 C．（y+x）（y﹣x）＝y(tǒng)2﹣x2 D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy知識(shí)點(diǎn)02添括號(hào)法則添括號(hào)法則：在條加括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前面時(shí)正號(hào)，括到括號(hào)里面的每一項(xiàng)都，若括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，則括到括號(hào)里面的每一項(xiàng)都要。即：＝（）；＝（）【即學(xué)即練1】,7．計(jì)算題：（1）（a﹣2b﹣3c）2；（2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2．題型01利用完全平方公式計(jì)算【典例1】計(jì)算：（1）（﹣5a+4b）2；（2）（2a﹣b）2；（3）（a﹣b）2；（4）（﹣mn+）2．【變式1】計(jì)算：（1）（x﹣6）2．（2）（﹣2x﹣y）2．（3）（﹣p+3q）2．（4）[（2m+n）（2m﹣n）]2．【變式2】計(jì)算：（1）（1+4a）2；（2）（﹣5+3y）2；（3）（x2﹣6y）2；（4）；（5）（2a+1）2﹣4a（a﹣1）；（6）．題型02利用完全平方公式簡(jiǎn)便運(yùn)算【典例1】利用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算：（1）1012＝（+）2＝；（2）9.82＝（﹣）2＝．【變式1】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：20032﹣2003×8+16＝．【變式2】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：2022+202×196+982．題型03利用完全平方公式變形求值【典例1】已知a+b＝4，ab＝2，則a2+b2＝（）A．8 B．10 C．12 D．16【變式1】已知（a+b）2＝12，ab＝2，則（a﹣b）2的值為（）A．8 B．20 C．4 D．16【變式2】已知a﹣b＝3，ab＝1，求下列代數(shù)式的值．（1）a2+b2；（2）（a+b）2．【變式3】已知（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6，求下列各式的值．（1）a2+b2；（2）a4+b4．題型04利用完全平方式的特點(diǎn)求值【典例1】若x2+kx+64為一個(gè)完全平方式，則k的值為（）A．16 B．±16 C．8 D．±8【變式1】若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+（k﹣2）x+16是一個(gè)完全平方式，那么k的值是（）A．﹣6 B．6 C．±6 D．10或﹣6【變式2】若多項(xiàng)式4x2﹣（k﹣1）xy+25y2是關(guān)于x、y的完全平方式，則k的值為（）A．21 B．19 C．21或﹣19 D．﹣21或19【變式4】將整式9x2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式，使它成為一個(gè)完全平方式，下列添加錯(cuò)誤的是（）A．6x B．﹣6x C． D．3x【變式5】若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+nx+m是完全平方式，則m與n的關(guān)系式為（）A．m＝4n2 B．m＝﹣4n2 C． D．題型02完全平方公式的幾何意義【典例1】如圖，利用圖中面積的等量關(guān)系可以得到的公式是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝a（a+b）+b（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【變式1】?jī)蓚€(gè)邊長(zhǎng)為a的大正方形與兩個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形按如圖所示放置，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么陰影部分的面積是（）A．30 B．34 C．40 D．44【變式2】如圖所示，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么陰影部分的面積是（）A．10 B．20 C．30 D．40【變式3】如圖1，小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為a和b，將四塊這樣的長(zhǎng)方形按如圖2所示位置擺放．（1）圖2中的四邊形EFGH為正方形，其邊長(zhǎng)為．（2）能用圖2中的圖形面積關(guān)系來(lái)驗(yàn)證的等式是：＝．（3）若x﹣y＝3，xy＝4，求x+y的值．題型02平方差公式與完全平方公式的綜合【典例1】計(jì)算：（1）（3x﹣2y﹣1）2；（2）（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）﹣（a﹣b﹣c）2．【變式1】計(jì)算下列各式：（1）；（2）（2a﹣3b+1）2．【變式2】已知m2+n2﹣6m+10n+34＝0，求m+n．【變式3】閱讀理解．已知（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，求（a﹣13）2的值．解：由（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，可得[（a﹣13）+1]2+[（a﹣13）﹣1]2＝6．整理得（a﹣13）2+2（a﹣13）+1+（a﹣13）2﹣2（a﹣13）+1＝6．2（a﹣13）2+2＝6得（a﹣13）2＝2．請(qǐng)仿照上述方法，完成下列問(wèn)題：（1）已知（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10，求（a﹣97）2的值．（2）已知（a﹣2024）2＝8，求（a﹣2025）2+（2023﹣a）2的值．1．小華在利用完全平方公式計(jì)算時(shí)，墨跡將結(jié)果“＝4x2●?+25y2”中的一項(xiàng)染黑了，則墨跡覆蓋的這一項(xiàng)及其符號(hào)可能是（）A．+10xy B．+10xy或﹣10xy C．+20xy D．+20xy或﹣20xy2．已知x2+x﹣3＝0，那么代數(shù)式x（x﹣2）+（x+2）2+5值是（）A．14 B．15 C．16 D．173．已知a＝5+5b，則代數(shù)式a2﹣10ab+25b2的值是（）A．16 B．20 C．25 D．304．若a、b是某長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，且有（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，則該長(zhǎng)方形面積為（）A．3 B．4 C．5 D．65．若（2x+3y）2＝（2x﹣3y）2+（）成立，則括號(hào)內(nèi)的式子等于（）A．24xy B．12xy C．6xy D．4xy6．如果x2+（m﹣1）x+9是一個(gè)完全平方式，那么m的值是（）A．7 B．﹣7 C．﹣5或7 D．﹣5或57．已知a+b＝5，ab＝﹣2，則a2﹣ab+b2的值是（）A．30 B．31 C．32 D．338．設(shè)a＝x﹣2022，b＝x﹣2024，c＝x﹣2023．若a2+b2＝16，則c2的值是（）A．5 B．6 C．7 D．89．有兩個(gè)正方形A，B，現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部，得到圖①，將A，B并列放置后構(gòu)成新的正方形，得到圖②．若圖①陰影面積為3，正方形A，B的面積之和為11，則圖②陰影面積是（）A．8 B．9 C．12 D．1510．已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，那么a4+b4+c4的值是（）A．6 B．8 C．20 D．3411．計(jì)算：（a+2b）2＝；（3x﹣1）2＝．12．若（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝5，則xy＝．13．若|x+y﹣5|+（xy﹣6）2＝0，則x2+y2的值為．14．已知：a+b＝3，ab＝5，則a2+b2﹣2a﹣2b+6＝．15．小聰在學(xué)習(xí)完乘法公式后，發(fā)現(xiàn)完全平方公式經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃位驍?shù)形結(jié)合，可以解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題．如圖擺放兩個(gè)正方形卡片，A、M、B在同一直線(xiàn)上．若AB＝5，且兩個(gè)正方形面積之和為13，則陰影部分的面積為．16．已知：a﹣b＝3，ab＝1，試求：（1）a2+3ab+b2的值；（2）（a+b）2的值．17．運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（1）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）；（2）（a+b+c）2．18．閱讀下列解答過(guò)程：已知：x≠0，且滿(mǎn)足x2﹣3x＝1．求：的值．解：∵x2﹣3x＝1，∴x2﹣3x﹣1＝0∴，即．∴＝＝32+2＝11．請(qǐng)通過(guò)閱讀以上內(nèi)容，解答下列問(wèn)題：已知a≠0，且滿(mǎn)足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣7，求：（1）的值；（2）的值．19．在數(shù)學(xué)中，通常可以運(yùn)用一些公式來(lái)解決問(wèn)題．比如，運(yùn)用兩數(shù)和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，能夠在三個(gè)代數(shù)式a+b，ab，a2+b2中，當(dāng)已知其中任意兩個(gè)代數(shù)式的值時(shí)，求出第三個(gè)代數(shù)式的值．例如：已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2的值．解：將a+b＝3兩邊同時(shí)平方，得（a+b）2＝32，即a2+2ab+b2＝9，因?yàn)閍b＝2，等量代換，得a2+b2+2×2＝9，所以a2+b2＝5．請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題．（1）已知a﹣b＝1，a2+b2＝17，求ab的值．（2）如圖，已知兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a、b，若a+b＝7，ab＝9，求圖中陰影部分的面積．（3）若（2025﹣x）（x﹣2024）＝﹣6，則（2025﹣x）2+（x﹣2024）2的值為．20．王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運(yùn)用后，要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求代數(shù)式x2+4x+5的最小值．同學(xué)們經(jīng)過(guò)交流討論，最后總結(jié)出如下解答方法：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因?yàn)椋▁+2）2≥0，所以當(dāng)