2025年大學(xué)多元統(tǒng)計(jì)分析期末考試題庫——方差分析測(cè)試考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項(xiàng)選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其字母代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。）1.方差分析的基本原理是（）。A.比較不同組別之間的均值差異B.檢驗(yàn)不同因素對(duì)結(jié)果的影響程度C.分析數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性D.評(píng)估樣本的代表性2.在單因素方差分析中，自由度df?和df?分別代表什么？（）。A.df?是處理自由度，df?是誤差自由度B.df?是誤差自由度，df?是處理自由度C.df?和df?都是處理自由度D.df?和df?都是誤差自由度3.如果F檢驗(yàn)的p值小于顯著性水平α，那么我們通常會(huì)得出什么結(jié)論？（）。A.處理效應(yīng)不顯著B.處理效應(yīng)顯著C.數(shù)據(jù)存在異常值D.需要增加樣本量4.多因素方差分析與單因素方差分析的主要區(qū)別是什么？（）。A.多因素方差分析考慮多個(gè)因素，而單因素方差分析只考慮一個(gè)因素B.多因素方差分析不需要考慮交互作用，而單因素方差分析需要C.多因素方差分析適用于小樣本，而單因素方差分析適用于大樣本D.多因素方差分析的結(jié)果更準(zhǔn)確，而單因素方差分析的結(jié)果不準(zhǔn)確5.在方差分析中，如果某個(gè)因素的p值很大，那么這意味著什么？（）。A.該因素對(duì)結(jié)果有顯著影響B(tài).該因素對(duì)結(jié)果沒有顯著影響C.該因素的數(shù)據(jù)存在異常值D.需要增加樣本量6.方差分析中的誤差平方和（SSE）是什么意思？（）。A.反映處理效應(yīng)的平方和B.反映誤差的平方和C.反映總變異的平方和D.反映處理和誤差的平方和7.在方差分析中，如果某個(gè)因素的效應(yīng)顯著，那么我們應(yīng)該如何處理？（）。A.增加該因素的樣本量B.忽略該因素C.進(jìn)行多重比較D.停止實(shí)驗(yàn)8.方差分析中的交互作用是什么意思？（）。A.不同因素之間的相互作用B.處理效應(yīng)的疊加C.誤差的累積D.數(shù)據(jù)的隨機(jī)波動(dòng)9.在方差分析中，如果某個(gè)因素的效應(yīng)不顯著，那么我們應(yīng)該如何處理？（）。A.增加該因素的樣本量B.忽略該因素C.進(jìn)行多重比較D.停止實(shí)驗(yàn)10.方差分析中的均值差異檢驗(yàn)通常使用什么方法？（）。A.t檢驗(yàn)B.F檢驗(yàn)C.卡方檢驗(yàn)D.Z檢驗(yàn)11.在方差分析中，如果某個(gè)因素的效應(yīng)顯著，那么我們應(yīng)該如何解釋？（）。A.該因素對(duì)結(jié)果有顯著影響B(tài).該因素對(duì)結(jié)果沒有顯著影響C.該因素的數(shù)據(jù)存在異常值D.需要增加樣本量12.方差分析中的總平方和（SST）是什么意思？（）。A.反映處理效應(yīng)的平方和B.反映誤差的平方和C.反映總變異的平方和D.反映處理和誤差的平方和13.在方差分析中，如果某個(gè)因素的p值很小，那么這意味著什么？（）。A.該因素對(duì)結(jié)果有顯著影響B(tài).該因素對(duì)結(jié)果沒有顯著影響C.該因素的數(shù)據(jù)存在異常值D.需要增加樣本量14.方差分析中的處理平方和（SSTr）是什么意思？（）。A.反映處理效應(yīng)的平方和B.反映誤差的平方和C.反映總變異的平方和D.反映處理和誤差的平方和15.在方差分析中，如果某個(gè)因素的效應(yīng)顯著，那么我們應(yīng)該如何進(jìn)一步分析？（）。A.增加該因素的樣本量B.忽略該因素C.進(jìn)行多重比較D.停止實(shí)驗(yàn)16.方差分析中的誤差均方（MSE）是什么意思？（）。A.反映處理效應(yīng)的均方B.反映誤差的均方C.反映總變異的均方D.反映處理和誤差的均方17.在方差分析中，如果某個(gè)因素的p值很大，那么我們應(yīng)該如何處理？（）。A.增加該因素的樣本量B.忽略該因素C.進(jìn)行多重比較D.停止實(shí)驗(yàn)18.方差分析中的處理均方（MSTr）是什么意思？（）。A.反映處理效應(yīng)的均方B.反映誤差的均方C.反映總變異的均方D.反映處理和誤差的均方19.在方差分析中，如果某個(gè)因素的效應(yīng)顯著，那么我們應(yīng)該如何解釋？（）。A.該因素對(duì)結(jié)果有顯著影響B(tài).該因素對(duì)結(jié)果沒有顯著影響C.該因素的數(shù)據(jù)存在異常值D.需要增加樣本量20.方差分析中的總均方（MSTr）是什么意思？（）。A.反映處理效應(yīng)的均方B.反映誤差的均方C.反映總變異的均方D.反映處理和誤差的均方二、多項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。在每小題列出的五個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將其字母代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、少選或未選均無分。）1.方差分析的基本假設(shè)有哪些？（）。A.正態(tài)性B.獨(dú)立性C.方差齊性D.線性關(guān)系E.數(shù)據(jù)一致性2.在單因素方差分析中，自由度df?和df?的計(jì)算公式是什么？（）。A.df?=k-1B.df?=n-kC.df?=k-1D.df?=n-kE.df?+df?=n-13.如果F檢驗(yàn)的p值小于顯著性水平α，那么我們通常會(huì)得出什么結(jié)論？（）。A.處理效應(yīng)不顯著B.處理效應(yīng)顯著C.數(shù)據(jù)存在異常值D.需要增加樣本量E.需要進(jìn)一步進(jìn)行多重比較4.多因素方差分析與單因素方差分析的主要區(qū)別是什么？（）。A.多因素方差分析考慮多個(gè)因素，而單因素方差分析只考慮一個(gè)因素B.多因素方差分析不需要考慮交互作用，而單因素方差分析需要C.多因素方差分析適用于小樣本，而單因素方差分析適用于大樣本D.多因素方差分析的結(jié)果更準(zhǔn)確，而單因素方差分析的結(jié)果不準(zhǔn)確E.多因素方差分析可以分析因素之間的交互作用5.在方差分析中，如果某個(gè)因素的p值很大，那么這意味著什么？（）。A.該因素對(duì)結(jié)果有顯著影響B(tài).該因素對(duì)結(jié)果沒有顯著影響C.該因素的數(shù)據(jù)存在異常值D.需要增加樣本量E.需要進(jìn)一步進(jìn)行多重比較6.方差分析中的誤差平方和（SSE）是什么意思？（）。A.反映處理效應(yīng)的平方和B.反映誤差的平方和C.反映總變異的平方和D.反映處理和誤差的平方和E.反映數(shù)據(jù)的隨機(jī)波動(dòng)7.在方差分析中，如果某個(gè)因素的效應(yīng)顯著，那么我們應(yīng)該如何處理？（）。A.增加該因素的樣本量B.忽略該因素C.進(jìn)行多重比較D.停止實(shí)驗(yàn)E.需要進(jìn)一步分析交互作用8.方差分析中的交互作用是什么意思？（）。A.不同因素之間的相互作用B.處理效應(yīng)的疊加C.誤差的累積D.數(shù)據(jù)的隨機(jī)波動(dòng)E.因素的主效應(yīng)9.在方差分析中，如果某個(gè)因素的效應(yīng)不顯著，那么我們應(yīng)該如何處理？（）。A.增加該因素的樣本量B.忽略該因素C.進(jìn)行多重比較D.停止實(shí)驗(yàn)E.需要進(jìn)一步分析其他因素10.方差分析中的均值差異檢驗(yàn)通常使用什么方法？（）。A.t檢驗(yàn)B.F檢驗(yàn)C.卡方檢驗(yàn)D.Z檢驗(yàn)E.多重比較三、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。）1.簡(jiǎn)述方差分析的基本原理和目的。在咱們做方差分析的時(shí)候啊，其實(shí)心里想的就是，這數(shù)據(jù)里的差異，到底有多少是來自咱們關(guān)心的那些因素，比如不同的教學(xué)方法啊，或者不同的藥品啊，又有多少是純粹瞎忙乎造成的隨機(jī)波動(dòng)。咱們用方差分析，就是想把這倆部分給分清楚。具體點(diǎn)說，就是看處理因素引起的變異是不是真的比誤差引起的變異要大，要是真的大，那咱們就認(rèn)為這個(gè)因素是有顯著影響的。說白了，就是想通過比較不同組之間的均值差異，來判斷這些差異是不是真的有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，而不是碰巧瞎搞出來的。2.解釋什么是單因素方差分析和多因素方差分析，并說明它們各自的應(yīng)用場(chǎng)景。單因素方差分析，說白了就是咱們只看一個(gè)因素的影響，比如就看看不同的飼料對(duì)豬的體重增長(zhǎng)有沒有影響。這時(shí)候，咱們就只關(guān)注那個(gè)“飼料”這一個(gè)因素，看看它不同水平（比如不同種類的飼料）下，豬的體重增長(zhǎng)是不是有顯著差異。這個(gè)方法簡(jiǎn)單直接，適合那些只想研究某一個(gè)變量影響的情況。而多因素方差分析呢，就好比咱們不只看飼料，還想看看飼料和豬的品種，或者喂食的時(shí)間，這些因素一起對(duì)體重增長(zhǎng)有沒有影響。這時(shí)候，咱們就得同時(shí)考慮多個(gè)因素，并且還要看看這些因素之間會(huì)不會(huì)有“勾結(jié)”，也就是交互作用。比如說，某種飼料可能對(duì)瘦肉型豬效果特別好，但對(duì)脂肪型豬效果就一般。這種“勾結(jié)”就是交互作用。多因素方差分析能幫咱們搞清楚每個(gè)因素單獨(dú)的作用，還能搞清楚這些因素合起來，或者互相配合的時(shí)候，效果怎么樣。這個(gè)方法復(fù)雜一點(diǎn)，但更全面，適合那些想全面研究多個(gè)變量影響的情況。3.方差分析有哪些基本假設(shè)？如果這些假設(shè)不滿足，會(huì)有什么后果？方差分析呢，它有幾個(gè)基本假設(shè)，要是這些假設(shè)不滿足，那咱們得出的結(jié)論就可能是錯(cuò)的。這幾個(gè)假設(shè)是：第一，正態(tài)性。就是每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)，都應(yīng)該是正態(tài)分布的。咱們想象一下，如果數(shù)據(jù)像山一樣，一邊高一邊低，那用方差分析就可能不太合適。第二，獨(dú)立性。就是每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間，都是互相獨(dú)立的，沒有誰影響誰。比如說，咱們隨機(jī)抽出來的樣本，就不能有同一個(gè)人被抽兩次，也不能有親戚關(guān)系，不然就可能互相影響，導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)。第三，方差齊性。就是每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)的方差，都應(yīng)該差不多。如果有的組數(shù)據(jù)很分散，有的組數(shù)據(jù)很集中，那用方差分析就可能不太合適，因?yàn)榉讲罘治鍪羌僭O(shè)所有組的方差都一樣的。要是這些假設(shè)不滿足，會(huì)有什么后果呢？比如說，如果數(shù)據(jù)不滿足正態(tài)性，那咱們計(jì)算的F值就可能不準(zhǔn)確，導(dǎo)致咱們犯錯(cuò)誤的概率增加，也就是假陽性增多。如果數(shù)據(jù)不滿足獨(dú)立性，那咱們計(jì)算出的誤差估計(jì)就可能不準(zhǔn)確，同樣會(huì)導(dǎo)致F值不準(zhǔn)確。如果數(shù)據(jù)不滿足方差齊性，那咱們計(jì)算的F值也可能不準(zhǔn)確，導(dǎo)致咱們犯錯(cuò)誤的概率增加，或者得出錯(cuò)誤的結(jié)論。所以，在用方差分析之前，一定要先檢查這些假設(shè)是否滿足。要是不滿足，那可能就得用其他方法了，或者對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一些處理，比如用轉(zhuǎn)換的方法，讓數(shù)據(jù)滿足正態(tài)性，或者用不同的方差分析方法，比如Welch'st檢驗(yàn)，它就不要求方差齊性。4.簡(jiǎn)述多重比較的必要性和常用方法。多重比較，顧名思義，就是比較多組之間的均值差異。有時(shí)候，咱們用方差分析得出結(jié)論，說至少有兩個(gè)組的均值是不同的，但具體是哪兩個(gè)組不同，或者有多少組是不同的，方差分析本身是告訴不了咱們的。這時(shí)候，就得用多重比較了。多重比較的必要性在于，它能幫咱們找出哪些組之間的均值差異是統(tǒng)計(jì)上顯著的，這樣咱們就能更清楚地了解數(shù)據(jù)背后的規(guī)律。常用的多重比較方法有很多，比如：第一，Tukey'sHSD（HonestlySignificantDifference）檢驗(yàn)。這個(gè)方法比較常用，它比較穩(wěn)健，適合所有組的樣本量都相等的情況。第二，Bonferroni校正。這個(gè)方法比較保守，就是通過調(diào)整顯著性水平，來控制犯假陽性錯(cuò)誤的概率。它特別適合多重比較的次數(shù)比較多的情況。第三，SNK（Student-Newman-Keuls）檢驗(yàn)。這個(gè)方法比較靈活，適合樣本量不相等的情況，但它比較激進(jìn)，就是容易犯假陽性錯(cuò)誤。第四，Dunnett檢驗(yàn)。這個(gè)方法比較特殊，就是只比較每個(gè)組與一個(gè)對(duì)照組之間的均值差異。它特別適合那些有明確的對(duì)照組的實(shí)驗(yàn)。還有其他很多方法，比如Duncan's多重范圍檢驗(yàn)，F(xiàn)isher'sLSD（LeastSignificantDifference）檢驗(yàn)等等。選擇哪種方法，要看咱們的具體實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和假設(shè)。一般來說，要是多重比較的次數(shù)比較多，就建議用Bonferroni校正，因?yàn)樗容^保守，能控制犯錯(cuò)誤的概率。要是樣本量不相等，就建議用SNK檢驗(yàn)。要是有一個(gè)明確的對(duì)照組，就建議用Dunnett檢驗(yàn)。5.在方差分析中，如何處理交互作用不顯著的情況？在方差分析中，如果交互作用不顯著，那意味著咱們所考慮的那些因素之間，沒有明顯的“勾結(jié)”現(xiàn)象。也就是說，一個(gè)因素的效果，不受其他因素的影響，或者說，不同因素組合起來的效果，與每個(gè)因素單獨(dú)的效果之和差不多。那這時(shí)候，咱們?cè)撛趺崔k呢？首先，可以放心地關(guān)注各個(gè)因素的主效應(yīng)。因?yàn)榻换プ饔貌伙@著，意味著各個(gè)因素的效果是獨(dú)立的，所以咱們可以分別看看每個(gè)因素對(duì)結(jié)果的影響大小。如果某個(gè)因素的主效應(yīng)顯著，那就說明這個(gè)因素對(duì)結(jié)果是有顯著影響的，即使其他因素怎么樣，它的影響也是顯著的。其次，可以簡(jiǎn)化模型。因?yàn)榻换プ饔貌伙@著，意味著咱們可以不考慮因素之間的相互作用，所以可以把模型簡(jiǎn)化一下，只保留各個(gè)因素的主效應(yīng)。這樣模型就簡(jiǎn)單了，解釋起來也更方便。但是，也有一些時(shí)候，即使交互作用不顯著，咱們也不能完全忽略它。比如說，如果交互作用雖然不顯著，但接近顯著性水平，或者如果咱們從專業(yè)知識(shí)上認(rèn)為因素之間可能存在相互作用，這時(shí)候就建議保留交互作用，繼續(xù)進(jìn)行分析。當(dāng)然，保留交互作用后，如果發(fā)現(xiàn)它顯著，那意味著因素之間存在相互作用，需要進(jìn)一步分析這些相互作用的具體情況；如果發(fā)現(xiàn)它仍然不顯著，那就可以放心地關(guān)注各個(gè)因素的主效應(yīng)，并簡(jiǎn)化模型?？偟膩碚f，交互作用不顯著時(shí)，可以關(guān)注各個(gè)因素的主效應(yīng)，并簡(jiǎn)化模型。但具體怎么做，還要根據(jù)實(shí)際情況來決定。四、計(jì)算題（本大題共3小題，每小題10分，共30分。）1.某研究想要比較三種不同的教學(xué)方法（A、B、C）對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)是否有顯著影響。隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，平均分成3組，分別接受A、B、C三種教學(xué)方法，一段時(shí)間后，測(cè)得學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦卤硭?。?qǐng)用方差分析方法檢驗(yàn)三種教學(xué)方法對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)是否有顯著影響（α=0.05）。A組：78,82,85,89,91B組：81,83,86,88,90C組：75,79,82,84,86解答：首先，我們需要計(jì)算各個(gè)組的均值、總均值、離差平方和等統(tǒng)計(jì)量。A組的均值為：（78+82+85+89+91）/5=85B組的均值為：（81+83+86+88+90）/5=85.4C組的均值為：（75+79+82+84+86）/5=81.8總均值為：（78+82+85+89+91+81+83+86+88+90+75+79+82+84+86）/15=83.1333離差平方和：組內(nèi)離差平方和（SSE）=Σ(每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)-該組均值)2A組：(78-85)2+(82-85)2+(85-85)2+(89-85)2+(91-85)2=330B組：(81-85.4)2+(83-85.4)2+(86-85.4)2+(88-85.4)2+(90-85.4)2=294.4C組：(75-81.8)2+(79-81.8)2+(82-81.8)2+(84-81.8)2+(86-81.8)2=326.4SSE=330+294.4+326.4=950.8組間離差平方和（SSTr）=Σ(該組均值-總均值)2×該組樣本量SSTr=(85-83.1333)2×5+(85.4-83.1333)2×5+(81.8-83.1333)2×5=243.1333總離差平方和（SST）=SSE+SSTr=950.8+243.1333=1193.9333自由度：組間自由度（df?）=組數(shù)-1=3-1=2組內(nèi)自由度（df?）=總樣本量-組數(shù)=15-3=12均方：組間均方（MSTr）=SSTr/df?=243.1333/2=121.5667組內(nèi)均方（MSE）=SSE/df?=950.8/12=79.2333F統(tǒng)計(jì)量：F=MSTr/MSE=121.5667/79.2333=1.536查F分布表，得F(α=0.05,df?=2,df?=12)=3.885因?yàn)镕=1.536<3.885，所以P>0.05，不能拒絕原假設(shè)，即三種教學(xué)方法對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)沒有顯著影響。2.某農(nóng)場(chǎng)想要比較四種不同的肥料（A、B、C、D）對(duì)作物產(chǎn)量的影響。隨機(jī)選取了20塊土地，平均分成4組，分別施用A、B、C、D四種肥料，一段時(shí)間后，測(cè)得作物的產(chǎn)量如下表所示。請(qǐng)用方差分析方法檢驗(yàn)四種肥料對(duì)作物產(chǎn)量是否有顯著影響（α=0.01）。A組：15,16,17,18,19B組：14,15,16,17,18C組：13,14,15,16,17D組：12,13,14,15,16解答：首先，我們需要計(jì)算各個(gè)組的均值、總均值、離差平方和等統(tǒng)計(jì)量。A組的均值為：（15+16+17+18+19）/5=17B組的均值為：（14+15+16+17+18）/5=16C組的均值為：（13+14+15+16+17）/5=15D組的均值為：（12+13+14+15+16）/5=14總均值為：（15+16+17+18+19+14+15+16+17+18+13+14+15+16+17+12+13+14+15+16）/20=15.5離差平方和：組內(nèi)離差平方和（SSE）=Σ(每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)-該組均值)2A組：(15-17)2+(16-17)2+(17-17)2+(18-17)2+(19-17)2=20B組：(14-16)2+(15-16)2+(16-16)2+(17-16)2+(18-16)2=20C組：(13-15)2+(14-15)2+(15-15)2+(16-15)2+(17-15)2=20D組：(12-14)2+(13-14)2+(14-14)2+(15-14)2+(16-14)2=20SSE=20+20+20+20=80組間離差平方和（SSTr）=Σ(該組均值-總均值)2×該組樣本量SSTr=(17-15.5)2×5+(16-15.5)2×5+(15-15.5)2×5+(14-15.5)2×5=50總離差平方和（SST）=SSE+SSTr=80+50=130自由度：組間自由度（df?）=組數(shù)-1=4-1=3組內(nèi)自由度（df?）=總樣本量-組數(shù)=20-4=16均方：組間均方（MSTr）=SSTr/df?=50/3=16.6667組內(nèi)均方（MSE）=SSE/df?=80/16=5F統(tǒng)計(jì)量：F=MSTr/MSE=16.6667/5=3.3333查F分布表，得F(α=0.01,df?=3,df?=16)=5.29因?yàn)镕=3.3333<5.29，所以P>0.01，不能拒絕原假設(shè)，即四種肥料對(duì)作物產(chǎn)量沒有顯著影響。3.某公司想要比較三種不同的廣告策略（A、B、C）和兩種不同的廣告渠道（X、Y）對(duì)銷售額的影響。隨機(jī)選取了30個(gè)銷售點(diǎn)，平均分成6組，分別采用A、B、C三種廣告策略和X、Y兩種廣告渠道，一段時(shí)間后，測(cè)得銷售額如下表所示。請(qǐng)用方差分析方法檢驗(yàn)廣告策略和廣告渠道對(duì)銷售額是否有顯著影響，以及它們之間是否存在交互作用（α=0.05）。A組X：120,125,130,135,140A組Y：110,115,120,125,130B組X：130,135,140,145,150B組Y：120,125,130,135,140C組X：140,145,150,155,160C組Y：130,135,140,145,150解答：首先，我們需要計(jì)算各個(gè)組的均值、總均值、離差平方和等統(tǒng)計(jì)量。A組X的均值為：（120+125+130+135+140）/5=132A組Y的均值為：（110+115+120+125+130）/5=122B組X的均值為：（130+135+140+145+150）/5=138B組Y的均值為：（120+125+130+135+140）/5=132C組X的均值為：（140+145+150+155+160）/5=146C組Y的均值為：（130+135+140+145+150）/5=136總均值為：（120+125+130+135+140+110+115+120+125+130+130+135+140+145+150+140+145+150+155+160+130+135+140+145+150）/30=132離差平方和：組內(nèi)離差平方和（SSE）=Σ(每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)-該組均值)2A組X：(120-132)2+(125-132)2+(130-132)2+(135-132)2+(140-132)2=330A組Y：(110-122)2+(115-122)2+(120-122)2+(125-122)2+(130-122)2=220B組X：(130-138)2+(135-138)2+(140-138)2+(145-138)2+(150-138)2=320B組Y：(120-132)2+(125-132)2+(130-132)2+(135-132)2+(140-132)2=220C組X：(140-146)2+(145-146)2+(150-146)2+(155-146)2+(160-146)2=330C組Y：(130-136)2+(135-136)2+(140-136)2+(145-136)2+(150-136)2=220SSE=330+220+320+220+330+220=1760組間離差平方和（SSTr）=Σ(該組均值-總均值)2×該組樣本量A組X：(132-132)2×5=0A組Y：(122-132)2×5=100B組X：(138-132)2×5=50B組Y：(132-132)2×5=0C組X：(146-132)2×5=200C組Y：(136-132)2×5=20SSTr=0+100+50+0+200+20=370交互作用離差平方和（SSInt）=Σ(該組均值-對(duì)應(yīng)A組均值-對(duì)應(yīng)X組均值+總均值)2×該組樣本量SSInt=(132-132-138+132)2×5+(122-132-138+132)2×5+(138-132-138+132)2×5+(132-132-138+132)2×5+(146-132-138+132)2×5+(136-132-138+132)2×5=500總離差平方和（SST）=SSE+SSTr+SSInt=1760+370+500=2630自由度：組間自由度（df?）=(組數(shù)-1)×(因素?cái)?shù)-1)=(6-1)×(2-1)=5組內(nèi)自由度（df?）=總樣本量-組數(shù)=30-6=24交互作用自由度（df_int）=(組數(shù)-1)×(因素?cái)?shù)-1)=(6-1)×(2-1)=5均方：組間均方（MSTr）=SSTr/df?=370/5=74組內(nèi)均方（MSE）=SSE/df?=1760/24=73.3333交互作用均方（MSInt）=SSInt/df_int=500/5=100F統(tǒng)計(jì)量：F(策略)=MSTr(策略)/MSE=74/73.3333=1.0054F(渠道)=MSTr(渠道)/MSE=74/73.3333=1.0054F(交互作用)=MSInt/MSE=100/73.3333=1.3636查F分布表，得F(α=0.05,df?=5,df?=24)=2.76因?yàn)镕(策略)=1.0054<2.76，所以P>0.05，不能拒絕原假設(shè)，即廣告策略對(duì)銷售額沒有顯著影響。因?yàn)镕(渠道)=1.0054<2.76，所以P>0.05，不能拒絕原假設(shè)，即廣告渠道對(duì)銷售額沒有顯著影響。因?yàn)镕(交互作用)=1.3636<2.76，所以P>0.05，不能拒絕原假設(shè)，即廣告策略和廣告渠道之間不存在交互作用。五、論述題（本大題共2小題，每小題15分，共30分。）1.試述方差分析的基本思想和步驟，并舉例說明其在實(shí)際問題中的應(yīng)用。方差分析的基本思想，說白了就是看這數(shù)據(jù)里的差異，到底有多少是來自咱們關(guān)心的那些因素，又有多少是純粹瞎忙乎造成的隨機(jī)波動(dòng)。咱們用方差分析，就是想把這倆部分給分清楚。具體點(diǎn)說，就是看處理因素引起的變異是不是真的比誤差引起的變異要大，要是真的大，那咱們就認(rèn)為這個(gè)因素是有顯著影響的。說白了，就是想通過比較不同組之間的均值差異，來判斷這些差異是不是真的有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，而不是碰巧瞎搞出來的。方差分析的步驟，一般包括以下幾個(gè)：第一，提出假設(shè)。就是假設(shè)各個(gè)組的均值都是相等的，如果咱們能推翻這個(gè)假設(shè)，就說明至少有兩個(gè)組的均值是不同的，也就是處理因素有顯著影響。第二，計(jì)算離差平方和。就是計(jì)算各個(gè)組的離差平方和，包括組內(nèi)離差平方和和組間離差平方和。組內(nèi)離差平方和反映的是各個(gè)組內(nèi)部的變異，組間離差平方和反映的是各個(gè)組之間的變異。第三，計(jì)算自由度。就是計(jì)算組間自由度和組內(nèi)自由度。自由度反映了數(shù)據(jù)的自由變動(dòng)程度。第四，計(jì)算均方。就是計(jì)算組間均方和組內(nèi)均方。均方就是離差平方和除以自由度，反映了每個(gè)自由度上的平均變異。第五，計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量。就是計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量就是組間均方除以組內(nèi)均方，反映了組間變異和組內(nèi)變異的比值。第六，查F分布表，得臨界值。就是根據(jù)顯著性水平和自由度，查F分布表，得臨界值。第七，比較F統(tǒng)計(jì)量和臨界值。如果F統(tǒng)計(jì)量大于臨界值，就拒絕原假設(shè)，說明處理因素有顯著影響；如果F統(tǒng)計(jì)量小于臨界值，就不能拒絕原假設(shè)，說明處理因素沒有顯著影響。方差分析在實(shí)際問題中的應(yīng)用非常廣泛，比如：咱們可以用來比較不同教學(xué)方法對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)是否有顯著影響。比如說，咱們可以隨機(jī)抽取一些學(xué)生，分別用不同的教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)，一段時(shí)間后，測(cè)得學(xué)生的成績(jī)，然后用方差分析來檢驗(yàn)不同教學(xué)方法對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)是否有顯著影響。咱們還可以用來比較不同藥物對(duì)治療某種疾病的效果是否有顯著差異。比如說，咱們可以隨機(jī)抽取一些病人，分別用不同的藥物進(jìn)行治療，一段時(shí)間后，觀察病人的病情變化，然后用方差分析來檢驗(yàn)不同藥物對(duì)治療某種疾病的效果是否有顯著差異。還可以用來分析不同廣告策略對(duì)銷售額的影響。比如說，咱們可以隨機(jī)選取一些銷售點(diǎn)，分別采用不同的廣告策略，一段時(shí)間后，測(cè)得銷售額，然后用方差分析來檢驗(yàn)不同廣告策略對(duì)銷售額的影響是否有顯著差異?？傊?，方差分析是一種非常實(shí)用的統(tǒng)計(jì)方法，可以幫助咱們分析多個(gè)因素對(duì)結(jié)果的影響，以及這些因素之間是否存在交互作用。2.試述方差分析的應(yīng)用條件，以及不滿足這些條件時(shí)可以采取的補(bǔ)救措施。方差分析的應(yīng)用條件，主要有三個(gè)：第一，正態(tài)性。就是各個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)，都應(yīng)該是正態(tài)分布的。咱們想象一下，如果數(shù)據(jù)像山一樣，一邊高一邊低，那用方差分析就可能不太合適。一般來說，如果數(shù)據(jù)是連續(xù)變量，并且樣本量比較大，正態(tài)性假設(shè)就不太重要。但如果數(shù)據(jù)是離散變量，或者樣本量比較小，那正態(tài)性假設(shè)就比較重要。怎么檢驗(yàn)正態(tài)性呢？可以用直方圖、Q-Q圖等方法來檢驗(yàn)。第二，獨(dú)立性。就是各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間，都是互相獨(dú)立的，沒有誰影響誰。比如說，咱們隨機(jī)抽出來的樣本，就不能有同一個(gè)人被抽兩次，也不能有親戚關(guān)系，不然就可能互相影響，導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)。怎么保證獨(dú)立性呢？就要在抽樣的時(shí)候，遵循隨機(jī)抽樣的原則。第三，方差齊性。就是各個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)的方差，都應(yīng)該差不多。如果有的組數(shù)據(jù)很分散，有的組數(shù)據(jù)很集中，那用方差分析就可能不太合適。怎么檢驗(yàn)方差齊性呢？可以用Levene's檢驗(yàn)、Bartlett's檢驗(yàn)等方法來檢驗(yàn)。如果不滿足這些條件，那該怎么辦呢？一般來說，可以采取以下幾種補(bǔ)救措施：第一，正態(tài)性假設(shè)不滿足時(shí)，可以采用非參數(shù)檢驗(yàn)方法，比如Kruskal-Wallis檢驗(yàn)。非參數(shù)檢驗(yàn)方法不需要滿足正態(tài)性假設(shè)，但它對(duì)數(shù)據(jù)的分布沒有要求，所以結(jié)果可能不太準(zhǔn)確。第二，獨(dú)立性假設(shè)不滿足時(shí)，可以采用相關(guān)樣本的方差分析方法，比如配對(duì)樣本t檢驗(yàn)。配對(duì)樣本t檢驗(yàn)就是將每個(gè)樣本都配對(duì)，然后比較配對(duì)樣本之間的差異。第三，方差齊性假設(shè)不滿足時(shí)，可以采用Welch'st檢驗(yàn)。Welch'st檢驗(yàn)就不要求方差齊性，但它對(duì)樣本量的要求比較高，小樣本量時(shí)結(jié)果可能不太準(zhǔn)確。當(dāng)然，也有一些其他的補(bǔ)救措施，比如可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，比如對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換、平方根轉(zhuǎn)換等，使得數(shù)據(jù)滿足正態(tài)性假設(shè)和方差齊性假設(shè)。但具體采取哪種補(bǔ)救措施，要根據(jù)實(shí)際情況來決定。總的來說，方差分析是一種非常實(shí)用的統(tǒng)計(jì)方法，但在應(yīng)用的時(shí)候，要滿足正態(tài)性、獨(dú)立性和方差齊性這三個(gè)條件。如果不滿足這些條件，可以采取一些補(bǔ)救措施，比如用非參數(shù)檢驗(yàn)方法、相關(guān)樣本的方差分析方法、Welch'st檢驗(yàn)等。但具體采取哪種補(bǔ)救措施，要根據(jù)實(shí)際情況來決定。本次試卷答案如下一、單項(xiàng)選擇題答案及解析1.B方差分析的基本原理是檢驗(yàn)不同因素對(duì)結(jié)果的影響程度，通過比較組間差異和組內(nèi)差異來判斷因素是否具有顯著影響。2.A在單因素方差分析中，自由度df?是處理自由度，反映處理因素不同水平引起的變異；df?是誤差自由度，反映隨機(jī)誤差引起的變異。3.B如果F檢驗(yàn)的p值小于顯著性水平α，說明組間差異大于期望的隨機(jī)差異，因此我們通常得出處理效應(yīng)顯著的結(jié)論。4.A多因素方差分析與單因素方差分析的主要區(qū)別在于，多因素方差分析考慮多個(gè)因素及其交互作用對(duì)結(jié)果的影響，而單因素方差分析只考慮一個(gè)因素的影響。5.B在方差分析中，如果某個(gè)因素的p值很大，說明該因素不同水平下的均值差異不顯著，即該因素對(duì)結(jié)果沒有顯著影響。6.B誤差平方和（SSE）是反映隨機(jī)誤差的平方和，用于衡量除處理因素外其他因素引起的變異。7.C如果某個(gè)因素的效應(yīng)顯著，我們應(yīng)該進(jìn)行多重比較，以確定哪些具體水平之間存在顯著差異。8.A交互作用是指不同因素之間的相互作用對(duì)結(jié)果的影響，不是簡(jiǎn)單的主效應(yīng)疊加。9.B如果某個(gè)因素的效應(yīng)不顯著，我們可以忽略該因素，或者進(jìn)一步分析其他可能的影響因素。10.A均值差異檢驗(yàn)通常使用t檢驗(yàn)，比較不同組之間的均值是否存在顯著差異。二、多項(xiàng)選擇題答案及解析1.ABC方差分析的基本假設(shè)包括正態(tài)性、獨(dú)立性和方差齊性。正態(tài)性假設(shè)要求數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布；獨(dú)立性假設(shè)要求樣本之間相互獨(dú)立；方差齊性假設(shè)要求各組方差相等。2.AD組間自由度df?等于組數(shù)減1，組內(nèi)自由度df?等于總樣本量減組數(shù)?？傋杂啥鹊扔赿f?加上df?。3.ABC如果F檢驗(yàn)的p值小于顯著性水平α，說明至少有兩個(gè)組的均值存在顯著差異，因此我們需要進(jìn)行多重比較來確定具體哪些組之間存在差異。4.AE多因素方差分析考慮多個(gè)因素及其交互作用對(duì)結(jié)果的影響，可以分析因素之間的交互作用，適用于更復(fù)雜的研究設(shè)計(jì)。5.AB如果某個(gè)因素的p值很大，說明該因素不同水平下的均值差異不顯著，即該因素對(duì)結(jié)果沒有顯著影響。我們需要進(jìn)一步分析其他可能的影響因素。6.AB誤差平方和（SSE）是反映隨機(jī)誤差的平方和，用于衡量除處理因素外其他因素引起的變異。組內(nèi)離差平方和是SSE的一種表現(xiàn)形式。7.AC如果某個(gè)因素的效應(yīng)顯著，我們應(yīng)該進(jìn)行多重比較，以確定哪些具體水平之間存在顯著差異。同時(shí)，我們可能需要進(jìn)一步分析交互作用。8.AB交互作用是指不同因素之間的相互作用對(duì)結(jié)果的影響，不是簡(jiǎn)單的主效應(yīng)疊加。因素的主效應(yīng)是指單個(gè)因素對(duì)結(jié)果的影響。9.AB如果某個(gè)因素的效應(yīng)不顯著，我們可以忽略該因素，或者進(jìn)一步分析其他可能的影響因素。這有助于簡(jiǎn)化模型并提高解釋力。10.AD均值差異檢驗(yàn)通常使用t檢驗(yàn)或ANOVAF檢驗(yàn)，比較不同組之間的均值是否存在顯著差異。這些檢驗(yàn)方法適用于不同類型的數(shù)據(jù)和假設(shè)條件。三、簡(jiǎn)答題答案及解析1.答案：方差分析的基本原理是比較組間差異和組內(nèi)差異，判斷因素是否具有顯著影響。通過計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量，將組間變異與組內(nèi)變異進(jìn)行比較，如果F值大于臨界值，則認(rèn)為因素具有顯著影響。解析：方差分析的基本思想是通過比較不同組之間的均值差異，來判斷這些差異是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。具體來說，方差分析通過比較處理因素引起的變異和隨機(jī)誤差引起的變異，來判斷處理因素是否具有顯著影響。F統(tǒng)計(jì)量是組間均方與組內(nèi)均方的比值，用于衡量組間差異相對(duì)于組內(nèi)差異的大小。如果F值大于臨界值，則認(rèn)為處理因素具有顯著影響。2.答案：?jiǎn)我蛩胤讲罘治鲞m用于只考慮一個(gè)因素對(duì)結(jié)果的影響的情況，例如比較不同教學(xué)方法對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)的影響。多因素方差分析適用于考慮多個(gè)因素及其交互作用對(duì)結(jié)果的影響的情況，例如比較不同教學(xué)方法、不同教材對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)的綜合影響。解析：?jiǎn)我蛩胤讲罘治鍪且环N簡(jiǎn)單直觀的統(tǒng)計(jì)方法，適用于只考慮一個(gè)因素對(duì)結(jié)果的影響的情況。例如，我們可以通過單因素方差分析來比較不同教學(xué)方法對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)是否有顯著影響。而多因素方差分析則更為復(fù)雜，但可以同時(shí)考慮多個(gè)因素及其交互作用對(duì)結(jié)果的影響。例如，我們可以通過多因素方差分析來比較不同教學(xué)方法、不同教材對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)的綜合影響，并分析這些因素之間是否存在交互作用。3.答案：方差分析的基本假設(shè)包括正態(tài)性、獨(dú)立性和方差齊性。如果這些假設(shè)不滿足，可能會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。例如，如果數(shù)據(jù)不滿足正態(tài)性假設(shè)，可能會(huì)導(dǎo)致F檢驗(yàn)的p值不準(zhǔn)確，從而錯(cuò)誤地拒絕原假設(shè)或錯(cuò)誤地接受原假設(shè)。如果數(shù)據(jù)不滿足獨(dú)立性假設(shè)，可能會(huì)導(dǎo)致誤差估計(jì)不準(zhǔn)確，同樣會(huì)導(dǎo)致F檢驗(yàn)的p值不準(zhǔn)確。如果數(shù)據(jù)不滿足方差齊性假設(shè)，可能會(huì)導(dǎo)致F檢驗(yàn)的p值不準(zhǔn)確，或者導(dǎo)致多重比較的結(jié)果不準(zhǔn)確。解析：方差分析是基于一系列假設(shè)條件的統(tǒng)計(jì)方法，這些假設(shè)條件對(duì)于保證方差分析結(jié)果的準(zhǔn)確性至關(guān)重要。正態(tài)性假設(shè)要求數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，獨(dú)立性假設(shè)要求樣本之間相互獨(dú)立，方差齊性假設(shè)要求各組方差相等。如果這些假設(shè)不滿足，可能會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。例如，如果數(shù)據(jù)不滿足正態(tài)性假設(shè)，可能會(huì)導(dǎo)致F檢驗(yàn)的p值不準(zhǔn)確，從而錯(cuò)誤地拒絕原假設(shè)或錯(cuò)誤地接受原假設(shè)。如果數(shù)據(jù)不滿足獨(dú)立性假設(shè)，可能會(huì)導(dǎo)致誤差估計(jì)不準(zhǔn)確，同樣會(huì)導(dǎo)致F檢驗(yàn)的p值不準(zhǔn)確。如果數(shù)據(jù)不滿足方差齊性假設(shè)，可能會(huì)導(dǎo)致F檢驗(yàn)的p值不準(zhǔn)確，或者導(dǎo)致多重比較的結(jié)果不準(zhǔn)確。因此，在進(jìn)行方差分析之前，需要先檢查這些假設(shè)是否滿足，如果不滿足，可能需要采取一些補(bǔ)救措施，例如使用非參數(shù)檢驗(yàn)方法、對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換等。4.答案：多重比較的必要性在于，方差分析只能告訴我們至少有兩個(gè)組的均值存在顯著差異，但不能告訴我們具體是哪兩個(gè)組之間存在差異。因此，我們需要進(jìn)行多重比較來確定哪些組之間存在顯著差異。常用的多重比較方法包括Tukey'sHSD、Bonferroni校正、SNK檢驗(yàn)等。解析：多重比較是在方差分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步比較不同組之間的均值差異，以確定哪些組之間存在顯著差異。方差分析只能告訴我們至少有兩個(gè)組的均值存在顯著差異，但不能告訴我們具體是哪兩個(gè)組之間存在差異。因此，我們需要進(jìn)行多重比較來確定哪些組之間存在顯著差異。常用的多重比較方法包括Tukey'sHSD、Bonferroni校正、SNK檢驗(yàn)等。這些方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，選擇哪種方法取決于具體的研究設(shè)計(jì)和假設(shè)條件。5.答案：在方差分析中，如果交互作用不顯著，意味著各個(gè)因素的效果是獨(dú)立的，不受其他因素的影響。這時(shí)候，可以放心地關(guān)注各個(gè)因素的主效應(yīng)，并簡(jiǎn)化模型。但具體怎么做，還要根據(jù)實(shí)際情況來決定。例如，如果交互作用雖然不顯著，但接近顯著性水平，或者如果咱們從專業(yè)知識(shí)上認(rèn)為因素之間可能存在相互作用，這時(shí)候就建議保留交互作用，繼續(xù)進(jìn)