試卷第=page33頁，共=sectionpages44頁試卷第=page44頁，共=sectionpages44頁2025年3月2日高中數(shù)學(xué)作業(yè)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知，，是非零向量，與的夾角為，，，則，的最小值為（

）A． B． C． D．2．在邊長為2的正方體中，取3條棱的中點(diǎn)構(gòu)成平面，平面截正方體的截面面積為，從剩余9條棱的中點(diǎn)在平面的投影為，記，當(dāng)最大時，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．已知平面向量.若對區(qū)間內(nèi)的三個任意的實(shí)數(shù)，都有，則向量夾角的最大值的余弦值為（）A． B． C． D．4．已知中，，，且的最小值為，若P為邊AB上任意一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．5．已知平面向量、、滿足，且對任意實(shí)數(shù)恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題6．窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形的邊長為2，是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．B．的最大值為C．在方向上的投影向量為D．若函數(shù)則函數(shù)的最小值為7．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若M為的垂心，，則D．若，，M為的外心，則8．在中，，點(diǎn)P是等邊（點(diǎn)O與C在的兩側(cè)）邊上的一動點(diǎn)，若，則有（

）A．當(dāng)時，點(diǎn)必在線段的中點(diǎn)處 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最大值為9．已知，，是互不相等的非零向量，其中，是互相垂直的單位向量，，記，，，則下列說法正確的是（

）A．若，則O，A，B，C四點(diǎn)在同一個圓上B．若，則的最大值為2C．若，則的最大值為D．若，則的最小值為10．已知平面向量，，滿足，，，則（

）A．點(diǎn)C軌跡是圓 B．的最大值是3C．的最小值是1 D．的取值范圍是三、填空題11．設(shè)，集合.若對任意，均存在和，滿足，，則的最大值為.12．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上，且，則的取值范圍是，的最小值為．13．在平面中，非零向量滿足則的最大值為.14．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿足，將繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到向量．若，則的最大值為．15．如圖，邊長為4的等邊，動點(diǎn)P在以BC為直徑的半圓上，若，則的取值范圍是．16．在梯形中，，，，，，點(diǎn)滿足，則；若與相交于點(diǎn)，為線段延長線上的動點(diǎn)，則的最小值為.17．已知兩點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，直線與動點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn).當(dāng)時，；當(dāng)時，的最小值為.18．已知平面向量，，滿足，，，，則的最小值為.19．已知，點(diǎn)滿足：，過點(diǎn)分別作兩條相互垂直的射線DM，DN分別與點(diǎn)的軌跡交于M，N兩點(diǎn)，記MN的中點(diǎn)為，記的軌跡為，過點(diǎn)分別作軌跡的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則取值范圍為.20．已知平面向量，的夾角為，與的夾角為，，和在上的投影為x，y，則的取值范圍是．試卷第=page55頁，共=sectionpages66頁試卷第=page66頁，共=sectionpages66頁《2025年3月2日高中數(shù)學(xué)作業(yè)》參考答案題號12345678910答案DBABBBDABCBCADBD1．D【分析】首先設(shè)出幾何圖形，確定給定向量的位置，結(jié)合給定條件得到，再對的取值進(jìn)行討論，求解最值即可.【解析】設(shè)，，，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)榕c的夾角為，所以，因?yàn)?，，，所以，故，如圖，取中點(diǎn)，作，作，連接，因?yàn)?，所以，故，，由向量中線定理得，所以，故，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，得到，故，由可得，故，即，解得，故，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上，由題意得，而，當(dāng)且僅當(dāng)時，，此時，由三角形邊長性質(zhì)得，當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等，在直角三角形中，所以，故，代入數(shù)據(jù)得，解得，此時，即的最小值是，當(dāng)時，，此時的終點(diǎn)不在，通過平移，使其終點(diǎn)到達(dá)，同時設(shè)起點(diǎn)為，此時三點(diǎn)共線，所以，所以，由三角形邊長性質(zhì)得，當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等，在直角三角形中，所以，故，代入數(shù)據(jù)得，解得，此時，即的最小值是，綜上，的最小值是，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量，解題關(guān)鍵是作出圖形，利用給定條件得到，然后對參數(shù)進(jìn)行分類討論，得到所要求的最值即可．2．B【分析】截面為過棱中點(diǎn)的正六邊形，投影為兩個正六邊形的頂點(diǎn)，在平面中逐類分析的取值情況，找出最小值.【解析】如圖：由正方體的對稱性知，過3條棱的中點(diǎn)的平面截正方體的截面面積最大時為過棱中點(diǎn)的正六邊形，其邊長為，設(shè)截面與6條棱交點(diǎn)分別為，由正方體知體對角線，又，所以平面，延長交棱延長線于E，設(shè)此棱中點(diǎn)為B，則，作交平面于，所以平面，則為B在截面的投影，且為正邊的中線，又，所以是的重心，同理可得其余5條棱的中點(diǎn)在截面的投影到O的距離也為，由對稱性知，六邊形為棱長為的正六邊形，如圖在平面中建立直角坐標(biāo)系，則可得四點(diǎn)共線，由對稱性知也共線,也共線，由正六邊形性質(zhì)知為正三角形，為邊長的正三角形，邊長的正三角形，所以，求的最小值先考慮為負(fù)值的情況，當(dāng)時，不妨令，在中，則，其余結(jié)果都非負(fù).當(dāng)時，則，其余結(jié)果都非負(fù).當(dāng)，時，不妨令，與夾角不超過，故，當(dāng)，時，不妨令，，，所以為鈍角，為銳角，，由對稱性知的取值情況同上，，綜上：的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題關(guān)鍵是找出各棱中點(diǎn)在截面的投影，根據(jù)兩個正六邊形的特點(diǎn)求出的所有可能取值.3．A【分析】設(shè),作出圖形，分析出恒成立，臨界處即與重合，與重合，且GM不能充當(dāng)直角三角形斜邊，否則可以改變的位置，使得，此時最小，向量夾角取得最大值，利用三角函數(shù)恒等變換和圖象得到答案.【解析】設(shè),如圖，不妨設(shè).設(shè)為的中點(diǎn)，為OC的中點(diǎn)，為BD的中點(diǎn)，為AD的中點(diǎn).則，，設(shè)，點(diǎn)在平行四邊形內(nèi)（含邊界）.由題知恒成立.為了使最大，則思考為鈍角，即思考點(diǎn)在第一或第四象限.思考臨界值即與重合，與重合，且GM不能充當(dāng)直角三角形斜邊，否則可以改變的位置，使得，此時最小，所以，即，即即，即.所以.所以，其中向量與夾角為，故與夾角的最大值的余弦值為.故選：A.【點(diǎn)睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進(jìn)行求解.4．B【分析】設(shè)，由題可得、、三點(diǎn)共線，進(jìn)而可得的最小值為到邊上的高，根據(jù)幾何關(guān)系求出，將化成，通過幾何關(guān)系求出的最小值即可.【解析】設(shè)，故，若，由，則，，共線，故，由圖得，當(dāng)時有最小值，又，∴，即，即為等邊三角形．由余弦定理，，設(shè)M為BC中點(diǎn)，，∴當(dāng)取最小值時，有最小值，∵為邊上任意一點(diǎn)，∴當(dāng)時，有最小值，設(shè)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，又，為的中位線，∴，即，∴．故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：、構(gòu)造等邊三角形且，，共線，設(shè)M為BC中點(diǎn)，由，（先求出），數(shù)形結(jié)合判斷最小與相關(guān)線段位置關(guān)系.5．B【分析】不等式，兩邊平方得到關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，進(jìn)而得到，再利用模長公式將轉(zhuǎn)化為，再利用不等式即可得解.【解析】由，兩邊平方得又，且對任意實(shí)數(shù)恒成立，即恒成立，所以，即，所以，即.由，知，所以,當(dāng)且僅當(dāng)與同向時取等號.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查向量的綜合應(yīng)用，不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵先利用對任意實(shí)數(shù)恒成立，求得，再利用求最值，考查了轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力.6．BD【分析】以AE為y軸，GC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量線性運(yùn)算可判斷A；對于B，取AB的中點(diǎn)為M，則，兩式平方相減，結(jié)合正八邊形的對稱性取最大值時點(diǎn)P位置，然后利用坐標(biāo)求解；對于C，根據(jù)投影向量公式求解可得；對于D，利用坐標(biāo)運(yùn)算表示出函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得.【解析】如圖所示，以AE為y軸，GC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則在中，由余弦定理可得，整理得，因?yàn)?對于A，因?yàn)?，所以，A錯誤；對于B，取AB的中點(diǎn)為M，則，則，兩式相減得，由正八邊形的對稱性可知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E或點(diǎn)F重合時，最大，又，所以，所以，所以，的最大值為，B正確；對于C，，所以，所以在方向上的投影向量為，C錯誤；對于D，因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)時，函數(shù)取得最小值，D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵在于：第一，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算求解；第二，設(shè)，利用a表示坐標(biāo)，到最后再進(jìn)行代換，減少計算量；第三，利用對稱性分析點(diǎn)P位置.7．ABC【分析】A選項(xiàng)，，作出輔助線，得到三點(diǎn)共線，同理可得M為的重心；B選項(xiàng)，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，代入后得到；C選項(xiàng)，得到，作出輔助線，由面積關(guān)系得到線段比，設(shè)，，，則，，，結(jié)合三角函數(shù)得到，，進(jìn)而求出正切值的比；D選項(xiàng)，設(shè)外接圓半徑，由三角形面積公式求出三個三角形的面積，得到比值.【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，取的中點(diǎn)，則，所以，故三點(diǎn)共線，且，同理，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，所以M為的重心，A正確；B選項(xiàng)，若M為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，即，B正確；C選項(xiàng)，若M為的垂心，，則，如圖，⊥，⊥，⊥，相交于點(diǎn)，又，，即，，即，，即，設(shè)，，，則，，，因?yàn)?，，所以，即，同理可得，即，故，，則，故，，則，故，，故，同理可得，故，C正確；D選項(xiàng)，若，，M為的外心，則，設(shè)的外接圓半徑為，故，，故，，，所以，D錯誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的重心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的垂心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的外心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的內(nèi)心，8．BC【分析】對于A，過的中點(diǎn)作平行線即可判斷；對于B，先利用平面向量的性質(zhì)得到，，從而結(jié)合圖形的性質(zhì)推得取得最大值時點(diǎn)的位置，從而利用余弦定理與三角函數(shù)的和差公式求得，從而得以判斷；對于C，結(jié)合選項(xiàng)B中的結(jié)論，推得點(diǎn)與點(diǎn)重合時取得最小值，由此判斷即可；對于D，舉反例排除即可.【解析】對于A，記為的中點(diǎn)，過作交于，如圖，

此時存在，使得，則，顯然滿足，但點(diǎn)P不在線段的中點(diǎn)處，故A錯誤；對于B，延長，在上任一點(diǎn)作平行于，如圖，

則，即，，易得大于的外角，則與的延長線必交于一點(diǎn)，故離越遠(yuǎn)，其值越大，同時，的值也越大，顯然，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，與都取得最大值，此時也取得最大值，此時，在中，，所以，則，，易知，所以，則，故在中，，所以，，又，所以，又，，所以，則為正三角形，所以，所以的最大值為，故B正確；對于C，因?yàn)?，，所以，由選項(xiàng)B，結(jié)合圖像易知的增長速率要比大，所以要使得取得最小值，要取得最小值，此時，則，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時取得最小值，此時，即的最小值為，故C正確；對于D，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，，，所以，，則，則，故D錯誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用平面向量的三角形法則得到，，從而確定取得最值時點(diǎn)的位置，從而得解.9．AD【分析】對于A選項(xiàng)，，后由可得答案.對于B選項(xiàng)，由A分析可知，O，A，B，C四點(diǎn)在同一個圓上.又，則其長度為圓上弦的長度.對于C選項(xiàng)，由題可得A，B，C均在以為圓心、1為半徑的圓上，設(shè)，又，則.表示出后可得答案.對于D選項(xiàng)，由結(jié)合C選項(xiàng)分析，得，又由，可得，后由重要不等式可得答案.【解析】對于A選項(xiàng)，如圖，若，則，所以，又，所以，所以O(shè)，A，B，C四點(diǎn)在同一個圓上，故A正確；對于B選項(xiàng)，若，由A選項(xiàng)知，O，A，B，C四點(diǎn)在同一個圓上，又，則其長度為圓上弦的長度.當(dāng)線段為該圓的直徑時，最大，且最大值等于，故B錯誤；對于C選項(xiàng)，由題可得A，B，C均在以為圓心、1為半徑的圓上，設(shè)，又，則.其中.則，當(dāng)時取等號.故C錯誤.對于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)分析結(jié)合可知.又，則，則由重要不等式有：.得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及向量，三角函數(shù).判斷A，B選項(xiàng)關(guān)鍵為能由得到，從而可以得到O，A，B，C四點(diǎn)在同一個圓上.判斷C，D選項(xiàng)關(guān)鍵，為利用A，B，C在單位圓上設(shè)出其坐標(biāo)，后利用向量坐標(biāo)表示結(jié)合三角函數(shù)，不等式知識解決問題.10．BD【分析】先假設(shè)點(diǎn)A，B固定，即與夾角是定值，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于O的對稱點(diǎn)為，根據(jù)得到，即點(diǎn)C的軌跡是一個點(diǎn)或以為圓心，以為半徑的圓；若點(diǎn)A，B不固定，即與夾角不是定值，可判斷A錯誤；結(jié)合，的幾何意義，數(shù)形結(jié)合得到，B正確；C選項(xiàng)可舉出反例；D選項(xiàng)，求出，得到，求出當(dāng)時，取得最大值為5，當(dāng)時，取得最小值0，得到的取值范圍.【解析】對A,先假設(shè)點(diǎn)A，B固定，即與夾角是定值.設(shè)點(diǎn)A關(guān)于O的對稱點(diǎn)為，由得，，當(dāng)時，，此時點(diǎn)C的軌跡是一個點(diǎn)，當(dāng)時，點(diǎn)C的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓.若點(diǎn)A，B不固定，即與夾角不是定值，此時點(diǎn)C的軌跡也在變動，故A錯誤；對B，∵，，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B在以O(shè)為圓心，分別以1，2為半徑的圓上，，∴B正確；對C，當(dāng)點(diǎn)A，B固定且時，，∵在以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓上，而點(diǎn)C的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，∴點(diǎn)A在點(diǎn)C的軌跡上，即，∴C錯誤；對D，由于的最大值為，最小值為.∵，，根據(jù)假設(shè)，.∵，∴，.如果點(diǎn)A，B不固定，則是變量，且，∴當(dāng)時，取得最大值為5，當(dāng)時，取得最小值為0，所以D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】向量相關(guān)的壓軸題，通常要數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解，結(jié)合向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行求解，本題關(guān)鍵在于要先假設(shè)點(diǎn)A，B固定，即與夾角是定值，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于O的對稱點(diǎn)為，根據(jù)得到，即點(diǎn)C的軌跡是一個點(diǎn)或以為圓心，以為半徑的圓，再討論四個選項(xiàng)的正誤.11．【分析】設(shè)方程表示的區(qū)域?yàn)?，分析可知區(qū)域?yàn)檎叫渭捌鋬?nèi)部，設(shè)，可知點(diǎn)在線段上，記為過點(diǎn)的線段的長度的最大值，則的最大值為的最小值，根據(jù)對稱性分析求解即可.【解析】設(shè)方程表示的區(qū)域?yàn)椋么鷵Q方程不變，可知區(qū)域關(guān)于y軸對稱；用代換方程不變，可知區(qū)域關(guān)于x軸對稱；當(dāng)時，區(qū)域可化為，據(jù)此可得區(qū)域的圖形如圖陰影所示，取，可知區(qū)域?yàn)檎叫渭捌鋬?nèi)部，設(shè)，點(diǎn)均在區(qū)域內(nèi)，因?yàn)?，，即，，可知點(diǎn)在線段上，又因?yàn)?，記為過點(diǎn)的線段的長度的最大值，若求，不妨假設(shè)點(diǎn)在正方形的邊界上，若，即，可知的最大值為的最小值，取的中點(diǎn)分別為，可知區(qū)域關(guān)于直線對稱，根據(jù)對稱性只需假定點(diǎn)在線段上即可，此時，可知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，取到最小值，所以的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：1.根據(jù)題意分析集合表示的平面區(qū)域；2.根據(jù)向量相關(guān)知識分析的最大值表示的意義.12．5【分析】利用焦半徑公式表示，利用拋物線上點(diǎn)的范圍求解第一空，利用焦半徑公式結(jié)合基本不等式求解第二空即可得到答案.【解析】①由題意得，，設(shè)，，，則，，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得，∴.②∵，∴，∵，∴，即，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，即，∴，即的最小值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查拋物線綜合問題，解題關(guān)鍵是合理運(yùn)用焦半徑公式結(jié)合基本不等式，然后找到取等條件，得到所要求的最值即可．13．2【分析】設(shè)，構(gòu)造橢圓，利用三角換元可求最大值.【解析】如圖，設(shè)，則為等邊三角形，，且，，故的軌跡為橢圓，其焦距為，故短半軸長為，故橢圓方程為，設(shè)，故，故的最大值為2，,故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出橢圓，并結(jié)合三角函數(shù)知識求解.14．【分析】設(shè)，則，進(jìn)而得，結(jié)合分析得到的軌跡為一個橢圓，并確定橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，將問題化為求的截距最大，即最大且該直線過點(diǎn)，即可求最值.【解析】設(shè)，則，故，所以，則，故，由，即到原點(diǎn)距離與到的距離之和為8，易知的軌跡為一個橢圓，且，，如下圖，若為橢圓的右頂點(diǎn)，則，且直線，易知，即，由，令①，所以，要使最大，只需的截距最大，即最大，結(jié)合圖知，該直線過點(diǎn)即可，將代入①，有.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先得到的軌跡為一個橢圓及其右頂點(diǎn)坐標(biāo)，再應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示化為求最大為關(guān)鍵.15．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，可得半圓弧的方程為：，然后設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則算出關(guān)于的式子，利用三角恒等變換與正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解析】根據(jù)題意，以所在直線為x軸，的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，半圓弧的方程為：，設(shè)，則，，由，得，解得，由，設(shè)，其中，可得，由，得，則，得，得的取值范圍為：.故答案為：【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：坐標(biāo)變換的理解：建立坐標(biāo)系時，特別是點(diǎn)和點(diǎn)的位置關(guān)系，必須理解清楚向量運(yùn)算的基礎(chǔ)，并避免在代入過程中的符號錯誤.三角函數(shù)的應(yīng)用：關(guān)于三角恒等變換以及三角函數(shù)的范圍，需要注意區(qū)間的限制，確保在求解時不遺漏可能的取值范圍.16．/【分析】利用可得到大小，根據(jù)梯形上下底平行可得線段比例關(guān)系，取中點(diǎn)，利用向量數(shù)量積可得，通過求的最小值即可得到結(jié)果.【解析】由得，，解得，故.設(shè)交于點(diǎn)，由題意得，.在中，由余弦定理得，，故.由得，，，所以.取中點(diǎn)，連接，則，，所以，故.因?yàn)?，所以?dāng)最小時，有最小值，的最小值為點(diǎn)到直線的距離.由得，，又因?yàn)?，所以為等邊三角形，故點(diǎn)到直線的距離為，由得點(diǎn)到直線的距離為，即，此時.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量綜合問題，解決問題的關(guān)鍵是利用平面向量的極化恒等式公式得到，問題轉(zhuǎn)化為求線段長的最小值，分析幾何圖形即可得到結(jié)果.17．【分析】由圓內(nèi)同弦所對應(yīng)的同側(cè)的圓周角相等和勾股定理以及對稱性得到點(diǎn)的軌跡方程，再由兩點(diǎn)間距離公式求出，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合幾何意義求出的最小值；【解析】由圓內(nèi)同弦所對應(yīng)的同側(cè)的圓周角相等可知，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方時，由可得，又，所以，設(shè)圓的半徑為，所以在中，，解得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓中所對應(yīng)的優(yōu)弧，不包括斷點(diǎn)，又對稱性可得軸下方也滿足，圖形如下：可得點(diǎn)的軌跡方程為，當(dāng)時，直線方程為，聯(lián)立，解得，由對稱性可得，所以，當(dāng)時，設(shè)，由對稱性可得，所以，由幾何意義可得表示點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，所以的最小值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是能根據(jù)圓內(nèi)同弦所對應(yīng)的同側(cè)的圓周角相等的到點(diǎn)的軌跡方程.18．【分析】令，，，OB的中點(diǎn)為D，AB的中點(diǎn)為E，OD的中點(diǎn)為F，與的夾角為，由題意，計算，，判斷出點(diǎn)C的軌跡為以O(shè)D為直徑的圓，利用向量基底表示，將轉(zhuǎn)化為，然后轉(zhuǎn)化為圓上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值進(jìn)而求解最小值.【解析】令，，，OB的中點(diǎn)為D，AB的中點(diǎn)為E，OD的中點(diǎn)為F，與的夾角為，連接CA、CB、CD、CO、EF.由，，，得，，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理?又由，得，即，所以點(diǎn)C的軌跡為以O(shè)D為直徑的圓.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C、E、F共線，且點(diǎn)C在點(diǎn)E、F之間時，等號成立.所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過平面向量的幾何表示，將問題轉(zhuǎn)化為圓上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值從而根據(jù)幾何知識得解.19．【分析】先分別求出點(diǎn)的軌跡和的軌跡方程，設(shè)，根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合數(shù)量積的定義化簡，進(jìn)而可得出答案.【解析】設(shè)，由，得，化簡得，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又在圓上，所以，則，設(shè)，得，化簡得，則軌跡的方程是以為圓心，為半徑的圓，設(shè)，則，故，則，則，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi)，則，即，所以，由雙鉤函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上遞減，在上遞增，又，所以，又，，所以，所以.

故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求動點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點(diǎn)的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點(diǎn)的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點(diǎn)的軌跡方程.20．【分析】根據(jù)題意可知與的夾角為，從而根據(jù)正弦定理可得，再根據(jù)投影的定義表示出，最后對化簡變形通過正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄?，的夾角為，與的夾角為，所以與的夾角為，所以根據(jù)正弦定理可得，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以在上的投影為，在上的投影為，所以因?yàn)椋?，所以，所?所以的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查平面向量的綜合問題，考查向量投影，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)向量投影的概念表示出，考查計算能力，屬于難題.三角函數(shù)與解三角形一、單選題1．設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有4個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若成等差數(shù)列，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．在銳角中，角的對邊分別為，若，，則邊上的中線長度的取值范圍為（）A． B． C． D．4．在三棱錐中，是正三角形，，記二面角，的平面角分別為，，，，則（

）A． B． C． D．5．如圖，已知圓柱的斜截面是一個橢圓，該橢圓的長軸AC為圓柱的軸截面對角線，短軸長等于圓柱的底面直徑．將圓柱側(cè)面沿母線AB展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個周期的正弦曲線．若該段正弦曲線是函數(shù)圖象的一部分，且其對應(yīng)的橢圓曲線的離心率為，則的值為（

）A． B．1 C．3 D．2二、多選題6．中，，則（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B．的值域?yàn)镃．當(dāng)時，桓成立D．若在上恰有1012個不同解，則符合條件的a只有一個8．已知函數(shù)，其部分圖象如圖所示，其中B為最高點(diǎn)，，，則（

）．A．B．C．若，則D．9．記函數(shù)的最小正周期為，若，且在上的最大值與最小值的差為3，則（

）A．B．C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．直線是曲線的切線10．已知函數(shù)滿足，且在上有最小值，無最大值，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．的最小正周期為4C．當(dāng)時，函數(shù)在每一個閉區(qū)間上單調(diào)遞增D．在上恰有1350個零點(diǎn)三、填空題11．已知分別為銳角三個內(nèi)角的對邊，的面積，則的取值范圍是.12．已知函數(shù)區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是.13．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，.若點(diǎn)與點(diǎn)在兩側(cè)，，且，，，四點(diǎn)共圓，則四邊形的面積為.14．對于任意實(shí)數(shù)，符號表示“不超過的最大整數(shù)”，如，，，則；若函數(shù)，則的值域?yàn)?15．在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則，的取值范圍為．16．已知定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，若對任意，都有，則實(shí)數(shù)m的最大值為．17．在中，，分別為，的中點(diǎn)，，，則面積的最大值為．18．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．19．如圖，在直角三角形中，，垂足為.設(shè)，矩形與矩形的面積之和為，其中，則的最大值為.

20．已知為的外心，若，則的最大值為.四、解答題21．已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)在上恰有8個零點(diǎn)，求的最小值；(3)設(shè)函數(shù)證明：有且只有一個零點(diǎn)，且．22．在中，角，，的對邊分別為，，．且滿足．(1)求角的大??；(2)若的面積，內(nèi)切圓的半徑為，求；(3)若的平分線交于，且，求的面積的最小值．23．已知函數(shù)，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)，方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若方程在區(qū)間上恰有三個實(shí)數(shù)根，，，且，求的取值范圍.24．在中，已知角的對邊分別為的平分線交于點(diǎn)，的外接圓的半徑分別為，且.(1)證明：；(2)求；(3)若，求的取值范圍.25．若函數(shù)滿足：存在實(shí)數(shù)，，使得對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，均有成立，則稱函數(shù)為“可平衡”函數(shù)；有序數(shù)對稱為函數(shù)的“平衡”數(shù)對.(1)若，當(dāng)滿足什么條件時，為“可平衡”函數(shù)，并說明理由；(2)是否存在為函數(shù)的“平衡”數(shù)對，若存在，求的值；若不存在，請說明理由.26．已知集合，，設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時，證明：函數(shù)是常數(shù)函數(shù)；(2)已知，寫出所有使函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的集合；(3)當(dāng)為奇數(shù)時，寫出函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個充分條件，并說明理由.27．已知函數(shù)，．(1)若，求的對稱軸方程；(2)若在上恰取得一次最大值和一次最小值，求的取值范圍；(3)若在軸右側(cè)的第一個零點(diǎn)為，令，且在內(nèi)恰有6個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)．28．已知函數(shù)(1)求的最大值；(2)若將的圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位長度得到的圖象，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)時，的值域?yàn)椋蟮闹担?9．已知函數(shù)的最小正周期為，圖象的一個對稱中心為，將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.(1)求函數(shù)與的解析式；(2)當(dāng)時，求方程解的個數(shù)；(3)求實(shí)數(shù)與正整數(shù)，使得在區(qū)間內(nèi)恰有2025個零點(diǎn).30．若對于實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程在函數(shù)的定義域上有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“可消點(diǎn)”，若存在實(shí)數(shù)，對任意實(shí)數(shù)均為函數(shù)的“可消點(diǎn)”，則稱函數(shù)為“可消函數(shù)”，此時，有序數(shù)對稱為函數(shù)的“可消數(shù)對”．(1)若是“可消函數(shù)”，求函數(shù)的“可消數(shù)對”；(2)若為函數(shù)的“可消數(shù)對”，求的值；(3)若函數(shù)的定義域?yàn)?，存在?shí)數(shù)同時為的“可消點(diǎn)”與“可消點(diǎn)”，求的最小值．答案第=page3131頁，共=sectionpages2828頁答案第=page3232頁，共=sectionpages2828頁《三角函數(shù)與解三角形》參考答案題號12345678910答案ADDBBABCACDBCDABDAC1．A【分析】根據(jù)題意對分段函數(shù)的兩部分解析式分別分類討論，得出各部分對應(yīng)的零點(diǎn)表達(dá)式，再根據(jù)在區(qū)間內(nèi)恰有4個零點(diǎn)對參數(shù)進(jìn)行分類討論，得出各部分的有效零點(diǎn)個數(shù)即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】易知當(dāng)時，令，可得，即可得，又因?yàn)椋?因此時的有效零點(diǎn)為，為負(fù)整數(shù)；當(dāng)時，令，可得;若為有效零點(diǎn)可得，解得；當(dāng)時，令，可得;若為有效零點(diǎn)可得，解得；因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)恰有4個零點(diǎn)，所以至少表示兩個有效零點(diǎn)，所以需滿足，可得；此時和也為有效零點(diǎn)，此時實(shí)數(shù)的取值范圍是；當(dāng)時，顯然不是有效零點(diǎn)，所以能表示三個有效零點(diǎn)，因此，解得，此時實(shí)數(shù)的取值范圍是.綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于求出分段函數(shù)各部分零點(diǎn)的表達(dá)式，再結(jié)合零點(diǎn)所在區(qū)間及其個數(shù)限定出對應(yīng)不等式，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.2．D【分析】由已知可得，結(jié)合余弦定理可得，利用兩角差的正切公式可得，利用基本不等式可求最小值.【解析】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，即，則，，所以，即，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于利用余弦定理得到，進(jìn)而利用兩角差的正切公式結(jié)合基本不等式求解.3．D【分析】先應(yīng)用正弦定理及余弦定理得出，再結(jié)合雙曲線的性質(zhì)得出的取值范圍.【解析】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，則，可得，顯然，可得，即，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，可知點(diǎn)A在以為焦點(diǎn)的雙曲線上（左半支且不含頂點(diǎn)），且，因?yàn)闉殇J角三角形，顯然為銳角，取兩種臨界狀態(tài)：若，則；若，則，可得；結(jié)合雙曲線性質(zhì)可知的取值范圍為.故選：D.4．B【分析】設(shè)的邊長為3，得到，借助余弦定理，求出，，再通過作輔助線，找出二面角，的平面角，再結(jié)合已知條件以及，利用三角函數(shù)的相關(guān)知識求解.【解析】設(shè)的邊長為3，則，在中，由余弦定理得，則，，則，，如圖，作面，于，于，側(cè)，，，，又，所以，，，所以，結(jié)合，得，根據(jù)三角函數(shù)的兩角差公式可得，所以，已知，則，將上式移項(xiàng)可得，解得，所以，，三點(diǎn)共線，由得，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)作出輔助線，找出二面角，的平面角，由，得到，進(jìn)而得到.再結(jié)合差角公式，齊次化處理求出.最后將轉(zhuǎn)化為.綜合性較強(qiáng)，屬于難題.5．B【分析】根據(jù)推出，設(shè)圓柱底面半徑為r，再根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖推出，利用圓柱的斜截面橢圓及離心率求出r即可.【解析】由題意，橢圓曲線在展開圖中恰好為函數(shù)圖象的一部分，可得．設(shè)圓柱底面半徑為r，則，所以，設(shè)橢圓長軸長為，短軸長為，因?yàn)殡x心率為，得，則，即，所以，得，又由勾股定理得，解得，故．故選：B.6．ABC【分析】對于A，運(yùn)用正切公式，結(jié)合基本不等式計算即可；對于B，運(yùn)用兩角和的余弦，結(jié)合A選項(xiàng)結(jié)論判定；對于C，設(shè)函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)得到.再用基本不等式計算判定；對于D，當(dāng)時，，此時，結(jié)合，得解.【解析】對于，因，故，故是銳角三角形.由，于是，故A正確；對于，由可知，故，故B正確；對于C，設(shè)函數(shù)，則，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，即.于是，故，故C正確；對于D，當(dāng)時，，此時，又因?yàn)?，此時，故D錯誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明三角不等式常見方法有以下幾種：（1）利用三角函數(shù)單調(diào)性；（2）利用三角函數(shù)值域的有界性：，；（3）利用單位圓中的三角函數(shù)線；（4）利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化；（5）利用求導(dǎo)數(shù)：如證明（），當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，對其求導(dǎo)，說明在上單調(diào)遞增，，所以，即；（6）利用基本不等式：滿足“一正二定三相等”條件.7．ACD【分析】利用奇函數(shù)的定義可判斷A的正誤，利用換元法結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷B的正誤，利用導(dǎo)數(shù)考慮的單調(diào)性后可判斷C的正誤，對于D，先判斷的周期性，再利用導(dǎo)數(shù)刻畫函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)圖象，結(jié)合兩根特征就小根的范圍分類討論后可得參數(shù)的范圍，從而可判斷D的正誤.【解析】對選項(xiàng)A：因?yàn)樗訟正確；對選項(xiàng)B：設(shè)，則可表為，因?yàn)?，故為上的奇函?shù)，而時，均為增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，而為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，所以的值域?yàn)椋訠不正確；對選項(xiàng)C：設(shè)，則（不恒為零），所以在上遞減，所以即，所以C正確；對選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以關(guān)于對稱，又的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故是周期函數(shù)且周期，而，所以在上遞增，可作出草圖，如下圖設(shè)，則，該方程兩根滿足，顯然均不為0且最多僅有一個屬于，不妨設(shè),若時，方程在區(qū)間[上有1013個實(shí)數(shù)根；若時，方程在區(qū)間[上有2026個實(shí)數(shù)根；若時，在區(qū)間上有2024個實(shí)數(shù)根；若時，方程在區(qū)間上有1012個實(shí)數(shù)根；代入方程可得：，唯一，所以D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：嵌套方程的零點(diǎn)問題，一般可先考慮外方程的根的特征，再考慮內(nèi)方程的根，本質(zhì)上就是換元處理.8．BCD【分析】過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，解三角形求得，，由此確定，求出函數(shù)的解析式，可判斷A,B；對C，令，求得或，，得解；對D，由題可得周期為12，利用函數(shù)的對稱性和周期性求解.【解析】如圖，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，，，，，所以，由，則，所以，，又，即，，，即，故A錯誤，B正確；對于C，令，則或，解得或，，，故C正確；對于D，是周期為4的函數(shù)，所以周期為12，則，，，，，，，，，故D正確.故選：BCD.9．ABD【分析】根據(jù)題意，先由函數(shù)周期以及可得，再由條件可得的值，即可得到，然后對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【解析】由，又，可得，又，則，所以.下面分類討論.（1）若在上單調(diào)，則，即，令，則，在上單調(diào)，又因?yàn)?所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，此時，，此時，不符合題意.（2）在上不單調(diào)，即在上不單調(diào).又，由于余弦函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的值域?yàn)?，即函?shù)在長度為的區(qū)間上值域?yàn)椋渥畲笾蹬c最小值的差為4，大于在上的最大值與最小值的差3，所以區(qū)間長度，所以，所以，.①若，即，則，此時由，所以，所以，且至少有一個式子取等號.解不等式組得，若，舍去；，解得，符合題意.②若，即時，，，所以，所以，，無解.綜上可得，，即.對于A，，故A正確；對于B，，，故B正確；對于C，當(dāng)，則，且在上先遞減后遞增，故C錯誤；對于D，因?yàn)?，所以，，可得是在處的切線，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)最值之差求出的值，需要對該區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，從而確定函數(shù)解析式，再一一分析選項(xiàng)即可.10．AC【分析】對于A：分析可知在處取到最小值，進(jìn)而可得對稱軸；對于B：可知，且在同一遞減區(qū)間內(nèi)，解得，即可得最小正周期；對于C：由選項(xiàng)B可知：，進(jìn)而可求單調(diào)遞增區(qū)間；對于D：舉反例說明即可.【解析】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，且在上有最小值，無最大值，可知在處取到最小值，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)椋以谕贿f減區(qū)間內(nèi)，可得，兩式相減可得，所以的最小正周期為，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：當(dāng)時，由選項(xiàng)B可知：，則，令，解得，可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，顯然，所以函數(shù)在每一個閉區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對于選項(xiàng)D：例如，由選項(xiàng)B可知：，即，可得，令，解得，可知的零點(diǎn)為，令，解得，所以在上恰有1349個零點(diǎn)，故D錯誤；故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解函數(shù)的性質(zhì)問題的三種意識：1.轉(zhuǎn)化意識：利用三角恒等變換將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式；2.整體意識：類比的性質(zhì)，只需將中的“”看成中的“x”，采用整體代入求解；3.討論意識：當(dāng)A為參數(shù)時，求最值應(yīng)分情況討論.11．【分析】利用余弦定理、三角形面積公式求出，再利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換及三角函數(shù)性質(zhì)求出范圍.【解析】在中，由及三角形面積公式，得，由余弦定理得，則，而，解得，，由正弦定理得，銳角由確定，而為銳角三角形，則，即，，顯然，而，，因此，，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及求三角形邊長比的范圍問題，時常利用三角形正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，再借助三角函數(shù)的性質(zhì)求解.12．【分析】首先得到正弦函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)條件得到在區(qū)間內(nèi)不存在整數(shù)解，以及結(jié)合周期得到，從而確定或，即可求解的范圍.【解析】令，，得，，由題意可知，，且，即，若，得，因?yàn)楹瘮?shù)最值區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，所以在區(qū)間內(nèi)不存在整數(shù)解，所以或，即，解得：，或，解得：，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵1是根據(jù)周期得到，關(guān)鍵2是根據(jù)的取值確定或.13．【分析】先利用正弦定理對題設(shè)條件進(jìn)行邊角互化可解得，由，且，，，四點(diǎn)共圓，可知四邊形為等腰梯形，圓心為中點(diǎn)，由計算即可得出結(jié)論.【解析】根據(jù)題意，，所以，由正弦定理可得：，所以,又因?yàn)椋?，所以，即，解得；因?yàn)椋瑒t,且，，，四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，可知，設(shè)DC的終點(diǎn)為O，連接，則為等邊三角形，則,所以中點(diǎn)即為圓心，，四邊形為等腰梯形，如圖所示：則也為等邊三角形，所以在中，由余弦定理得，即，解得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：通過題設(shè)條件以及，，，四點(diǎn)共圓，得出圓心為中點(diǎn)，四邊形為等腰梯形，并畫出圖象，數(shù)形結(jié)合求四邊形的面積是解題關(guān)鍵.14．【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得，首先分析的奇偶性與值域，結(jié)合高斯函數(shù)的性質(zhì)可得，從而得解.【解析】令，依題意可得，令，則時，；時，；時，；時，；時，；所以；對于函數(shù)，其定義域?yàn)椋?，所以是偶函?shù)，當(dāng)，且時，，.當(dāng)，且時，，.又是偶函數(shù)，所以函數(shù)的值域?yàn)?，所以的圖象如下所示：根據(jù)高斯函數(shù)的性質(zhì)可知（為整數(shù)），所以，因?yàn)?，所以，則，所以的值域?yàn)?故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是理解高斯函數(shù)的定義，第二空關(guān)鍵是推導(dǎo)出.15．【分析】由正弦定理得到，由三角恒等變換得到，結(jié)合角的范圍，得到，并利用三角恒等變換化簡得到，根據(jù)為銳角三角形，求出，從而得到的取值范圍.【解析】，由正弦定理得，又，故，即，為銳角三角形，，故，所以，故，，又，故，故，解得，，因?yàn)闉殇J角三角形，且，解得，故，，，故.故答案為：，【點(diǎn)睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.16．【分析】根據(jù)已知利用正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)、函數(shù)的周期性作出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行求解即可.【解析】由得，當(dāng)時，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，依次類推，又函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以函數(shù)的大致圖象為因?yàn)椋?，所以，，所以由，可得，?dāng)時，由的，所以對任意，都有，得實(shí)數(shù)的取值范圍為，則實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)及恒成立的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是利用法則畫出函數(shù)圖象，正確理解函數(shù)法則是解決本題的關(guān)鍵.17．【分析】分別在和中利用余弦定理可得，，再將面積表達(dá)式平方并利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求得面積的最大值.【解析】如下圖所示：設(shè)角所對的邊分別為，在中，由利用余弦定理可得，又，可得，即；同理在中,由利用余弦定理可得，又，可得，即；聯(lián)立，解得，；由的面積為可得因此可得，可得，即面積的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用中線長結(jié)合余弦定理求得三邊長之間的關(guān)系，再由面積表達(dá)式平方計算，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求得最值.18．【分析】利用函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的定義可求出的值，然后分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形，可得出有解，結(jié)合參變量分離法可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】若函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，可得，即，即，由，可得；所以，任取，，設(shè)，則，，，，則，所以，則函數(shù)為上的增函數(shù)，又函數(shù)為上的奇函數(shù)，所以不等式有解，轉(zhuǎn)化為，即有解，所以有解，即，令，因，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性知：，函數(shù)單調(diào)遞減，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.19．【分析】由題設(shè)表示出相應(yīng)線段的長，進(jìn)而可表示出的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)即可求得答案.【解析】由題意知，，則，所以于是令，，解得，在上單調(diào)遞增；令，解得，在上單調(diào)遞減；所以在處取得最大值，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解答時要熟練利用求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo).20．/【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義結(jié)合三角恒等變換以及正弦定理邊化角化簡已知等式，可得，再利用二倍角公式化簡，繼而利用基本不等式，即可求得答案.【解析】依題意兩邊同時乘以得：，，即，，即，即，而，則，，又，.故的最大值為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用數(shù)量積的幾何意義以及三角恒等變換化簡得到，繼而求解即可.21．(1)4(2)(3)證明見解析【分析】（1）由三角函數(shù)周期計算公式可得答案.（2）由題可得零點(diǎn)表達(dá)式，要使最小，則，n均為零點(diǎn)，據(jù)此可得答案；（3）由題可得，由單調(diào)性，正負(fù)情況結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得零點(diǎn)情況，然后由單調(diào)性可完成證明.【解析】（1）的最小正周期為．（2）當(dāng)時，令，解得，則或，則或，.要使最小，則均為零點(diǎn).若，則大于的7個零點(diǎn)為：，得，則此時，；若，則大于的7個零點(diǎn)為：，，得，則此時，，因，則的最小值為；（3）由（1）可得，定義域?yàn)?，①?dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)樗愿鶕?jù)零點(diǎn)存在定理，使得故在上有且只有一個零點(diǎn)．②當(dāng)時，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞減，，所以，所以在上不存在零點(diǎn)；③當(dāng)時，因?yàn)閱握{(diào)遞增，，因?yàn)樗?，所以在上不存在零點(diǎn)；綜上：有且只有一個零點(diǎn)，且因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞減，，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對于函數(shù)零點(diǎn)問題，可利用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，也可利用零點(diǎn)存在性定理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性研究零點(diǎn).22．(1)(2)(3)【分析】（1）利用和角公式化簡，借助于同角三角函數(shù)式和特殊角的函數(shù)值即得.（2）由等面積得出，，利用余弦定理得出，三式聯(lián)立即可求得邊.（3）結(jié)合題設(shè)，分別在，和中，由正弦定理推出邊，的關(guān)系式，再利用基本不等式求得的最小值，繼而即得三角形面積最小值．【解析】（1）由，得，則，即，而，所以.（2）由等面積法得：，即，因此，，在中，由余弦定理得，即，所以.（3）由平分，得，在中，設(shè)，則，在中，由正弦定理，得，則，在中，由正弦定理，得，則，得，故有．在中，由正弦定理，得，則，得代入式，可得，即．由基本不等式，得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”．于是，．即的面積的最小值為．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解題時要注重題設(shè)條件的應(yīng)用，如三角形內(nèi)切圓半徑常與其面積聯(lián)系解題，內(nèi)角平分線常與正余弦定理結(jié)合使用，遇到兩參數(shù)的相關(guān)式求最值常與基本不等式掛鉤解題．23．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)周期求出，再根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)求出，即可求出函數(shù)解析式；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，求出函數(shù)在此區(qū)間上的值域，即可得答案；（3）首先分析的單調(diào)性，即可畫出函數(shù)圖象，依題意可得與在區(qū)間上恰有三個交點(diǎn)，即可求出的取值范圍，再根據(jù)對稱性得到及的取值范圍，即可得解.【解析】（1）因?yàn)閳D象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，所以，又，即，所以，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，即，又因?yàn)?，解得，所以；?）因?yàn)?，?dāng)時，，所以，所以，所以方程有解，即有解，所以；（3）當(dāng)時，令或，解得或，所以在，上單調(diào)遞增，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，則的圖象（）如下所示：因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上恰有三個實(shí)數(shù)根，，，且，即與在區(qū)間上恰有三個交點(diǎn)，則，且與關(guān)于對稱，與關(guān)于對稱，所以，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三為關(guān)鍵是得到，.24．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用正弦定理表示，根據(jù)可證明結(jié)論.（2）利用正弦定理可得，根據(jù)二倍角公式結(jié)合三角形內(nèi)角取值范圍可得結(jié)果.（3）設(shè)，利用等面積法可得，結(jié)合余弦定理得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可求的取值范圍.【解析】（1）在中，由正弦定理得，，∴，同理得，，∴，即.（2）在中，由正弦定理得，，∴，∴，即，由得，，∴，故，∴.（3）設(shè)，由，得，故.∵，，∴，故，∴，令，則，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，故，∵在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴的取值范圍是.25．(1)，理由見解析(2)存在，【分析】（1）根據(jù)“可平衡”函數(shù)的定義結(jié)合兩角和差的正弦公式求解即可；（2）先根據(jù)余弦的二倍角公式轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)，令系數(shù)為0時恒等于0判斷即可.【解析】（1）當(dāng)為“可平衡”函數(shù)時，由題意可得對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)成立，即對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)成立，所以，即對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)成立，則，解得，

綜上，當(dāng)，時，函數(shù)為“可平衡”函數(shù).（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，，使得對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，均有成立，則對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)成立，即，即，

即對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)成立，因?yàn)?，所以，所以，即，，解得，綜上，當(dāng)，時，函數(shù)為“可平衡”函數(shù).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)“可平衡”函數(shù)的定義，結(jié)合三角恒等變換，根據(jù)題意列出參數(shù)滿足的關(guān)系式，利用恒成立問題或表達(dá)出參數(shù)滿足的解析式求解.26．(1)證明見解析(2)，(3)，理由見解析【分析】