北京市高中期末數(shù)學(xué)考點(diǎn)精講講義引言高中數(shù)學(xué)期末考試是對一學(xué)期知識體系的綜合檢驗(yàn)，北京市的數(shù)學(xué)命題兼具基礎(chǔ)性與思維性，既考查核心概念的掌握，又注重知識的靈活應(yīng)用與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)。本講義聚焦北京期末考高頻考點(diǎn)，從知識本質(zhì)、典型題型到解題策略進(jìn)行系統(tǒng)梳理，助力同學(xué)們構(gòu)建清晰的知識框架，提升解題能力。一、函數(shù)模塊核心考點(diǎn)考點(diǎn)1：函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性綜合應(yīng)用知識梳理：函數(shù)單調(diào)性反映函數(shù)值隨自變量變化的趨勢，定義法（作差/作商）與導(dǎo)數(shù)法（高二及以上）是判斷單調(diào)性的核心方法；奇偶性體現(xiàn)函數(shù)圖像的對稱性，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是前提，滿足\(f(-x)=\pmf(x)\)。單調(diào)性與奇偶性結(jié)合時，常利用奇偶性簡化對稱區(qū)間的單調(diào)性分析，或結(jié)合不等式求解（如\(f(x_1)>f(x_2)\)轉(zhuǎn)化為利用單調(diào)性脫去“\(f\)”）。典型例題：已知函數(shù)\(f(x)=x^3+\ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)，判斷其奇偶性，并解不等式\(f(2x-1)+f(x)<0\)。解題思路：1.奇偶性判斷：定義域?yàn)閈(\mathbb{R}\)（關(guān)于原點(diǎn)對稱），計(jì)算\(f(-x)=(-x)^3+\ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)。利用對數(shù)性質(zhì)\(\lna+\lnb=\ln(ab)\)，得\(\ln(\sqrt{x^2+1}-x)+\ln(\sqrt{x^2+1}+x)=\ln1=0\)，故\(\ln(\sqrt{x^2+1}-x)=-\ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)，因此\(f(-x)=-x^3-\ln(\sqrt{x^2+1}+x)=-f(x)\)，即\(f(x)\)是奇函數(shù)。2.單調(diào)性分析：\(y=x^3\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增；令\(g(x)=\ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)，求導(dǎo)（或復(fù)合函數(shù)分析）可知\(g(x)\)單調(diào)遞增，故\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增。3.解不等式：\(f(2x-1)+f(x)<0\)即\(f(2x-1)<-f(x)=f(-x)\)（奇函數(shù)性質(zhì)）。結(jié)合單調(diào)性得\(2x-1<-x\)，解得\(x<\frac{1}{3}\)。方法提煉：處理函數(shù)奇偶性與單調(diào)性綜合題時，采用三步法：①判斷奇偶性（定義域+\(f(-x)\)與\(f(x)\)的關(guān)系）；②分析單調(diào)性（定義/導(dǎo)數(shù)/復(fù)合函數(shù)）；③利用奇偶性轉(zhuǎn)化不等式，結(jié)合單調(diào)性脫去“\(f\)”，轉(zhuǎn)化為普通不等式求解?？键c(diǎn)2：函數(shù)零點(diǎn)與方程根的問題知識梳理：函數(shù)零點(diǎn)即\(f(x)=0\)的根，等價于函數(shù)圖像與\(x\)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，或兩個函數(shù)\(y=f(x)\)與\(y=g(x)\)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（方程\(f(x)=g(x)\)的根）。解決此類問題常用數(shù)形結(jié)合法（畫圖像分析交點(diǎn)）、分離參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域）、單調(diào)性分析（判斷零點(diǎn)個數(shù)）。典型例題：已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0\\|\lnx|,&x>0\end{cases}\)，若方程\(f(x)=a\)有三個不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍。解題思路：1.分段畫圖：當(dāng)\(x\leq0\)時，\(f(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1\)，對稱軸\(x=1\)，在\((-\infty,0]\)上單調(diào)遞減，值域?yàn)閈([0,+\infty)\)（\(x=0\)時\(f(0)=0\)，\(x\to-\infty\)時\(f(x)\to+\infty\)）。當(dāng)\(x>0\)時，\(f(x)=|\lnx|\)，在\((0,1]\)上\(\lnx\leq0\)，故\(f(x)=-\lnx\)（單調(diào)遞減），值域\([0,+\infty)\)；在\((1,+\infty)\)上\(\lnx>0\)，故\(f(x)=\lnx\)（單調(diào)遞增），值域\((0,+\infty)\)，且\(f(1)=0\)。2.分析交點(diǎn)：方程\(f(x)=a\)有三個實(shí)根，即\(y=f(x)\)與\(y=a\)有三個交點(diǎn)。結(jié)合圖像：\(x\leq0\)時，\(f(x)\)從\(+\infty\)遞減到\(0\)，與\(y=a\)有一個交點(diǎn)需\(a>0\)；\(x>0\)時，\(f(x)\)在\((0,1]\)遞減到\(0\)，\((1,+\infty)\)遞增，與\(y=a\)有兩個交點(diǎn)需\(a>0\)。因此，當(dāng)\(a>0\)時，方程有三個不同實(shí)根（驗(yàn)證：\(a=1\)時，\(x\leq0\)的根為\(1-\sqrt{2}\)，\(x>0\)的根為\(e\)和\(\frac{1}{e}\)，符合“三個根”）。方法提煉：解決函數(shù)零點(diǎn)問題時，圖像優(yōu)先：①分段畫出函數(shù)圖像（注意定義域、單調(diào)性、特殊點(diǎn)）；②分析直線\(y=a\)（或其他函數(shù)）與各段圖像的交點(diǎn)個數(shù)；③結(jié)合各段的解的個數(shù)，確定參數(shù)范圍或根的個數(shù)。分離參數(shù)法可轉(zhuǎn)化為“求函數(shù)值域”問題（如方程\(f(x)=kx\)有解，分離為\(k=\frac{f(x)}{x}\)，求右邊函數(shù)的值域）。二、立體幾何核心考點(diǎn)考點(diǎn)1：空間點(diǎn)線面位置關(guān)系與證明知識梳理：空間線面關(guān)系包括平行（線線、線面、面面）與垂直（線線、線面、面面），證明依據(jù)是判定定理與性質(zhì)定理：線面平行：\(a\not\subset\alpha\)，\(b\subset\alpha\)，\(a\parallelb\impliesa\parallel\alpha\)（判定）；\(a\parallel\alpha\)，\(a\subset\beta\)，\(\alpha\cap\beta=b\impliesa\parallelb\)（性質(zhì)）。面面平行：\(a,b\subset\alpha\)，\(a\capb=P\)，\(a\parallel\beta\)，\(b\parallel\beta\implies\alpha\parallel\beta\)（判定）；\(\alpha\parallel\beta\)，\(\alpha\cap\gamma=a\)，\(\beta\cap\gamma=b\impliesa\parallelb\)（性質(zhì)）。線面垂直：\(a\perpb\)，\(a\perpc\)，\(b,c\subset\alpha\)，\(b\capc=P\impliesa\perp\alpha\)（判定）；\(a\perp\alpha\)，\(b\subset\alpha\impliesa\perpb\)（性質(zhì)）。面面垂直：\(a\subset\alpha\)，\(a\perp\beta\implies\alpha\perp\beta\)（判定）；\(\alpha\perp\beta\)，\(\alpha\cap\beta=l\)，\(a\subset\alpha\)，\(a\perpl\impliesa\perp\beta\)（性質(zhì)）。典型例題：在四棱錐\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(PA\perp\)平面\(ABCD\)，\(E\)是\(PD\)的中點(diǎn)，求證：\(AE\parallel\)平面\(PBC\)。解題思路：方法一：線線平行→線面平行取\(PC\)的中點(diǎn)\(F\)，連接\(EF\)、\(BF\)。因?yàn)閈(E\)是\(PD\)中點(diǎn)，\(F\)是\(PC\)中點(diǎn)，所以\(EF\parallelCD\)，且\(EF=\frac{1}{2}CD\)（三角形中位線定理）。底面\(ABCD\)是矩形，故\(AB\parallelCD\)且\(AB=CD\)，因此\(EF\parallelAB\)且\(EF=AB\)，即四邊形\(ABEF\)是平行四邊形，所以\(AE\parallelBF\)。又\(AE\not\subset\)平面\(PBC\)，\(BF\subset\)平面\(PBC\)，根據(jù)線面平行判定定理，得\(AE\parallel\)平面\(PBC\)。方法提煉：證明線面平行的核心是找線線平行，常用策略：①中位線法（取中點(diǎn)，構(gòu)造中位線）；②平行四邊形法（證明對邊平行且相等）；③面面平行法（證明直線所在平面與目標(biāo)平面平行）。證明時需緊扣定理?xiàng)l件，標(biāo)注線面關(guān)系的關(guān)鍵要素（如“線在面外”“線在面內(nèi)”“交點(diǎn)”等）。考點(diǎn)2：空間角與距離的計(jì)算（空間向量法）知識梳理：空間角包括線線角（異面直線所成角，范圍\((0,\frac{\pi}{2}]\)）、線面角（直線與平面所成角，范圍\([0,\frac{\pi}{2}]\)）、面面角（二面角，范圍\([0,\pi]\)）。空間向量法是計(jì)算空間角的高效工具：線線角：設(shè)異面直線\(l_1,l_2\)的方向向量為\(\vec{m},\vec{n}\)，則\(\cos\theta=|\cos\langle\vec{m},\vec{n}\rangle|\)。線面角：設(shè)直線\(l\)的方向向量為\(\vec{m}\)，平面\(\alpha\)的法向量為\(\vec{n}\)，則\(\sin\theta=|\cos\langle\vec{m},\vec{n}\rangle|\)（線面角\(\theta\)與向量夾角互余）。面面角：設(shè)平面\(\alpha,\beta\)的法向量為\(\vec{n_1},\vec{n_2}\)，則二面角的余弦值為\(\cos\theta=\pm\cos\langle\vec{n_1},\vec{n_2}\rangle\)（符號由二面角是銳角或鈍角決定）。典型例題：在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，棱長為2，求異面直線\(A_1B\)與\(AC\)所成角的余弦值，以及直線\(A_1B\)與平面\(A_1B_1CD\)所成角的正弦值。解題思路：建立空間直角坐標(biāo)系，以\(D\)為原點(diǎn)，\(DA,DC,DD_1\)為\(x,y,z\)軸，各點(diǎn)坐標(biāo)：\(A(2,0,0)\)，\(C(0,2,0)\)，\(A_1(2,0,2)\)，\(B(2,2,0)\)。1.異面直線\(A_1B\)與\(AC\)所成角：方向向量：\(\vec{A_1B}=(0,2,-2)\)，\(\vec{AC}=(-2,2,0)\)。計(jì)算夾角余弦：\(\cos\langle\vec{A_1B},\vec{AC}\rangle=\frac{\vec{A_1B}\cdot\vec{AC}}{|\vec{A_1B}|\cdot|\vec{AC}|}=\frac{4}{\sqrt{8}\cdot\sqrt{8}}=\frac{1}{2}\)。異面直線所成角取銳角或直角，故余弦值為\(\frac{1}{2}\)。2.直線\(A_1B\)與平面\(A_1B_1CD\)所成角：求平面\(A_1B_1CD\)的法向量：平面內(nèi)向量\(\vec{A_1B_1}=(0,2,0)\)，\(\vec{A_1D}=(-2,0,-2)\)。設(shè)法向量\(\vec{n}=(x,y,z)\)，則\(\vec{n}\cdot\vec{A_1B_1}=2y=0\impliesy=0\)；\(\vec{n}\cdot\vec{A_1D}=-2x-2z=0\impliesx=-z\)，取\(x=1\)，則\(z=-1\)，故\(\vec{n}=(1,0,-1)\)。直線\(A_1B\)的方向向量\(\vec{A_1B}=(0,2,-2)\)，設(shè)線面角為\(\theta\)，則\(\sin\theta=|\cos\langle\vec{A_1B},\vec{n}\rangle|=\frac{2}{\sqrt{8}\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\)。方法